高中数学导数偏难试题

高中数学导数偏难试题计算题
姓名：_ ______________班级：_______________考号：_______________
1、已知函数
在点处的切线与直线平行。

，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最小值。

2、设函数在处取得极值．
（Ⅰ）求与满足的关系式；
（Ⅱ）若，求函数的单调区间；
（Ⅲ）若
围．

，函数，若存在，，使得成立，求的取值范
3、已知，，，?，（）．
（Ⅰ）请写出的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设的极小值点为，求；
（Ⅲ）设
最小值．

， 的最大值为，的最小值为，试求的
4、已知函数
(1)若在处取得极值，求的值；（2分）
(2)讨论的单调性；（5分）

(3)证明：为自然对数的底数）（5分）

5、已知函数，
（I）求在上的最小值；
（II）对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明对一切，都有成立．

6、已知函数 ，为的导数。
（I）当=－3时证明在区间（－1，1）上不是单调函数。
（II）设，是否存在实数，对 于任意的存在，使得
成立？若存在求出的取值范围；若不存在说明理由。

7、已知函数
（I）求f（x）的单调区间；
。
（II）若对任意x∈［1，e］，使得g（x）≥－x＋（a＋2）x恒成立，求实数a的取值范围；
2
（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O （O为坐标原点）为钝
角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上？请说明理由。

8、已知函数
f
（
x
）=ln
x
，
g< br>（
x
）=e．
x
（I）若函数φ

（
x
） =
f
（
x
）－，求函数φ

（
x
）的单调区间；
（Ⅱ）设直线
l
为函数的图象 上一点
A
（
x
0
，
f
（
x
0< br>））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的
x
0
，使
得直 线
l
与曲线
y
=
g
（
x
）相切．

9、已知函数.

(I) 求函数在上的最大值.
(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.
是的导函数，若正常数满足.
求证：.

10、设,函数．
（1） 若，求曲线在处的切线方程；
（2） 若无零点,求实数的取值范围；
（3） 若有两个相异零点,求证: ．

11、设函数（），．
(1) 将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，试写出的解析式及值域；
(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
(3) 对于函数与定义域上的任意实数 ，若存在常数，使得和都成
立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在
“分 界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
12、 设函数
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；

（Ⅲ）证明：

13、设函数.
⑴当时，判断函数的单调性，并加以证明；
⑵当时，求证：对一切恒成立；
⑶若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数.

14、已知函数
（Ⅰ）求a的值；
在（0，1）上为减函数，函数在区间（1，2）上为增函数.
（Ⅱ）试判断方程在上的解得个数，并说明理由。
15、已知函数是R上的奇函数，当取得极值－2；
（1）求的解析式；
（2）求的单调区间和极大值；
（3）证明对任意恒成立.
16、设函数．
（Ⅰ）若函数在定义域上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明对于任意的，不等式．

17、设＝0是函数的一个极值点．

(1)求与的关系式(用表示)，并求
f
(
x
)的单 调区间；
(2)设，，问是否存在∈[－2，2]，使得成立？若存在，
求的取值范围；若不 存在，说明理由．
18、已知函数
f
（
x
）＝
是－5．
（1）求实数
b
、
c
的值；
的图象过坐标 原点
O
，且在点（－1，
f
（－1））处的切线的斜率
（2）求
f
（
x
）在区间[－1,2]上的最大值；
19、已知函数，其中
（1）若为偶函数，求a的值；
（2）命题p：函数
p且q为假，求a的取值范围。
上是增函数，命题q：函数是减函数，如果p或q为真，
（3）在（2）的条件下，比较的大小。

20、已知函数.
(I)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值。
21、已知函数，。
（Ⅰ）求在区间的最小值；
（Ⅱ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立；

（Ⅲ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立。

22、学习三角函数一章时，课堂上老师给出这样一个结论:当
这个证明完成时，
时，有恒成立，当老师把
(Ⅰ) 学生甲提出问题：能否在不等式的左边增加一个量，使不等号的方向得以改变？
下面请同学们证明：若，则 成立。
(Ⅱ) 当学生甲的问题完成时，学生乙提问：对于不等式是否也有相似的结论？
下面请同学们探讨：若
不存在,请说明理由.

