高一数学下册单元测试题

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主要是幂函数，函数的应用（Ⅱ），其次第二章和第三章的复习）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试
时间为120分钟。

第I卷（选择题 60分）

注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅
笔涂写在答题卡。
2 ．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给
出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简
log
3
4?log
4
5?log
5
8?log
8
9
的结果是
（ ）
B． C．2 D．3
3
2
A．1
2．设f，g都是由A到A的映射（其中A={1,2,3}），其对应法则如
下表：

f
1
1
2
1
3
2

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g
则f (g(3)) =


（ ）
A．1
2
3

2 1
B．2
ln(x?1)
?x?3x?4
C．3 D．不存在
3．函数
y?

的定义域为
（ ）
A．
(?4,?1)
B．
(?4,1)



C．
(?1,1)
D．
(?1,1]

4．设x，y为非零实数，则下列等式或不等式恒成立的是



（ ）
A．
log
a
x
2
?2loga
x
B．
log
a
x
2
?2log
a
|x|

C．
log
a
|x?y|?log
a
|x|log
a
|y|
D．
log
a
3?log
a
2

5．若函数
y?f(x)
是函数
y?a
x
(a?0,且a? 1)
的反函数，其图像经过点
(a,a)
，则
f(x)?



（ ）
A．
log
2
x
B．
log
1
x
C．
2
2
1
2
x
D．
x
26．如果幂函数的图象
y?(m
2
?3m?3)x
m?m?2
不 过原点, 则
m
的取值范围
是 （ ）


A．
?1?m?2


D．
m?1
C．
m??1
或
m?2

B．
m?1
或
m?2

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11
?
7．设
a?log
1
2,b?log1
,c?
?
??
，则
3
?
2
?
32
0.3

（ ）
A．
a?b?c
B．
a?c?b
C．
b?c?a
D．
b?a?c

8．若定义在区间（－ 1，0）内的函数
f(x)?log
2a
(x?1)满足f(x)?0
,则a 的
取值范围是（ ）
A．
(,??)

1
2
B．
?
0,
?

?
2
?
?
1
?
C．
(0,)

1
2
D．
(0,??)

9．下列函数中，在
(??,0)
内是减函数的是



（ ）
A．
y?1?x
B．
y?()
1?x

D．
y?x
2
?2x

1
2

C．
y?log
1
|x|

2
1
?a
10．设
a?
?
?11，，，3
?
，则使函数
y?x
的定义域为
R
且为奇函数的所有
a
?
?
2
?
值为
A．1，3
（ ）
B．－1，1 C．－1，3

D．－1，1，3
11．下列函数中是幂函数的为
（ ）
（1）
y?ax(a,m
为非0常数，且
a?1)
（2）
y?x?x
2
（3）
y?x
e?
?
m
1
3
（4）
y?(x?1)
3

A．（1）（3）（4）
D．全不是
B．（3） C．（3）（4）
12．某林区的森林蓄积量每年 比一年平均增长10.4%，要增长到原来
的x倍，需经过y年，则函数y = f(x)的图象大致为

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（ ）






第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填
在题中横线上.
1
13．幂函数
y?x
n?n?1
(n?N
?
)
的 定义域为 .
2
14．函数
f(x)?lnx?x?2
的零点个数为 .
15．已知集合A={x|log
2
x≤2}，B=(?,a)，若A
值 范围是(c,+)，其中c= ．
B，则实数a的取
16．（1）幂函数的图象一定过（1，1）点.
（2）幂函数的图象一定不过第四象限.
（3）对于第一象限的每一点M，一定存在某个指数函数，它
的图象过该点M.
x?1
y?3(x?R)
是指数函数. （4）
其中正确的是 （填序号）。
三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.

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17．（本小题满分12分）
求值：

?
（1）
( 2
1
)
2
?(?9.6)
0
?(3
3
)< br>3
?(1.5)
?2

48
1
2
（2）
log
3




4
2
27
?lg25?lg4?7
log
7

3
18．（本小题满分12分）
已知幂函数
y?x
m?2m?3< br>(m?Z)
的图象与
x,y
轴都无交点，
且关于
y
轴 对称，求
m
的值.





