高一数学试卷答案及评分标准

长郡中学2019年上学期模块考试
高一数学试卷
总 分：100分 时 量：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只
有一项是符合题目要求的）.
1,4,5
?
，则
M?(C
U
N)
=（ B ） 1、设集合
U?
?
0,1,2,3,4,5
?
,M?
?
0,3,5
?
,N?
?
A.
?
5
?
B.
?
0,3
?
C.
?
0,2,3,5
?
D.
?
0,1,3,4,5
?

2、设
f(x)?
?< br>?
x?5,(x?10)
，则
f(5)
的值为（ B ）
f[f(x?8)],(x?10)
?
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8

3、若
sin
?
?
1
?
,则
cos(?
?
)?
（ C ）
2
2
A.
1
B.
3
C.
?
1
D.
?
3

2
2
2
2
4
、
求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ B ）
A.
f(x)?x

4






B.
f(x)?tanx?2(?
?
?x?
?
)

22
D.
f(x)?2
x
?3
C.
f(x)?cosx?1

5、已知向量
a?(?3,5),b?(5,3)
，则
a
与
b
（ A ）
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
6、函数
f(x)?sin(
?
x?
?
4
将
f(x)
的图像向左平移
|
?
|
个
)(x?R,
?
?0)
的最小正周期为
?
，
单位长度所得图像关于
y
轴对称，则< br>?
的一个值是（ D ）
A.
3
?
??
?

B.

C.

D.

8
248
7、在△
ABC
中，若
c osAb
?
，则△
ABC
是 （ D ）
cosBa
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
8、设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
a
1
??11,
d?2
,则当
S
n
取最小值时,
n
等于
（ A ）
A．6 B．7 C．8 D．9

9、若数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
17
n
，其前项 和为，则
n
为（ C ）
n
2
?3n?218
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10、在有穷数列
{a
n
}
中，
S
n
是
{a
n
}
的前n项和，我们把
S
1
?S
2
?S
3
???S
n
称为数列
{a
n
}< br>n
的“均和”.现有一个共2019项的数列
{a
n
}
：a
1
,a
2
,a
3
,,a
2010
, a
2011
，若其“均和”
1,a
1
,a
2
,a< br>3
,
为2019，则如下有2019项的数列：
,a
2010
,a
2011
，其“均和”为（ C ）
A. 2019 B. 2019 C.2019 D.2019
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11、比较下列两个数的大小：
0.6

0.7
．>
12、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
9
?16
，则
a
5
?
.
?4

13、若向量
a
，
b
满足
6
11
6
11
a?b?1
，
a< br>与
b
的夹角为
120?
，则
a?a?a?b?
.
1

2
14、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在 观察站C的北
偏东
20?
方向上，灯塔B在观察站C的南偏东
40?
方向上，则灯塔A与灯塔B的距离
为 .
3a

km

2
a
n

1
?
?1
，
a
a
n
a
2
a
3
a
4 15、在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
4
?8
，
a
n?2
把数列
?
a
n
?
的各项排成如图的三角形形状，记
A
?
m, n
?

a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
…… ……
为第
m
行从左起第< br>n
个数，则
log
2
A
?
13,7
?
的值为 .150
三、解答题（共5个小题，共55分）
16、（本小题满分10分）
若函数
f(x)?log
2
(2?x )?log
2
(2?x)
.
（1）求函数
f(x)
的定义域,判断函数
f(x)
的奇偶性. < br>（2）若关于
?
（
?
?R
）的方程
f(sin
?
)?2
,求
?
.
解：（1）由对数函数的定义知，
f(x)
要有意义，则必须
?
2?x?0
??2?x?2

?
2?x?0
?< br>所以，
f(x)
的定义域为
(?2,2)
. …………3分

定义域关于原点对称，又
f(?x)?log
2
(2?x)?log
2
(2?x)?f(x)
.
故
f(x)
为偶函数. …………6分
（2）
f(sin
?
)?log
2
(2?s in
?
)?log
2
(2?sin
?
)

