高中学业水平考试数学试卷()

羈
高中数学学业水平考试试卷



蚄< br>一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分 ）


蚄
1
．已知集合
M=
{
0
，
1
}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0
，
1
}，则集合
N
共有（ ）
个．


罿
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4

蒆
2
．直线
x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0
的交点坐标是（ ）


蚆
A
．（
2
，﹣
2
）
B
．（﹣
2
，
2
）
C
．（﹣
2
，
1
）
D
．（
3
，﹣
4
）


螄
3．不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平 面区域（用阴影表示）是（ ）


莀
A
．
B
．
C
．
D
．


膈
4．已知
cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
sinα=
（ ）


蒅
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．

袄
5
． 已知函数
f
（
x
）
=a
x
（
a
＞
0
，
a
≠
1
）在[
1
，
2
]上的最大值和最小值的和为
6
，
则
a=
（ ）


袁
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5

蚆
6
．在△
ABC
中，
a=b
，
A=120°
，则
B
的大小为（ ）


芄
A
．
30° B
．
45° C
．
60° D
．
90°

羄
7
．一支 田径队有男运动员
49
人，女运动员
35
人，用分层抽样的方法从全体
运动员中抽出一个容量为
24
的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（ ）


节
A
．
10 B
．
12 C
．
14 D
．
16

莈
8
．已知tanα=2
，则
tan
（
α
﹣）
=
（ ）


芇
A
．
B
．
C
．
D
．﹣
3

肃
9
．圆
x
2
+
y
2
=1
与圆（
x
+
1）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的位置关系是（ ）


荿
A
．相外切
B
．相内切
C
．相交
D
．相离


肀
10
．如图，圆
O
内有一个内接三角形
ABC
，且直径AB=2
，∠
ABC=45°
，在圆
O
内随机撒一粒黄豆，则它 落在三角形
ABC
内（阴影部分）的概率是（ ）


肆
A
．
B
．
C
．
D
．


膃
二、填空题（共
5
小题，每小题
4
分，满分
20
分）

螀
11
．不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
的解集是

．


薈
12
．把二进制数
10 011
（
2
）
转化为十进制的数为

．


螅
13
．已知函数
f
（
x
）
= Asinωx
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
）的图象如图所示，则
A
，
ω
的值分
别是

．


芃
14
．已知函数
f
（
x
）
=4
﹣
log
2
x
，
x
∈[
2
，
8
]，则
f
（
x
）的值域是

．


膁
15
．点
P
是直线
x
+
y
﹣
2=0
上的动点，点
Q
是圆
x2
+
y
2
=1
上的动点，则线段
PQ
长的最小 值为

．


芀
三、解答题（共
5
小题，满分
40
分）


薄
16
．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛
10
场得 分可用茎叶图表示如图：


芃
（
1
）某同学不小心把茎叶 图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎
叶图中用
m
表示，若甲运动员成绩 的中位数是
33
，求
m
的值；


薂
（< br>2
）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[
20
，
40
]内的概率．


蚇
17
．已知向量
=
（
sinx
，
1
），
=
（
2cosx
，
3< br>），
x
∈
R
．


薇
（
1
）当
=λ
时，求实数
λ
和
tanx
的值；


莃
（
2
）设函数
f
（
x
）=?
，求
f
（
x
）的最小正周期和单调递减区间．


蚈
18
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
中 ，平面
PAB
⊥平面
ABC
，△
PAB
是等边三角形，AC
⊥
BC
，且
AC=BC=2
，
O
、
D
分别是
AB
，
PB
的中点．

荿
（
1
）求证：
PA
∥平面
COD
；< br>

莅
（
2
）求三棱锥
P
﹣
ABC
的体积．


蒃
19
．已知函数
f
（x
）
=2
+的图象经过点（
2
，
3
），
a
为常数．


聿
（
1
）求
a
的值和函数
f
（
x
）的定义域；


袇
（
2
）用函数单调性定义证明
f
（
x
）在（
a
，+∞）上是减函数．


膄
20
．已知数列{
a
n
}的各项均为正数，其前
n
项和为
S
n
，且
a
n
2
+
a
n
=2S
n
，
n
∈
N
*
．


薃
（
1
）求a
1
及
a
n
；


蒀
（2
）求满足
S
n
＞
210
时
n
的最小 值；


蕿
（
3
）令
b
n
=4< br>，证明：对一切正整数
n
，都有

膇
+++
…
+＜．

参考答案与试题解析


蚃
一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）


袁
1
．已知集合
M=
{
0
，
1
}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0
，
1
}，则集合
N
共有（ ）
个．