，是否存在实数，使恒成立?如果存在,求出的一个值;如果
23、设；对任意实数，记
（1）判断的奇偶性；
（2）求函数的单调区间；
（3）证明：对任意实数恒成立。
24、已知函数
（1）、若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）、若函数在为增函数，求的取值范围；
（3）、讨论方程解的个数，并说明理由。
25、已知函数

(I)设函数，求的单调区间与极值；
(Ⅱ)设，解关于的方程
(Ⅲ)试比较与的大小.

26、已知函数，其中
（1）若为偶函数，求a的值；
（2）命题p：函数
p且q为假，求a的取值范围。
上是增函数，命题q：函数是减函数，如果p或q为真，
（3）在（2）的条件下，比较的大小。
27、己知函数.
（1）求函数的增区间；
（2）是否存在实数
存在，请说明理由.
，使不等式在时恒成立？若存在，求出实数 的取值范围；若不
28、已知二次函数
直线
1
、与函数
，直线
的图象以及、轴与函数
，直线（其中，为常数）；．若
2
的图象所围成的封闭图形如 图阴影所示．
（Ⅰ）求、、的值；
（Ⅱ）求阴影面积关于的函数的解析式；
（Ⅲ ）若
点？若存在，求出
问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交
的 值；若不存在，说明理由．

29、已知函数
（Ⅰ）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在 两点，使得是以
为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

30、已知函数
⑴若时，函数在其定义域是增函数，求b的取值范围；
⑵设函数 的图象C
1
与函数的图象C
2
交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线 分别交C
1
、C
2
于点M、N，
问是否存在点R，使C
1< br>在M处的切线与C
2
在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理 由。
31、已知函数
时，曲线在点
（Ⅰ）当
处的切线与
时，求函 数的最大值；（Ⅱ）当
的值. 有且只有一个公共点，求
32、已知函数
(I)设函数，求的单调区间与极值；
(Ⅱ)设，解关于的方程
(Ⅲ)试比较与的大小.
33、已知函数（
x
＞0）．
（ 1）若
a
＝1，
f
（
x
）在（0，＋∞）上是单调增函数， 求
b
的取值范围；
（2）若
a
≥2，
b
＝1，求方程在（0，1]上解的个数．
< /p>

34、设函数
f
(
x
)＝
x
－6x
＋5，
x
∈R.
(1)求函数
f
(
x
)的单调区间和极值；
(2)若关于
x
的方程
f
(
x
)＝
a
有三个不同实根， 求实数
a
的取值范围；
(3)已知当
x
∈(1，＋∞)时，
f
(
x
)≥
k
(
x
－1)恒成立，求实数
k
的取值范围．

3
35、已知函数,，其中R．
（1）当
a
=1时，判断的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数,当时，若，，总有
成立，求实数的取值范围．

36、已知函数
（1）求函数是单调区间；
（2）如果关于的方程有实数根，求实数的取值集合；
（3）是否存在正数，使得关于x的方程
如果不存在，说明理由.

有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；
37、已知函数，且恒成立.
(Ⅰ)求的值
(Ⅱ)求为何值时，在上取得最大值；
(Ⅲ) 设，若是单调递增函数，求的取值范围.

38、已知函数.
⑴求函数的最小值；
⑵若≥0对任意的恒成立，求实数
a
的值；
⑶在⑵的条件下，证明：.

39、设函数。
（Ⅰ）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；
（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。
40、已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数
在区间上总存在极值？
（3）当
的取值范围
时，设函数，若对任意地，恒成立，求实数


参考答案

一、计算题

1、解：（1）因为函数，

所以定义域为，。
因为在点处的切线与直线平行，
所以，即。
所以。所以。
（2）由（Ⅰ），令，得。
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增。
所以①若时，函数的最小值是；
②若时，函数在上单调递增，所以函数的最小值是。

2、解：（Ⅰ）， ???????2分
由 得 ． ????????3分
（Ⅱ）函数的定义域为， ????????4分
由（Ⅰ）可得．
令，则，． ????????6分
因为是的极值点， 所以，即． ????????7分

