高中数学专题训练资料

导数知识点
考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景
（2）理解导数的几何意义
（3）掌握函数的导数公式
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、
极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点
导数的概念 导数的几何意义、物理意义
常见函数的导数
导
数
导数的运算
导数的运算法则
函数的单调性
导数的应用 函数的极值
函数的最值




y?f(x)


1.导数的几何意义：
函数
y?f(x )
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率，
也就是说，曲线
y? f(x)
在点P
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率是
f< br>'
(x
0
)
，切线方程为
y?y
0
?f'
(x)(x?x
0
).

2． 导数的四则运算法则： (u?v)
'
?u
'
?v
'
?y?f
1
(x)?f
2
(x)?...?f
n
(x)?y
'
?f< br>1
'
(x)?f
2
'
(x)?...?f
n
'
(x)

(uv)
'
?vu
'
?v
'< br>u?(cv)
'
?c
'
v?cv
'
?cv
'
（
c
为常数）

vu
'
?v
'u
?
u
?
(v?0)

??
?
v2
?
v
?
'
3.函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，
如果
f
'
(x)
＞0，则
y?f(x)
为增函数；
如果
f
'
(x)
＜0，则
y?f(x)
为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数
y?f(x)
在区间
I
内恒 有
f
'
(x)
=0，则
y?f(x)
为常数.
4. 极值的判别方法：（极值是在
x
0
附近所有的点，都有
f(x )
＜
f(x
0
)
，则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极大值，极小值同理）
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
①如果在< br>x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧
f< br>'
(x)
＜0，那么
f(x
0
)
是极大值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，那么
f(x
0
)
是极小 值.
也就是说
x
0
是极值点的充分条件是
x
0
点 两侧导数异号，而不是
f
'
(x)
=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点.

当然，极值是一个局部概 念，极值点的大小关系是不确
②
定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同 ）.
注①： 若点
x
0
是可导函数
f(x)
的极值点，则
f
'
(x)
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，
其一点
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数
y?f(x)?x
3
，
x?0
使
f
'
(x )
=0，但
x?0
不是极值点.
②例如：函数
y?f(x)?|x |
，在点
x?0
处不可导，但点
x?0
是函数的极小值点.
5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行
比较.
6. 几种常见的函数导数：
I.
C
'
?0
（
C
为常数）
(sinx)?cosx

'
(x
n
)< br>'
?nx
n?1
（
n?R
）
(cosx)
'
??sinx

II.
(lnx)
'
?
11

(log
a
x)
'
?log
a
e

x
x

(e
x
)
'
?e
x< br>
(a
x
)
'
?a
x
lna

1、(广东卷)函数
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( ) （Ａ）
(2,??)
（Ｂ）
(??,2)
（Ｃ）
(??,0)< br>（Ｄ）
(0,2)

32
2.（
全国卷Ⅰ）函数
f( x)?x
3
?ax
2
?3x?9
，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则
a
=（ ）
（A）2 （B）3
3
（C）4 （D）5
3. （湖北卷）在函数
y?x?8x< br>的图象上，其切线的倾斜角小于
?
的点中，坐标为整数的
4
y

1

点的个数是 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0 < br>4．(江西)已知函数
y?xf
?
(x)
的图象如右图所示(其中f'(x)
是函数
f(x)
的导函数)，下面四个图象中
y?f(x)< br>的图象大致是( C）
-2

-1

x

1

2

O

-1

y
2

1


y
2


y
4


y
4

2


O

-2

-1

1

2

x

-2

-1

O

1

1

x

2

2

1

-2

-1

O

1

-2

-2

-2

x

-2

-1

O

2

x

A

B

C

D


5.(
浙江)
函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
111
(B) (C) (D)1
842
6.
(重庆卷)
曲线y?x
3
在点(1,1)处的切线与x轴、直线x?2所围成 的三角形的面积
为______83____。
2
(A)
7.（江苏卷） （14）曲线
y?x?x?1
在点（1,3）处的切线方程是
y?4x?1

