高中数学必修3提纲(教师版)

精品教育
必修3复习提纲 第一章 算法初步
一、基础精析
要点1：算法的一些基本概念
（1）算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
（2）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
（3）程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构．
（4）算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言．
例题1：下列给出的赋值语句中正确的是（ B ）
A
4?M
B
M??M
C
B?A?3
D
x?y?0

练习1：看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ）
A.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达
B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C.方程x
2
-1=0有两个实根
D.求1+2+3+4+5的值，先计算 1+2=３,再由于3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为15
要点2：程序框图
（一）构成程序框的图形符号及其作用
程序框


名称
起止框
输入、输出框
功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要
输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写
处理框
在不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；
判断框
不成立时标明“否”或“N”。




（二）算法的三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构 条件结构 循环结构
-可编辑-

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程
序
框
图



练习2：算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（ D ）
A.一个算法只能含有一种逻辑结构
B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构
D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合
要点3：算法的基本语句
（1）输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句
输入语句
输出语句
赋值语句
（2）条件语句
①IF—THEN格式（单支结构）
一般格式
INPUT“提示内容”；变量 输入信息
功能
PRINT“提示内容”；表达式 输出常量、变量的值和系统信息
变量=表达式 将表达式的值赋给变量

②IF—THEN—ELSE格式（双支结构）

（3）循环语句
-可编辑-

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①UNTIL语句

②WHILE语句

例2：
右图程序框图表示的算法输出的结果是________.
要点4：辗转相除法与更相减损术求最大公约数
（1）辗转相除法：对于给定的两个正整数， 用大数除以小数，若余
数不为0，则将小数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，反复执
行 此步骤，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最
大公约数.
（2）更相减 损术：对于给定的两个正整数，若它们都是偶数，则将它们反复除以2(假设进
行了k次)，直到它们至 少有一个不是偶数后，将大数减小数，然后将差和较小的数构成一对新
数，继续上面的减法，反复执行此 步骤，直到差和较小的数相等，此时相等的数或这个数与约
简的数的乘积即为所求两数的最大公约数.
例3：分别用辗转相除法和更相减损术求三个数72,120,168的最大公约数.

解法1:
用辗转相除法
先求120,168的最大公约数,
因为
168?120?1?48,120?48?2?24,48?24?2

所以120,168的最大公约数是24.
再求72,24的最大公约数,
因为
72?24?3
,所以72,24的最大公约数为24,
即72,120,168的最大公约数为24.
解法2
:用更相减损术
先求120,168的最大公约数,
168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24
-可编辑-

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所以120,168的最大公约数为24.
再求72,24的最大公约数,
72-24=48，48-24=24
72,24的最大公约数为24,
即72,120,168的最大公约数为24.
要点4：秦九韶（shao第二声）算法
设
f(x)?a
n
xn
?a
n?1
x
n?1
?L?a
1
x?a0
，
改写为如下形式：
f(x)?
(L(a
n
x?a
n?1
)x?a
n?2
)xL?a
1
)x?a
0< br>.

设
v
0
?a
n
,v
1
?v
0
x?a
n?1

v
2
?v
1
x?a
n?2
v
3
?v
2
x?a
n?3
L
v
n
?v
n?1
x?a
0
例4：用秦九韶算法计 算多项式
f(x)?12?35x?8x?6x?5x?3x
在
x??4
时的值
时,
V
3
的值为 ( )
A. －144 B. －136 C. －57 D. 34
练习3：用秦 九韶算法计算多项式
f
(
x
)
?
2
x?
6
x?x?
3
在
x??4
时的值时分别要用多少
32
2456

次乘法和加法？

要点5：进位制
（1）
k
进制数的基数为
k
，
k
进制数是由
0、1???k
-1之间的数字构成的.
（2）将十进制的数转化为k进制数的方法是除
k
取余法（倒序取余数）.
（3）
把k进制数a
n
a
n?1
La
1
a
0
(0?a
n
?k,0?a
n?1
,La
1
,a< br>0
?k)化为十进制数的方法为

a
n
a
n?1La
1
a
0(k)
?a
n
k
n
?a< br>n?1
k
n?1
?L?a
1
k?a
0
.
例5：将下列数进行转换
(1)
10202
（3）
?________
(10)

(2)
101
（10）
?________
(8)

-可编辑-

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解:
(1)10202
(3)
?1?3
4
?2?3
2
?2?3
0
?101
(10)

(2)用8反复去除101,直到商为0止,所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的
8进制表示
8
8
101余数
12
81
0
5
4
1
所以
101
(10)
?145
(8)

评注:将
k
进制的数转化为
k
?
进制的数的方法是先将
k
进制的数转化 为十进制的数，再将这个数
转化为
k
?
进制的数.