所以当时，，
x



+
↗

1
0

-
↘

0


+
↗

所以单调递增区间为，，单调递减区间为． ????????8分
当时，，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为． ????????9分
（Ⅲ）当时，在上为增函数，在为减函数，
所以的最大值为． ????????10分
因为函数在上是单调递增函数，
所以的最小值为． ????????11分
所以在上恒成立． ????????12分
要使存在，，使得成立，
只需要，即，所以． ???????13分
又因为， 所以的取值范围是． ??????14分

3、解：（Ⅰ） （）． ??4分
（Ⅱ）∵，
∴当时，；当时，．
∴当时，取得极小值，
即（）． ??8分
（Ⅲ） 解法一：∵，所以．??9分
又，
∴，
令，则． ??10分
∵在单调递增，∴，
∵，，
∴存在使得． ??12分
∵在单调递增，
∴当时，；当时，，
即在单调递增，在单调递减，
∴，
又∵，，，

∴当时，取得最小值． ??14分
解法二： ∵，所以．??9分
又，
∴，
令，
则，??10分
当时，
，又因为，所以，，，所以
，所以．??12分
又，，
∴当时，取得最小值． ??14分

4、（1）是的一个极值点，则
，验证知=0符合条件????????.（2分）
（2）
1）若=0时，

单调递增，在单调递减；

2）若
上单调递减?????????????（4分）
3）若

再令

在-------（6分）
综上所述，若上单调递减，
若
。
若（7分）
(3)由（2）知，当
当

5、（1），令，
，为增函数，无极值；
， 为减函数；为增函数；极小值为
?????????????4分
（2），原不等式等价于．
令，则，
所以的最小值为，即 ?????????????8分
（3）原不等式等价于，
令，
则可求的最小值为；的最大值为，
所以原不等式成立．
?????????????12分

6、解：（I）时

其对标轴为
当时，是单调增函数
又， 在（－1，1）上
在（－1，0）上＜0 为减函数
在（0，1）上＞0 为增函数
由上得出在（－1，1）上不是单调函数 ??????5分
（II） 在[0，2]上是增函数，故对于
??????6分
设
由 得 ???????7分
要使对于任意的，存在使得成立
只须在[－1，1]上- ???????????9分
在（－1，－）上在（－，1）上
∴时 有极小值

在[－1，1]上只有一个极小值数 最小值为
????????????12分
7、解：（Ⅰ）∵
∴当、时，在区间、上单调递减．
当时，在区间上单调递增． ???3分
（Ⅱ）由，得．
∵，且等号不能同时取得，∴，
∵对任意，使得恒成立，
∴对恒成立，即．（）
令，求导得，， ???5分
∵，
∴在上为增函数，，． ???7分
（Ⅲ）由条件，，

假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶 点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上，则
只能在轴两侧．
不妨设，则．
∴， ?（※），
是否存在两点满足条件就等价于不等式（※）在时是否有解．???9分
① 若时，，化简得，对此不等式恒成立，
故总存在符合要求的两点P、Q； ???11分
② 若时，（※）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存
在符合要求的两点P、Q；
若a>0时，有?（▲），
设，则，
显然， 当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，
当时，不等式（▲）总有解．故对总存在符合要求的两点P、Q．
???13分
综上所述，曲线上总存在两点，使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在
轴上． ??14分

8、解：（Ⅰ） ，
． 2分

∵且，
∴
∴函数的单调递增区间为． 4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切线的方程为,
即, ① 6
设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴． 8分
∴直线也为，
即， ② 9
由①②得 ，
∴． 11分
下证：在区间（1，+）上存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，在区间上递增．
分
分

又，， 13分
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一
．
故结论成立．
9、解：(Ⅰ)由得到：，
，故在有唯一的极值点，，
，，
且知，所以最大值为．???????4分
(Ⅱ)，又有两个不等的实根，
则，两式相减得到: ???????6分
于是

，???????8分
要证：，只需证：

只需证： ①
令，只需证：在上恒成立，
又∵
∵，则，于是由可知，
故知在上为增函数，
则，从而知，即①成立，从而原不等式成立.???12
10、解：方法一在区间上,． ??????1分
（1）当时，，
则切线方程为，即 ????3分
（2）①若,则,是区间上的增函数,
,,
,函数在区间有唯一零点． ?6分
②若,有唯一零点． ????7分
③若,令得: ．

