高中数学滚动训练的有效性-初高中数学物理化学教学
数学 必修3知识点
第一章 算法初步
1、算法概念:
1.1.1 算法的概念
在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机
来解决的某一类问题是
程序或步骤,这些程序或步骤必须是高中明确和有效的,而且能够在有限步之内<
br>完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是
无限的. <
br>(2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,
而不应当是模
棱两可.
(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤
只
能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进
行下一步,并且每一步都准
确无误,才能完成问题.
(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不
同的算法.
(5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器
计算都要经过
有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图
1、程序框图基本概念: <
br>(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及
文字说明来准确、
直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程
序
框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束,是任何
输入、输出框
流程图不可少的。
表示一个算法输入和输出的信息,可
用在算法中任何需要输入、输出的位
置。
处理框
赋值、计算,算法中处理数据需要的
算式、公式等分别
写在不同的用以处
理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立,成立时在出
判断框
口处标明“是”或“Y”;不成立时标
明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图
的规则如下:
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除
判断框外,大
多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一
个退出点的唯一符号。4、判断框分两
大类,一类判断框“是”与“否”两分支
的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种
不同的结果。5、
在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:顺序结
构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是
按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执
行的处理步骤组成的,它是任何
一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A框和B
框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执
行B框所指定的操作。
2、条件结构:
条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立,只能执行A
B
A
框或B框之一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行。
一
个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按
照一定条件,反复执
行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,<
br>循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:
(1)、一类
是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立
时,执行A框,A框执行完毕后,再判
断条件P是否成立,如果仍然成立,再
执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件P不成立为止,此
时不再执行
A框,离开循环结构。
(2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功
能是先执行,然后判
断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次
给定的条件P成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
当型循环
直到
A
P
成立
结
型循环结构
构
A
P
某个条件下
不成立
构中一定包含条
注意:1循环结构要在
成立
不成立
终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结
件结构,但不允许“死循
环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变
量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结
果。计数变量和累加变
量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。
1.2.1
输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
(1)输入语句的一般格式
INPUT“提示内容”;变量
图形计算器
格式
INPUT
“提示内容”,变量
(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;(3)“提示内容”提示用户
输
入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;(4)输入语句要
求输入的值
只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式;(5)提示内容与变
量之间用分号“;”隔开,若输入
多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。
2、输出语句
(1)输出语句的一般格式
PRINT“提示内容”;表达式
图形计算器
格式
Disp “提示内容”,变量
(2)输出语句的作用是
实现算法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输
入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数
据;(4)输出语句可以输出常量、
变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
(1)赋值语句的一般格式
(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的
值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”
称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两
边不能对换,它
将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;(4)赋值语句左边只能是变
量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;(5)对于一
个变量可以多次赋值
。
注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X是错误的。
②赋值号左
右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能
利用赋值语句进行代数式的演算
。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”
与数学中的等号意义不同。
1.2.2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种:(1)IF—THEN—ELSE语句
;(2)IF—THEN
语句。2、IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
满足条件?
是
语句1
语句2
否
变量=表达式
图形计算器
格式
表达式
?
变量
语句2
END IF
图1
图2
分析:在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判断的条件,“语句1”表示
满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;END
IF表示条件语
句的结束。计算机在执行时,首先对IF后的条件进行判断,如果
条件符合,则执行THEN后面的语句
1;若条件不符合,则执行ELSE后面的语
句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。
IF 条件 THEN
语句
END IF
(图3)
否
语句
满足条件?
是
(图4)
注意:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时
执行的操作内容,条件不满足时,结
束程序;END IF表示条件语句的结束。
计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断,如果条件
符合就执行THEN后边
的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。
1.2.3循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一
般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。
即WH
ILE语句和UNTIL语句。
1、WHILE语句
(1)WHILE语句的一般格式是
对应的程序框图是
循环体
WHILE 条件
是
循环体
满足条件?
WEND
否
(2)当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条
件符合,就执
行WHILE与WEND之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,
再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算
机将不执行循环体,直接
跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句。
因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。
2、UNTIL语句
(1)UNTIL语句的一般格式是
对应的程序框图是
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
满足条件?
