高一数学检测试卷(含答案)

高一数学检测试题


一、选择题（共12小题，每小题 5分，满分60分）在每小题给出的四个选项
中只有一个选项符合题目要求

1．（5分）如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是
（ ）


A．中位数是64

B．众数为66

C．极差为18

D．平均数是64

2．（5分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣
A．

，则cos（2π+α）?tanα=（ ）

C．﹣

B．﹣

D．

3．（5分）若直线mx+ny=1与x
2
+y
2
=1相交，则点（m，n）（ ）

A．在圆上

C．在圆内

B．在圆外

D．以上都有可能

4．（5分）样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直
方图估计样本数据落 在[6，10）内的频数为a，样本数据落在[2，10）内的频
率为b，则a，b分别是（ ）


A．32，0.4

B．8，0.1

C．32，0.1

D．8，0.4

5．（5分）两圆x
2
+y
2
+2ax+a
2
﹣4=0和x
2
+y2
﹣4ay+4a
2
﹣1=0恰有三条公切线，则
a
2
=（ ）

A．

B．

C．

D．

第1页（共17页）

6．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是 根据中国古代数学家
赵爽的弦图 （如图）设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组
成，若直角三角形的直角边的边长分别是 3和4，在绘图内随机取一点，则此
点取自内部小正方形部分的概率为（ ）


A．

B．

C．

D．

7．（5分）已知角α的终边在直线y=﹣3x上，则sinαcosα等于（ ）

A．

B．﹣

C．

D．﹣

8．（5分）已知直线kx﹣y﹣k=0与曲线y=交于M，N两点，O为坐标原
点，当△OMN的面积 最大时，实数k的值为（ ）

A．﹣

B．

C．﹣1

D．1

9．（5分）现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；

②科技报告厅有32排座位，每排4 0个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报
告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；< br>
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对
知识的 掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．

较为合理的抽样方法是（ ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

10．（5分）已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则
A．

=（ ）


B．﹣

C．D．﹣

11．（5分）若点 P在直线x+2y+10=0上，PA与圆x
2
+y
2
=4相切与A点，则三 角
形POA面积的最小值为（ ）

第2页（共17页）

A．12

B．8

C．4

D．2

12．（5分）已知圆O：x
2
+y
2
= 4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运
动弧长达到点N，以x轴的正半轴为始边，ON为终边 的角记为α，则sinα=
（ ）

A．


二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）sin（﹣1740°）= ．

14．（5分）某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为 cm
2
．

15．（5分）点P是圆x
2
+y
2< br>=16内任意一点，则P到直线x+y=2的距离小于
概率为

16 ．（5分）已知圆C的方程为x
2
+（y﹣1）
2
=r
2
（ r＞0），若圆C上存在点P，且
点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E：（x﹣3）
2+（y﹣1）
2
=1上，则r的取
值范围是



三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知角θ的终边 经过点P（m，
角θ所在的象限，并求sinθ，tanθ的值

18．（12分）如 图某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数
小于100表示空气质量优良，空气质量 指数大于200表示空气重度污染，某
人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2 天．

）（m≠0），且cosθ=，请确定
的

B．

C．

D．


第3页（共17页）

（1）求3月1日至14日空气质量指数的中位数；

（2）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（3）求此人停留期间只有一天空气质量优良的概率．

19．（12分）已知圆C经 过点A（3，﹣2），并与直线x+y=1相切，且圆心在直线
y=﹣4x上．

（1）求圆C的方程；

（2）点P（5，2）为圆C外一点，国点P作圆的两条切线 ，切点分别为M，N，
求MN所在直线方程．

20．（12分）为促进农业发展，加 快农村建设，某地政府扶持兴建了一批“超级
蔬菜大棚”．为了解大棚的面积与年利润之间的关系，随机 抽取了其中的7个
大棚，并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表：

大棚面积（亩）x

年利润（万元）y

4.5

6

5.0

7

5.5

7.4

6.0

8.1

6.5

8.9

7.0

9.6

7.5

11.1

由所给数据的散点图可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且y与 x有
很强的线性相关关系．

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩，估计小明家的大棚当年的利润为
多少；
< br>（Ⅲ）另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润（单位：万元），其中无丝豆为：
1.5，1.7 ，2.1，2.2，2.5；彩椒为：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，请分析种植哪种
蔬菜 比较好？

参考数据：，．

参考公式：，．

21．（1 2分）已知点A（2，2）和圆E：（x﹣4）
2
+（y﹣1）
2
=5．
（1）求过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的方程；