在区间上, ,函数是增函数;
在区间上, ,函数是减函数;
故在区间上, 的极大值为．
由即,解得:．
故所求实数a的取值范围是． ????9分
方法二、函数无零点方程即在上无实数解 ??4分
令，则
由即得： ????6分
在区间上, ,函数是增函数;
在区间上, ,函数是减函数;
故在区间上, 的极大值为． ????7分
注意到时，；时；时，
故方程在上无实数解．

即所求实数a的取值范围是． ????9分
[注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明．]
（3） 设
,
原不等式

令,则,于是． ???12分
设函数,
求导得:
故函数是上的增函数,
即不等式成立,故所证不等式成立． ???14分

11、的解集中的整数恰有3个转化为解集的两个端点所在区间问题,从而把 问题转化为研究二次方程的根的分布问题;
又由于转化后的不等式可以分解因式因此可以化为更简单的问 题求解; (3)该题一般的思考应该是分两次研究两个恒
成立问题,含有两个参数,增加问题的难度, 如果能转化为求公共切线问题,就可以使问题得到简化,因此可以想到这两
条曲线是否存在公共点,即探 讨两曲线的交点,再研究过交点的公共切线;该题考查函数性质、数形结合、解不等式、
导数及其运用、 分类讨论、转化化归能力、分析问题解决问题能力，其中(1)是简单题, (2)是中档题, (3)是难题。
21解：（1），值域为 ????2分
（2）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，
令，由且，
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间， ????4分
故解之得． ????6分
解法二：恰有三个整数解，故，即，
，
所以，又因为， ????4分
所以，解之得． ??6分
（3）设，则．
所以当时，；当时，．
因此时，取得最小值，
则与的图象在处有公共点． ???8分
设与存在 “分界线”，方程为，
即，

由在恒成立，则在恒成立 ．
所以成立，
因此． ???8分
下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值，则成立．
故所求“分界线”方程为：． ????12分

12、解：（1），
????2分
当 上无极值点 ????3分
当p>0时，令的变化情况如下表：
x
(0，

+
)
0

－

????4分
↗ 极大值 ↘
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 ????5分
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，????7分
要使恒成立，只需，????8分 ∴
∴p的取值范围为[1，+∞ ????10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，????11分
∴ ????12分
∴
????13分
????14分

????15分
∴结论成立

13、

14、解：（Ⅰ）∵函数在（0，1）上为减函数，
∴
又依题意在上恒成立，

得在上恒成立，有
（Ⅱ）令

当时，，h(x)在（0，1）上为减函数；
当时，，h(x)在（）上为增函数.
∴
∴
① 当m>0时，


② 当m=0时，，当且仅当x=1时，，
∴
③当-1在上仅有一个解x=1;

∴h(x)在和（1，e）内各有一个零点，即在上有二个解.
15、解：（1）

（2）


上是单调增区间；为函数的单调减区间.
（3）由（1）（2）知是减函数，
上的最大值为M=2，最小值为m=－2
对任意的
恒成立.
16、（I）解：
要使在上为单调函数只须在上或恒成立，
若，
在上有最大值
∴只须则

若，
在上无最小值故满足的
b
不存在.
由上得出当时，在上为单调函数.
（II）时，
设

当时 ∴函数在上为减函数
∴当时，
恒成立

∴
∴时，
∴

17、解：(1)
由得?????????2分

∴

令得
由于是极值点，故，即?????????4分
当时，，故的单调增区间是(－∞，0]和[，＋∞)，单调减区间是(0，)[
当
(
时，，故的单调增区间是(－∞，]和[0，＋∞)，单调减区间是
,0)．??????? ??6分
(2)当时，<－2，在[－2,0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，因此在[－2 ,2]上的值域为
[， ?????????7分
而在[－2,2]上单调递减，
所以值域是[，] ?????????8分
因为在[－2,2]上，
?????????9分
所以，只须满足?????????11分
解得
即当时，存在∈[－2，2]，使得
32
成立．?????????12分