是
循环体
否
(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,
从UNTIL型循环结构分析,计算机
执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条
件不满足,继
续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条
件
满足时,不再执行循环体,跳到LOOP
UNTIL语句后执行其他语句,是先执行
循环体后进行条件判断的循环语句。
分析:当型循环与直到型循环的区别:(先由学生讨论再归纳)
(1)
当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;
在WHILE语句中,是当条件满足时执行循环体
,在UNTIL语句中,是当条件不满
足时执行循环
1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
(1):用较
大的数m除以较小的数n得到一个商
S
0
和一个余数
R
0
;
(2):若
R
0
=
0,则n为m,n的最大公约数;若
R
0
≠0,则用除数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和
一个余数
R
1
;(3):若
R
1
=0,则
R
1
为m,n的最大公约数;若
R
1
≠0,则用除
数
R0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数<
br>R
2
;…… 依次计算直至
R
n
=
0,
此时所得到的
R
n?1
即为所求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有
更相减损术求最大公约数
的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,
以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;
若不是,执行
第二步。(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得
的差比较,并以大数减小数。继续这
个操作,直到所得的数相等为止,则这个数
(等数)就是所求的最大公约数。
例2
用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析:(略)
3、辗转相除法与更相减损术的区别:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以
除法为主,更相减损术以
减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别
较大时计算次数的区别较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转
相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而
更相减损术则以减数与差相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:
f(x)=a
nx
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a<
br>n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
=(
a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+….
+a
1
)x+a
0
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n-3
+….+a
2
)x+a
1<
br>)x+a
0
=......=(...( a
n
x
+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a<
br>0
求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v
1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......
v
n
=v
n-1
x+a
0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想:插入排
序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个
元素中,以后读入的数与已存入数组的数进
行比较,确定它在从大到小的排列中
应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的
新数填入空
出的位置中.(由于算法简单,可以举例说明)
2、冒泡排序
基本思想
:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1
个数和第2个数,大数放前,小
数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到
比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到
最后.重复上过程,仍从第1个数
开始,到最后第2个数......
由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当
气泡上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3进位制
1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的
数值。
可使用数字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。现
在最常用
的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个
数,我们可以用不同的进位制来
表示。比如:十进数57,可以用二进制表示为
111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制
表示为39,它们所代表的数值
都是一样的。
一般地,若k是一个大于一的整数,那么以k为基数的k进制可以表示为:
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n<
br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)<
br>,
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制
数,34
(5)
表示5进制数
第二章 统计
2.1.1简单随机抽样
1.总体和样本
在统计学中 ,
把研究对象的全体叫做总体.
把每个研究对象叫做个体.
把总体中个体的总数叫做总体容量.
为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:,
研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队
等,完全随
机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),
样本的每
个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其
它各种抽样形式的基础。通常只是
在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,
才采用这种方法。
3.简单随机抽样常用的方法:
(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容
量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允
许误差范围;③概率保证程度。
4.抽签法:
(1)给调查对象群体中的每一个对象编号;
(2)准备抽签的工具,实施抽签
(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查
例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
, ,
5.随机数表法:
例:利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样
1.系统抽样(等距抽样或机械抽样):
把总体的单位进行排
序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离
抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽
取。
K(抽样距离)=N(总体规模)n(样本规模)
前提条件:总体中个体的排列对于研
究的变量来说,应是随机的,即不存在
某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不
同的样本开始
抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种
循
环性规律,且这种循环和抽样距离重合。
2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一
。因为它对抽样框
的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅
助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以
大大提高估计精度。
2.1.3分层抽样
1.分层抽样(类型抽样):
先将总体中的所有单位按照某种
特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类
型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系
用抽样的办法抽取
一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法:
1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层
中抽取。
2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整
齐排列,最后用系统抽样的方
法抽取样本。
2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不
同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。
分层标准:
(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
(2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的
变量作为分层变量。
(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3.分层的比例问题:
(1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的
比重来抽取子样本的方法。
(2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常
少,此时采用
该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互
比较。如果要用样本资料推断总体时,
则需要先对各层的数据资料进行加权处理,
调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例
结构。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值:
x?
x
1
?x
2
?
?
?x
n
<
br>n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x
)
2
?
?
