高中学业水平考试数学试卷

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高中数学学业水平考试试卷

一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）


1
．已知集合
M=
{
0
，1
}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0，
1
}，则集合
N
共有（ ）个．
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4

2
． 直线
x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+y
﹣
2=0
的交点坐标是（ ）

A
．（
2
，﹣
2
）
B
．（﹣
2
，
2
）
C
．（﹣
2
，
1
）
D
．（
3
，﹣
4
）

3
．不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域（用阴影表示） 是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

4
．已知
cosα=
﹣，
α
是第三 象限的角，则
sinα=
（ ）

A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．

5
．已知函数f
（
x
）
=a
x
（
a
＞
0< br>，
a
≠
1
）在[
1
，
2
]上的最大 值和最小值的和为
6
，
则
a=
（ ）

A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5

b
，
A=120°
，则
B
的大小为（ ）

6
．在△
ABC
中，
a=
A
．
30° B
．
45° C
．
60° D
．
90°

7
．一支田径队有男运动员
49
人，女运动员
35
人，用分层抽样的 方法从全体运
动员中抽出一个容量为
24
的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（ ）

A
．
10 B
．
12 C
．
14 D
．
16

8
．已知
tanα=2
，则
t an
（
α
﹣
A
．
B
．
C
．
D
．﹣
3

9
．圆
x
2< br>+
y
2
=1
与圆（
x
+
1
）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的位置关系是 （ ）

A
．相外切
B
．相内切
C
．相交
D
．相离

）
=
（ ）
< br>10
．如图，圆
O
内有一个内接三角形
ABC
，且直径
AB=2
，∠
ABC=45°
，在圆
O
内随机撒一粒黄豆，则它落 在三角形
ABC
内（阴影部分）的概率是（ ）

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A
．


B
．
C
．
D
．

二、填空题（共
5
小题，每小题4
分，满分
20
分）

11
．不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
的解集是

．

12
．把二进制数
10011
（
2
）
转化为十进制 的数为

．

13
．已知函数
f
（
x
）
=Asinωx
（
A
＞
0
，
ω＞
0
）的图象如图所示，则
A
，
ω
的值分
别是

．


14
．已知函数
f
（x
）
=4
﹣
log
2
x
，
x
∈[
2
，
8
]，则
f
（
x
）的值域是

．

15
．点
P
是直线
x
+
y
﹣
2=0
上的动点，点
Q
是圆
x
2
+
y
2
=1
上的动点，则线段
PQ
长
的最 小值为

．



三、解答题（共
5
小题，满分
40
分）

16．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛
10
场得分可用茎叶图表示如图：
（
1
）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎
叶 图中用
m
表示，若甲运动员成绩的中位数是
33
，求
m
的值 ；

（
2
）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[
20
，
40
]内的概率．

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17
．已知向量
=
（
sinx
，1
），
=
（
2cosx
，
3
），
x< br>∈
R
．

（
1
）当
=λ
时，求实数
λ
和
tanx
的值；

（
2
）设函数f
（
x
）
=?
，求
f
（
x
） 的最小正周期和单调递减区间．

18
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
中，平面
PAB
⊥平面
ABC
，△
PAB
是等边三角形，
AC
⊥
BC
，且
AC=BC=2
，
O
、
D
分别是
AB
，
PB
的中点．

（
1
）求证：
PA
∥平面
COD
；

（
2
）求三棱锥
P
﹣
ABC
的体积．


19
．已知函数
f
（
x
）
=2
+的图象经过点（
2
，
3
），
a
为常数．

（
1
）求
a
的值和函数
f
（
x
）的定义 域；

（
2
）用函数单调性定义证明
f
（
x
）在（
a
，+∞）上是减函数．

20
．已知数列{
a< br>n
}的各项均为正数，其前
n
项和为
S
n
，且
a
n
2
+
a
n
=2S
n
，
n< br>∈
N
*
．

（
1
）求
a
1
及
a
n
；

（
2
）求满足
S
n
＞
210
时
n
的最小值；

（
3
）令
b
n
=4


，证明：对一切正整数
n
，都有+++
…
+＜．

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参考答案与试题解析

一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）< br>

1
．已知集合
M=
{
0
，
1< br>}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0
，< br>1
}，则集合
N
共有（ ）个．
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4