8. (

全国卷III
)
曲线
y?2x?
3x
3
在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0

9. （北京卷）过原点作曲线y＝e
x
的切线，则切点的坐标为 (1, e)； ，切线的斜率为e ．




高中数学专题训练—二次函数与幂函数

一、选择题
1．“a＝1”是“函数f(x )＝x
2
－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的 位置，若函数f(x)＝
2
x－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x＝a ≤1，故“a＝1”是“函
数f(x)＝x
2
－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增 函数”的充分不必要条件．
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax
2
＋bx ＋c在同一坐标系中的图象大
致是( )
答案 C
解析 若a>0，A不符合条 件，若a<0，D不符合条件，若b>0，对B，∴
b
对称轴－
a
<0，不符 合，∴选C.
3．函数y＝x
α
(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( )

A．α<－1
B．－1<α<0
C．0<α<1
D．α>1
答案 C
1
解析 类比函数y＝x
2
即可．

4．若函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)>f(3)
B．f(3)>f(2)
C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与f(2)的大小关系不确定

答案 C
解析 ∵f(4)＝f(1)
5
∴对称轴为
2
，∴f(2)＝f(3)．
5．已知函数y＝x
2
－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m
的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
答案 C
解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选C.

6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax
2
＋b x＋c的图象可能是( )
答案 D

b
解析 若a＞0，b＜0，c ＜0，则对称轴x＝－
2a
＞0，函数f(x)的图象与y
轴的交点(c,0)在x轴 下方．故选D.
7．已知f(x)＝ax
2
＋2ax＋4(01
2
，x
1
＋x
2
＝1－a，则( )
A．f(x
1
)>f(x
2
)
B．f(x
1
)2
)
C．f(x
1
)＝f(x
2
)
D．f(x
1
)与f(x
2
)的大小不能确定
答案 B
x
1
＋x
2
1－a
1
解析 解法1：设A(x1
，f(x
1
))，B(x
2
，f(x
2
)) ，∵
2
＝
2
∈(－1，
2
)，又
对称轴x＝－1， ∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x
1
)2
)，故选B.(本方法充 分运
用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．
2
解法2：作差f(x
1
)－f(x
2
)＝(ax
2
1
＋2ax
1
＋4)－(ax
2
＋2ax
2
＋4)＝a(x
1
－x
2
)(x
1
＋x
2
＋2)＝a(x
1
－x
2
)(3－a)
又01
)－f(x
2
)<0，即f(x
1
)2
)，故选B.
二、填空题
8．已知y＝(cosx－a)
2
－1，当cosx＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y
取最小值，则a的范围是________．

?
－a≤0
解析 由题意知
?

?
－1≤a≤1
∴0≤a≤1
9．抛物线y＝8x
2
－( m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
答案 9或25
?
m－1
?
2
?
m－1
?
2
?
＋m－7－ 8·
??
解析 y＝8
?
x－
16
???
16< br>?
?
m－1
?
2
??
＝0，∴m＝9或25. ∵顶 点在x轴∴m－7－8·
?
16
?
1
10．(2010·衡水调研) 设函数f
1
(x)＝x
2
，f
2
(x)＝x
－1
，f
3
(x)＝x
2
，则f
1
(f
2
(f
3
(2010)))
＝________.
1
答案
2010

解析 f
3
(2010)＝2010
2
f
2
(2010
2
)＝(2010
2
)
－
1
＝2010
－
2

1
－
2
－
2
1
－
1
f
1
(2010)＝(2010)
2
＝2010＝
2010
.
11．在函数f(x)＝ax
2
＋bx ＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)
有最________值(填“大”或 “小”)，且该值为________．
答案 大 －3
解析 ∵f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比，∴b
2
＝a·c，∴a<0
2
b
∴f(x)有最大值，最大值为c－
4a
＝－3.
1 －α
12．已知幂函数f(x)＝x
3
在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上 是减函
数，那么最小的正整数a＝________.
答案 3
13．方程x2
－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范
围是___ _____．
5
答案 22

解析 令f(x)＝x
2
－mx＋1
?
f?1?<0
5
由题意知
?
?22
.
?
f?2?>0


三、解答题
27
14．已知函数f(x)＝
x
－x
m，且f(4)＝－
2
.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
答案 (1)m＝1 (2)递减
7
解析 (1)∵f(4)＝－
2
，
27
∴
4
－4
m
＝－
2
.∴m＝1. < /p>