第二章 统计
一、基础精析
要点1：随机抽样
(1)简单随机抽样:一般地，设一个总体 含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样
本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体 被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简
单随机抽样．最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法 和随机数法．
(2) 系统抽样:一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成 均衡的若干
部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样< br>的方法叫做系统抽样.
(3) 分层抽样:一般，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按 照一定的比例，从各层独立
抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫 分层抽样．
例1：为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正 确的是
（ ）A.总体是240 B.个体 C.样本是40名学生 D.样本容量是40
例2：为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，若采用系统抽样方法较恰当？简述
抽样过程．
解 ：（1）随机地将这1 000名学生编号为1，2 ，3，…，1000．
（2）将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．
（3）在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如18．
（4）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，< br>58，…，978，998．
-可编辑-

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例3： 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以
上的 有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为
样本，职工 年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解：用分层抽样来抽取样本,步骤是:
(1)分层： 按年龄将150名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的
职工. < br>10011
?
，则在不到35岁的职工中抽125×
=25人；
500 55
11
在35岁至49岁的职工中抽280×=56人；在50岁以上的职工中抽95×=1 9人．
55
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为
(3)在各层分别按抽签法或 随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成样本．
要点2：频率分布
（1 ）频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反
映样本的频率分 布。
（2）频率分布直方图及其画法：
①计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差②决定组距与组数
③将数据分组④列频率分布表⑤画频率分布直方图
注意：①频率分布直方图中，每个小矩形的高表示的不是频率，是频率与组距之比
②频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示频率，其和是1。
（3）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. （4）总体密度曲线.：在样本频率分布直方图中,随着样本容量的增加，作图时所分组数的增
加， 组距减少，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总
体密度曲线.它 能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信
息.实际上,尽管有些总 体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样准确地画出来,我们
只能用样本的频率分布对它进 行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确。
例4：已知某班50个同学的身高数据的分组以及各组的频数如下：
[153，155）， 2；[155，157），7；[157，159），9；[159，161），11；
[161，1 63），10；[163，165），6；[165，167），4；[167，169），1。
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图及频率分布折线图。
-可编辑-

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（3）估计这50个同学的身高的中位数和平均数。






要点3：茎叶图
（1）茎叶图：当数据是两位有效数字时,用中间的数 字表示十位数,即第一个有效数字,两边
的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的 茎,两边部分像植物茎上长出来的
叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.
（2）画茎叶图的步骤如下：
①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字;
②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧;
③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧.
（3）注意：①用茎叶图表示数据有两个 优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失,
所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的 数据可以随时记录,随时添加,方便记录
与表示.②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图 只方便记录两组的数据,两个以上
的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.
例5：从参加某次考试的学生中，随机抽取20名，成绩如下：
44，52，48，57，71，74，59，74，75，82，
61，62，68，70，71，83，63，63，84，90。
试作出上述数据茎叶图，通过茎叶图，你能得出什么结论？



要点4：众数、中位数、平均数、标准差
(1)众数（在一组数据中,出现次数最多的数称 为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数
据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组 数据和的算术平均数）
（2）方差、标准差：
-可编辑-

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①方差：
s?
2
1
[(
x
1
?x
)
2
?
(
x
2
?x)
2
???
(
x
n
?x
)
2
]

n
1
[(
x
1
?x
)
2?
(
x
2
?x
)
2
???
(
x
n
?x
)
2
]
.
n
②标准差：s=< br>注：标准差较大，数据的离散程度（波动）较大；标准差较小，数据的离散程度（波动）较小。
例6：在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：
ms)的 数据如下：
甲
乙
27
33
38
29
30
38
37
34
35
28
31
36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适？
答案：
s
甲
?
2
4737
2
,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.
?s
乙
?
33
要点5：相关关系的概念
(1)相关关系： 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相
关关系.
(2) 两个变量之间的关系分两类：
①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；
②带有随机性的变量间 的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量
具有相关关系.相关关系是一 种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还
与商品质量、居民收入、生活环境等 有关）
要点6：两个变量的相关关系
（1）散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的 对应点画出来,得到表示两个变量的一组
数据的图形,这样的图形叫做散点图.
（2）正相关 、负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相
关.如果散点图中的点 散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几
乎没有什么规则,则这两个变 量之间不具有相关关系）
（3）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间 的关系,即变量之间
具有函数关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系 ；如果所
有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。
例7：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：
年龄 23 27 38 41 45 49 50
-可编辑-