【考点】
19
：集合的相等．

【分析】根据集合的包含关系求出集合
N
的个数即可．

【解答】解 ：
M=
{
0
，
1
}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0
，
1
}，

则
N
?
M
，

故
N=
?，{0
}，{
1
}，{
0
，
1
}共
4种可能，

故选：
D
．



2．直线
x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0
的交点坐标是（ ）

A
．（
2
，﹣
2
）
B
．（﹣
2
，
2
）
C
．（﹣
2
，
1
）
D
．（
3
，﹣
4
）

【考点】
IM
：两条直线的交点坐标．

【分析】根据题意，联立两 直线的方程，解可得
x
、
y
的值，即可得交点坐标，
即可得答案．< br>
【解答】解：根据题意，联立
解可得，

，

即直 线
x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0
的交点坐标是（
2
，﹣
2
）；

故选：
A
．



3
．不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域（用阴影表示 ）是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】
7B
：二元一次不等式（组）与平面区域．

【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式，判断不等式是
否成立后得二元 一次不等式表示的平面区域．

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【解答】解：画出不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0对应的函数
2x
+
y
﹣
3=0
的图象，
取点（
0
，
0
），把该点的坐标代入不等式
2x
+y
﹣
3
≤
0
成立，说明不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
示的平面区域与点（
0
，
0< br>）同侧，


所以不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域在直线
2x
+
y
﹣
3=0
的右下方，并含直线．
故选
B
．


< br>4
．已知
cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
si nα=
（ ）

A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．

【考点】
GH
：同角三角函数基本关系的运用．

【分析】利用同角 三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求
得
sinα
的值．

【解答】解：∵
cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
sinα=
﹣
故选：
C
．



5
．已知函数
f
（
x
）
=a
x
（
a
＞
0
，
a
≠
1
）在[
1
，
2< br>]上的最大值和最小值的和为
6
，
则
a=
（ ）

A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5

=
﹣，

【考点】
49
：指数函数的图象与性质．

【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．

【解答】解：根据指数函数的性质：

当
x=1
时，
f（
x
）取得最大值，那么
x=2
取得最小值，

或者< br>x=1
时，
f
（
x
）取得最小值，那么
x=2
取得最大值．

∴
a
+
a
2
=6
．

∵
a
＞
0
，
a
≠
1
，

∴
a=2
．

故选：
A
．



6
．在△
ABC
中，
a=b
，
A=12 0°
，则
B
的大小为（ ）

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A
．
30° B
．
45° C
．
60° D
．
90°

【考点】
HP
：正弦定理．

【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求
sinB=
，结合
B
的范
围即可得解
B
的值．

【解答】解：∵
a=
∴由正弦定理
又∵
B
∈（
0°
，
60°
），

∴
B=30°
．

故选：
A
．



7
．一支田径队有男运动员
49
人，女运动员
35
人，用分层抽样的方法从全体运
动员中抽出一个容量为
24
的样本，则应 从男运动员中抽出的人数为（ ）

A
．
10 B
．
12 C
．
14 D
．
16

【考点】
B3
：分层抽样方法．

【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得
所求．

【解答】解：每个个体被抽到的概率等于
数为
49
×
=14
，

故选：
C



8
．已知
t anα=2
，则
tan
（
α
﹣
A
．
B
．
C
．
D
．﹣
3

【考点】
GR
：两角和与差的正切函数．

【分析】由题意直接利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．

【解答】解：∵< br>tanα=2
，则
tan
（
α
﹣
故选：
B< br>．



）
==
，

）
=
（ ）

=
，则应从男运动员中抽出的人
b
，
A=120°
，

，可得：
sinB=
，

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9
．圆
x
2
+
y
2
=1
与圆（
x
+
1
）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的位置关系是（ ）

