高中数学必修3和必修5综合检测试卷(附答案)(1)

高中数学必修3和必修5综合检测试卷
总分共150分，时间120分钟

一．选择题
（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.由
a
1
?1
，
d?3
确定的等差数列
?
a
n
?
，当
a
n
?298
时，序号
n
等于 （ ）
Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．101 < br>2.
?ABC
中，若
a?1,c?2,B?60?
，则
?AB C
的面积为 （ ）
A．
3
1
B． C.1
2
2
D.
3

3 .在数列
{a
n
}
中，
a
1
=1，
an?1
?a
n
?2
，则
a
51
的值为 （ ）
A．99 B．49 C．102 D． 101
4
4.已知
x?0
，函数
y??x
的最小值是 （ ）
x
A．5 B．4 C．8 D．6

1
1
1
5.在等比数列中，
a
1
?
，
q?
，
a
n
?
，则项数
n
为 （ ）
2
2
32
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.不等式
ax
2
?bx?c? 0(a?0)
的解集为
R
，那么 （ ）
A.
a?0,??0
B.
a?0,??0
C.
a?0,??0
D.
a?0,??0

?
x?y?1
?
7.设
x,y
满足约束条件
?
y?x
,则
z?3x?y
的最大值为 （ ）
?
y??2
?
A． 5 B. 3 C. 7 D. -8
8.
若一组数据a
1
，a2
，…，a
n
的方差是5，则一组新数据2a
1
，2a
2
，…，2a
n
的方差是（ ）
A.5 B.10 C.20 D.50
9.在△AB C中，如果
sinA:sinB:sinC?2:3:4
，那么cosC等于 （ ）
A.
2
2
1
1

B.-

C.-

D.-

33
34
频率
组距

10.一个 等比数列
{a
n
}
的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ ）
A、63 B、108 C、75 D、83
0.040
0.025
0.020
0.010
0.005
0
二、填空题
（本题共5小题，每小题5分，共25分） < br>43
0
11.在
?ABC
中，
B?45,c?22,b?，
3
那么A＝_____________;
12.已知等差数列
?
a
n
?
的前三项为
a?1,a?1,2a?3
，则
1 6
产品数量
45 55 65 75 85 95
图3

此数列的通项公式为________
13.为了调查某厂工人生产某种产 品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的
分组区间为[45，55)，[ 55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 ．
13．有一个简单的随机样本：10, 12, 9, 14, 13，则样本平均数
x
=______ ，样本方差
s
=______ 。
2
14.已知数列｛a
n
｝的前n项和
S
n
?n? n
，那么它的通项公式为a
n
=_________
2
三、解答题 (本大题共6个小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分) 已知等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
3
?10,a
4
?a
6
?
5
，求其第4项及前5项和.
4
17.（12分） 围建一个面积为360m
2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），
其它三面围墙要新建，在 旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维
修费用为45元m,新墙的 造价为180元m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
（1）将y表示为x的函数：
（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
18．(12分 )在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程
x
2
?23x?2?0
的两个根， 且
2coc(A?B)?1
。
求：(1)角C的度数；
(2)AB的长度。
?
1
?
19．(13分)若不等式< br>ax
2
?5x?2?0
的解集是
?
x?x?2
?，
?
2
?
北
B
152
o
122
o
(1) 求
a
的值；
(2) 求不等式
ax
2
?5x?a
2
?1?0
的解集.
20．（14分）如图，货轮在海上以35n mileh的速度沿方位角(从正北方向顺
时针转到目标方向线的水平角)为
152?
的方向航行．为了确定船位，在B点处
观测到灯塔A的方位角为
122?
．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A
的方位角为
32?
．求此时货轮与灯塔之间的距离．
北
32
o
A
C
21.（14分）设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，对任意的正整 数
n
，都有
a
n
?5S
n
?1
成立，记< br>b
n
?
4?a
n
(n?N
*
)
。
1?a
n
（I）求数列
?
a
n
?
与数列< br>?
b
n
?
的通项公式；
（II）设数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
R
n
，是否存在正整 数
k
，使得
R
n
?4k
成立？若存在，找出一个正整数k
；若不存在，请说明理由；
*
（III）记
c
n
? b
2n
?b
2n?1
(n?N)
，设数列
?
cn
?
的前
n
项和为
T
n
，求证：对任意正整数
n
都有
T
n
?
3
；
2
2 6

高中数学必修3和必修5综合检测试卷
参考答案
一．选择题。
题号 1 2
答案 B C
二．填空题。
3
D
4
B
5
C
6
A
7
C
8
C
9
D
10
A
1
11．