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脂肪
年龄
脂肪
9.5
53
29.6
17.8
54
30.2
21.2
56
31.4
25.9
57
30.8
27.5
58
33.5
26.3
60
35.2
28.2
61
34.6
（1）画出散点图。
（2）人体脂肪含量和年龄的关系是函数关系还是相关关系？
（3）人体脂肪含量和年龄的关系是正相关还是负相关关系？
解：（1）
（2）相关关系
（3）正相关关系
要点7：回归直线
如果在散点图中所 有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。变量线
?
?
?
性相关关系的回归直线方程为
y
?
bx
?
a
。
n n
?
?
?
?
(x
i
?x)(y
iB
?y)
?
x
i
y
i
?nxy
n
n
i?1i?1
1
1
?
b??,.............(1)
nn
其中,
?
（
x?
?
x
i
,
y?
?
y
i
）
222
?
n
i?1
n
i?1
(x?x)x?nx
??
ii
?
i?1i?1< br>?
?
?
?
........................... ............................(2)
?
a?y?bx.... ......
注意：回归直线一定过点
(x,y)
.
例8： 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
水稻产量y
15
330
20
345
25
365
30
405
35
445
40
450
45
455
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归直线的方程.
解：(1)散点图如下图．

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:
i
x
i

y
i

x
i
y
i

1
15
330
4 950
2
20
345
6 900
3
25
365
9 125
4
30
405
12 150
5
35
445
15 575
6
40
450
18 000
7
45
455
20 475
-可编辑-

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x?30,y?39 9.3,
?
x?7000,
?
y?1132725,
?
x< br>i
y
i
?87175

2
i
2
i
i?1i?1i?1
777
故可得到
b=
87175?7?30?399.3
≈4.75,
7000?7?30
2
^
a=399.3-4.75×30≈257.从而得回归直线方程是
y< br>=4.75x+257.
第三章 概率
一、基础精析
要点1：必然事件、不可能事件、随机事件
（1）必然事件：一般的，我们把在条件S下，一 定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然
事件，简称必然事件；
（2）不可能事件：在条件 S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简
称不可能事件；
（3）确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件
S的确定事件，简称确定事件。 < br>（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，
叫做相对于条件S的随机事件，简称 随机事件。
（5）确定事件和随机事件统称为事件。常用大写字母A，B，C等表示。
例1：下面一些事件,哪些一定会发生?哪些一定不会发生?哪些是可能发生的?
（1）导体通电时发热；
（2）抛一石块，下落；
（3）在标准大气压下且温度低于
0?c
时，冰融化．
（4）在常温下，焊锡熔化；
（5）掷一枚硬币，出现正面；
（6）某人射击一次，中靶大于3小于11的偶数
要点2：频率与概率的定义
（1 ）频率：在相同的条件S下重复
n
次试验，若某一事件A出现的次数为
n
A< br>，则称
n
A
为事件
A出现的频数，那么事件A出现的频率
f< br>n
(
A
)?
n
A
?[0,1]
。
n
（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率
f
n
(A)
稳
定在某个常数上，把这个常数记做
P(A)
，称为事件 A的概率，简称为A的概率。
-可编辑-