A
．相外切
B
．相内切
C
．相交
D
．相离

【考点】
JA
：圆与圆的位置关系及其判定．

【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．

【解答 】解：圆
x
2
+
y
2
=1
的圆心（
0，
0
）半径为
1
；圆（
x
+
1
）2
+（
y
+
4
）
2
=16
的
圆心（﹣
1
，﹣
4
），半径为
4
，

圆心距为：
=
，半径和为
5
，半径差为：
3
，（
3
，
5
）．

所以两个圆的位置关系是相交．

故选：
C
．



10
．如图，圆
O
内有一个内接三角形
ABC
，且直径
AB=2
，∠
AB C=45°
，在圆
O
内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形
ABC
内（ 阴影部分）的概率是（ ）


A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】
CF
：几何概型．

【分析】根据题意，计算圆
O
的面积
S
圆
和△
AB C
的面积
S
△
ABC
，求它们的面积比
即可．
< br>【解答】解：圆
O
的直径
AB=2
，半径为
1
，
所以圆的面积为
S
圆
=π?1
2
=π
；

△
ABC
的面积为
S
△
ABC
=?2?1=1，

在圆
O
内随机撒一粒黄豆，它落在△
ABC
内（阴 影部分）的概率是

P==
．

故选：
D
．

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二、填空题（共
5
小题，每小题
4
分，满分
20
分）

11
．不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
的解集是 {
x
|
0
≤
x
≤
5
} ．

【考点】
74
：一元二次不等式的解法．

【分析】把不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
化为
x
（
x< br>﹣
5
）≤
0
，求出解集即可．

【解答】解：不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
可化为

x
（
x
﹣
5
）≤
0
，

解得
0
≤
x
≤
5
，

∴不等式的 解集是{
x
|
0
≤
x
≤
5
}．

故答案为：{
x
|
0
≤
x
≤
5
} ．



12
．把二进制数
10011
（
2
）
转化为十进制的数为
19
．

【考点】
WC
：
mod
的完全同余系和简化剩余系．
【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转
换为十进制方法逐位 进行转换，即可得到答案．

【解答】解：
10011
（
2
）
=1
+
1
×
2
+
1
×
2
4
=19

故答案为：
19



13
．已知函数
f
（
x
）
=Asinωx
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
）的图象如图所示，则
A< br>，
ω
的值分
别是
3
，
2
．


【考点】
HK
：由
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的部分图象确定其解析式．

【分析】根据图象信息即可求出
A
，
ω
的值．

【解答】解：根据图象，可知最高点为
3
，最低点﹣
3
，

∴
A=3
．

从图可以看出周期
T=π
，即
∴
ω=2
．

=π
，

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故答案为：
3
，
2
．



14
．已知函数
f
（
x
）
=4
﹣
log
2
x
，
x
∈[
2
，
8
]，则
f
（
x
）的值域是 [
1
，
3
] ．

【考点】
34
：函数的值域．

【分析】由
x
∈[
2
，
8
]上结合对数函数的单调性，即可求出函数的值域．

【解答】解：∵函数
f
（
x
）
=4
﹣
log2
x
在
x
∈[
2
，
8
]时单调递减，

∴当
x=2
时函数取最大值
4
﹣
log
2
2=3
，

当
x=8
时函数取最小值
4
﹣
log
2
8=1
，

∴函数
f
（
x
）的值域为[
1
，
3
]，

故答案为：[
1
，
3
]．



15
．点
P
是直线
x
+
y
﹣
2=0
上的动点，点
Q
是圆
x
2
+
y
2
=1< br>上的动点，则线段
PQ
长
的最小值为 ．

【考点】
J9
：直线与圆的位置关系．

【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．

【解答】解：圆心（
0
，
0
）到直线
x
+
y
﹣
2=0
的 距离
d=
1
，

知最小距离为
故答案为：


三、解答题（共
5
小题，满分
40
分）

16
．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛
10
场得分可用茎叶图表示如图：
（
1
）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎
叶图中用
m
表示，若甲运动员成绩的中位数是
33
，求
m< br>的值；