肇
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4

羆
【考点】
19
：集合的相等．


螂
【分析】根据集合的包含关系求出集合
N
的个数即可．


节
【解答】解：
M=
{
0
，
1
}，集合< br>N
满足
M
∪
N=
{
0
，
1
}，


蝿
则
N
?
M
，


蚅
故
N=
?
，{
0
}，{
1< br>}，{
0
，
1
}共
4
种可能，


袂
故选：
D
．


葿
2
．直线< br>x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0
的交点坐标是（ ）


膇
A
．（
2
，﹣
2
）
B
．（﹣
2
，
2
）
C
．（﹣
2
，
1
）
D
．（
3
，﹣
4
）


蒄
【考点】
IM
：两条直线的交点坐标．


袂< br>【分析】根据题意，联立两直线的方程，解可得
x
、
y
的值，即可得交 点坐标，
即可得答案．

袀
【解答】解：根据题意，联立，


罿
解可得，


薇
即直线
x
+
2 y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0的交点坐标是（
2
，﹣
2
）；


羂
故选：
A
．


芁
3
．不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域（用阴 影表示）是（ ）


莆
A
．
B
．
C
．
D
．


芆
【考点】
7B
：二元一次不等式（组）与平面区域．


肂
【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式，判断不等式
是否成 立后得二元一次不等式表示的平面区域．


蚂
【解答】解：画出不等式2x
+
y
﹣
3
≤
0
对应的函数
2x< br>+
y
﹣
3=0
的图象，


肈
取点 （
0
，
0
），把该点的坐标代入不等式
2x
+
y< br>﹣
3
≤
0
成立，说明不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
示的平面区域与点（
0
，
0
） 同侧，

肄

所以不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域在直线
2x
+
y
﹣
3=0
的右下方，并含直线．

膂
故选
B
．


肂
4
．已知cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
sinα=
（ ）


薆
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．


肇
【考点】
GH
：同角三角函数基本关系的运用．

节
【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，
求得
sinα
的值．


腿
【解答】解：∵
cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
sinα=
﹣
=
﹣，


芈
故选：
C
．


袆
5
．已知函数
f
（
x
）
=a
x
（
a
＞
0
，
a
≠
1
）在[
1
，
2< br>]上的最大值和最小值的和为
6
，
则
a=
（ ）


莂
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5

薀
【考点】
49
：指数函数的图象与性质．


羀
【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．


蚅
【解答】解：根据指数函数的性质：

蒁
当
x=1
时，
f
（
x
）取得最大值，那么x=2
取得最小值，


羁
或者
x=1
时，< br>f
（
x
）取得最小值，那么
x=2
取得最大值．


蒈
∴
a
+
a
2
=6
．

莄
∵
a
＞
0
，
a
≠
1
，

蒁
∴
a=2
．

莂
故选：
A
．


膀
6
．在△< br>ABC
中，
a=b
，
A=120°
，则
B
的 大小为（ ）


蒇
A
．
30° B
．
45° C
．
60° D
．
90°

薁
【考点】
HP
：正弦定理．


蕿
【分 析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求
sinB=
，结合
B
的范
围即可得解
B
的值．


薈
【解答】解：∵
a=b
，
A=120°
，


膆
∴由正弦定理，可得：
sinB=
，

蚁
又∵
B
∈（
0°
，
60°
），


羀
∴
B=30°
．

荿
故选：
A
．


羅
7< br>．一支田径队有男运动员
49
人，女运动员
35
人，用分层抽样的方法 从全体
运动员中抽出一个容量为
24
的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（ ）


肅
A
．
10 B
．
12 C
．
14 D
．
16

莀
【考点】
B3
：分层抽样方法．


螇
【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即
得所求．


羇
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于
=
，则应从男运动员中 抽出的
人数为
49
×
=14
，