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例2：判断
（1）事件A发生的频率是不变的。（ ）
（2）事件A发生的概率是不变的。（ ）
（3）有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬< br>币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。（ ）
要点3：极大似然法
极大似然 法：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本
出现的可能性最大” 可以作为决策的准则，例如在例题2中我们所做的推断。这种判断问题的
方法称为极大似然法。
要点4：事件的关系与运算
（1） 一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事 件B一定发生，称事件B包
含事件A（或事件A包含于事件B）记为:B?A(或A?B)。特别地，不 可能事件用Ф表示；任何
事件都包含不可能事件.
（2）一般地，当两个事件A、B满足: 若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作
A=B.
(3)一般地,当且仅当 事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B
的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).
(4)类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称 事件C为事件A与事件
B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）
（5）两个集合 的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝，此时，
称事件A与事件B互斥。
（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A
与事件B有且只有一个发生.
例3：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
C< br>1
＝｛出现1点｝，C
2
＝｛出现2点｝，C
3
＝｛出现3点 ｝，C
4
＝｛出现4点｝，
C
5
＝｛出现5点｝，C
6< br>＝｛出现6点｝，D
1
＝｛出现的点数不大于1｝，D
2
＝｛出现的点 数大于4｝，
D
3
＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出 现的点数大于6｝，
G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.
（1）上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?
（2）如果事件C
1
发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C
1
与这些集合之间的关系 怎

-可编辑-

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样描述？
（3）分 析事件C
1
与事件D
1
之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应 怎样描述？
(4 )如果事件C
5
发生或C
6
发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
练习1：一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ D ）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
练习2：把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张， 那么事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( B )
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件
C. 必然事件 D. 不可能事件
要点5：概率的几个基本性质
（1）概率的加法公式：若事件A与事 件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数
与事件B发生的频数之和,且 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.
（2）若事件A与事件B互为对立事件，则 P(A)＋P(B)＝1.
（3）如果事件A< br>1
,A
2
，…，A
n
中任何两个都互斥, P(A
1
+ A
2
+…+ A
n
)= P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
（4）任何事件的概率都介于0和1之间。不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.
（ 5）概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)=P(A)＋P(B)
?
P(A B).
例4：某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23， 0.25，0.28，
计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率 与射中9环的概率的和，即为
0.21+0.23=0.44。
（2）射中不少于7环的概率 恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为
0.21+0.23+0.25+0.28=0. 97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以
射中少于7环的概率为1－0. 97=0.03。
要点6：古典概率
（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；
（2）等可能基本 事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本
事件为等可能基本事件；
（3）古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型
①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的；
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（4）古典概型的概率：
如果一次试验的等可能基本事件 共有
n
个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是
1m
，如果某个事件< br>A
包含了其中
m
个等可能基本事件，那么事件
A
发生的概率为
P
(
A
)
?
．
nn
例5：将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数和是3的倍数的概率是多少？
解：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有
1,2,3,4,5,6
这6中结果。
先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，
于是一 共有
6?6?36
种不同的结果；
(2)第1次抛掷，向上的点数为
1,2 ,3,4,5,6
这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有
两种结果，使向上的点数和为3 的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点
数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍 数），于是共有
6?2?12
种不同的结果．

(3)记“向上点数和为3 的倍数”为事件
A
，则事件
A
的结果有
12
种，因为抛两次 得到的
36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为
P(A)?
要点7：几何概率
（1）几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区
域 内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰
好取到上述区 域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用
这种方法处理随机试验 ，称为几何概型．
（2）几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．
（3）几何概型的概率
一般地，在几何区域
D
中随机地取一点，记事件＂该 点落在其内部一个区域
d
内＂为事件
121
?

363A
，则事件
A
发生的概率
P(A)?
d的长度（面积或体积）< br>．
D的长度（面积或体积）
例6：取一个边长为
2a
的正方形及其内 切圆（如下图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子
落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）
分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落
入圆中的概 率应等于圆面积与正方形面积的比．
解：记＂豆子落入圆内＂为事件
A
，则
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圆面积
?
a
2
?
P(A)???
．
正方形面积4a
2
4
答：豆子落入圆内的概率为
?
．
4
例7-图
例7：甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，
试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。






练习3： 向面积为
S
的△
ABC
内任投一点
P
，则△
PB
C的面积小于
S
的概率是_________
2
练习4：一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形 的
三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A．
3

4
B．
2

3
C．
1
3
D．
1

2
练习5：假设你家订了一份报纸 ，送报员可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到你家，你父亲
离开家去工作的时间在早上7:0 0至8:00之间，问你父亲离开家前能够得到报纸（称为事件A）
的概率是多少？（答案0.875）
要点8（补充）：内心、外心、重心、垂心
(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
(3)重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
(4)垂心：三条高所在直线的交点。
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