期末模拟考试高一数学试卷含答案

高一下数学期末试卷含答案
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分）
1.不等式
(a?2)x ?2(a?2)x?4
＜0对一切
x?R
恒成立，则实数a的取值范围是（）
A.
(??,2
?
B.
(??,2)
C.
(
?2,2
?
D.
(?2,2)

2.
给出下列事件：

①
如果
a
，
b是实数，那么
b
＋
a
＝
a
＋
b
；
②
某地
1
月
1
日刮西北风；

③
当
x
是实数时，
x
2
≥0
；

④
一个电影院某天的上座率超过
50%.
其中是随机事件的有
(

)
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

3 .
在
△ABC
中，
a
＝
3
，
b
＝
5
，
sin A
＝，则
sin B
＝
(

)
A
．
B
．
C
．
D
．
1
，则a的值为（ ）
2
4若圆x
2
+y
2
﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为
A．﹣2或2 B．或 C．2或0 D．﹣2或0
5
表面积为
24
的 正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（

）

A． B． C． D．
6某单位有若干名员工，现抽取人去体检，若老、中、青人数之比为2 ：1：2，已知抽到
10位中年人，则样本为 ( )
A
．
40 B
．
100 C
．
80 D
．
50
7若一个正四面体的表面积为
S
1
，其内切球的表面积为
S
2
，则
S
1
＝（ ）
S
2
63
1
62
B． C． D．
?

6
?
?
A．
?

8设m、n是两条不同的直线，
?
、
?
是两个不同的平面，有下列四个命 题：
如果
如果
，
，
，那么
，那么
；
；

1

如果
如果
，
，，
，，那么
，那么
；
．
其中错误的命题是
A． B． C． D．
9在
?ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对应的边分别为
a
，
b
，
c
，若
bc?1
，
b?2ccosA?0
，
则当角
B
取得最大值时，的周长为（ ）
A．
2?3
B．
2?2
C．3 D．
3?2

10.
如图，在正三棱锥
A—BCD
中，点< br>E
、
F
分别是
AB
、
BC
的中点，
则
A—BCD
的体积为

（

）

，

A
．
B
．

C
．
D
．

2
11已知直线
l: xcos
?
?ysin
?
?1?0
?
a?R
?与圆
?
x?2
?
?y?5
件的直线
l
有（ ）条
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
??
2
?4
相切，则满足条

4 (c
2
?1)c
3
?c?2
12已知
ac?2b?0
，则
a?
的最小值是（ ）
?
2
b(ac?2b)2c?2
2
A．
82
B．16 C．
83
D．17

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13.已知一组数据
x1
，
x
2
，…，
x
n
的方差为3，若数据a< br>x
1
+b，a
x
2
+b，…，a
x
n
+b(a，bR)
的方差为12，则a的值为_______．


2

14.已知OA,OB,OC三条线段两两垂直，长分别是2,x,5，且O ,A,B,C个点都在同一个球面上，
这个球的表面积为38
?
，则x的值____．
π
时，直线
l
与两坐标轴
6
所围成的三角形的面积为___ _______，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域
D
，则
区域
D< br>的面积为__________．
15已知直线系方程
xcost?
?
y?1
?
sint?2
（其中
t
为参数）．当
t?
16在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C
的 对边，已知
A?60,a?7
，现有以下判断：
①
b?c
不可能等于15； ②
0
cosCcosB7
；
??
cbbc
③作
A
关于
BC
的对称点
A
?
,则AA
?
的最大 值是
73
；
④若
B,C
为定点，则动点
A
的轨迹 围成的封闭图形的面积是
序号填在横线上______________。
49
?
。请将所有正确的判断
3

二、解答题（本大题共6小题，共计70分）
17（本题满分8分）
已知
? ABC
中，
?A,?B,?C
的对边分别为
a,b,c
，若
a?1,2coCs?c?2b

,
（1）求角
A

（2）求
?ABC
周长的取值范围.





