高中数学2-3排列组合难题二十一种方法

复习巩固
1. 分类计数原理 （加法原理）
完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有种不同的方法， 在第 2 类办法中有
种不同的方法，…，BWC保温沥青泵在第n类办法中有种不同的方法，那么完 成这
件事共有：种不同的方法．
2. 分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1步有种不同的方法， 做第 2 步有种不同
的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.
3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可
以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存， 每步中的方法完成事件的一个
阶段， 不能完成整个 事件
解决排列组合综合性问题的一般过程如下 :
1. 认真审题弄清要做什么事。
2. 怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 ,或是分步与分类同时进行 确定
分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题 （ 有序） 还是组合 （ 无序） 问题, 元素总数是
多少 及取出多少个元素 .
4. 解决排列组合综合性问题， 往往类与步交叉， 因此必须掌握一些常用的解题策
略。
一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字
五位奇数 . 解:由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了
这两 个位置 .
先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得
二. 相邻元素捆绑策略
例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将
甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素， 同时丙丁也看成一个复 合元素， 再与
其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原 理可得共有种不
同的排法。

三. 不相邻问题插空策略
例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 , 则
节目的出场顺序有多少种
解 : 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种，第二步将 4 舞蹈插入第一 步
排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的
不同顺序共有种
四. 定序问题倍缩空位插入策略
例人排队 ,其中甲乙丙 3人顺序一定共有多少不同的排法
解:（ 倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题 , 可先把这几个元素与其他元 素
一起进行排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 ,则共有不同 排法种
数是：
（ 空位法）设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法， 其余的三个位
置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有种方法。
思考: 可以先让甲乙丙就坐吗
（插入法 ）先排甲乙丙三个人 ,共有 1种排法, 再把其余 4四人依次插入共有方法
五. 重排问题求幂策略 例 5. 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 , 共有多少种不同的
分法 解:完成此事共分六步 :把第一名实习生分配到车间有 7 种分法. 把第二名实习
生分配到车间也有 7种分依此类推 , 由分步计数原理共有种不同的排法
六. 环排问题线排策略
例 6. 8 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于， 坐成
圆形没有首尾之分， 所以固定一人 并从此位置把圆形展成直线其余 7人共有（ 8-
1 ）！种排法即 7！

七. 多排问题直排策略
例人排成前后两排 ,每排 4人,其中甲乙在前排 , 丙在后排 ,共有多少排法 解:8 人排前
后两排 , 相当于 8人坐 8把椅子,可以把椅子排成一排 .个特殊元素有 种,再排后 4个
位置上的特殊元素丙有种 ,其余的 5人在 5个位置上任意排列有种 则共有种
八. 排列组合混合问题先选后排策略
例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同
的装法.
解:第一步从 5个球中选出 2个组成复合元共有种方法 .再把 4个元素（包含一个 复
合元素 ）装入 4 个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
九. 小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,
5
在两个
奇数之间 , 这样的五位数有多少个
解：把
1
,
5
,
2
,
4
当作一个小集团与
3
排队共有种排法，再排小集团内部共有 种排
法，由分步计数原理共有种排法 .
十. 元素相同问题隔板策略
例 10. 有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案 解：
因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成
9
个空隙。 在
9
个空档中选
6
个位置插个隔板，可把名额分成
7
份 ，对应
地分给
7
个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。

十一 . 正难则反总体淘汰策略
例 11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数 ,
不同的取法
有多少种
解：这问题中如果直接求不小于 1 0的偶数很困难 , 可用总体淘汰法。 这十个数字
中有 5个偶数 5个奇数, 所取的三个数含有 3个偶数的取法有 ,只含有 1 个偶数的
取法有, 和为偶数的取法共有。 再淘汰和小于 10的偶数共 9种，符合条件的取法 共
有种
十二. 平均分组问题除法策略
例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆, 每堆 2本共有多少分法
解: 分三步取书得种方法 , 但这里出现重复计数的现象 , 不妨记 6 本书为 ABCDE，F
若第一步取AB,第二步 取CD,第三步取EF该分法记为
(
AB,CD,EF),则中还有
(AB,EF, CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取 法,而这 些分
法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。
十三 . 合理分类与分步策略
例 13. 在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一
个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法
解：10演员中有 5人只会唱歌， 2人只会跳舞 3人为全能演员。 选上唱歌人员为
标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有种 , 只会唱的 5 人中只有 1
人选上唱歌人员种 , 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有种，由分类计数 原理
共有种。
十四. 构造模型策略
例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏 ,
但不能关掉相邻的 2盏或 3盏, 也不能关掉两端的 2盏,求满足条件的关灯方法有 多
少种
解：把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 种

十五. 实际操作穷举策略
例 15. 设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子 , 现将 5 个球 投入
这五个盒子内 , 要 求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相
同 , 有多少投法 解：从 5个球中取出 2 个与盒子对号有种还剩下 3球 3盒序号不能
对应， 利用实 际操作法，如果
剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3号球装 4号盒时，则 4,5 号球有只有 1种装法， 同理
3 号球装 5
号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 , 由分步计数原理有种
3 号盒 4 号盒 5 号盒
十六 . 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=2
X
3
X
5
X
7
X
11
X
13
依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5个因数中任取若干个组成乘积，所有的 偶因
数为：
练习: 正方体的 8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从 8个顶点中任取 4个顶点构成四体共有体共 ,每个四面体有 3对异 面
直线,
正方体中的8个顶点可连成3
X
58=174对异面直线
十七. 化归策略
例17. 25人排成5
X
5方阵,现从中选3人
，
要求3人不在同一行也不在同一列
,
不同
的选法有多少种
解：将这个问题退化成9人排成3
X
3方阵,现从中选3人
，
要求3人不在同一行 也不
在同一列 , 有多少
选法. 这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉， 如
此继续下去 .

从3
X
3方队中选3人的方法有种。再从5
X
5方阵选出3
X
3方阵便可解决问题. 从
5
X
5
方队中选取3行3列有选法所以从5
X
5方阵选不在同一行也不在同一列的 3人 有
选法。
十八. 数字排序问题查字典策略
例 18．由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105大
的数
解:
十九. 树图策略
例 19．3 人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5 次传求后 , 球仍
回 到甲的手中 , 则不同的传球方式有 二十. 复杂分类问题表格策略
例20.有红、黄、兰色的球各5只
，
分别标有A、B、C、D E五个字母
，
现从中 取
5只, 要求各字母均有且三色齐备 , 则共有多少种不同的取法 解:
二十一：住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以
重复，另一类不 能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，
再利用乘法 原理直接求解 .
例 21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种 数有
种.
分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作
7 家“店”，五项冠
军看作 5名“客”，每个“客”有 7种住宿法，由乘法原理得种 .
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。 排列组合历 来
是学习中的难点， 通过我们平时做的练习题， 不难发现排列组合题的特点是条 件隐

晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对 基本的解
题策略熟练掌握。根据它们的条件 , 我们就可以选取不同的技巧来解决 问题.对于一些
比较复杂的问题 , 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问 题简单化，举一反
三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。