15
o
或
75
o

12．
a
n
=2n－3
13．
{x??x?2}
14．11.6 15.
a
n
=2n

3
三．解答题。
3 6

15.解：设公比为
q
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分
?
a
1
?a
1
q
2
?10
?
由已知得
?
5
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3分
35
?
a
1
q?a1
q?
4
?
?
a
1
(1?q
2
)?10???①
?
即
?
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分
5
32
?
a
1
q(1?q)???
②
4
?
②÷①得
q?
将
q?
3
11
,即q?
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分
82
1
代入①得
a
1
?8
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分
2
1
33

?a
4
?a
1
q?8?()?1
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分
2
1
5
??
8? 1?()
?
5
?
a(1?q)
2
?
31
?
??

s
5
?
1
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分
1
1?q2
1?
2
16. 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则
y
-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=
2
360
,
x
360
2
?360(x?0)
所以y=225x+
x< br>360
2
?2225?360
2
?10800
(II)?x?0,?225x?
x
360
2
360
2
?y?2 25x??360?10440
.当且仅当225x=时，等号成立.
x
x
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

17． 解：（1）
cosC?cos
?
?
?
?
A?B
?
?
??cos
?
A?B
?
??< br>1

?
C＝120°┄┄┄5分
2
4 6

（2）由题设：
?
?
?
a?b?23
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
?
?
ab?2
2

?AB
2
?AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos C?a
2
?b
2
?2abcos120?

?a
2
?b
2
?ab?
?
a?b
?
?ab?23?2?1 0
┄13分

?AB?10
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分
18．（1）依题意，可知方程
ax?5x?2?0< br>的两个实数根为
??
2
1
和2，┄┄┄┄┄┄2分
2
15
1
由韦达定理得：+2=
?
┄4分解得：
a
=－2 ┄6分（2）
{x?3?x?}
┄┄┄12分
2a
2
2
19．在△ABC中，∠B＝152
o－122
o
＝30
o
，∠C＝180
o
－152
o
＋32
o
＝60
o
，
35
， ┄┄7分
2
353535
∴AC＝sin30
o
＝． ┄┄13分答：船与灯塔间的距离为n mile．┄┄┄14分
244
∠A＝180
o
－30
o
－60
o
＝90
o
， ┄┄┄5分 BC＝
20．【解析】（I）当
n?1
时，
a
1
?5S1
?1,?a
1
??
又
Qa
n
?5S
n
?1,a
n?1
?5S
n?1
?1
∴数列
?a
n
?
是首项为
a
1
??
1

4
a
n?1
1
??

a
n
4

?a
n?1
?a
n?5a
n?1
,即
1
1
，公比为
q??
的等比 数列，
4
4
1
4?(?)
n
1
n
4(n?N
*
)
…………………………3分 ∴
a
n
?(?)
，
b
n
?
1
4
1?(?)< br>n
4
（II）不存在正整数
k
，使得
R
n
? 4k
成立。
1
4?(?)
n
5
证明：由（I）知
b?

4
?4?
n
n
1
(?4)?1
1?(?)
n4
552015?16
k
?40
Q
b
2k?1
?b
2k
?8???8?
k
?
k
?8??8.
< br>2k?12kkk
(?4)?1(?4)?116?116?4(16?1)(16?4)
5
∴当n为偶数时，设
n?2m(m?N)

∴
R
n?(b
1
?b
2
)?(b
3
?b
4
) ?L?(b
2m?1
?b
2m
)?8m?4n

当n为奇数时，设
n?2m?1(m?N)

?
?
5 6

∴
R
n
?(b
1
?b
2
) ?(b
3
?b
4
)?L?(b
2m?3
?b
2m? 2
)?b
2m?1
?8(m?1)?4?8m?4?4n

∴对于一切的正整数n，都有
R
n
?4k

∴不存在正整数
k
，使得
R
n
?4k
成立。 …………………………………8分
（III）由
b
5
n
?4?(?4)
n
?1
得
c
5515?16
n
15 ?16
n
15?16
n
15
n
?b
2n?1
?b
2n
?
4
2n
?1
?
4
2n?1< br>?1
?
(16
n
?1)(16
n
?4)
?< br>(16
n
)
2
?3?16
n
?4
?
(16
n
)
2
?
16
n
b
13
1
?3,b
2
?
3
,?c
4
2
?
3
，
当
n?1
时，
T
3
1
?
2
， 当
n?2
时，
1
[1?(
1
)
n?2
]
T?
4
3
?25?(
1114
2
n
16< br>16
2
?
16
3
?
L
?
16
n
)?
3
?25?
16
1?
1
16
…… …………………14分
1
?
4
?25?
16
2
6 93
3
1?
1
?
48
?
2
16


6 6
又