（2）若点B是圆E上的动点，求线段PB的中点M的轨迹．

第4页（共17页）

22．（12分）已知圆C：x
2
+（y﹣1）
2
=r
2
被x轴截得的弦长为2
（m∈R），O为坐标原点．

（1）求圆C的方程；

，直线l：y=x+m
（2）若圆C上恰有3个 点到直线l的距离等等于1，求直线l的方程；

（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数m的值．



第5页（共17页）

2017-2018学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析



一、选择题（共12小题，每小题5分， 满分60分）在每小题给出的四个选项
中只有一个选项符合题目要求

1．（5分）如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是
（ ）


A．中位数是64

B．众数为66

C．极差为18

D．平均数是64

【解答】解：根据茎叶图中的数据知，

这组数据的中位数是×（62+67）=64.5，∴A错误；

这组数据的众数是67，∴B错误；

极差是76﹣58=18，∴C正确；

平均数是×（58+59+61+62+67+67+70+76）=65，∴D错误．

故选：C．

2．（5分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣
A．

，则cos（2π+α）?tanα=（ ）

C．﹣
，


B．﹣

D．

【解答】解：∵α∈（0，π），且cosα=﹣
∴sinα=，

则cos（2π+α）?tanα=cosα?tanα=sinα=
故选：A．

．

3．（5分）若直线mx+ny=1与x
2
+y
2=1相交，则点（m，n）（ ）

A．在圆上

B．在圆外

第6页（共17页）

C．在圆内

D．以上都有可能

【解答】解：根据题意，若直线mx+ny=1与x
2< br>+y
2
=1相交，

则有d=＜1，变形可得m
2
+n
2
＞1，

则点（m，n）在圆外；

故选：B．

4．（5分）样本容量为1 00的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直
方图估计样本数据落在[6，10）内的频数为 a，样本数据落在[2，10）内的频
率为b，则a，b分别是（ ）


A．32，0.4

B．8，0.1

C．32，0.1

D．8，0.4

【解答】解：由样本的频率分布直方图知：

数据在区间[6，10）上的频率是4×0.08=0.32，

又样本容量为n=100，

所以数据在区间[6，10）上的频数是a=100×0.32=32，

样本数据落在[2，10）内的频率为

b=4×（0.02+0.08）=0.4．

故选：A．

5．（ 5分）两圆x
2
+y
2
+2ax+a
2
﹣4=0和x
2
+y
2
﹣4ay+4a
2
﹣1=0恰有三条公切线，则
a
2
=（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】【解答】解：由题意知该两圆外切，两圆的标准方程分别为

（x+a）2
+y
2
=4和x
2
+（y﹣2a）
2
=1，

圆心分别为C（﹣a，0），D（0，2a），半径分别为2和1，

∴

=2+1，

第7页（共17页）

解得a
2
=．

故选：B．

6．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是 根据中国古代数学家
赵爽的弦图 （如图）设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组
成，若直角三角形的直角边的边长分别是 3和4，在绘图内随机取一点，则此
点取自内部小正方形部分的概率为（ ）


A．

B．

C．

D．

【解答】解：如图，∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，

∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4﹣3=1．

大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，

由测度比为面积比，可得在绘图内随 机取一点，则此点取自内部小正方形部分的
概率为
故选：A．

．


7．（5分）已知角α的终边在直线y=﹣3x上，则sinαcosα等于（ ）

A．

B．﹣

C．

D．﹣

【解答】解：∵角α的终边在直线y=﹣3x上，∴tanα=﹣3，则sinαcosα=
故选：D．

8．（5分）已知直线kx﹣y﹣k=0与曲线 y=交于M，N两点，O为坐标原
===﹣，

点，当△OMN的面积最大时，实数k的值为（ ）

A．﹣

B．

C．﹣1

D．1

是以原点为圆【解答】 解：直线kx﹣y﹣k=0恒过定点（1，0）与曲线y=
第8页（共17页）

心，1为半径的圆的x轴上方的部分，直线与圆交于M，N两点，

当△OMN的面积最大时，就是N到x轴距离的最大值，此时N（0，1），

此时0﹣1﹣k=0，可得k=﹣1．

故选：C．


9．（5分）现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；

②科技报告厅有32排座位，每排4 0个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报
告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；< br>
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对
知识的 掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．