（
2
）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[
20
，
40
]内的概率．

1
．

．

=
．再由
d
﹣
r=
﹣

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【考点】
CC
：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA
：茎叶图．

【分析】（
1
）由茎叶图性质利用中位数定义 列出方程，求出
m
．

（
2
）由篮球运动员乙的季后赛10
场得分中有
5
场得分在区间[
20
，
40
]内，能估
计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[
20
，
40
] 内的概率．

【解答】解：（
1
）由茎叶图性质得：

中位数为：
解得
m=4
．

（
2
）∵篮球 运动员乙的季后赛
10
场得分中有
5
场得分在区间[
20
，
40
]内，

∴可以估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[
2 0
，
40
]内的概率为．



17
．已 知向量
=
（
sinx
，
1
），
=
（
2cosx
，
3
），
x
∈
R
．

（
1
）当
=λ
时，求实数
λ
和
tanx
的值；

（
2
）设函数
f
（
x
）
=?
，求
f
（
x
）的最小正周期和单调递减区间．

【考点】
GL
：三角函数中的恒等变换应用；
9R
：平面向量数量积的运算 ．

【分析】（
1
）根据向量的运算性质，向量相等即可求解．
< br>（
2
）根据函数
f
（
x
）
=?
，求 出
f
（
x
）的解析式，即可求出
f
（
x
） 的最小正周
期和单调递减区间．

【解答】解：（
1
）向量
=
（
sinx
，
1
），
=
（
2cosx< br>，
3
），
x
∈
R
．

当
=λ
时，可得
∴，即
tanx=
．


=33
，

（
2
）函数
f
（
x
）
=?
，

∴
f
（
x
）
=2sinxcosx
+
3=sin2x
+
3
．

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∴
f
（
x< br>）的最小正周期
T=
∵
f
（
x
）单调递减．

则
得：≤
x
≤
．

，
k
∈
Z
，

．

，]，
k
∈
Z
．

∴
f
（
x
）的单调递减区间为[


18
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
中，平面
PAB
⊥平 面
ABC
，△
PAB
是等边三角形，
AC
⊥
BC< br>，且
AC=BC=2
，
O
、
D
分别是
AB< br>，
PB
的中点．

（
1
）求证：
PA
∥平面
COD
；

（
2
）求三棱锥
P
﹣
ABC
的体积．


【考点】
LF
：棱柱、棱锥、棱台的体积；
LS
：直线与 平面平行的判定．


D
分别是
AB
，
PB
的中点，【分析】（
1
）由
O
、得
OD
∥
AP< br>，即可得
PA
∥平面
COD
．
（
2
）连接< br>OP
，得
OP
⊥面
ABC
，且
OP=
的体积
V==
．

．即可得三棱锥
P
﹣
ABC
【 解答】解：（
1
）∵
O
、
D
分别是
AB
，
PB
的中点，∴
OD
∥
AP

又
PA?平面
COD
，
OD
?平面
COD

∴
PA
∥平面
COD
．

（
2
） 连接
OP
，由△
PAB
是等边三角形，则
OP
⊥
A B

又∵平面
PAB
⊥平面
ABC
，∴
OP
⊥面
ABC
，且
OP=
∴三棱锥
P
﹣
ABC的体积
V==
．

．

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19
．已知函数
f
（
x
）
=2
+的图象经过点（
2
，
3
），
a< br>为常数．

