高中数学难解题组卷2

高中数学难解题组卷2

一．选择题（共12小题）

1．已知向量
=（2，0），向量

=（2，2），向量

=（
cosα，

sinα），则向量

与向量

的夹角范围为（ ）

[
[0，

A．
]



2．已知
是关于x的一元二次方程，其中

，
，

是非零向量，且向量



]


B． ，


]


C． ，


]

[

D． ，

[

和

不共线，则该方程（ ）


A． 至少有一根

C． 有两个不等的根


3．若

=（2，3），
=（﹣4，7），则

在

方向上的投影为（ ）




A．

B．


C．


D．



B． 至多有一根
D． 有无数个互不相同的根

4．已知两点A（1，0），B（1，

），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设
，（λ∈R），则λ等于（ ）




A．

﹣1

B．

1

C．

﹣2

D．

2


5．（2007?辽宁）若向量

与

不共线，

≠0，且

，则向量

与

的夹角为（ ）




A．

0

B．


C．


D．



6．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足
+

+

=

，

+
+

=

，

+

+

=

，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（ ）

A．

1：2

B．

1：3

C．

1：4

D．

1：5

7．（2012?湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3，

?
=1，则BC=（ ）




A．

B．

C．

2


D．



8．设向量
，
满足

，
，＜
＞=60°，则

的最大值等于（ ）




A．

2

B．

C．

D．

1






9．若向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则a与b一定满足
（ ）


A． a与b的夹角等于 α﹣β

C． a∥b
B． （a+b）⊥（a﹣b）
D． a⊥b

10．已知
，

是任意两个向量，下列条件：①

=
；②|

|=|

|；③
与

的方向相反；④
=

或

=
；⑤

与

都是单位向量，其中为向量

与

共线的充分不必要条件的个数是（ ）




A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

11．已知圆x2+y2=4， 过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方
程是（ ）

（x﹣2）

A．
2+y2=4


（x﹣2）2+y2=4
B．
（0≤x＜1）

（x﹣1）
C．
2+y2=4

（x﹣1）2+y2=4
D．
（0≤x＜1）

12．四 面体S﹣ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC
和AB的中点，则异面直线E F与SA所成的角等于（ ）





13．已知A（3，7），B（5，2），向量

按

=（1，2）平移后所得向量是 _________ ．

14．在△ABO中，
，
，若

，则S△ABC= _________ ．

15．设点A（2，0），B（4，2），点P在直线AB上，且|
|=2|

|，则点P的坐标为 _________ ．




A．

900

B．

600

C．

450

D．

300

二．填空题（共11小题）

16．如图，设P，Q为△ABC内的两点，且
，

=


+


，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 _________ ．



17．半圆的直径AB=4，O为圆心，C 是半圆上不同于A、B的任意一点，若P
为半径OC的中点，则
的值是 _________ ．

18．已知
均为单位向量，它们的夹角为60°，
= _________ ．

19．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（

﹣
）?（

+

﹣2

）=0，则△DABC是 _________ 三角形．

20．已知向量集合M={a|a=（1，2）+λ（3，4），λ∈R}，N={b|b= （﹣2，
﹣2）+λ（4，5），λ∈R}，则M∩N= _________ ．

21．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 _________ 心．

22．（2012?湛江）若向量

=（x，2x）与

=（﹣3x，2）的夹角是钝角，则x的范围是 _________ ．

23． 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为
DE，AF的中点，将△AB C沿DE，EF，DF折成正四面体P﹣DEF，则四面体中异面直
线PG与DH所成的角的余弦值为 _________ ．


三．解答题（共7小题）

24．复数z满足条件|z|=1，求|2z2﹣z+1|的最大值和最小值．

25．已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）．

（1）求线段PQ中点的轨迹方程；

（2）设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程．

< br>26．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2
交y轴于 B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．


27．如图，在四棱锥S﹣ABCD中 ，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边
形，∠BAD=30°，AB=2，
，E是SC的中点．

（I）求证：SA∥平面BDE；

（II）求证：AD⊥SB；

（III）若SD=2，求棱锥C﹣BDE的体积．




28．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB= AC=5，D，E分别为BC，BB1的
中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．

（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；

（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC1D；

（Ⅲ）求二面角C﹣AC1﹣D的余弦值．


29．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别 为BC，BB1的
中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．

（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；

（Ⅱ）求证：平面A1CE⊥平面AC1D．



30．如图， 已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
∠ABC=60°，点E、G分 别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．

（Ⅰ）证明：EA⊥PB；

（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．

高中数学难解题组卷2

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．已知向量

=（2，0），向量
=（2，2），向量

=（

cosα，
sinα），则向量

与向量

的夹角范围为（ ）

[
[0，

A．
]