较为合理的抽样方法是（ ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

【解答】解：在①中因为个体数量较少，采用简单随机抽样即可；

在②中，因为个体数量多，且已按座位自然分组，故采用系统抽样较好；

在③中，因为文科生和理科生的差异明显，故采用分层抽样较好．

故选：A．

10．（5分）已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则
A．

=（ ）


B．﹣

C．D．﹣

【解答】解：由sinα+cosα=，α∈（0，π），

得

，∴2sinαcosα=，

第9页（共17页）

则sinα＞0，cosα＜0，

∴sinα﹣cosα==．

联立，解得sinα=，cosα=，

tanα==．

∴==．

故选：B．

11．（5分）若点P在直线x+2y+1 0=0上，PA与圆x
2
+y
2
=4相切与A点，则三角
形POA面 积的最小值为（ ）

A．12

B．8

C．4

D．2

的最小值，只需
=2，则
【解答 】解：如图：三角形POA面积的最小值就是S=
AP最小，也就是OP取得最小值，OP最小值为：< br>AP==4，

=4．

三角形POA面积的最小值为：
故选：C．


12．（5分）已知 圆O：x
2
+y
2
=4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运
动弧长达到点N，以x轴的正半轴为始边，ON为终边的角记为α，则sinα=
第10页（共17页 ）

（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：由题意得，M（0，2），

并画出图象如下：

∵点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，

∴旋转的角的弧度数为
即以ON为终边的角α=
故选：D．

=，

，

，则sinα=



二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）sin（﹣1740°）= ．

，

【解答】解 ：原式=﹣sin1740°=﹣sin（5×360°﹣60°）=sin60°=
故答案为：．
14．（5分）某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为 1 cm
2
．

【解答】解：设该扇形的半径为r，

根据题意，有l=αr+2r

4=2r+2r

r=1

第11页（共17页）

S
扇形
=αr
2
=×2×1
2
=1．

故答案为：1．

15．（5分）点P是圆x
2
+y
2=16内任意一点，则P到直线x+y=2的距离小于
概率为

，

的
【解答】解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=2的距离为
故到直线x+ y=2距离为的点在直线x+y=0和x+y+4=0上，

满足P到直线x+y=2的距离小于
为90°．

故概率P=
故答案为：．

的点位于两直线之间的弧上，且两段弧度和
．


16．（5分）已 知圆C的方程为x
2
+（y﹣1）
2
=r
2
（r＞0），若 圆C上存在点P，且
点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E：（x﹣3）
2
+（y﹣ 1）
2
=1上，则r的取
值范围是 （，）

【解答】解：由题意 ，圆E：（x﹣3）
2
+（y﹣1）
2
=1关于直线x﹣y=0的对称圆的< br>方程：

（x﹣1）
2
+（y﹣3）
2
=1，

圆C的方程 为x
2
+（y﹣1）
2
=r
2
（r＞0），
若圆C上存在点P，且点P关于直线x﹣y=0的对称点在圆E：（x﹣3）
2
+（y﹣1 ）
2
=1上，

第12页（共17页）

只需圆C与对称圆相交即可，

即：r﹣1＜
则r的取值范围是：（
故答案为：（


三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知角θ的终边经过点P（ m，
角θ所在的象限，并求sinθ，tanθ的值

【解答】解：∵角θ的终边经过 点P（m，
∴m=±2
当m=2
sinθ==
当m=﹣2
sinθ= =
．

，y=，r=|OP|=5，

）（m≠0），且cosθ= =，
）（m≠0），且cosθ=，请确定
，
＜r+1，解得
，
）．

）．

＜r＜．

，角θ在第一象限，并x=m=2
，tanθ==．

，角θ在第二象限，并x=m=﹣2
，tanθ==﹣．

，y=，r=|OP|=5，

18．（12分）如图某市3月1日至14日的空气质 量指数趋势图，空气质量指数
小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染 ，某
人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．


