高一数学试卷奥数

高一数学试题
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是
( )
A．“至少一个白球”与“都是白球” B．“至少有一个白球”与“至少有1个红球”
C．“恰有一个白球”与“恰有二个白球” D．“至少有1个白球”与“都是红球”
2． 函数
y?sin(x?
A．
(?
?
3
)
的一个单调 区间是 （ ）
?
5
?
6
,
6
)
B．
(?
??
5
??
?
2
?
,)
C．
(?,)
D．
(?,)

22
66333．对于非零向量
a
、
b
，下列命题中正确的是 （ ）
??????
?
A．
a?b?0?a?0
或
b?0
B．

a
∥
b
?a
在
b
上的正射影的数量 为
|a|

??????
??????
2
C．
a?b?a?b?(a?b)
D．
a?c?b?c?a?b

4．某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下： ( )
甲：90 82 88 96 94； 乙：94 86 88 90 92
A．甲的平均成绩比乙好 B．甲的平均成绩比乙差
C． 甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好 D．甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好
5．化简
cos(
?
?
2
?
4
)?sin
2
(
?
4
?
?
)
得到 （ ）
A．
sin2
?
B．
?sin2
?
C．
cos2
?
D．
?cos2
?

??
????
??
6
．
已知
a?b?0
，且
a
与
b
不共线，则
a?b
与
a?b
的关系为（ ）
A．相等 B．相交但不垂直 C．平行 D．垂直
12
，
tan(
?
?
?
)??
，则
tan(
?
? 2
?
)?
（ ）

25
99
31
A．
?
B．
?
C．
?
D．
88< br>412
7．已知
tan
?
?
????????
??< br>AB
???
AD
9．已知矩形中ABCD，
AB?3,BC?4
,
e
1
?
????
,e
2
?
????< br>,

ABAD
?????????
（1）若
AC?xe
1
?ye
2
,求
x,y

????
????（2）求
AC
与
BD
夹角的余弦值．

9．已知
f(x)?2sin
4
x?2cos
4
x?cos2
2x?3
．
（１）求函数
f(x)
的最小正周期．
（２）求函数
f(x)
在闭区间
[

10．已知二次函数f (x)=x
2
+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量
?
3
?
,
1616
]
上的最小值并求当
f (x)
取最小值时，
x
的取值集合．
→
a= ( sinx , 2 ) ，
→
b= (2sinx ,
1
2
)，
→
c= ( cos2x , 1 )，
→
d=(1,2)，
（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (
→
a·
→
b)＞f (
→
c·
→
d)的解集.


















答案:
DCACD ADBBA C C

13. 二 14.
45
15.0.8 16.-4
49
17. 解： (1) ①②位置的数据分别为12、0.3； ???????????3分
(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；????????6分
(3) 设上述6人为abc def(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有
情形为：{ab，ac，ad， ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}
共有15种．???????????????????????8分
记“2人中至少有一名 是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9
种．?????????????????? ?????10分
所以
P(A)?
93
3
?
，故2人中至 少有一名是第四组的概率为．???12分
155
5
?????????????? ???
18．解：（1）
?AB?3,BC?4,
?AC?AB?BC?3e
1
?4e
2
，
?x?3,y?4

?
????????
?????????????????
???????
（2）设
AC
与
BD
的夹角为
?
，由
BD?AD?AB?4e
2
?3e
1
,
?
AC?BD?5,

????? ????????
2
??
2
????????
7
AC?BD
(3e
1
?4e
2
)?(4e
2
?3e
1
)16e
2
?9e
1
=

?cos
??
???????
?
?
?
25
5?525
AC BD
????
????
7
?
AC
与
BD
的 夹角的余弦值为
25
19.解 (1)原式=
cos
?
?si n
?
1?tan
?
1
??

cos
?
?sin
?
1?tan
?
7
?
34
5 33
(2)?
?
,
?
?(0,)?sin
?
?co s
?
?
又
sin(
?
?
?
)?
则
cos
?
?cos
?
(
?
?
?
) ?
?
?
??

255
1365
20.（1）
f(x)?cos4x?1
，
T?
?
2

（2）
f(x)
的最小值是
?
3
?
2
?1
，此时
x
的集合是
{}

4
2
(－x)＋(2＋x)
21．解（1）设f(x)图象上的两点为A (－x,y
1
）、B(2＋x, y
2
），因为=1
2
f (－x) = f (2＋x)，所以y
1
= y
2

由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(x)的增区间为
?
1,??
?
； f(x) 的减区间为
?
??,1
?

1
→→
（2）∵a·b=（sinx，2）·（2sinx, ）=2sin
2
x＋1≥1，
2
→→
c·d=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，
→→→→
∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f (a·b)＞f (c·d)
?
f(2sin
2
x＋1)＞ f(cos2x＋2)