2
(2)f(x)＝
x
－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如 下：
任取01
2
，则
22
f(x1
)－f(x
2
)＝(
x
－x
1
)－(
x
－x
2
)
12
2
＝(x
2
－x1
)(
xx
＋1)．
12
2
∵012
，∴x
2
－x
1
>0，
xx
＋ 1>0.
12
∴f(x
1
)－f(x
2
)>0，∴f(x
1
)>f(x
2
)，
2
即f(x)＝
x
－x在(0，＋∞)上单调递减．
15．(20 11·山东省实验中学)已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x
2
－4ax＋
2 a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．
9
答案 [－
4
，9]
解 由条件知Δ≤0，即(－4a)
2
－4(2a＋12)≤0，
3
∴－
2
≤a≤2.
3
①当－
2
≤a<1时，
g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－ a
2
＋2a＋3＝－(a－1)
2
＋4，
∴由二次函数图象可知，
9
－
4
≤g(a)<4.
②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)
2
，
∴当a＝1时，g(a)
min
＝4；
当a＝2时，g(a)
max
＝9；
∴4≤g(a)≤9.
9
综上所述，g(a)的值域为[－
4
，9]．
1
1．若 函数f(x)＝log
2
(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．[5，＋∞)
答案 D
解析 f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a≥5，
故选D.
2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的
值为( )

A．1 B．－1

C.
－1－5
2
D.
－1＋5
2

答案 B
解析 ∵b>0，∴不是前两个图形，
从后两个图形看－
b
2a
>0，∴a<0.
故应是第3个图形．
∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.
3.
如图所示，是二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象，则

|OA|·|OB|等于( )
A.
c
B．－
c
a

a

C．±
c
a
D．无法确定
答案 B
解析 ∵|OA |·|OB|＝|OA·OB|＝|x
cc
1
x
2
|＝|
a
|＝－
a
(∵a<0，c>0)．
4．已知函数f(x)＝x
2
－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝( )
A．3 B．2或3
C．2 D．1或2
答案 C
解析 函数在[1，＋∞)上单增
∴b＝b
2
－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．
5．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(
A．0≤a≤1 B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0
答案 D
解析 f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2
若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，
则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.



)

1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x ，f(0)＝1，则f(x)＝________.
答案 x
2
－x＋1
解析 设f(x)＝ax
2
＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－ f(x)＝2ax＋a＋b
＝2x
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x
2
－x＋1.

2．若函数f(x)＝(a－1) x
2
＋(a
2
－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常函数
D．可能是减函数，也可能是常函数
答案 D
解析 函数f(x)是偶函数，∴a
2
－1＝0
当a＝1时，f(x)为常函数
当a＝－1时，f(x)＝－x
2
＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.
3 ．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )
A．αC．a<α答案 A
解析 设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，
如图所 示，可得α
4．设f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则( )
A．f(1)＞c＞f(－1) B．f(1)＜c＜f(－1)
C．f(1)＞f(－1)＞c D．f(1)＜f(－1)＜c
答案 B
b
－1＋3
解析 由f(－1)＝f(3)得－＝＝1，
22
所以 b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)
＞ f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．
5．对一切实数x，若不等式x
4
＋(a－1)x
2
＋1≥0恒成立，则a的取值范围是
( )
A．a≥－1 B．a≥0
C．a≤3 D．a≤1
答案 A
解析 令t＝x
2
≥0，则原不等式转化为t
2
＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0 时恒成立．
令f(t)＝t
2
＋(a－1)t＋1 则f(0)＝1>0

a－1
(1)当－
2
≤0即a≥1时恒成立
a－1
(2)当－
2
>0即a<1时．
由Δ＝(a－1)
2
－4≤0 得－1≤a≤3
∴－1≤a<1
综上：a≥－1.
6．若二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c满足f(x
1
)＝f(x
2
)，则f(x
1
＋x
2
) 等于________．
答案 c
bb
解析 ∵f(x
2
)＝f (x
1
)，∴x
2
＋x
1
＝－
a
，∴f( x
1
＋x
2
)＝f(－
a
)＝c.