18（本题满分10分）某市有
M,N,S
三所高校，其学生会学习部有“ 干事”人数分别为
36,24,12
，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取
6
名进行“大学生学习部活动现状”
调查．
（1）求应从
M,N,S
这三所高校中分别抽取的“干事”人数；
（2）若 从抽取的
6
名干事中随机选两名干事，求选出的
2
名干事来自同一所高校的概 率．




3

19（本题 满分10分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地△ABC（如图）养蜂、
产蜜与售蜜,田地 内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在
CN上，规划在小路MN与 AP的交点O(O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分
为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区 ，A，N为出入口（小路的宽度不计）为节约资金，
小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用， 费用忽略不计为车辆安全出入，小路
AO段的建造费用为每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米 4万元．
（Ⅰ）若拟修的小路AO段长为
7
百米，求小路ON段的建造费用；
（Ⅱ）设∠AOM=
?
, 求cos
?
的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．












20（本题满分12分）如图,在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面< br>EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°，O为EF中点。
(1)求二面角F-AE-B 的余弦值；
(2)若点M为线段AC上异于点A的一点,BE⊥OM,求a的值.











4

21.（本题满分14分）已知函数
f
?
x
?
?2x?1
.
（1）若不等式
f
?
x?
?< br>?
1
?
?
?2m?1(m?0)
的解集为
?
??,?2
?
?
?
2,??
?
，求实数
m
的值；
2
?
（2）若不等式
f
?
x
?
? 2
y
?
值.
a
?2x?3
对任意的实数
x,y? R
恒成立，求正实数
a
的最小
2
y






22（本题满分16分）已知圆
O:x?y?2
，直 线
l
过点M(
22
33
,)，且OM⊥
l
，P?
x
0
,y
0
?
22
是直线
l
上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，
N
?
是N关于x轴的对称点.

（1）求直线
l
的方程；
（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求
x
0
的取值范围；
（3）已知AB是圆O上不同的两点，且
?ANN
?
??BNN
?< br>，试证明直线AB的斜率为定
值.

5

参考答案
1．不等式
(a?2)x?2(a?2)x?4
＜0对一切
x?R
恒成立，则实数a的取值范围是
A.
(??,2
?
B.
(??,2)
C.
(
?2,2
?
D.
(?2,2)

【答案】C
【解析】
2
．（本题
0
分）给出下列事件：

①如果a
，< br>b
是实数，那么
b
＋
a
＝
a
＋
b< br>；

②某地1
月
1
日刮西北风；

③当x
是实数时，
x
2
≥0
；

④一个电影院某天的上座率超过50%.

其中是随机事件的有
(

)

A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

【答案】
B
【解析】

【分析】

根据相关事件的概念对给出的每个结论进行分析、判断后可得结论．

【详解】

由题意易知
①③
是必然事件，
②④
是随机事件．

故选
B
．

【点睛】


本题考查必然事 件、随机事件的概念，解题的关键是根据相关概念分析求解，属于容易题．
3
．在
△< br>ABC
中，
a
＝
3
，
b
＝
5
，
sin
A
＝，则
sin
B
＝
(

)

A
．
B
．
C
．
【答案】
B
【解析】在
△ABC
中，由正弦定理＝，得
sin B
＝＝＝
.
选
B.
D
．
1
< br>2
4．若圆x
2
+y
2
﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y +a=0的距离为，则a的值为（ ）

6

A．﹣2或2 B．或 C．2或0 D．﹣2或0
【答案】C
【解析】
试题分析：圆的方程可知圆心为
?
1,2
?
?< br>考点：点到直线的距离及圆的方程
5
．表面积为
24
的正方体的顶点 都在同一个球面上，则该球的表面积是（

）

1?2?a
2
?
2
?a?2
或
a?0

2
A． B． C． D．
【答案】
A
【解析】

【分析】

根据正方体的表面积，可求得正方体的棱长， 进而求得体对角线的长度；由体对角线为外接
球的直径，即可求得外接球的表面积。

【详解】

设正方体的棱长为
a
因为表面积为24，即
得
a = 2
正方体的体对角线长度为

所以正方体的外接球半径为
所以球的表面积为
所以选
A
【点睛】



本题考查了立体几何中空间结构体的外接球表面积求法，属于基础题。

6．某单位有 若干名员工，现抽取人去体检，若老、中、青人数之比为2：1：2，已知抽到
10位中年人，则样本为 ( )
A
．
40 B
．
100 C
．
80 D
．
50


7

【答案】
D
【解析】
∵
某单位老、中、青人数之比依次为
2:1:2.
若样本中中年人人数为
10
，

∴样本容量是
本题选择
D
选项
.

