高一数学下期末试卷(含答案)

高一数学下学期期末考试
第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：
三角函数积化和差公式 三角函数和差化积公式
sinαcosρ=
1
2
1
2
1< br>2
[sin(α+ρ)+sin(α﹣ρ)] sinα+sinρ=2sin
α +ρ
2
cos
α
2
ρ

ρ
cosαsinρ=[sin(α+ρ)﹣sin(α﹣ρ)] sinα﹣sinρ =2cos
α+ρ
2
α+ρ
2
sin
α
2
α

ρ
cosαcosρ=[cos(α+ρ)+cos(α﹣ρ)] cosα﹣cosρ=2coscos
2
α
2

ρ
sinα sinρ=－
1
2
[cos(α+ρ)－sin(α﹣ρ)] cosα﹣cosρ=--2sin
A
α+ρ
2
sin
B
y=Asinωx+Bcosωx=
∈
[
0,2π
)

A+ B
22
sin(ωx+θ)，其中cosθ=，sinθ=
22
A+B
2
A+B
2
θ
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） < br>4
?
5
?
?
3
?
?
?
1． 用sin，cos，tan，cot，2sin·cos作为集合A中的元素，则集合A中
3
6
4
4
33
元素的个数为
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2．已知点（3，4）在角α的终边上，则sinα+cosα+tanα的值为
A、
7
3
B、
3
7
C、
43
20
D、
41
15

3．已知|a|=8, |b|=6, 向量a、b所夹角为120°,则|a﹣b|为
A、2
37
B、
37
C、2
13
D、
13

4．已知集合M={a|a=2kπ k∈z} P={a|a=(2k+1)π k∈z)} Q={a|a=(4k+1)π k∈z}
a∈M, b∈P 则a+b∈（ ）
A、M B、P C、Q D、不确定
5．若非零向量a、b，a不平行b,且|a|=|b|，那么向量a+b与a﹣b的关系是
A、相等 B、相交且不垂直 C、垂直 D、不确定
6．下列命题中正确的是
①|a·b|=|a||b| ②(ab)
2
=a
2
·b
2
③a⊥(b－c)则ab－ac=0 ④a·b=0,则|a+b|=|a－b|
A、①② B、③④ C、①③ D、②④
7．在△ABC中，∠B为一内角，sinB－cosB>0, cotBA、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

8．下列不等式正确的是
A、sin
1
2
1
3
B、sin
1
2
≤cos
1
3
C、sin
1
2
>cos
1
3
D、sin
1
2
≥cos
1
3

9．如图扇形 ABB
1
A
1
的中心角APB=θ，θ∈（0，2π），设PA
1< br>=x, AA
1
=L, 给出下列四个
结论①θ=
?
2
A
1
B
1
x
︵
?
AB
︵
L?x
②AB︵
AB?A
1
B
1
L
︵
︵
④S 扇环
A
BB
1
A
1
=(L
2
+2Lx)其 中正确的个数
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

10．有向线段
AB
上有异于A、B的100个等分点P
1
P
2
……P
100
，则Pi(i=1、2、3…100)分有
向线段
AB
的比λ的最大值与最小值分别为
A、101，
1
102
B、101，
?
3
1
101
C、100，
1
100
D、99，
1
99

11．若函数y=cos(2x－)+1的图像按
a
=(h·k), (h>0, 且h为最小角)平移后得到的图形是函
数y=cos2x的图像，那么
a
=（ ）
π
6
A、
a
=（，1） B、
a
=（
3
2
?
6
，1） C、
a
=（
π
6
，-1） D、
a
=（
5
?
6
，-1）
12．已知cosα =
A、[
3
2
cos
2
α+cos
2
β， 则sin
2
α+sin
2
β的范围为
7
2
，+∞） B、[2，] C、[
3
2
、
7
2
] D、[
14
9
，2]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
13．若sin
2
β=
9
16
，β为第二象限角，则tan2β=_________。
14．若
OA
=（1，0），
OB
=（1+
3
，1），
OC
=（1，2），则△ABC的形状为______。
15．已知函数f(x)=x
2
，那么
为_____________。 < br>16．如图（一）边长为3的正方形中，有16个交点，从中任取2个组成向量，则与
AC
平
行且长度为2
2
的向量个数f(3)=8.

1
2< br>[f(a)+f(b)]与f(
a+b
2
)的大小关系为__________ _____，化简后

如图（二）边长为4的正方形中，有25个交点，从中任 取2个组成的向量与向量
AC
平行
且长度为3
2
的向量个数f(4) =____________。



三、解答题（本大题共6小题，17题至21题每题12分，22题14分，共74分）
注意事项：要求写出必要的推理、证明、演算的过程。
17．（本题12分）已知在△ABC中，tanA=-
（1）求∠A （可用反三角表示）；
（2）求




18．（本题12分）如图：在直角坐标系中
OA
=a,
OB
=b，M为平面内的一点，M关于A的
对称点S，S关于B的对称点为N。
（1）试用a,b表示向量
MN
；
（2）若A、B是动点，且
OA
=(cosα,sinα)，
OB
=(2cosβ,2sinβ)，求|
MN
|的取值范围。








??
22
?
2
19．（本题12分）若a、b、c∈R，且a=x－2y+,b=y+,c=z－2x +,求证：a、b、c
236
1
4

1
2sinAcosAcos
2
A
的值。
中至少有一个大于零。

20．（本题12分）已知|
OA
|=|
OB
|=1，< br>OA
，
OB
的夹角为120°。
（1）若四边形OACB为平行四边 表，试用
OA
、
OB
表示
OC
，并求|
OC
|；
（2）若|
OC
|=5，
OC
与
OA
的夹 角为30°，试用
OA
，
OB
表示
OC
。