肅
故选：
C

螁
8
．已知
tanα=2
，则
tan
（
α
﹣）
=
（ ）


葿
A
．
B
．
C
．
D
．﹣
3

螆
【考点】
GR
：两角和与差的正切函数．


膅
【分析】由题意直接利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．

膂
【解答】解：∵
tanα=2
，则
tan
（
α
﹣）
==
，


羇
故选：
B
．

薅
9
．圆
x
2
+
y2
=1
与圆（
x
+
1
）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的位置关系是（ ）


芅
A
．相外切
B
．相内切
C
．相交
D
．相离


艿
【考点】
JA
：圆与圆的位置关系及其判定．


虿
【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．


芄
【解答】解：圆
x
2
+
y
2
=1
的圆心（
0
，
0
）半径为
1
；圆（
x
+
1
）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的
圆心（﹣
1
，﹣
4
），半径为
4
，


莄
圆心距为：
=
，半径和为
5
，半径差为：
3
，（
3
，
5
）．


蚀
所以两个圆的位置关系是相交．


膇
故选：
C
．


莇
10
．如图 ，圆
O
内有一个内接三角形
ABC
，且直径
AB=2
，∠< br>ABC=45°
，在圆
O
内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形
ABC< br>内（阴影部分）的概率是（ ）


蒄
A
．
B
．
C
．
D
．


肁
【考点】
CF
：几何概型．


衿
【分 析】根据题意，计算圆
O
的面积
S
圆
和△
ABC
的 面积
S
△
ABC
，求它们的面积
比即可．

肆
【解答】解：圆
O
的直径
AB=2
，半径为
1
，

薄
所以圆的面积为
S
圆
= π?1
2
=π
；


蒂
△
ABC
的面积为
S
△
ABC
=?2?1=1
，

芇在圆
O
内随机撒一粒黄豆，它落在△
ABC
内（阴影部分）的概率是

袅
P==
．


蚄
故选：
D
．


蕿
二、填空题（共5
小题，每小题
4
分，满分
20
分）

羈
11
．不等式
x
2
﹣
5x
≤
0的解集是 {
x
|
0
≤
x
≤
5
} ．


蚄
【考点】
74
：一元二次不等式的解法．


蚄
【分析】把不等式
x
2
﹣
5x
≤0
化为
x
（
x
﹣
5
）≤
0
， 求出解集即可．


罿
【解答】解：不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
可化为


蚄
x
（
x
﹣
5
）≤
0
，


袄
解得
0
≤
x
≤
5
，


羂
∴不等式的解集是{
x
|
0
≤
x≤
5
}．

蚈
故答案为：{
x
|
0
≤
x
≤
5
}．

莆12
．把二进制数
10011
（
2
）
转化为十进制的数 为
19
．


蚃
【考点】
WC
：mod
的完全同余系和简化剩余系．


肁
【分析】本题的考查 点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制
转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案 ．


聿
【解答】解：
10011
（
2
）
=1
+
1
×
2
+
1
×
2
4
=19

袄
故答案为：
19

蒂
1 3
．已知函数
f
（
x
）
=Asinωx
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
）的图象如图所示，则
A
，
ω
的值分
别是
3
，
2
．