点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：

(1) ；
(2)
总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

7． 若一个正四面体的表面积为
S
1
，其内切球的表面积为
S
2
，则
S
1
＝（ ）
S
2
A．
63
1
62
B． C． D．
?
6
?
?
?
【答案】
D
【解析】 设正四面体棱长为
a
，则正四面体表面积为
S
1
?4?
3< br>?a
2
?3a
2
，其内切球半
4
径为正四面体高的< br>166
1
??a?a
，因此内切球表面积为，即
r?
4312
4
S
1
3a
2
63

?
S
2
?4
?
?r?a
，则
?
S
2
?
a
2
?
6
6
2
?
2
故选
D
8．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列四个命题：
如果
如果
如果
如果
，
，
，
，，
，那么
，那么
，
；
；
；
．
，那么
，那么

8

其中错误的命题是
A． B． C． D．
【答案】
B
【解析】

【分析】

根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得

答案．

【详解】

①
如果
α∥β
，m?α
，那么
m∥β
，故正确；

②
如果
m⊥ α
，
β⊥α
，那么
m∥β
，或
m?β
，故错误；< br>
③
如果
m⊥n
，
m⊥α
，
n∥β
，那么
α
，
β
关系不能确定，故错误；

④
如果< br>m∥β
，
m?α
，
α∩β
＝
n
，那么
m∥n
，故正确

故答案为：
B
【点睛】

本 题以命题的真假判断与应用为载体考查了空间直线与直线，直线与平面的位置关系及
几何

特征等知识点．

9．在
?ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对应的边分别为
a
，
b
，
c
，若
bc?1
，
b?2ccosA?0
，
则当角
B
取得最大值时，的周长为（ ）
A．
2?3
B．
2?2
C．3 D．
3?2

【答案】
A
【解析】在△ABC中，由正弦定理得：
sinB?2sinCcosA?0
∵
cosA??
∴A为钝角．∴
cosAcosC?0
，
由
sinAcosC?cosAsinC?﹣2cosAsinC
，
可得
tanA?﹣3tanC，tanC＞0
，
tanB=﹣
b
?0

2c
tanA?tanC
?
?
?2tanC
?
==
2
1?tanAtanC
1 ?3tanC
2
1
?3tanC
23
tanC
≤
2
=
3
，
3

9

当且 仅当tanC=
33
时取等号．∴B取得最大值
arctan
时，
33
∴
c?b?1，C?B?
∴a=2×
1?cos
?
6< br>．A?
2
?
．
3
?
6
=
3
．∴a+b+c=2+
3
．故答案为：2+
3
．
，
F< br>分别是
AB
、
BC
的中点，
10
．如图，在正三棱锥
A
—
BCD
中，点
E
、
则
A
—< br>BCD
的体积为

（

）


A
．
B
．

C
．
D
．

【答案】
A
【解析】

∵
点E
、
F
分别是
AB
、
BC
的中点，
∴ EF∥AC
，
∴AC⊥DE
；而
EF⊥DE
，由正三棱锥
A —BCD
可得
AC⊥BD
，而，
∴AC⊥
平面
ABD
，
∴AC⊥AB
，平面
ABD
，
AC⊥AD
，而三棱锥< br>A—BCD
是正三棱锥，
∴AB⊥AD
，且
AC=AB=AD
，这样在等腰直角
中可得。则
2
。故选
A
。

11 ．已知直线
l:xcos
?
?ysin
?
?1?0
?
a?R
?
与圆
?
x?2
?
?y?5
条件的直线< br>l
有（ ）条
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4

【答案】
C
? ?
2
?4
相切，则满足
【解析】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于 半径，即
2cos
?
?5sin
?
?1?2
，

10

25
），故
sin
?
?< br>?
?
?
?1
，或
3sin
?
?
?
?
?
?1?2
（其中
sin
?
?,cos
?
?
33
11
sin
?
?
?
?
?
??
，正弦值为
1
的只有在
y
轴正半轴，正弦值为
?
可以在第三或者第四象
33
限，故有
3
种可能，所以选
C
.
12．已知，则的最小值是（ ）
A． B．16 C． D．17
【答案】
D
【解析】


。

令 ，
又是增函数

11

，故选D.


13．已知一组数据，，…，的方差为3，若数据
的方差为12，则a的值为_______．
【答案】
【解析】

由题意知，
14．已知
这个球的表面积为
【答案】
【解析】

【分析】

由三条线段两两垂直，可以想到长方体模型，通过球的表面积，可以求出球的直
，解得.
，且 个点都在同一个球面上，

，，…，(a，bR)
三条线段两两垂直，长分别是
，则的值____．
径，而球的直径恰好是长方体的对角线，通过计算得出的值。
【详解】

设球的半径为，球的表面积为
已知
，
三条线段两两垂直，构造如下图所示的长方体：

，的值为3.