2
18、解： （1）当
x
<1时，
f
（
x
）＝－
x
＋
x
＋
bx
＋
c
，则
f
′（
x
）＝－3
x
＋2
x
＋
b
．

依题意，得，
解得
b
＝
c
＝0 ????． 4分
（2）由（1）知，
f
（
x
）＝． < br>①当－1≤
x
<1时，
f
′（
x
）＝－3
x
＋2
x
＝－3
x
2
，
令
f
′（
x
）＝0得
x
＝0或
x
＝．
当
x
变化时，
f
′（
x
）、
f
（
x
）的变化 情况如下表：
x
（－1,0） 0

0 ＋ 0

－

f
′（
x
） －
f
（
x
） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
又
f
（－1）＝2，
f
＝，
f
（0）＝0，
∴
f
（
x
）在[－1,1）上的最大值为2． ??????．8分
②当1≤
x
≤2时，
f
（
x
）＝
a
ln
x
．
当
a
≤0时，
f（
x
）≤0，∴
f
（
x
）的最大值为0；
当
a
>0时，
f
（
x
）在[1,2]上单调递增，
∴
f
（
x
）在[1,2]上的最大值为
a
ln 2．
综上所述，
当
a
ln 2≤2，即
a
≤时，
f
（
x
）在[－1,2]上的最大值为2；

当
a
ln 2>2，即
a
>时，
f
（
x
）在[－1,2]上的最大值为
a
ln 2． ????．．12分
19、
20、解： (I)函数f(x)的定义域是（-1，+∞），


???2分
设,则.
令，则。
当时，，h(x)在（-1，0）上为增函数，

21、解(Ⅰ): ??????????????????1分
①若
∵，则，∴，即。
∴在区间是增函数，故在区间的最小值是。??3分
②若
令，得.
又当时，；当时，，

∴在区间的最小值是????????????5分 < br>综上，当时，在区间的最小值是，当时，在区间的最小值是
。???????????????? ????????6分（Ⅱ）证明:当时，
，则，
???????????????????????????????????7分
∴,
当时，有，∴在内是增函数，
∴，
∴在内是增函数，
∴对于任意的，恒成立。?????????????10分
(Ⅲ)证明:
,
令
则当时,≥
,????????????????????12分

令,则,
当时, ；当时，；当时，，
则在是减函数，在是增函数，
∴，∴，
∴，即不等式≥对于任意的恒成立。?????????15分
22、解: (Ⅰ)证明:设,则 ???????????1
设,则
故当时,函数单调递增,
且曲线在处连续不断而,???????????5
所以, 当时, .
故当时,函数单调递增,
且曲线在处连续不断而,
所以, 当时, .即原不等式得证. ???????????9
(Ⅱ)不存在.解析如下:
设,

① 若,由结论可知, ;???????????10
② 若,当趋近于时,接近于某一个常数,而趋近于,不可能
使恒成立.
综上所述, 不存在实数使恒成立. ???????????12

23、解：（1）的定义域为不关于原上噗对称，
为非奇非偶函数， ????（2分）
而的定义域为R，且
也为非奇非偶函数 ????（4分）
（2）函数的定义域为（0，+∞），
由
由
故的单调递增区间为；单调递减区间为??（8分）
（3）解法一：令 ??（10分）
则
由时，
当时，，
上单调递减，在上单调递增，

上有唯一极小值，也是它的最小值，而在（0，+∞）上的最小值
????（13分）
解法二：对任意，令，
则
由
当；
当的唯一极小值点，[来源:学,科,网Z,X,X,K]

????（13分）

24、解：（1）因为： ，又在处的切线方程为
所以 解得： ???3分
（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，
即：在上恒成立。所以有 ??3分
（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；??7分
当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。

，，所以方程有惟一解。??8分
当时，
因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。
所以当时，有极小值即为最小值。??10分
当时，，此方程无解；
当时，此方程有惟一解。
当时，
因为且，所以方程在区间上有惟一解，??12分
因为当时，，所以
所以
因为 ，所以
所以 方程在区间上有惟一解。
所以方程在区间上有惟两解。 ??14分