高中数学专题训练—变化率与导数

一、选择题
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
＝( )
Δx
A．a B．－a
11
C.
a
D．－
a

答案 A
2．(2010·衡水调研)已知函数f(x)＝－cosx＋lnx，则f′(1)的值为( )
A．sin1－1 B．1－sin1
C．1＋sin1 D．－1－sin1
答案 C
1
解析 ∵f(x)＝－cosx＋lnx，∴f′(x)＝
x< br>＋sinx，∴f′(1)＝1＋sin1.
3．若曲线y＝f(x)在点(x
0，f(x
0
))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则( )
A．f′(x
0
)>0 B．f′(x
0
)<0
C．f′(x
0
)＝0 D．f′(x
0
)不存在
答案 B
解析 切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x
0
)＝－2<0
4．( 2010·新课标全国)曲线y＝x
3
－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
答案 A
解析 由题可知，点(1,0)在曲线y＝x
3
－2x＋1上，求 导可得y′＝3x
2
－2，
所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1 ,0)，根据直线的点斜式可得在点
(1,0)的曲线y＝x
3
－2x＋1的切线方程 为y＝x－1，故选A.
5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x )满足f′(x)＝g′(x)，
则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数
1．若f′(x
0
)＝a≠0，则li
Δx
m
→
0

D．f(x)＋g(x)为常数函数
答案 C
11
6．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x－
2
在点(a，a－
2)处的切线与两个坐标轴围
成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
答案 A
1311
解析 求导得y′＝－
2
x－
2
(x>0)，所以曲线y＝x－
2
在点(a，a－
2
)处的切
13113
线l的斜率k＝y′|
x
＝
a
＝－
2
a－
2
，由点斜式得切线l的方程为y－a－
2< br>＝－
2
a－
2
31
(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的 截距分别为3a，
2
a－
2
，所以直线l与两个
13191
坐标轴围成的三角形面积S＝
2
×3a×
2
a－
2
＝
4
a
2
＝18，解得a＝64.
4
7．(2010·辽宁卷)已 知点P在曲线y＝
x
上，α为曲线在点P处的切线的
e＋1
倾斜角，则α的取 值范围是( )
πππ
A．[0，
4
) B．[
4
，
2
)
π
3π3π
C．(
2
，
4
] D．[
4
，π)
答案 D
－4e
x
－4
解析 设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，
?1＋e
x
?
2
x
1
e＋
e
x
＋2
－4
因为e
x
＞0，所以由均值不等式得k≥，又k＜0，∴－1≤k＜0，即
1
2e
x
×
e
x
＋2
3π
－1≤tanα＜0，所以
4
≤α＜ π.
1
8．下列图象中，有一个是函数f(x)＝
3
x
3
＋ax
2
＋(a
2
－1)x＋1(a∈R，a≠0)的
导函数f′( x)的图象，则f(－1)＝( )
11
A.
3
B．－
3

715
C.
3
D．－
3
或
3


答案 B
解析 f′(x)＝x
2
＋2ax＋a
2
－1＝(x＋a)
2
－1
∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴(－a，－1)为顶点的抛物线．

∴(3)是对应y＝f′(x)的图象
∵由图象知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0.
∴a
2
－1＝0，a<0 ∴a＝－1
1
∴y＝f(x)＝
3
x
3
－x
2
＋1
1
∴f(－1)＝－
3
选B.
二、填空题
π
9．曲线y＝tanx在x＝－
4
处的切线方程为______
π
答案 y＝2x＋
2
－1
cos
2
x＋sin
2
x
sinx1
π
解析 y′＝(
cosx
)′＝
cos
2
x
＝
cos
2
x
，所以在x＝－
4
处的斜率为2，曲
ππ
线y＝tanx在x＝－
4
处的切 线方程为y＝2x＋
2
－1.
10．已知f(x)＝x
2
＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
答案 －2
解析 由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2)
∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
11．曲线y＝x
3
＋3x
2
＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为
_________ _____．
答案 3x－y－11＝0
解析 y′＝3x
2
＋6x＋6＝3(x＋1)
2
＋3≥3
当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1时y＝－14
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)
即3x－y－11＝0
1
12．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1) )处的切线方程是y＝
2
x＋2，则f(1)
＋f′(1)＝______
答案 3
1
解析 在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝
2
x＋2，
1
∴点M在y＝
2
x＋2上．
15
∴f(1)＝
2
·1＋2＝
2
.
1
f′(1)＝
2
，∴f(1)＋f′(1)＝3.
13．(09 ·江西)设函数f(x)＝g(x)＋x
2
，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线 方
程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
答案 4
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
三、解答题
14．(2011·济南统考)点P是曲线x
2
－y－2lnx＝0上任意一点，求点P到直< br>线y＝x－2的最短距离．