12

【点睛】

本题考查了四点共球问题
,
考查了补体的思想，属于基础题。

15 ．已知直线系方程
xcost?
?
y?1
?
sint?2
（ 其中
t
为参数）．当
t?
π
时，直线
l
与两坐标< br>6
轴所围成的三角形的面积为__________，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域
D
，
则区域
D
的面积为__________．
【答案】
33
4

123
或
3

2
3< br>31
π
x?
?
y?1
?
?2
，即
3 x?y?3
，当
x?0
时，
y?3
，时，直线为
226
【解析】当
t?
与
y
轴交于
?
0,3
?
点，当
y?0
时，
x?3
，与
x
轴交于?
3,0
点，∴直线
l
与两坐标轴
?
围成的三角形面积
S?
133
?3?3?
，设直线系中三条直线围成的是正三角形区域
D
，
22
先把整个直线系向下平移一个单位，这个区域
D
不会变，直 线系方程变为
xcost?ysint?2
，如果令
x?2cost
， y?2sint
，带入上面方程，等式成立，因此
?
2cost,2sint?
是直线上的点对于某个固定的
t
，注意到
x?2cost
，
y?2sint
是以原点为
圆心，半径为
2
的圆的参数方程，而xcost?ysint?2
恰好是此圆的切线，因此直线方程
xcost?ysint? 2
都是这个圆的切线的集合，那么这些切线组成的正三角形有两种情况，如
果圆是这个正三角形 的内切圆，面积是
123
，如果圆是正三角形的旁切元，面积是
4
3
，
3
故答案为(1)
33
4
(2)
123
或
3
．
2
3
0
16．在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边，已知
A?60,a?7
，现有以下判断：
①
b?c
不可能等于15； ②
cosCcosB7
；
??
cbbc
③作
A
关 于
BC
的对称点
A
?
,则AA
?
的最大值是
73
；
④若
B,C
为定点，则动点
A
的轨迹围成的封闭 图形的面积是
序号填在横线上______________。
【答案】
①②③

13
49
?
。请将所有正确的判断
3

【解析】

设
?ABC
的外接圆半径为
R
，则2R?
c?2RsinC?
asinC
sinA
，
asainB
，
,?b?2RsiBn?
sinAsinA
a

?b?c?2R?
sinB?sinC
?
?
sinA
??
?
s inB?sin120?B
?
?14
?
1
cosB?
3sinB
?
?14sinB?30
，
?b?c?14
，故①< br>???
2
?
2
??
????
正确；
asi nBcosCasinCcosB
asin
?
B?C
?
bcosC? ccosB????7
sinAsinAsinA
，
?
cosCcosBbcosC?ccosB7
，故②正确；
?bc?4R
2
sinBsinC

???
cbbcbc< br>?
3
?
a
2
1961
?sinBsin120?B? sinBcosB?sinB
??
?
2
?
sin
2
A32
??
??

98398
2
98
?
3 11
?
?sinBcosB?sinB?
?
sin2B?cos2B?
?
333
?
222
?
??
?
98
?1
?
sin2B?30?
，
??
3
?
2
?

??
0?B?120,?
当
2B?30?90
即
B?60
时，
bc
取得< br>最大值
49
，设
A
到直线
BC
的距离为
d< br>，则
d?
bscinA
，于是
a
AA'?2d?
2b csinA
,?AA'
的最大值为
a
2?49?
7
3
2
?73
，故③正确；如图所示，假设
线段
BC
水平放置， A
在直线
BC
上方，显然
A
在圆
O
的优弧BC
上运动，
BC?7,?BOC?2?A?120
，
?OB?
73
298
，
?S
O?BAC
?
?
?OB
2
?
?
，同理
3
39
可知当< br>A
直线
BC
下方时，以上结论也成立，
?
点
A的轨迹围成的封闭图形的面积是
196
?
，故④错误，故答案为①②③.
9
【

方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合正弦定理以及三角函数的恒

14

等变形，属于难题
.
这种题型综合性较强， 也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知
识点掌握不好而导致
“
全盘皆输
”
，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的
隐含条件，另外，要注意从简单 的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命
题
.