19．（本小题满分）
试用函数单调性的定义判断函数
f(x)?
单调性.



2x
在区间（0，1）上的
x?1
2

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20．（本小题满分12分）
（2009·上海卷·文21·理20）有时可用函数
a
?
0.1?15ln　x,?6,
?
?
a?x

f(x)?
?

x?4.4
?
,　　　　　?6
?
?
x?4
描述学习某学科知识的掌握程度．其中
x
表示某学科知识 的学习
次数（
x?N
*
），
f(x)
表示对该学科知识的掌 握程度，正实数a与
学科知识有关．
（1）证明：当x
?
7时，掌握程度的增长量f
（
x+1
）－
f(x)总是
下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分 别为（115，
121）,(121,127),
(127,133)．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请
确定相应的学科．
（已知
e
0.05
＝1．0513）





21．（本小题满分12分）

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探究函数
f(x)?x?x?(0,??)
的最小值，并确定取得最小值时 x的
值，列表如下：
x
…
0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3
4.14.04.00
y
…
8.5 5
7 5 5
4
5 2 4
4.004.004.0
4.3 5 5.8
7
4 5 7
…
7.5
…
4
x
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下问题：
（1）函数
f(x)?x?(x?0)
在区间 上递增.
当 时，y
最小
= .
（2）函数
f(x)?x?(x?0)
在区间 上递减，并用定义证
明之；
（3）函数
f(x)?x?(x?0)
时 ，有最值吗？是最大值还是最小值？
此时x为何值？
（写出结果，简要说明理由）









4
x
4
x
4
x

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22．（本小题满分14分）
已知函数
f(x)?()
x
.

（1）若
f
?1
(x
2
?2x?t)
的定义域为R，求实数t的取值范围；
（2）当
x?[?1,1]
时，求函数
y?f
2
(x )?2af(x)?3的最小值g(a)
；
（3）是否存在实数m、n，满足m>n> 3，且使得g(x)定义域为[n，
m]时，值域为[n
2
，m
2
] ？
若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由.












1
3

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参考答案

一、选择题
1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．A 10．A
11．B 12．D
?
x?1?0,
3．解法1：根据题意得
?
2
解得
?1?x ?1.
故选C．
?
?x?3x?4?0,
解法2：特殊值法．取x=-1， 1代入函数式,没有意义，排除A、
B、D，故选C．
5．解：
f(x)?log< br>a
x
，代入
(a,a)
，解得
a?
，所以
f (x)?
log
1
x
，选B．
2
1
2
7 ．解：由
0??1,2?1
可知
a?log
1
2?0
， < br>3
1
3
1
1
?
因为
b?log
1< br>?log
2
3?log
2
2=1
及
0?c?
?
??
?
2
?
2
3
0.3
?1
， 所以，
a?c?b
．故
选Ｂ．
说明：本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基
本的运算能力．
二、填空题
13．
a?R
； 14． 2； 15． 4； 16．(1)(2)
15．解：由log
2
x≤2得0A?(0,4]
；由
A?B
知
a?4
，所以
c?< br>4．
说明：本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等
概念．
三、解答题

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9 27
?
3
17．解：（1）原式
?()
2
?1?()
3
?()
?2

482
1
2
3
2?3
?3?
3
?()
2
?1?()
3
?()?2
22

2
333
??2 ?()
?2
?()
?2
222
1
2

?.

…………6分
1
2

（2）原式
?log
3
?log
3
3
?
1
4
3
?lg(25?4)?2

3
3
4
?lg10
2
?2

115
???2?2?.