答案 2
11
解析 y＝x2
－2lnx＝x
2
－lnx(x>0)，y′＝2x－
x
，令 y′＝1，即2x－
x
＝1，
1
解得x＝1或x＝－
2
(舍 去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y
＝x－2的距离2即为所求． 15．已知曲线C：y＝x
3
－3x
2
＋2x，直线l：y＝kx，且直 线l与曲线C相切
于点(x
0
，y
0
)(x
0
≠0 )，求直线l的方程及切点坐标．
133
答案 y＝－
4
x，(
2
，－
8
)
y
0
解析 ∵直线过原点，则k＝
x
(x
0
≠0)．
0
2
由 点(x
0
，y
0
)在曲线C上，则y
0
＝x
30
－3x
0
＋2x
0
，
y
0
2∴
x
＝x
2
0
－3x
0
＋2.又y′＝3x－ 6x＋2，
0
2
∴在(x
0
，y
0
)处曲线C的 切线斜率应为k＝f′(x
0
)＝3x
2
0
－6x
0
＋2.∴x
0
－3x
0
＋2
2
＝3x
0
－6x
0
＋2.
3
2
整理得2x
0
－3x
0
＝0.解得x
0
＝
2
(x
0
≠0)．
31
这时，y
0
＝－
8
，k＝－
4
. < br>133
因此，直线l的方程为y＝－
4
x，切点坐标是(
2
， －
8
)．

1．设f
0
(x)＝sinx，f
1
(x)＝f′
0
(x)，f
2
(x)＝f′
1
(x )，…，f
n
＋
1
(x)＝f′
n
(x)，n∈N，
则f
2011
(x)＝( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
答案 D
解析 f
1
(x)＝ (sinx)′＝cosx，f
2
(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f
3
(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f
4
(x)＝(－cosx)′＝si nx，
f
5
(x)＝(sinx)′＝f
1
(x)，f
6
(x)＝f
2
(x)，…，
f
n
＋
4
(x)＝f
n
(x)，可知周期为4.
∴f
2011
(x)＝f
3
(x)＝－cosx.
2．已 知曲线S：y＝3x－x
3
及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条
数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，
由y′＝3－3x
2
，得y′|x＝x0＝3－3x
2
0
切线方程为：y－(3x0－x
3
0)＝(3－3x
2
0)(x－x0)
∵P(2,2)在切线上
∴2－(3x0－x
3
0)＝(3－3x
2
0)(2－x0)
即x
3
0－3x
2
0＋2＝0
(x0－1)(x
2
0－2x0－2)＝0

由x0－1＝0得x0＝1
由x
2
0－2x0－2＝0得x0＝1±3.
∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．
sinθ3cosθ5π
3．(09 ·安徽)设函数f(x)＝
3
x
3
＋
2
x
2
＋tanθ，其中θ∈[0，
12
]，则导数
f′(1)的取值范围是______ __．
答案 [2，2]
解析 ∵f′(x)＝sinθ·x
2
＋3cosθ·x，
π
∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sin(θ＋
3
)．
5π
ππ
3π
π
2
∵θ∈[0，
12
]，∴θ＋< br>3
∈[
3
，
4
]，∴sin(θ＋
3
)∈[
2
，1]．
4．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则二 切线之间距离为
________．
16
答案
27
2
解析 y＝x(x＋1)(2－x)＝－x
3
＋x
2
＋2x
y′＝－3x
2
＋2x＋2，令－3x
2
＋2x＋2＝1得
1
x1＝1或x2＝－
3

114
∴两个切点分别为(1,2)和(－
3
，－
27
)
5
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－
27
＝0
5
|1＋
27
|
162
d＝＝
27

2
1－a
5．(2010·山东卷，文)已知函数f(x)＝ln x－ax＋
x
－1(a∈R)．
当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
2
解析 当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋
x
－1，x∈(0，＋∞)．
x
2
＋x－2
所以f′(x)＝
x
2
，x∈(0，＋∞)，
因此f′(2)＝1，
即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln 2＋2，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2＋2)＝x－2，
即x－y＋ln 2＝0.