17．已 知
?ABC
中，
?A,?B,?C
的对边分别为
a,b,c
，若
a?1,2cosC?c?2b,

（1）求角
A

（2）求
?ABC
周长的取值范围.
【答案】（1）
A?
【解析】
试题分析：（1）将已知条件利用正弦定理化 为角之间的关系，然后利用三角形
（2）因为
a?1
由（1）知
A?
sinB?sin(A?C)
的性质求解；
?
3
；（2）周长的取值范围是< br>(2,3]
.
?
3
，利用正弦定理可得周长
l
?A BC
?
2
2
?
?
(sinB?sinC)?1
，将
C??B
代入化简得
l
?ABC
?2sin(B?)?1
， 因为
36
3
?
6
?B?
?
6
?
5
?
，利用正弦函数图象求出周长范围.
6
试题解析：（1）
2ac osC?c?2b
，利用正弦定理
2sinAcosC?sinC?2sinB
， < br>将
sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC
代入得
sinC?2cosAsinC
，
即
cosA?
（2）由
1
?
，
A?
6分
23
bca22
???(sinB?sinC)?1
， 得，
l
?ABC
?
sinBsinCsinA
33
将
C?
2
?
???
5
?

?B
代入化简得
l
?ABC
?2sin(B?)?1
，因为
?B??
36666
所以周长的取值范围是
(2,3]
12分
考点：正弦定理、三角形的性质、三角函数最值.
18．某市有
M,N,S
三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为
36,24,12
，现采用分
层抽样的方法从这些“干事”中抽取
6
名进行“大学生学习部活动现状”调查．
（1）求应从
M,N,S
这三所高校中分别抽取的“干事”人数；
（2）若 从抽取的
6
名干事中随机选两名干事，求选出的
2
名干事来自同一所高校的概 率．

15

【答案】（1）应从M，N，S这三所高校 抽取的“干事”人数分别为3，2，1；（2）
P
?
A
?
?
【解析】试题分析：（1）抽样比为：
事”人数分别为
4
.
15
61
?
36?24?1212
从
M,N,S
这三所高校抽取的“干< br>， 来；（2）在抽取到的名干事中,来自高校
M
的名分别记为
自高校
N
的名分别记为
果共种.事件
，来自高校
S
的名记为，则选出名干事 的所有可能结

P
?
A
?
?
的所有可能结果共种
4
.
15
试题解析：

（1）抽样比为：
61
?
，
36?24?1212
；
，
故应从
M,N,S
这三所高 校抽取的“干事”人数分别为
（2）在抽取到的名干事中,来自高校
M
的名分别记为< br>来自高校
N
的名分别记为，来自高校
S
的名记为，
则选出名干事的所有可能结果为
:




共
设
事件
种
.
所选名干事来自同一高校
,
的所有可能结果为共种
,
所以
P
?
A
?
?
4
.
15
考点：
1
、分层抽样；
2
、古典概型
. 【方法点晴】本题主要考查分层抽样、古典概型，涉及必然与或然思想和转化与化归思想，
考查数学 抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，具有一定的综合性，
属于中档题型.第一 小题先求出抽样比，再利用抽样比求出各层应抽取的人数；第二小题先
求选出

名干事的所有可能结果共种，再求出事件的所有可能结果共种，从而
16

P
?
A
?
?
4
. 15
田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内19．一个创业青年租用一块边长为4百米的等边
拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在CN上，规划在小
路MN与A P的交点O(O与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部
分为蜂源植物生长区，A ，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段
建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略 不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为
每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米4万元．

（Ⅰ）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；
（Ⅱ）设, 求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．
【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ）
元.
【解析】

【分析】

（Ⅰ）在中用余弦定理计算
，小路A O段与ON段的建造总费用最小为万
的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用.
（Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令
，将其变形为，利用辅助角公式可得

17

，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.
【详解】

（Ⅰ）在中，，
即，
故或（舎去），故，
所以段的建筑费用为万元.
（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，
故，
，
设小路和段的建造总费用为，
则，
令，且，，
即.
由，得，故，即或（舍去）.
当时，，故，其中，
故由，符合题意.
答：，小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.

18

【点睛】

把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三 角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这
样才能确定用什么定理去解决.求形如
的方程，利用
数的最值.
20．如图,在四棱锥中，
的函数最值，可将该函数转化为形如
得到的取值范围，验证等号能成立后可得函
为等边三角形,平面
为
平面
的中点.