膁
【考点】
HK
：由
y=Asin
（
ω x
+
φ
）的部分图象确定其解析式．


蒀
【分析】根据图象信息即可求出
A
，
ω
的值．


薆
【解答】解：根据图象，可知最高点为
3
，最低点﹣
3
，


蒅
∴
A=3
．

芁
从图可以看出周期
T=π
，即
=π
，


薇
∴
ω=2
．

芈
故答案为：
3
，
2
．

芄
14
．已知函数
f
（
x
）
=4
﹣
log
2
x
，
x
∈[
2
，
8
]，则
f
（
x
）的值域是 [
1
，
3
] ．


莁
【考点】
34
：函数的值域．


羈
【 分析】由
x
∈[
2
，
8
]上结合对数函数的单调性，即可求 出函数的值域．


螆
【解答】解：∵函数
f
（
x
）
=4
﹣
log
2
x
在
x
∈[< br>2
，
8
]时单调递减，


羃
∴当
x=2
时函数取最大值
4
﹣
log
2
2=3
，

蒁
当
x=8
时函数取最小值
4
﹣
log
2
8=1
，


荿
∴函数
f
（< br>x
）的值域为[
1
，
3
]，

蒇
故答案为：[
1
，
3
]．


螁
15
．点
P
是直线
x
+
y
﹣
2 =0
上的动点，点
Q
是圆
x
2
+
y
2=1
上的动点，则线段
PQ
．

长的最小值为

蒁
【考点】
J9
：直线与圆的位置关系．


蝿
【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．


袅
【解答】解：圆心（
0
，
0
）到直线
x
+
y﹣
2=0
的距离
d==
．再由
d
﹣
r=
﹣
1
，


螄
知最小距离为
1
．


薁
故答案为：．

袆
三、解答题（共
5
小题，满分
40
分）


薇
16
．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛
10
场得 分可用茎叶图表示如图：


薃
（
1
）某同学不小心把茎叶 图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎
叶图中用
m
表示，若甲运动员成绩 的中位数是
33
，求
m
的值；


蚁
（< br>2
）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[
20
，
40
]内的概率．


芇
【考点】
CC
：列举法计算基本事件数 及事件发生的概率；
BA
：茎叶图．


肅
【分析】（1
）由茎叶图性质利用中位数定义列出方程，求出
m
．

莂
（
2
）由篮球运动员乙的季后赛
10
场得分中有
5< br>场得分在区间[
20
，
40
]内，能
估计乙运动员在一场季后 赛比赛中得分落在[
20
，
40
]内的概率．


螀
【解答】解：（
1
）由茎叶图性质得：


蚈
中位数为：
=33
，


螇
解得
m=4
．


莅
（
2）∵篮球运动员乙的季后赛
10
场得分中有
5
场得分在区间[
2 0
，
40
]内，


袀
∴可以估计乙运动员在一场 季后赛比赛中得分落在[
20
，
40
]内的概率为．

聿
17
．已知向量
=
（
sinx
，
1
），< br>=
（
2cosx
，
3
），
x
∈
R< br>．

芅
（
1
）当
=λ时，求实数
λ
和
tanx
的值；


膄
（
2
）设函数
f
（
x
）
=?
，求
f
（
x
）的最小正周期和单调递减区间．


羀
【考点】
GL
：三角函数中的恒等变换应用；
9R
：平面向量数量积的运算．


蒀
【分析】（
1
）根据向量的运算性质，向量相等即可求解．


羇
（
2
）根据函数
f
（
x
）< br>=?
，求出
f
（
x
）的解析式，即可求出
f
（
x
）的最小正
周期和单调递减区间．


羃
【解 答】解：（
1
）向量
=
（
sinx
，
1
） ，
=
（
2cosx
，
3
），
x
∈
R
．


肀
当
=λ
时，可得


蚇
∴，即
tanx=
．

莅
（
2
）函数
f
（
x
）
=?
，


蚂
∴
f
（
x
）
=2sinxcosx
+
3= sin2x
+
3
．

肀
∴
f
（
x
）的最小正周期
T=
．

肈
∵
f
（
x
）单调递减．

膆
则，
k
∈
Z
，


螅
得：≤
x
≤．

膀
∴
f
（
x
）的单调递减区间为[，]，
k
∈
Z
．

蒈
18
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC中，平面
PAB
⊥平面
ABC
，△
PAB
是等边三角形 ，
AC
⊥
BC
，且
AC=BC=2
，
O
、
D
分别是
AB
，
PB
的中点．