]


B． ，


]


C． ，


]

[

D． ，

[

考
点：
专
题：
分
数量积表示两个向量的夹角．751888
计算题；数形结合．
利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向
析： 量的夹角范围．
解：|
|=
，∴A点在以C为圆心，

为半径的圆上，
当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置
解
答：
OC与x轴所成的角为

；与切线所成的为

所以两个向量所成的最小值为
；最大值为

故选D

点
本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．
评：


2．已知
是关于x的一元二次方程，其中

，

，
是非零向量，且向量

和
不共线，则该方程（ ）


A． 至少有一根

C． 有两个不等的根


考
点：
分
B． 至多有一根
D． 有无数个互不相同的根




平面向量的坐标运算．751888
先将向量

析：

移到另一侧得到关于向量

=﹣
x2﹣

x，再由平面向量的基本定理判断即可．
解：

=﹣

x2﹣
x


解
答：
因为
可以由不共线的向量唯一表示
所以可以由A和B唯一表示
若恰好形式相同，则有一个解，否则无解
所以至多一个解
故选B

点本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任意向量都可由两不共线的非
评： 零向量唯一表示出来．


3．若

=（2，3），

=（﹣4，7），则
在

方向上的投影为（ ）

A．

B．


C．


D．


考点： 向量的投影．751888
专题： 常规题型；计算题．
先求得两向量的数量积，再求得向量
分析：

的模，代入公式求解．
解析：

在
方向上的投影为
=
解答：
=

=

．
故选C
点评： 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．


4．已知两点A（1，0），B（1，

），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设
，（λ∈R），则λ等于（ ）


A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2

考
点：
专
题：
分

平面向量的坐标运算．751888
计算题．
先设点C的坐标，根据题意和向量的坐标运算，分别用λ表示x和y，再由
析： 向量的数量积的坐标表示出∠AOC的余弦值，再求出λ的值．
解：设点C的坐标是（x，y），则由
得，
（x，y）=﹣2（1，0）+λ（1，
）=（﹣2+λ，

），
∴x=﹣2+λ，y=
解
答：
，
又∵∠AOC=120°，∴cos120°=

，即﹣
=

，
解得，λ=1．
故选B．
点本题考查向量的数量积和向量的坐标运算的应用，即通过条件列出关系式，




评： 利用向量相等的坐标等价条件进行求值．

5．（2007?辽宁）若向量

与
不共线，

≠0，且

，则向量
与

的夹角为（ ）




考
A．

0

B．


C．


D．





平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．751888
点：
求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中

分
表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量
析：
积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再
做就得到结果，有 些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表
现得很有规律．
解：∵

解
=

答：
=0
∴向量a与c垂直，
故选D．

点
用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的 ，向量的加减运算是
用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样
评：
解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的．


6．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足

+

+

=

，
+

+

=

，

+
+

=

，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（ ）




考
点：
A．

1：2

B．

1：3

C．

1：4

D．

1：5



向量加减混合运算及其几何意义；相似三角形的性质．751888

专
题：
分
计算题．
将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到

析：
，利用向量共 线的充要条件得到P是AC的三等分点，同理得到Q、R分别是
AB，BC的三等分点；利用三角形的面 积公式求出三角形的面积比．
解：由

+
+

=

，得
+

=

﹣
解
答：
，
即
+

=

+

，
即
+

=

，
∴

=2

，
P为线段AC的一个三等分点，
同理可得Q、R的位置，
△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，
∴面积比为1：3；
故选B．
点
本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、相似三角形的面积关系．
评：


7．（2012?湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3，

?
=1，则BC=（ ）




考
点：
专
题：
分
析：
?

A．

B．

C．

2


D．



解三角形；向量在几何中的应用．751888
计算题．
设∠B=θ，由

=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用 余弦
定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC
的长．
解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

∵

?

=1，设∠B=θ，AB=2，
∴2?BC?cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣
，
又根据余弦定理得：cosθ=
解
答：

=

，
∴﹣
=

，即BC2=3，
则BC=

．
故选A
点此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定


评： 理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．

8．设向量
，
满足

，

，＜
＞=60°，则

的最大值等于（ ）




考
点：
专
题：
A．

2

B．

C．

D．

1





平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．751888
计算题．
利用向量的数量积求出

的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦
析：
定理求出外接圆的直径，求出

最大值．
分
解：∵
解
答：
∴

，

的夹角为120°，
设
，
则
；

=

如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠ACO=180°
∴A，O，B，C四点共圆
∵

∴

∴

由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=

当OC为直径时，模最大，最大为2
故选A





点本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角
评： 形的正弦定理．