44
…………12分
18． 解:
y?x
m?2m?3
(m?Z)
图象与
x,y
轴都无交 点
?
m
2
?2m?3?0

y?x
m?2m?3
(m?Z)
关于
y
轴对称,
2
2
??1?m?3(m?Z)
?m
2
?2m?3
是偶数 .
?m??1,m?1,m?3
.
19．证明：任取x
1
，x
2
∈(0,1)，且x
1
2
, …………2分
则
f(x
1
)?f(x
2
)?
2x
1
2x
2
??
x
1
?1x
2
?1
?
2(x
2?x
1
)

(x
1
?1)(x
2
?1)
…………7分
由于01
2
<1，x
1
－1>0，x
2< br>－1>0，x
2
－x
1
>0，故f(x
1
)－f(x
2
)>0，
即f(x
1
)>f(x
2
).
所以函数
f(x)?
2x
在（0，1）上是减函数。…………12分
x?1
20．证明：（1）当
x?7时,f(x?1)?f(x)?
0.4
.
…………2分
(x?3)(x?4)
而当
x?7时,函数y?(x?3) (x?4)
单调递增，且
(x?3)(x?4)?0.

故
f(x?1)?f(x)
单调递减．
?当x?7
，掌握程度的增 长量
f(x?1)?f(x)
总是下降．…………6

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分
解
0.1?15ln
：（2）由题意知
a
?0.85.
…………8分
a?6
e
0.05
a
0.05
?6?20. 50?6?123.0,123.0?
?
121,127
?
整理得
?e
，解得
a?
0.05
e?1
a?6
由此 可知，该学科是乙学
科． …………12分
21．解：（1）
(2,??);当x?2时,y
最小
?4.

…………2分
（2）（0，2）
证明：设x
1
，x2
是区间（0，2）上的任意两个实数，且x
1
< x
2
.
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?
?x< br>1
?x
2
?
44
?(x
2
?)
x< br>1
x
2
444
??(x
1
?x
2
) (1?)
x
1
x
2
x
1
x
2
< br>?
(x
1
?x
2
)(x
1
x
2?4)
.

x
1
x
2
…………6分
?
x
1
?x
2
,?x
1
?x
2
?0.
?0?x
1
x
2
?4.

?y
1< br>?y
2
?0.
?
x
1
,x
2
?(0 ,2),
?x
1
x
2
?4?0,
∴函数在（0，2）上单调 递减.
（3）
y?x?
4
x
x?(??,0)时,x?? 2时,y
最大
??4.

4
x
…………8分
…………10分
因为函数
y?x?(x?0)
是奇函数；
当x > 0时，函数在x = 2时取得小最值4，不存在最大值；
因此当x < 0时，函数在x =－2时取得最大值－4，不存在最小
值…………12分

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22．解：（1）
?
f
?1
(x)?log
1< br>x
，
2
?f
?1
(x
2
?2x?t)?l og
1
(x
2
?2x?t)
， …………2分
3
由题知，
x
2
?2x?t?0
恒成立，
???4?4t?0,t?1.
…………4分
（2）
?x?[? 1,1],?(
11
3
)
x
?[
3
,3]
，
y?f
2
(x)?2af(x)?3?[(
1
3
)x
]
2
?2a(
1
3
)
x
?3?[(
1
3
)
x
?a]
2
?3?a
2
，
…………6分
当a?
1
3
时,y
282a
min
?g(a)?
9
?
3
;

当
13
?a?3时,y
min
?g(a)?3?a
2
;
当< br>a?3时,y
min
?g(a)?12?6a
…………6分
?< br>?
282a
(a?
1
?
9
?
33
)
?g(a)?
?
?
3?a
2
(
1
?
3
?a?3)
…………9分
?
?
12?6a(a?3)
?
（3）
?m?n?3,?g(x)?12?6x,在(3,??)
上是减函
…………10分
?g(x)的定义域为[n,m]时,值域为[n
2
,m
2
]
，
?
?
?
?
12?6m?n
2
?

①
?
12?6n?m
2
②
②－①得：6(m－n) = (m + n)(m－n )，
…………12分
∵m > n > 3，∴m + n = 6.但这与“m>n>3”矛盾.
∴满足题意的m、n不存在. …………14分
数

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