?(x
n
?x)
2
2、.样本标
准差:
s?s?
n
3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么
样本可以反映总体的信
息,但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 <
br>虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真
正的分布、均值和标准差,而只是
一个估计,但这种估计是合理的,特
别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。
4.(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准
差不变
(2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原
来的k倍
(3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间
3.直线回归方程的应用
(x?3s,x?3s)
的应用;
“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念:
(1)回归直线方程
(2)回归系数
2.最小二乘法
(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个
变量间依存的数量关系
(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程
对预报量
(即因变量Y)进行估计,即可得到个体Y值的容许区
间。
(3)利用回归方程
进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来
实现统计控制的目标。如已经得到了空气中,总在某
个常数附近摆
动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度NO
2
的浓度和汽
车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO
2
的浓度。
4.应用直线回归的注意事项
(1)做回归分析要有实际意义;
(2)回归分析前,最好先作出散点图;
(3)回归直线不要外延。
第三章
概 率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可
能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的
随机事件; <
br>(5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,
称n次试验中事
件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事
n
A
件A出现的比例fn(A)=n
为事件A出现的概率:对于给定的随机
事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的
频率fn(A)稳定
在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联
系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与
n
A
试验总次数n的比值
n
,它具有一定的稳定性越来
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=
P(A)+ P(B);若事件A
与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=
P(A)+
P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互
斥事件是指事件A与事件B在一
次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生
且事件
B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发
生,而对
立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;
(1)事件A发生B不发生;(2)
事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事
件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概
型及随机数的产生越小。我们把这个常数叫做随机事件的概
率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能
性的大小。频率在大
量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3
概率的基本性质
1、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对
立事件;
1、(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)
A包含的基本事件数
=
总的
基本事件个数
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念:
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(
面
积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积)
的区域长度(面积或体积)
P(A)=
试验的全部结果所构成
;
(2) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事
件)有无限多
个;2)每个基本事件出现的可能性相等.
高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意
角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成
的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负
半轴重合,终边落在第几象
限,则称
?
为第几象限角.
??
第二象
限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k
?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k
?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
终边在<
br>x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k
??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角<
br>?
的弧度数的绝对值是
?
?
6、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360
,
1?
l
.
r
?
180
?
,
1?
??
?57.3
.
180
?
??
?
7、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面
积为
S
,
11
则
l?r
?
,
C?2r?l
,
S?lr?
?
r
2
.
22
8、设?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点
yxy
,
cos
?
?
,
tan
?
?
?
x?0
?
.
rrx
9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
10、三角函数线:
sin
????
,
cos
?
???
,
tan
?
???
.
11、角三角函数的基本关系:
的距离是
rr?x
2?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?y
P
T
OM
A
x
?
1
?
si
n
2
?
?cos
2
?
?1
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
?
sin<
br>2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
;
sin
?
??
s
in
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
.
tan
?
??
12、函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?<
br>?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??
sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
??
?cos
?
,
tan
?
?
?
???tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
??
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?
?
,
?
?
?
cos
?
?
??
?sin
?
?
2
?
.
?
6
?
sin
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?
?
,
?
?
?
cos?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
13、①的图象上所
有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x??
?
的
图象;再将函数
y?sin
?
x?
?<
br>?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变
),得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再
将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的
图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函
数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
②数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
不变),得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
1
?
倍(纵坐标
?
个单?
位长度,得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函数y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
14、
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质:
①振幅:
?
;②周期:
??
相:
?
.
函
数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当<
br>x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x<
br>2
时,取得
最大值为
y
max
,则
??
11
?
?
y
max
?y
min
?
,
??
?
y
max
?y
min
?
,
?x
2?x
1
?
x
1
?x
2
?
.
222
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
?;④相位:
?
x?
?
;⑤初
?2
?
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?cosx
数
y?sinx
性
质
y?tanx
图
象
定
义
域
值
域
最
值
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
R
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时,
?
2
时,
y
max
?1
;当
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
既无最大值也无最小
值
x?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
?
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周
期
性
奇
偶
性
2
?
2
?
奇函数 偶函数 奇函数
??
??
在?
2k
?
?,2k
?
?
?
22??
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
在
k
?
?,k
?
?
上是增函数;在
k??
?
单
?
上是增函数;在
??
22
??
调
?
2k
?
,2k
?
?
?<
br>?
?
3
?
?
性
?
2k
?
?,2k
?
?
?
?
k??
?
上是增函数.
?