1．(2011·海淀区)设函数f(x)是R上以5 为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)
在x＝5处的切线的斜率为________．
答案 0
f?5＋Δx?－f?5?f?Δx?－f?0?
解析 由题意得f′(5)＝
Δx
lim ＝lim ＝f′(0)，且
→
0
Δx
→
0
ΔxΔx

f′(0)＝
Δx
li m
→
0



f?Δx?－f?0?f?0－Δx?－f?0?
＝－lim ＝－f′(0)，f′(0)＝0，
－
Δx
→
0
Δx
－Δx
因此f′(5)＝0.
高中数学专题训练—函数的单调性和最值

一、选择题
1．函数y＝x
2
－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．
f? x
2
?－f?x
1
?
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1
，x
2
∈(0，＋∞)，都有<0”
x
2
－x
1
的是( )
1
A．f(x)＝
x
B．f(x)＝(x－1)
2

C．f(x)＝e
x
D．f(x)＝ln(x＋1)
答案 A
f?x
2
?－f?x
1
?
解析 满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.
x
2
－x
1
3．若f(x)＝x
2
＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么 实数a的取
值范围是( )
A．a<－3 B．a≤－3
C．a>－3 D．a≥－3
答案 B
解析 对称轴x＝1－a≥4.∴a≤－3.
4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )
A．y＝cosx B．y＝－|x－1|
2－x
C．y＝ln D．y＝e
x
＋e
－
x

2＋x
答案 D
5．函数y＝log
a
(x
2
＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函 数的单调递减区间是
( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
答案 A
解析 当x＝2时，y＝log
a
(2
2
＋2·2－3)
∴y＝log
a
5>0，∴a>1
由复合函数单调性知

< br>2
?
x＋2x－3>0
单减区间须满足
?
，解之得x<－3.
?
x<－1

f?x
1
?－f?x
2
?< br>>0
x
1
－x
2
对任意两个不相等的正实数x
1、x
2
都成立．在下列不等式中，正确的是( )
A．f(－5)>f(3) B．f(－5)C．f(－3)>f(－5) D．f(－3)答案 C
f?x
1
?－f?x
2
?
解析 由>0 对任意两个不相等的正实数x
1
、x
2
都成立，可知，f(x)
x< br>1
－x
2
在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，故f(x)在(－ ∞，0)上也为增函数，故
选C.
7．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是( )
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－2，－3) D．(0,5)
答案 B
解析 令－22
?
x＋4x，x≥0，
2
8．(09·天津)已知函数f(x)＝
?
若f(2 －a)＞f(a)，则实数a
2
?
4x－x，x＜0.
的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝x
2
＋ 4x＝(x＋2)
2
－4在[0，＋∞)上单调递增；y＝－x
2
＋4x＝－ (x
－2)
2
＋4在(－∞，0)上单调递增．
又x
2
＋4x－(4x－x
2
)＝2x
2
≥0，
∴f(2－a
2
)＞f(a)?2－a
2
＞a?a
2
＋a－2＜0?－2＜a＜1，故选C.
11
9．(2010·北京卷)给定函数①y＝x
2
；②y＝log
2
(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2
x< br>＋
1
，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 B
解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞) 上为增函数，故此项不符合题意；②中
1
的函数是由函数y＝log
2
x向左 平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上
为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数 y＝x－1的图象保留x轴上
方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题 意；
④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综
上可知选择 B.
二、填空题
10．给出下列命题
6．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式

1
①y＝
x
在定义域内为减函数；
②y＝(x－1)
2
在(0，＋∞)上是增函数；
1
③y＝－
x
在(－∞，0)上为增函数；
④y＝kx不是增函数就是减函数．
其中错误命题的个数有________．
答案 3
解析 ①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．
11．函数f( x)＝|log
a
x|(0答案 [1，＋∞)
解析 函数图象如图

12．函数f(x)＝－x＋|x|的递减区间是________．
?
1
??
1
?
答案
?
－
2，0
?
与
?
2
，＋∞
?

????
解析 数形结合
13．在给出的下列4个条件中，
?
0?
0①
?
②
?

?
x∈?－∞，0?
?
x∈?0，＋∞?
2
?
a>1
?
a>1
③
?
④
?