综上所述：当时，方程无解；
当时，方程有惟一解；
当
25、22、解析：
时方程有两解。 ??14分
（1），

令
所以是其极小值点，极小值为。是其极大值点，极大值为
（2）；

由

时方程无解
时

方程的根为
(3)，

26、

27、22．解：（1）根据函数解析式得解得且，
函数的定义域是 ????1分
， ????????4分
由得
函数的增区间为； ??????????5分
（2），

当时,在区间上，
当时, 取得最大值，，???????10分
在时恒成立，在时恒成立，
在时恒成立，
在时的最大值等于，
当时，不等式在时恒成立. ???13分
28、解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且的最大值为16
则，
∴函数的解析式为?????4分
（Ⅱ）由得
∵0≤t≤2，∴直线与
（?????6分
的图象的交点坐标为
由定积分的几何意义知：

?????9分
（Ⅲ）令
因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的
图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点

∴=1或=3时，
当∈（0，1） 时，
+∞）时，是增函数
是增函数，当∈（1，3）时，是减函数，当∈（3，
??? ??12分
又因为当→0时，；当
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须
即， ∴或
∴当
与的图象有且只有两个不同交点。????14分

或时，函数
29、解：（Ⅰ）因为
①当时，，解得到；解得到

或．所以在和上单调递减，在上单调递增，从而在处取得极
大值．??3分，
又，所以在上的最大值为2．??4分
②当时，，当
时，在
时，；当时，在
时，
上单调递增，所以
在
在上
的最大值为．所以当
分
上的最大值为；当上的最大值为2. ??8
（Ⅱ）假设曲线
不妨设
??9分
上存在两点
，则
，使得
，且．
是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，
因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，
即：（1）??10分 是否存在点等价于方程（1）是否有解．
若，则，代入方程（1）得：，此方程无实数解．
??11分
若，则，代入方程（1）得到：，??12分
设，则在上恒成立．所以在上单调递增，从而< br>，所以当时，方程有解，即方程（1）有解．??14分
所以，对任意给定的正实数，曲线
且此三角形斜边中点在轴上．??15分
上是否 存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，

30、解：（1）依题意：
∵上是增函数，∴恒成立，
∴∵
∴b的取值范围为
（2）设点P、Q的坐标是
则点M、N的横坐标为C
1
在M处的切线斜率为
C
2
在点N处的切线斜率
假设C
1
在点M处的切线与C
2
在点N处的切线平行，则
即
则


设??????????①

令
则
∵ ∴
所以上单调递增，
故 则
这与①矛盾，假设不成立
故C
1
在点M处的切线与C
2
在点N处的切线不平行。

31、（Ⅰ）时,, ???2分
在上,在上,
故???4分
(Ⅱ)由题设知：切线的方程为,???5分
于是方程: 即
有且只有一个实数根;设,
得;,???7分

①当时，,为增函数,符合题设; ???8分
②当时，有得
在此区间单调递增,;
在此区间单调递减,;
在此区间单调递增,
题设. 综上可得.???12分

;此区间存在零点,即得不符合
32、（1），

令
所以是其极小值点，极小值为。是其极大值点，极大值为
（2）；

由

时方程无解
时
方程的根为
(3)，
33、解：
①当0＜
x
＜2时，，．由条件，得恒成立，
即
b
≥
x
恒成立．∴
b
≥2． ????? 2分
② 当
x
≥2时，，．由条件，得恒成立，
即
b
≥－
x
恒成立．∴
b
≥－2．????? 4分
综合①，②得
b
的取值范围是
b
≥2． ???????? 5分
（2）令，即
当时，，．
∵，∴．则≥0．
即，∴在（0，）上是递增函数． ??????? 7分

当时，，＞0． ∴在（，＋∞）上是递增函数．又因为函数
g
（
x
）
在有意义，∴在 （0，＋∞）上是递增函数．?? 10分
∵，而
a
≥2，∴，则＜0．∵
a
≥2，∴?? 12分
当
a
≥3时，≥0，∴
g
（
x
）＝0在上有惟一解．当时， <0，
∴
g
（
x
）＝0在上无解．?????? 14分