2

?log
2
(4?sin
?
)?2?log
2
4

从而，
4?sin
2
?
?4
，即
sin
2
?
?0
.
所以，
sin
?
?0
，于是，
?
?k
?
(k?Z )
. …………10分
17、（本小题满分10分）
已知△
ABC
的周长为
4(2?1)
，且
sinB?sin C?
（1）求边长
a
的值；
（2）若
S
?ABC
?3sinA
，求角A的余弦值
．
解：（1）根据正弦定理，
sinB?sinC?
2sinA
．
2sinA
可化为
b?c?2a
． …………2分
?
?
a?b?c?4(2?1)
联立方程组
?
，解得
a?4
．
?
?
b?c?2a
所以，边长
a?4
． …………5分

（2）
S
?ABC
?3sinA
，
1
∴
bcsinA?3sinA，bc?6
．
…………7分
2

又由(1)可知，
b?c?42
，
…………8分

b
2
?c
2
?a
2
(b?c)
2
?2bc?a
2
1
??
． ∴
cosA?
2bc2bc3
因此，所求角A的余弦值是
18、（本小题满分 10分）
2
已知
O
为坐标原点，
OA?(2cosx,1)
，
OB?(1,3sin2x?a)
（
x?R,a?R
,
a
是
1
． …………10分
3

常数），设
f(x)?OA?OB
.
（1）求函数
f(x)
关系式；
?
（2）已知函数
f(x)
在区间
x?
?
0,
?
上的最小值为
?1
，求
a
的值及函数
f(x)
的单调
?
?
2
?
?
减区间.
2
解：（1）∵
OA?(2cosx,1)
，
OB?(1,3sin2x?a)

∴
f(x)?OA?OB
?2cosx?3sin2x?a
3分
2
（2）由（1）得
y?2cosx?3sin2x?a

2

?1?cos2x?3sin2x?a

?cos2x?3sin2x?a?1


?2(cos2x?

?2(sin
1
2
3
sin2x)?a?1

2
?
6
cos2x?cos
?
6
sin2x)?a?1


?2sin(2x?
∵
x?< br>?
0,
∴当
2x?
?
6
)?a?1
5分
?
?
?
7
?
??
?
?
2x ??
?
,
?
， ，∴
?
26
???
66< br>?
?
6
?
7
?
?
1
，即
x ?
时，
y
min
?2?(?)?a?1?a
，
2
6
2
∴
a??1

7分
从而
f(x)?2sin(2x?
∴由
?
6
)
，
3
??
2
?
?2k
?
??k
?
? x??k
?
,k?Z

26263
?
2
?
得函数
f(x)
的单调减区间为
[?k
?
,
10分
?k
?
](k?Z)
63

?2k
?
?2x??
19、（本小题满分12分）
由于种种原因， 某市重点企业A公司一直亏损，2008年下半年又遭受全球金融危
??

机的冲 击，致使公司停产，濒临倒闭，累计负债32000万元．经反复研究，市政府决
定对该公司进行紧急援 助，于2009年元旦一次性给A公司无息贷款32000万元，用于
支付一切债务，同时对公司进行了 改制，使A公司起死回生．为了公司可持续发展，
从2009年起，政府还将提供无息贷款用于A公司硬 件改造，其中2009年提供5000
万元，以后每年都比上年减少
润每年都会比上年增加1
．据估算，2009年度将获利润4000万元，今后的利
4
1
． （
lg3?0.4771,lg4?0.6021,lg5?0.6990
）
3
（1）设
n
年内(2009年为第一年) 无息贷款总额为
an
万元，公司总利润为
b
n
万元.写出
a
n
, b
n
的表达式；
（2）经过几年公司总利润才能超过无息贷款总额?
3 3
n?1
万元…，第
n
年
贷款
5000×
()
44
万元
…
1分

33
n?1
3
n
所以
贷 款总额为：
a
n
＝32000+5000＋5000×＋…＋5000×
()
＝52000－20000
()

44
4
…
3分

1
同理：第1年
利润
4000万元，第2年
利润4000×（1＋）万元，…，
3
4
n?1
第
n
年< br>利润
4000×
()
万元
…………
4分

3
44
4
b
n
＝4000＋4000×＋……＋4000×
()
n?1
＝12000［
()
n
－1］
…………
6分

33
3
4
n
3
n
(2) 由题意
b
n
?a
n
＞0， （7分） 12000［
()
－1］>52000－20000
()
……
8分

34
4
n
3
n
化简得，3×< br>()
＋
5
×
()
－16＞
…………
9分
34
4
n
1
2
设
x
＝
() （x?1)
，3
x
－16
x
＋5＞∴
x
＜（舍)或
x
＞5
…………
10分
33
lg5
4
4
n
?5.592
………
11分

∴
()
>5， 两边取对数，有
nlg ()?lg5
，即
n?
lg4?lg3
3
3
解：
( 1)
第1年
贷款
（32000＋5000）万元，第2年5000×
∴
n
≥6.