薄
（
1
）求证：
PA
∥平面
COD
；


蒃
（
2
）求三棱锥
P
﹣
ABC
的体积．


芀
【考点】
LF
：棱柱、棱锥、棱台的体积；
LS
：直线与平面平行的判定．


衿
【分析】（
1
）由
O
、
D
分别是
AB
，
PB
的中点，得
OD
∥
AP
，即可得
PA
∥平面
COD
．


芆
（
2
）连接
OP
，得< br>OP
⊥面
ABC
，且
OP=
=
．

．即可得三棱锥
P
﹣
ABC
的体积
V=

节
【解答】解：（
1
）∵
O
、
D
分别是
A B
，
PB
的中点，∴
OD
∥
AP

莀< br>又
PA
?
平面
COD
，
OD
?
平面
COD

芀
∴
PA
∥平面
COD
．

螄
（
2
）连接
OP
，由△
PAB
是等边三角形，则
OP
⊥
AB

芅
又∵平面
P AB
⊥平面
ABC
，∴
OP
⊥面
ABC
，且
OP=
．

葿
∴三棱锥
P
﹣< br>ABC
的体积
V==
．

莇
19
．已知函 数
f
（
x
）
=2
+的图象经过点（
2
，< br>3
），
a
为常数．


蒆
（
1）求
a
的值和函数
f
（
x
）的定义域；


肄
（
2
）用函数单调性定义证明
f
（
x
）在（
a
，+∞）上是减函数．


蕿
【考点】< br>3E
：函数单调性的判断与证明；
33
：函数的定义域及其求法．


螈
【分析】（
1
）把点（
2
，
3
）代入函数解析式求出
a
的值；根据
f
（
x
）的解析式，
求出它的定义域；


膈
（
2
）用单调性定义证明
f
（
x
）在（
1
，+∞）上是减函数即可．


袃
【解答】解：（
1
）函数
f
（
x）
=2
+的图象经过点（
2
，
3
），


虿
∴
2
+
=3
，解得
a=1
；

腿
∴
f
（
x
）
=2
+，且x
﹣
1
≠
0
，则
x
≠
1
，

蚆
∴函数
f
（
x
）的定义域为{
x|
x
≠
1
}；

薂
（
2
） 用函数单调性定义证明
f
（
x
）在（
1
，+∞）上是减函数 如下；


虿
设
1
＜
x
1
＜x
2
，则

薀
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）
=
（
2
+）﹣（
2
+）
=
，


莈
∵
1
＜
x
1
＜
x
2
，∴
x
2
﹣
x
1
＞
0
，
x
1
﹣
1
＞
0
，
x
2
﹣
1
＞
0
，

蚅
∴
f
（
x
1
）＞
f< br>（
x
2
），

蝿
∴
f
（
x
）在（
1
，+∞）上是减函数．

螇
20
．已 知数列{
a
n
}的各项均为正数，其前
n
项和为
S
n
，且
a
n
2
+
a
n
=2S
n< br>，
n
∈
N
*
．


螅
（< br>1
）求
a
1
及
a
n
；


莃
（
2
）求满足
S
n
＞
210
时
n
的最小值；


衿
（
3
）令
b
n
=4
，证明：对一切正整数
n
，都有+++
…
+ ＜．


膇
【考点】
8K
：数列与不等式的综合；
8E
：数列的求和．


薇
【分析】（
1
）当n=1
时，，由此能求出
a
1
=1
，由
a
n< br>2
+
a
n
=2S
n
，得
，从而（
a
n
+
a
n
﹣
1
）（
a
n
﹣
a
n
﹣
1
﹣
1
）
=0
，进而数 列{
a
n
}是首项和
公差都为
1
的等差数列，由此能求出< br>a
n
=n
．


膂
（
2
） 求出
S
n
=
，由此能求出满足
S
n
＞
21 0
时
n
的最小值．


芃
（
3
） 由题意得，从而数列{
++
}是首项和公比都是的等比数列，由此能
+
…+＜．

证明对一切正整数
n
，都有

薈
【解答】解：（
1
）∵数列{
a
n
}的各项均为正数，其 前
n
项和为
S
n
，且
a
n
2
+< br>a
n
=2S
n
，
n
∈
N
*
．


羅
∴当
n=1
时，，且
a
1
＞
0
，解得
a
1
=1
，

膅
∵
a
n
2
+
a
n
=2S
n
，①， ∴，②

芃
①﹣②，得：，

罿
整理，得：（
a
n
+
a
n
﹣
1
）（
a
n
﹣
a
n
﹣
1
﹣
1
）
=0
，

蚇
∵
a
n
＞
0
，∴
a< br>n
﹣
a
n
﹣
1
=1
，

羄
∴数列{
a
n
}是首项和公差都为
1
的等差数列，

莂
∴
a
n
=n
．

莀
（
2
）∵数列{
a
n
}是首项和公差都为
1
的等 差数列，
a
n
=n
．


膅
∴
S
n
=
，

螃
∵
S
n
＞
210
，∴，

蒂
整理，得
n
2
+
n
﹣
420
＞
0
，解得
n
＞
20
（
n
＜﹣
21
舍 ），


蒇
∴满足
S
n
＞
210
时
n
的最小值是
21
．

袇
证明：（
3
）由题意得，则，


蒂
∴数列{}是首项和公比都是的等比数列，

蝿
∴+++
…
+
==
．

肅
故对一切正整数
n
，都有+++
…
+＜．

2017
年
7
月
13
日