（1）求3月1日至14日空气质量指数的中位数；

（2）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（3）求此人停留期间只有一天空气质量优良的概率．

第13页（共17页）

【解答】解：（1）由某市3月1日至14日的空气质量指数趋势 图得3月1日至
14日空气质量指数从小到大为：

25，37，40，57，79， 86，86，121，143，158，160，160，217，220，

∴3月1日至1 4日空气质量指数的中位数为：
（2）3月1日至14日空气重度污染的天数为2天，

∴此人到达当日空气重度污染的概率p=．

=103.5．

（3）3月1日至14日连续两天中只有一天空气优良包含的基本事件有：

（3，4），（6，7），（7，8），（11，12），

3月1日至14日连续两天包含的基本事件有13个，分别为：

（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，7），（7，8），

（8，9），（9，10），（10，11），（11，12），（12，13），（13，14），< br>
∴此人停留期间只有一天空气质量优良的概率p=．

19．（12分）已知 圆C经过点A（3，﹣2），并与直线x+y=1相切，且圆心在直线
y=﹣4x上．

（1）求圆C的方程；

（2）点P（5，2）为圆C外一点，国点P作圆的两条切线 ，切点分别为M，N，
求MN所在直线方程．

【解答】解：（1）设圆心C为（a，b），

∵点A（3，﹣2）在直线x+y=1，且圆C经过A与直线x+y=1相切，

∴
∴r=
，解得．

．

∴圆C的方程为（x﹣1）
2
+（y+4）
2
=8；

（2）由P（5，2），C（1，﹣4），

得以PC为直径的圆的方程为（x﹣3）
2
+（y+1）
2
=13，

联立，

得MN所在直线方程为：2x+3y+6=0．

第14页（共17页）

20．（12分）为促进农业发展，加快农村建设，某地政府扶持兴建了一批 “超级
蔬菜大棚”．为了解大棚的面积与年利润之间的关系，随机抽取了其中的7个
大棚，并对 当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表：

大棚面积（亩）x

年利润（万元）y

4.5

6

5.0

7

5.5

7.4

6.0

8.1

6.5

8.9

7.0

9.6

7.5

11.1

由所给数据的散点图 可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且y与x有
很强的线性相关关系．

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0 亩，估计小明家的大棚当年的利润为
多少；

（Ⅲ）另外调查了近5年的不同蔬菜亩平 均利润（单位：万元），其中无丝豆为：
1.5，1.7，2.1，2.2，2.5；彩椒为：1.8， 1.9，1.9，2.2，2.2，请分析种植哪种
蔬菜比较好？

参考数据：，．

参考公式：，．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，，，则，

==，=8.3﹣1.571×6=﹣1.126，

那么回归方程为：
（Ⅱ）将x=8.0代入方程得
．

，

即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为11.442万元．

（Ⅲ）近5年来，无丝豆亩平均利润的平均数为
方差

，

+（2.1﹣2）
2
+（2.2﹣2）
2
+（2.5﹣2）
2
]=0.128．

第15页（共17页）

彩椒亩平均利润的平均数为
方差为
因为m=n，
，

2+
2
]=0.028．+（1.9﹣2）（2.2﹣2）
2
+（2.2﹣ 2）

，∴种植彩椒比较好．

21．（12分）已知点A（2，2）和圆E ：（x﹣4）
2
+（y﹣1）
2
=5．

（1）求过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的方程；

（2）若点B是圆E上的动点，求线段PB的中点M的轨迹．

【解答】解：（1）∵ 点A（2，2）和圆E：（x﹣4）
2
+（y﹣1）
2
=5．点P（0，4） ，

设过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的圆心C（a，b），

∴
解得a=，b=，

∴圆C的半径r==，

．

，

∴过点P（0，4）且与圆E相切于点A的圆的方程为（x﹣）
2
+（y﹣）
2
=
（2）∵点B是圆E上的动点，P（0，4），

∴设B（4+cosθ，1+sinθ），

，），

∴线段PB的中点M（
∴线段PB的中点M的轨迹的参数方程为，0≤θ＜2π，
< br>∴线段PB的中点M的轨迹方程为（x﹣2）
2
+（y﹣）
2
=．
22．（12分）已知圆C：x
2
+（y﹣1）
2
=r
2
被x轴截得的弦长为2
（m∈R），O为坐标原点．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1，求直线l的方程；

（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数m的值．

【解答】解：（1）圆心坐标C（0，1），半径r，

圆心到x轴的距离d=1，

第16页（共17页）

，直线l：y=x+m

∵被x轴截得的弦长为2
∴r
2
=d
2
+（
，

）
2
=1+3=4，即r=2，

则圆的标准方程为x
2
+（y﹣1）
2
=4；

（2）若圆C上恰有3个点到直线l的距离等等于1，

则圆心到直线的距离d=1，

即d=
得m=
=
或m=﹣< br>=1，得|m﹣1|=
+1，

或y=x﹣+1．

，

则直线方程为y=x+
（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM ⊥ON，设M（x
1
，y
1
）、N（x
2
，
y2
），

直线y=x+m代入圆的方程x
2
+（y﹣1）
2
=4

得2x
2
+2（m﹣1）x+（m﹣1）
2
﹣4=0，
< br>所以x
1
+x
2
=﹣（m﹣1），x
1
x
2
=
因为OM⊥ON，所以x
1
x
2
+y
1
y
2
=0，

即x
1
x
2
+（x
1
+m）（x
2
+m）=0，

则2x
1
x
2
+m（x
1
+x
2
）+m
2
=0，

即（m﹣1）
2
﹣4﹣m（m﹣1）+m
2
=0，

得m
2
﹣m﹣3=0，

得m=


．


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