?
a∈?－∞，0?
?
x∈?0，＋∞?
1
能使函数y＝l og
a
x
2
为单调递减函数的是________．
(把你认为正确的条件编号都填上)．
答案 ①④
解析 利用复合函数的性质，①④正确．
14．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f( lgx)＋f(1)>0的解集是
________．
1
答案 (0，
10
)
解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为 f(x)在(－∞，0]上单
调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f( x)在R上为单调
递减函数．
1
不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lg x)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得010
.
kk(2010·深圳)若函数h(x)＝2x－
x
＋
3
在(1，＋∞)上是 增函数，则实数k的取值
范围是________．
答案 [－2，＋∞)

k
解析 由h′(x)＝2＋
x2
≥0，得k≥－2x
2
，由于－2x
2
在[1，＋∞)内的最 大
值为－2，于是，实数k的取值范围是[－2，＋∞)．
三、解答题
x
15．(2011·惠州调研)已知f(x)＝(x≠a)．
x－a
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
答案 (1)略 (2)0解析 (1)证明 任设x
1
2
<－2，
2?x
1
－x
2
?
x
1
x
2则f(x
1
)－f(x
2
)＝－＝.
x
1
＋ 2x
2
＋2?x
1
＋2??x
2
＋2?
∵(x1
＋2)(x
2
＋2)>0，x
1
－x
2
<0 ，∴f(x
1
)2
)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解 任设11
2
，则
a?x
2
－x
1
?
x
1
x
2
f(x
1
)－f(x
2
)＝－＝.
x
1
－ax
2
－a?x
1
－a??x
2
－a?
∵a>0，x
2
－x
1
>0 ，
∴要使f(x
1
)－f(x
2
)>0，只需(x
1－a)(x
2
－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知016．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0
时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m
2
－m－2)<3.
4
答案 (1)略 (2){m|－13
}
解 (1)证明 ：设x
1
，x
2
∈R，且x
1
2
，则 x
2
－x
1
>0，∴f(x
2
－x
1
)> 1.
f(x
2
)－f(x
1
)＝f[(x
2
－x
1
)＋x
1
]－f(x
1
)
＝f(x
2
－x
1
)＋f(x
1
)－1－f(x
1
)＝f(x
2
－x
1
)－1>0.
∴f(x
2
)>f(x
1
)．
即f(x)是R上的增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3，
∴原不等式可化为f(3m
2
－m－2)∵f(x)是R上的增函数，
4
∴3m
2
－m－2<2，解得－13
，
4
故m的解集为{m|－13
}．

1．函数f( x)＝log
0.5
(x＋1)＋log
0.5
(x－3)的单调递减区间是 ( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
答案 A

?
x＋1>0，
解析 由已 知易得
?
即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单
?
x －3>0，
调递减．
1
2．设函数f(x)＝2x＋
x
－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
答案 A
111
解析 当x<0时，－x>0，－(2x＋
x
)＝(－2x)＋(－< br>x
)≥2?－2x?·?－
x
?＝22，
11
即2x＋
x
≤－22，2x＋
x
－1≤－22－1，即f(x)≤－22－1，当且仅当－2 x＝
12
－
x
，即x＝－
2
时取等号，此时函数f(x)有 最大值，选A.
1
3．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|
x
|) A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 C
1
解析 由已知得：|
x
|>1?－1x
2
4．函数f(x)＝(x∈R且x≠1)的单调增区间是________．
x－1
答案 (－∞，0)和(2，＋∞)
x
2
1
解析 将原函数y＝变形为y＝(x－1)＋＋2
x－1x－1
显然x－1在区间(－∞，－1)和 (1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x
在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调 递增．
2
?
ax＋1，x≥0
5．(2011·合肥)函数f(x)＝?
2
在(－∞，＋∞)上单调，则a的
ax
?
?a－1?e，x <0
取值范围是________．
答案 (－∞，－2 ]∪(1，2 ]
解析 因为f(x)为单调函数，若a>0，则当x≥0时，f(x)＝ax
2
＋1是单调递
增函数，故当x<0时，f(x)也是单调递增函数，又a>0时，e
ax
为单调递增函数，< br>所以a
2
－1>0，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a
2< br>－1)·e
0
≤a×0
2
＋1，
即需满足
a>0


?
2
?
a－1>0?1 ?
a
2
－1≤1
2


<0
?
a
2
同理，当a<0时，满足
?
a－1>0?a≤－
?
a2
－1≥1
2.

综上得1