∴
经过6年公司总利润才能超过无息贷款总额 ………
12分





20、（本小题满分13分）

设数列
{a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
?1，
S
n
?a
n?1
?1
。
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
n
（2）是 否存在实数
?
，使得数列
{S
n
?
?
?n?
?
?2}
为等差数列？若存在，求出
?
的
值；若不存在，则说明理 由.
（3）求证：
122
2
2
3
2
n
?????????1
.
3(a
1
?1)(a
2
?1)( a
2
?1)(a
3
?1)(a
3
?1)(a
4?1)(a
n
?1)(a
n?1
?1)
解：（1） ∵
a
n?1
?S
n
?1?0
①
∴
n?2
时,
a
n
?S
n?1
?1?0
②
a
①─②得：
(a
n?1
?a
n
)?(Sn
?S
n?1
)?0?(a
n?1
?a
n
)? a
n
?0?
n?1
?2

a
n
(n?2)
……2分
由
a
n?1?2S
n
?1?0
及
a
1
?1
得
a< br>2
?S
1
?1?0?a
2
?S
1
?1?a< br>1
?1?2

n?1
∴
{a
n
}是首项为
1
，公比为2的等比数列，∴
a
n
?2
………… 4分
1?2
n
?2
n
?1
………… 5分 （2）解法一：由(Ⅰ)知
S
n
?
1?2
n< br>若
{S
n
?
?
?n?
?
?2}
为等 差数列，
则
S
1
?
?
?2
?
,S
2
?2
?
?4
?
,S
3
?3
?
?8
?
则成等差数
列, …………………………… 6分
∴
( S
1
?
?
)?(S
3
?5
?
)?2(S< br>2
?2
?
)?8?6
?
?6?4
?
，∴?
?1
…… 8分
nn
当
?
?1
时，
S
n
?
?
?n?
?
?2?S
n
? n?2?n?1
，显然
{n?1}
成等差数列，
n
∴存在实数?
?1
，使得数列
{S
n
?
?
?n?
?
?2}
成等差数列。 ……… 9分
1?2
n
?2
n
?1
……… 5分 解法二：由(Ⅰ)知
S
n
?
1?2
nnnn∴
S
n
?
?
?n?
?
?2?(2?1)??
?n?
?
?2?
?
?n?1?(1?
?
)? 2
…… 7分
n
要使数列
{S
n
?
??n?
?
?2}
成等差数列，则只须
1?
?
?0
，即
?
?1
即
可。……………8分
n
故存在实数
?
?1
，使得数列
{S
n
?
?
?n?
?
?2}
成等差数列。 ……… 9分
2
k
2
k
11
（3）∵
?
k?1
?2(?)
……… 10分
kk?1k
(a
k
?1)(a
k?1
?1)(2? 1)(2?1)2?12?1
22
2
2
3
2
n
∴
???????
(a
1
?1)(a
2
?1)(a
2
?1)(a
3
?1)(a
3
?1)(a
4
?1)( a
n
?1)(a
n?1
?1)

11
?2[ (
0
??)
2?12?1
1111
(?
2
?)(? ?????)
22
?21?21?21?21
1
(?
k?1
?2
1
k
?1

2
)]
1

11
?2(?
k
)
………………………………………
22?1
… 12分
∵
0?
∴
11111
， ∴
??2(?)?1
，
kk
2?13322?1
122
2
2
3
2
n
?????????1

3(a
1
?1)(a
2
?1) (a
2
?1)(a
3
?1)(a
3
?1)(a
4< br>?1)(a
n
?1)(a
n?1
?1)
………13分