22
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心对称中心
对称中心对
?
k
?
,0
??
k??
?
称
对称
性
?
x?k
?
?
?
k??
?
2<
br>轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??<
br>?
?
2
??
对称轴
x?k
?
?<
br>k??
?
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
无对称轴
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;
②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
.
a
????
C
?
b
?
a?b??C?????C
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y1
?y
2
?
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
19、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
②当
?
?0<
br>时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相
反;当
?<
br>?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?<
br>?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
⑶坐
标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y?
.
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,
当且仅当有唯一一个实数
?
,使
??
??
b?
?
a
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
bb?0
共线.
?
?
21、平面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量,那么对于
这一平面内的任意向量
a
,有且只有一对实数<
br>?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共
线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底)
22
、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点
,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
1
?
?
x
2
y?
1
?
y
?
2
,当时,点的坐标
是
,
x,y
???
?
??
?
?
22
?
??
.(当
12
1?
?
??
1?
?<
br>?
?1时,就为中点公式。)
23、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量
与任一向量的数量积为
0
.
⑵性质:设
a
和
b
都
是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与
b
同向时
,
??
a?b?ab
;当
a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a
2
?a
或<
br>a?a?a
.③
a?b?ab
.
2
⑶运算律:①
a
?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?
b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c
.
⑷坐标
运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x
2
?y2
,或
a?x
2
?y
2
. 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
2
??????
a?b?x1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
c
os
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1x?y
2
2
2
2
.
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin
?
?
?
?
?
?si
n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷<
br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co
s
?
?cos
?
sin
?
;
⑸
tan<
br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan<
br>?
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
t
an
?
?
);
1?tan
?
tan
?
t
an
?
?tan
?
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
1?tan
?<
br>tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
??
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2
sin
?
cos
?
.
?1?sin2
?
?sin<
br>2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos?
?(sin
?
?cos
?
)
2
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?<
br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
2
?
22cos2
?
?11?cos2
?
,
sin
2
?
?
.
?
降幂公式
cos
2
?
?<
br>22
,1?cos
?
?2sin
2
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2
?
26、
半角公式:
α1?co
sαα1?cosα
cos??;sin??
2222
α1?cosαsinα1?c
osα
tan????
21?cosα1?cosαsinα
?
(后两个不用判断符号,更加好用)
万能公式:
α
2
α
2tan1?tan
2
;cosα?
2
sinα?
αα
1?tan
2
1?tan
2
22
27
、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次
方”的 <
br>y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
?
.
?
28
、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会
创设条件,灵活运用三角公
式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想
方法技巧如下:
(1)角的变
换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,
可根据角与角之间的和差,倍半,互
补,互余的关系,运用角的变换,沟
通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
tan
?
?
①
2
?
是
?
的二倍;
4
?
是
2
?
的二倍;
?
是
ooo
oo
?
??
的二倍;是的二倍;
224
?
30
o
②
15?45?30?60?45?
;问:
sin?
;
12
2
cos
?
12
?
;
③
?
?(
?
?
?
)?
?
;④?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4<
br>?
?
)
;
?
?
)
;等等
44<
br>(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角
函数中正余弦是基
础,通常化切为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有
时需要将常数转化为三角
函数值,例如常数“1”的代换变形有:
⑤
2
?<
br>?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(<
br>?
?
?
)?(
?
1?sin
2<
br>?
?cos
2
?
?tan
?
cot
?
?sin90
o
?tan45
o
<
br>(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般
采用降幂处理的方
法。常用降幂公式
有: ; 。降幂并
非绝对,有时需要升幂,
如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式,常用
升幂公式
有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及
变形应用。 <
br>1?tan
?
1?tan
?
?_______________
;
?______________
; 如:
1?tan
?1?tan
?
tan
?
?tan
?
?________
____
;
1?tan
?
tan
?
?__________
_
;
tan
?
?tan
?
?____________<
br>;
1?tan
?
tan
?
?___________
;
2tan
?
?
;
1?tan
2
?
?
; tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan
40
o
?
;
sin
?
?cos
?
?
= ;
asin
?
?bcos
?
?
=
;(其中
tan
?
?
;)
1?cos
?
?
;
1?cos
?
?
;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则
是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化
低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三
角函数互化。
如:
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
;
tan
?
?cot
?
?
。