34、解 (1)
f
′(
x
)＝3
x
－ 6，令
f
′(
x
)＝0，解得
x
1
＝－
2
，
x
2
＝.
因为当
x
>或
x
< －时，
f
′(
x
)>0；当－<
x
<时，
f
′(
x
)<0.
所以
f
(
x
)的单调递增区间 为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．
当
x
＝－时，
f
(
x
)有极大值5＋4；
当
x
＝时，
f
(
x
)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知
y
＝
f
(
x
)的图象的大致形状及 走向如图所示，当5－4
图象有三个不同交点，即方程
f
(
x
)＝< br>a
有三个不同的解．
<
a
<5＋4时，直线
y
＝< br>a
与
y
＝
f
(
x
)的

( 3)
f
(
x
)≥
k
(
x
－1)，即(x
－1)(
x
＋
x
－5)≥
k
(
x< br>－1)．
因为
x
>1，所以
k
≤
x
＋x
－5在(1，＋∞)上恒成立．
令
g
(
x
)＝x
＋
x
－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．
所以
g
(
x
)>
g
(1)＝－3.
2< br>2
2

所以
k
的取值范围是
k
≤－3.

35、解：（Ⅰ）的定义域为，且，
在上单调递增；
（Ⅱ），的定义域为
因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，所以
（Ⅲ）当时，，
由得或当时，；当时，．
所以在
于“
上，
在上的最大值不小于在
而“
上的最大 值”而
，
在
，总有
上的最大值为
成立”等价
所以
有

所以实数的取值范围是

36、解：（1）函数的定义域是对求导得
????（2分）
由 ,由
因此 是函数的增区间；
（－1，0）和（0，3）是函数的减区间 ??????（5分）
（2）因为
所以实数m的取值范围就是函数的值域
对
令
∴当x=2时取得最大值，且
又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，
进而有无限趋近于－∞.因此的值域是
即实数m的取值范围是 ??????（10分）

（3）结论：这样的正数k不存在。 ??????（11分）
若存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则
和②可得
利用比例性质得
即 ????（13分）
由①

由于上的恒正增函数，且
又由于 上的恒正减函数，且
∴
∴
这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在 ????????15分
37、解：(Ⅰ) ∵,且恒成立，
∴的定义域为(2,∞),且是的最小值.
又∵.
∴，解得.
(Ⅱ)由上问知
∴当时，；
当时，
∴在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）是增函数
∴在上的最大值应在端点处取得.

∵，
∴ .即当时，取得在上的最大值.
(Ⅲ) ∵是单调递增函数，∴恒成立.
又∵.
显然在的定义域（2，∞）上， 恒成立.
∴在（2，∞）上恒成立.
下面分情况讨论在（2，∞）上恒成立时，的解的情况.
当时，显然不可能有在（2，∞）上恒成立.
当时，在（2，∞）上恒成立.
当时，又有两种情况：
①；
②且
由①得，无解；由②得.
∵，∴
综上所述各种情况，当时，在（2，∞）上恒成立.
∴所求的的取值范围为.

38、【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体 涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，
以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生 解决问题的综合能力.
【试题解析】解：（1）由题意，
由得.
当时, ；当时，.
∴在单调递减，在单调递增.
即在处取得极小值，且为最小值，
其最小值为
（2）对任意的恒成立，即在上，.
由（1），设，所以.
由得.
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴在处取得极大值.
因此的解为，∴.
分）
（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即.
令 ，则.
∴.
4分）
（8
（

∴
. （12分）

39、解：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。
求导得：，
∵函数得定义域为，
当时，，
∴函数在区间上是减函数；
当时，，
∴函数在区间(0，+∞)上是增函数。
∴，
∴。故实数的最小值为。
(Ⅱ)由得：

原题设即方程在区间上恰有两个相异实根。
设。∵，列表如下：

－



0

＋



减函数 增函数

∵，∴。
从而有，
画出函数在区间上的草图（见下）

易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，
只需：，
即：。
40、解： ???1
（1）当时，
令时，解得，所以在递增；
令时，解得，所以在递减???????4
（2）因为，函数的图像在点处的切线的倾斜角为，

所以，所以，， ??5
， ??6
因为对于任意的，函数在区间上
总存在极值，所以只需，???7
解得???8
（3）设
????9
时，递增，
所以不成立，（舍）
时，同，不成立，（舍）
时，递增，
所以，解得
所以，此时

时，递增，成立；
时，均不成立 综上，??12