高中数学统计统计案例知识点总结和典例

统计
一.简单随机抽样：抽签法和随机数法

1.一般地，设一个总 体含有N个个体（有限），从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本
（n≤N）,如果每次抽取时总体内 的各个个体被抽到的机会都相等（nN），就把这种抽样
方法叫做简单随机抽样。

2 .一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容
器中，搅拌均匀 后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，
这种抽样方法叫做抽签法。< br>
抽签法的一般步骤：a、将总体的个体编号。 b、连续抽签获取样本号码。

3. 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。

随机数表法的步骤：a、将总体的个体编号。b、在随机数表中选择开始数字。c、读
数获取样本号码。

4. 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，< br>如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点
上当总体 容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体
容量较少的抽样类型。< br>
二.系统抽样：

1.一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本， 可将总体分成均衡的若干部分，
然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本 ，这种抽样的方
法叫做系统抽样。

系统抽样的一般步骤：

（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。

（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k=Nn。(k∈N,L≤k).

（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。

（4） 按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体
编号L+K，再加上K得到第 3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。

在确定分段间隔k时应注意：分 段间隔k为整数，当Nn不是整数时，应采用等可能剔除
的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。

三.分层抽样：

1.一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一 定的比例，从各层独立地抽
取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫 分层抽样。

分层抽样的步骤：

（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。 （2）按比例确定每层抽取个体的
个数。

（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 （4）综合每层抽样，组成样本。
2.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意
以下几点 ：

（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本
的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。

（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。

（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。

四. 用样本的频率分布估计总体分布：

1.频率分布是指一个样本 数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反
映样本的频率分布。

其一般步骤为：（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 （2）决定组距与
组数

（3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图

2.频率分布折线图、总体密度曲线

频率分布折 线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线
图。

总体 密度曲线：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑
曲线，统计中称这条光 滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内
取值的百分比，给我们提供更加精细的信 息。

3. 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的 数
字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出
来的 叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。

茎叶图的特征：

（1）用茎叶图 表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所
有数据信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，
方便记录与表示。

（ 2）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，
两个以上的数据虽然能 够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。

五. 用样本的数字特征估计总体的数字特征：

1. 众数、中位数、平均数、方差、标准差的求法。

六.变量之间的相关关系：

1.相关关系：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。
当自变量 取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有
随机性，这种变量之间的 关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。

2.散点图的概念：将各数据在平面直角 坐标中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组
数据的图形，这样的图形叫做散点图。（1.如果所有 的样本点都落在某一函数曲线上，就
用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．2.如 果所有的样本点都落在
某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。3. 如果所有的样本点都落在某一直线附近，
变量之间就有线性相关关系）。

3.正相关 与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相
关。如果散点图中的点散 布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关。（注：散点图的
点如果几乎没有什么规则，则这两个变量 之间不具有相关关系）

4. 从散点图上可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条 直线。如果散点图中
点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这这两个变量之间具有线形相关 关
系，直线叫回归直线。

5.教学最小二乘法：

（1）求回归方程的关键是如何用数学的方法刻画从整体上看，各点与此直线的距离最小
．
< br>（2）最小二乘法公式：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法
叫做最小 二乘法。

题型一 抽样方法

例1（1）某高校甲、乙、丙、丁四个专业 分别有150、150、400、300名学生，为了解
学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四 个专业共抽取40名学生进行调查，
应在丙专业抽取的学生人数为 ．

（2）利用简单随机抽样的方法，从
n
个个体（
n
＞13）中抽 取13个个体，依次抽取，
若第二次抽取后，余下的每个个体被抽取的概率为
被抽取的概率为

1
，则在整个抽样过程中，每个个体
36
变式1:某公司生产三种 型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该
公司的产品质量，现用分层抽 样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽
取 ____，

____， ____辆．

变式2：经问卷调查，某班学生对摄 影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，
其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12 人，按分层抽样方法从全班选出部分学
生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢 ”摄影的同学和3位执
“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人．

题型二 统计图表问题

例2 从一条生产线上 每隔30分钟取一件产品，共取了
n
件，测得其产品尺寸后，画
得其频率直方图如下. 尺寸在［15,45)内的频数为46.

(1)求
n
的值；

(2)求尺寸在［20,25)内产品的个数.

变式3: ⑴有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：

［12.5，15.5］，6 ；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22；

［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.
①列出样本的频率分布表；②画出频率分布直方图；③估计数据小于30.5的概率

题型三 平均数、标准差（方差）的计算问题

例3一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：

9.4 8.4 9.4 9. 9 9.6 9.4 9.7

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ）

A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016

变式4:
x
是
x
1
,x
2
K,x
100
的平均数，
a
是
x
1
,x
2
K,x
40
的平均数，
b
是
x< br>41
,x
42
K,x
100
的平均
数，则
x
，
a
，
b
之间的关系为 ．

变式5：某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为
x
、
y
、10、11、9．已知
这组数据的平均数为10，方差为2，则
x?y
的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

题型四 线性回归分析

例4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
x
（吨）与相应的
生产能耗
y
（吨标准煤）的几组对照数据:


（1）请
3

4

5

6

画出上表数据的散点图；

（2）请
乘法求

2.5

3

4

4.5

根据上表提供的数据，用最小二
出ｙ关于ｘ的线性

$$
?a
$$
；

回归方程
y?bx
（3）已 知该厂技术改造前
100
吨甲产品能耗为
90
吨标准煤；试根据（2）求出的 线性回归
方程，预测生产
100
吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

变式6: 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现< br>对他前
7
次考试的数学成绩
x
、物理成绩
y
进行分析 ．下面是该生
7
次考试的成绩．

8
数
8
学

8

8
11
8
17

3

9
11
9
08

00

12

2

1111
9
物
9
理

4

9
11
9
08

1

9
11
9
04

01

06

6

1111
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；