高中数学试卷(文)试卷

哈三中 2020 届高三学年网络模拟考试
数 学（文）
（考试时间：120 分钟

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1} ，B { 3，
2， 1，0 ，1. 已知集合 A
{ x | x
1} ，则 A
B
（ ）
A．{ 1，0，1} B．{ 0，1} C． ( 1，1 ] D．
2 i
，则| z | （ ）
2.
设
z
i

试卷满分：150 分）
A.
2
B．
5
C．2 D．5
）

3. 已知向量|
a | 1，| b | 2，a b

3
，则向量a 与向量b 的夹角为（
2
D．
3
A． B． C．
6

4 3
4. 函数
f (x)


x
a
（x
0）
， g(x) log
a
x ，则 f (x) 与 g (x) 的图象可能为（ ）

A
x
2
5. 已知双曲线
4
y
2
5
B C D
1 的右焦点为 F，过点 F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂

足为 A，O 为坐标原点，则 S
OAF
（ ）
C． 2
5
D．
5

A．3 B． 3
5
6. 为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河 比赛，在赛前三位老师对前三
名进行了预测，于是有了以下对话：
老师甲：“7 班男生比较壮，7 班肯定得第一名”．
老师乙：“我觉得 14 班比 15 班强，14 班名次会比 15 班靠前”．
老师丙：“我觉得 7 班能赢 15 班”．
最后老师丁去观看完了比赛，回来后说: “确实是这三个班得了前三名，且无并列，但
是你们 三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为（ ）
A．7 班、14 班、15 班
C．14 班、15 班、7 班
B．14 班、7 班、15 班
D．15 班、14 班、7 班

数学（文）1（共 4 页）

7. 右图是一个算法流程图，输出的 S 为（
A．50 B． 50
C．51 D． 51
8. 已知函数 f (x) sin ( x )（ 0，0
）
）为偶函数，且
该函数离原点最近的一个对称中心为（ ，0），则 f (x) 在
3
[ 0，2 ）内的零点个数为（ ）
A．1
C．3

B．2
D．4
a x 2 ，0 x
1
在（0，+ ）为单调递增
log
a
x ，x 1

9. 已知函数 f (x)
函数，则 a 的取值范围为（ ）
A．（1， +） B．（1，2）
C． ( 1，2 ] D． ( 0，2 ]
10. 已知三棱锥 S ABC 的外接球为球O，SA 为球O 的直径，且SA = 2，若面SAC⊥面SAB，
则三棱锥 S ABC 的体积最大值为（ ）
12
A. B.
C．1 D．2
3 3
11. 已知 f (x) 为定义在 R 上的奇函数，且满足
f (1 x)
f (1
x)
，已知 x [ 0，1 ] 时，

f (x) ln x
2


1 ，若a f (log 54) , b
1
3
2019
f ( ) , c
2
f (3) ，则
a , b , c
的大小关系为
（ ）
A．
a
b c

B．
b
a c
C．
c b a
D．
c a b
y
2

12. 已知抛物线 C：

4x
的焦点为 F，过点 F 作直线与抛物线交于 A、B 两点，B 点在
1
EF ，
2
）
第一象限，过点 B 作抛物线准线的垂线，垂足为 C，点 E 为 BF 上一点，且 BE
2
连接 CE 并延长交 x 轴于点 D，已知 BED 的面积为 ，则 D 点的横坐标为（
2
A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
13. 已知tan 3 ，则cos 2 ．


2x 3y 6 0


．
14. 若变量 x ，y 满足约束条件
x y 3 0 ，则 z
3x y
的最大值为

y 2 0



b
，15. 在
ABC
中，内角 A，B，C 所对的边分别为a ，c ，已知
b c

2a ，4c sin B
5b sin A ，
则
cos B



x
．
，0）的区间内有两个极
16. 若函数
f (x)

xe
ax 2
（e 为自然对数的底数）在（
值点，则实数 a 的取值范围为 ．

数学（文）2（共 4 页）

三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
a
n
n?1 ?
17. (12 分) 已知数列
?
a
?
满足a ? 3，a ? 3a
? 2? 3(n ? N) ，数列
?
b
?
满足
b ?
.

n n
n 1 n?1 n
3
n
(1) 求证：数列
?
b
n
?
是等差数列，并求数列
?
b
n
?
的通项公式；
n
(2) 数列
?
b
?
的前 n 项和为
S
，设c ?
?
?1
?
? S ，求数列
?
c
?
的前 80 项和
T
．
n n n n n 80




18. (12 分) 为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中
随机抽取了容量为 120 的样本，测量树苗高度（单位：
cm）， 经统计， 其高度均在区间
?
19，31
?
内，将其按
?
19，21
?
，
?
21，23
?
，
?
23，25
?
，
?
25，27
?
，
?
27，29
?
，

?
29，31
?
分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图．其
中高度为 27cm 及以上的树苗为优质树苗．
(1) 求图中 a 的值，并估计这批树苗高度的中位数和平
均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2) 已知所抽取的这 120 棵树苗来自于 A，

A 试验区 B 试验区 合计
B 两个试验区，部分数据如右列联表：

优质树苗

20
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%
的把握认为优质树苗与 A
，
B 两个试验
区有关系，并说明理由．

参考数据：
P（K
2
? k ）
0.15
0
k
0


非优质树苗
合计
60




0.10
2.706
n
?
ad ? bc
?
0.05
3.841
2

0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828 2.072

参考公式： K
2
??




?
a ? b
??
c ? d
??
a ? c
??
b ? d
??
?
，其中n ? a ? b ? c ? d ．
19. (12 分) 如图，四棱锥 P – ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，△ABP 是等边三角形且
边长是 4，DA = DP = 2
2
．
(1) 证明：AP⊥BD；
(2) 若 BD = 4，求四棱锥 P – ABCD 的体积．
A



D
C

B

P

数学（文）3（共 4 页）

x y
6
20. (12 分) 设直线 AB： y ? x
与直线 CD： y ?? x 分别与椭圆C
1
：
? ? 1
2m m
6
6

（ m ? 0） 交于点 A，B，C，D，且四边形 ACBD 的面积为
6
．
6
22
(1) 求椭圆C
1
的方程；





x
2
y
2

(2) 过椭圆C
1
上一点 P 作椭圆C
1
的切线 l，设直线 l 与椭圆C
2
：
? ??
1 相交于 M，
4 2
MN
N 两点，O 为坐标原点，求 的取值范围．
OP

21． (12 分) 已知函数
f (x) ? 2e
x
? ax
（a > 0），
g(x) ? 2x
2
? 4
．

(1) 讨论函数
f (x)
的零点个数；
(2) 设
a ? 4
，证明：当
x ? 0
时，
f (x) ? g(x)
.





（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做
的第一题计分．
22. 【选修 4—4：极坐标与参数方程】（10 分）
?
x ? m ? t
已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
?
??
y ? t
轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2
?
2
?
?
2
cos 2
?

?12
.若曲线 C 的左焦点 F 在直
线 l 上，且直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点．
(1)
求
m
的值并写出曲线
C
的直角坐标方程；
FA
?
FB
(2)
求
?
?
的值．
FB FA







23. 【选修 4—5：不等式选讲】（10 分）
1 1
已知函数 f (x) ? x ? ，且对任意的 x ， f (x)+f (?x ? ) ? m .
2 2
(1)
求
m
的取值范围；
2 2
(2) 若
m ? N ，
证明：
f (sin
?
) ? f (cos
?

?1) ? m
.


数学（文）4（共 4 页）