(1)求二面角
(2)若点为线段
的余弦值；
上异于点的一点,,求的值.
【答案】（1）；（2）
平面，得到， 【解析】分析：（1）根据线面垂直的判定定理，先征得
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式， 即可求解二面角的余弦值.
（2）由（1）得
即可求得的值.
详解：(1)因为< br>又因为平面
平面
取
是等边三角形,为
平面,平面
,
的中点,所以
平面,
,
，进而得到平面，即，再利用，
,所以AO⊥平面
, 的中点,连结

19

由题设知四边形
由平面,又
是等腰梯形,所以
平面,所以
,
,
建立如图所示空间直角坐标系，

则
设平面的法向量为,

则
令
又平面
, 则
,即
, 于是

,
,设二面角为, 的一个法向量为
所以
(2)由(I)知
又所以
因为
所以
平面,所以
平面,又
,
.
平面,所以,
, 即,

,
由 及 , 解得

点睛：本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证
明与 求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与

20

直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构 成
.
同时对于
立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法 向量，利用向量的
夹角公式求解
.
21．已知函数
f
?
x
?
?2x?1
.
（1）若不等式
f
?
x?
?
?
1
?
??2m?1(m?0)
的解集为
?
??,?2
?
?
?< br>2,??
?
，求实数
m
的值；
2
?
（2） 若不等式
f
?
x
?
?2
y
?
值.
【答案】(1)
m?
a
?2x?3
对任意的实数
x,y? R
恒成立，求正实数
a
的最小
y
2
3
；(2)4.
2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为
??,?2< br>?
?
?
2,??
，再
??
13
（Ⅱ）不等式 恒成立问题，一般转化为
?2
，解得
m?
．
22
a
对应函数最值问题，即
2x?1?2x?3?2
y
?
y
，根据绝对值 三角不等式可得
max
2
根据解集相等关系得
m?
??
?< br>2x?1?2x?3
?
??
max
?4
，再利用变量分离转化 为对应函数最值问题：
?
2
y
?4?2
y
?
?< br>2
?
?
yy
?
，根据基本不等式求最值：
2
y
4?2
y
a?
?
24?2
??
max
??
??
?
?
?4
，因
?
?
2
此
a?4
，所以实数
a
的最小值为4．
试题解析：（Ⅰ）由题意知不 等式
2x?2m?1(m?0)
的解集为
?
??,?2
?
?
?
2,??
?
．
11
?x?m?
，
22
13
所以，由
m??2
，解得
m?
． 22
aa
（Ⅱ）不等式
f
?
x
?
?2
y
?
y
?2x?3
等价于
2x?1?2x?3?2
y
?
y
，
22
a
由题意知
2x?1?2x?3?2
y
?
y
．
max
2
由
2x?2m?1
，得
?m?
??
因为
2x?1?2x?3?
?
2x?1?
?
?
2x?3
?
?4
，
所以
2< br>y
?
a
2
即
a?
?
2
y
4 ?
?4
，
y
?
2
?
y
?
则
a?
?
?
?
?
2
?
4?2
?
?
?
对任意
y?R
都成立，
yy
max
．而

21

24?2
y
?
y
?
?
2
y
?4?2
y
?
?
2
?
?
??
?
?
?4
，当且仅当
2
y
?4?2< br>y
，即
y?1
时等号成立，
?
?
2
故a?4
，所以实数
a
的最小值为4．
22．已知圆，直线过点，且，是直线上的动点，线段
与圆的交点为点，是关于轴的对称点.

（1）求直线的方程；
（2）若在圆上存在点，使得
（3）已知是圆上不同的两点，且
，求的取值范围；
，试证明直线的斜率为定值.
【答案】（1）
【解析】

试题分析：（1）由
；（2）；（3）证明见解析.
，可得直线的斜率为，再根据点 斜式即可得直线的方程；（2）
由与
，可得
可得，
，设
，进而可得的 取值范围；（3）由
，则则直线的方程为：，直
线的方程为：，联立
，将
，消 去得：
的坐标用表示，根据两点连线斜率公式化简
后即可得到直线的斜率为定值.

22

试题解析：（1）∵，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为：，即.
为圆的切线时，
，故只需
最大，此时
即可，即，
， （2）如图可知，对每个给定的点，当
若此时，则
又，代入得：
.

（3）据题意可求，
∵是关于轴的对称点，，∴，设，则，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
联立，消去得：，
∵，同理可求，
，
故直线的斜率为定值.

23

考点：直线与圆的方程及直线与圆的位置关系

24