21．（本题12分）已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx,(A,B, ω∈R且ω>0 )，若f(x)的最小正周
期为1，且当x=
1
12
时f(x)取得最大值2 。
（1）求f(x)的解析式；
（2）在[0，1）内求f(x)的单调区间，并说明单调性；
（3）在区间[
由。

22．（本题满分14分）如图：扇形的半径为1，中心角为
?
3
13
6
，3]上是否存在对称轴，若存在请求出对称轴方程，若不存在，请说明理
，请 设计一种方案，使得扇形内
接矩形的面积最大，求最大值，并说明理由。（内接矩形是指矩形的四个顶点 都在扇形的弧
上和半径上）

高一数学下学期期末考试8答案
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1、C 2、D 3、A 4、B 5、C 6、B 7、C 8、A 9、D 10、C
11、D 12、D
二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
13、3
7
14、等边三角形（正三角形） 15、
1
2
[f(a)+f(b)]≥f(
a+b
2
)
a
2
+b
2
≥2ab当且仅当a=b时取等号 16、f(4)=8
三、解答题（本大题共6小题，17至21题每题12分，22题14分，共74分）
17、 解：（1）∵tanA=-
即A=π－arctan
1
4
1
4
∴∠A为钝角 ………………………………2分
……………………………………5分
1
222
(2)
1
2sinA cosAcos
2
A
=
sinA+cosA
2
2sinAc osAcosA
=
tanA+1
2tanA1
=
16
1+1
1
2
=
17
24
…12分
18、解：（1）（法一）连接AB，得向量
AB
=b－a
由三解形的中位线及平行向量得
MN
=2(b－a) （法二，可用坐标法） ……3分
（2）（法一）|
MN
|=2|b－a|,||a|－|b||≤|b－a |≤|a|+|b|
即|
MN
|∈[2，6]
（法二）|
MN< br>|=2
(cos
α
2cos
β
)+(sin
α
2sin
β
)=
∵|cos(α－β)|≤1
∴2≤|
MN
|≤6
19、证明：设a≤0, b≤0, c≤0 ………………3分
则有a+b+c≤0
??
?
而a+b+c=(x
2
－2y+)+(y
2
－2z+)+(z
2
－2x+)
236
22
54cos(
αβ
)

=(x－1)< br>2
+(y－1)
2
+(z－1)
2
+(π－3) ……………………8分
∵(x－1)
2
≥0 (y－1)
2
≥0 (z－1)
2
≥0 π－3>0 ……………………10分
∴a+b+c>0与a+b+c≤0矛盾
∴原命题正确 ……………………12分
20、解：（1）如图∵
AC
=
OB
，由向量的加法

法则得
OA
+
AC
=
OC
……………………3分

∴
OC
=
OA
+
OB
，|
OC
|=
(OA)+(OB)
222|OA|OB|cos60°
=1 …………5分
（2）如图，设
OC
=m
OA
+n
OB
，(m, n∈R)
∴
OA
≠0,
OB
≠0 ………………7分
∴
OC
·
OA
=m
OA
·
OA
+ n
OB
·
OB

3
2
1
2
即 5×1×=m－
m
2
n
5×1×0=+n
?
m=
10
3
3
n=
53
3
2
∴
OC
=
10
33
OA
+
53
3
OB
…………………12分
21、解：（1）f(x)=
[θ∈[0,)
则ω=2π，
A+B
2
A+B
2
Sin(ωx+
θ
) Cosθ=
A
A+B
22
Sinθ=
B
A+B
22

2
=2，Sin（
2< br>?
12
+θ）=1，θ=
?
3
………………4分
∴f(x)=2Sin(2πx+
（2）当2kπ－
当2kπ+< br>?
2
?
3
)
?
3
?
2
≤ 2πx+
?
3
≤2π+
3
2
?
2
，即k－
1
12
7
5
12
≤x≤k+
7
12
7
1
12
k∈z时增 …………5分
≤2πx+≤2π+
1
12
π，即k+
1
12
≤x≤k+
]上减，[
k∈z时减 …………6分
，1）上增 …………8分 ∵x∈[0,1) ∴在[0，
（3）令2πx+= kπ+
即
26
12
]上增，[k
2
，
1212
?
2
, x=+
1
12
………………9分
≤
6k+1
12
≤
31
36
12
k=5 ………………11分
存在对称轴x= ………………12分
12
︵
22、解：如图（一）取AB上一点P，连OP，作矩形PQRS
?
设∠POA=θ(0<θ<) ………………1分
6
在△POS中，∠OSP=
5
?
6

PS=2Sinθ …………………2分

OS=2Sin(
?
6
－θ)
在△OSR中
RS=OS ………………3分
?
S
1
=PS·RS=4Sinθ·Sin(－θ) ………………4分
6
=2[Cos(2θ－
≤2－
3

当θ=
?
6
)－Cos
?
6
]
时取等号 ………………6分（合计6分）
12
︵
如图（二）取AB上一点P，作矩形PQRS
?
设∠POA=θ，（0<θ<） ……………………1分
3
?
在△PSO中，PS=Sinθ
?
在△PQO中，∠POQ=－θ
∠PQO=
π
3
2
3
3
2
?
3

Sin(
θ
)
=
π
PQ=
Sin
233
Sin(
?
3
－θ)
S
2
=PQ·PS=
23
3
Sinθ·Sin(
?
3
－θ)
=< br>3
3
[(Cos(2θ－
?
3
)－Cos
?
3
]
≤
当θ=
3
3
(1－
1
2)=
3
6

?
6
时取等号 …………………………6分（合计6分）
1273
6
144
6
14 7
S
1
－S
2
=
=
<0
即S
1
2

∴如图二的矩形面积最大为


3
6
…………………………14分