（
1
）求
a
的值和函数
f
（
x
）的定义域；

（
2
）用函数单调性定义证明
f
（
x
）在（
a
，+∞）上是减函数．

【考点 】
3E
：函数单调性的判断与证明；
33
：函数的定义域及其求法．

【分析】（
1
）把点（
2
，
3
）代入函数解析式求 出
a
的值；根据
f
（
x
）的解析式，
求出它的定义 域；

（
2
）用单调性定义证明
f
（
x
） 在（
1
，+∞）上是减函数即可．

【解答】解：（
1
）函 数
f
（
x
）
=2
+
∴
2
+
=3
，解得
a=1
；

，且
x
﹣
1≠
0
，则
x
≠
1
，

的图象经过点（
2
，
3
），

∴
f
（
x
）
=2
+
∴函数
f
（
x
） 的定义域为{
x
|
x
≠
1
}；

（
2
）用函数单调性定义证明
f
（
x
）在（
1
，+ ∞）上是减函数如下；

设
1
＜
x
1
＜
x
2
，则

f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）
=
（
2
+）﹣（
2
+）
=
，

∵
1
＜
x
1
＜
x
2
，∴
x
2
﹣
x
1
＞
0
，
x
1
﹣
1
＞
0
，
x
2
﹣
1
＞
0
，

∴
f
（
x
1
）＞
f
（
x
2
），

∴
f
（
x
）在（
1
，+∞）上是减函数．



20
．已知数列{
a
n
}的各项均为正数，其 前
n
项和为
S
n
，且
a
n
2
+< br>a
n
=2S
n
，
n
∈
N
*
．

（
1
）求
a
1
及
a
n
；

（
2
）求满足
S
n
＞
210
时
n
的最小值；

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（3
）令
b
n
=4
，证明：对一切正整数
n
，都 有+++
…
+＜．

【考点】
8K
：数列与不等式的综合；
8E
：数列的求和．

【分析】（
1
）当
n=1
时，，由此能求出
a
1< br>=1
，由
a
n
2
+
a
n
=2Sn
，得
，从而（
a
n
+
a
n
﹣
1
）（
a
n
﹣
a
n
﹣
1
﹣1
）
=0
，进而数列{
a
n
}是首项和
公差都 为
1
的等差数列，由此能求出
a
n
=n
．

（
2
）求出
S
n
=
（
3
）由题意得，由此能求出满足
S
n
＞
210
时
n
的最小值 ．

，从而数列{
++
}是首项和公比都是的等比数列，由此能
+< br>…
+＜．

证明对一切正整数
n
，都有
【解答】解： （
1
）∵数列{
a
n
}的各项均为正数，其前
n
项 和为
S
n
，且
a
n
2
+
a
n=2S
n
，
n
∈
N
*
．

∴ 当
n=1
时，
∵
a
n
2
+
a
n< br>=2S
n
，①，∴
①﹣②，得：
，且
a
1
＞
0
，解得
a
1
=1
，

，②

，

整理，得：（
a
n
+
a
n
﹣
1
）（
a
n
﹣
a
n
﹣
1
﹣
1
）
=0
，

∵
a
n
＞
0
，∴
a
n
﹣
a
n
﹣
1
=1< br>，

∴数列{
a
n
}是首项和公差都为
1
的等差数列，

∴
a
n
=n
．

（
2
）∵数列{
a
n
}是首项和公差都为
1
的等差数列，
a
n=n
．

∴
S
n
=
，

，

∵
S
n
＞
210
，∴
整理， 得
n
2
+
n
﹣
420
＞
0
，解得
n
＞
20
（
n
＜﹣
21
舍），

∴满足
S
n
＞
210
时
n
的最小值是21
．

证明：（
3
）由题意得
∴数列{
，则，

}是首项和公比都是的等比数列，

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∴+++
…
+
==
．

故对一切正整数
n
，都有


+++
…
+＜．

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20XX
年
7
月
13
日