最新新课标高中数学必修3教案

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§1.1.1 算法的概念（两个课时）
教学目标: (1)了解算法的含义，体会算法的思想。
(2)能够用 自然语言叙述算法。(3)掌握正确的算法应满足的要求。(4)会写出解线性方程（组）的算法。
(5 )会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
教学重点: 算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。.
教学难点: 把自然语言转化为算法语言。.
学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n( n>1)是否为质数；求任意一个方程的近
似解；……)，并且能够重复使用。2、要使算法尽量简单、 步骤尽量少。3、要保证算法正确，且计算机
能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做 到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”
等则是做不到的。
教学过程
一、章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。
算法作 为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们
却从小 学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖
式笔算 等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。广义地说，算法就是做某一件事的步
骤或程 序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在
数学中 ，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
(古代 的计算工具：算筹与算盘. 20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。)
例1：解二元一次方程组：
?
?
x?2y??1
?
2x?y?1
①

②
分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加 减
消元法写出它的求解过程.
解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3； ③
第二步：解③得
y?
331
； 第三步：将
y?
代入①，得
x?
.
555
学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出
求方程组的解的算法：
?
a
1
x?b
1
y?c
1
例2：写出求方程组
?
?
a
2
x?b
2
y ?c
2
①
②
?
a
1
b
2
?a2
b
1
?0
?
的解的算法.
解：第一步：②×a
1
- ①×a
2
，得：
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?
y?a1
c
2
?a
2
c
1
③ 第二步：解③得
y?
a
1
c
2
?a
2
c
1
a
1
c
2
?a
2
c
1
c?by
；第三步：将
y?
代入①，得
x?
11

a
1
b
2
?a
2
b
1
a
1
b
2
?a
2
b
1
a
1
算法概念： 在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或精品文档

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步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
( 2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，
前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
例题讲评：
例3、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.
分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.
（2）要判断一个大于1的整数n 是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，
如果它只能被1和本身整除，而不能被 其它整数整除，则这个数便是质数.
解：算法：第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数；若n＞2，则执行第二步.
第二步：依次从2~（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数.若有这样的数，则n不是质数；若没有这< br>样的数，则n是质数.
说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求：
（1）写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用.（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.
（3）要保证算法正确，且计算机能够执行. 利用TI- voyage200图形计算器演示：(学生已经被吸引住了)
例4、.用二分法设计一个求方程
x?2?0
的近似根的算法.
分析：该算法实质是求
2
的近似值的一个最基本的方法.
解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令
f< br>?
x
?
?x?2
.因为
f
?
1
?< br>?0,f
?
2
?
?0
，所以设x
1
=1，x
2
=2.
2
2
第二步：令
m?
于0还是小于0.
x
1
?x
2
，判断f（m）是否为0.若是，则m为所求；若否，则 继续判断
f
?
x
1
?
?f
?
m
?
大
2
第三步：若
f
?
x
1
?
?f
?
m
?
?0
，则x
1
=m；否则，令x
2
=m.
第四步：判断
x
1
?x
2
?0.005< br>是否成立？若是，则x
1
、x
2
之间的任意值均为满足条件的近似根； 若否，
则返回第二步.
练习1：写出解方程x
2
－2x－3＝0的一个算法。
练习2、求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
练习3、有蓝和黑两个墨水瓶，但 现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要
求将其互换，请你设计算法解决这 一问题。
小结
1、算法概念和算法的基本思想
（1）算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别；（2）算法的五个特征。
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2、利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法
3、两类算法问题：（ 1）数值性计算问题，如：解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公
式判断性的问题，累 加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分
解成清晰的步骤，使 之条理化即可。（2）非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等
需先建立过程模型， 通过模型进行算法设计与描述。
作业： （课本第4页练习）
§1．1．2 程序框图 (三个课时)
教学目标：
1。掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构 2．掌握画程序
框图的基本规则，能正确画出程序框图。 3．通过模仿、操作、探索，经历通过设计 程序框图表达解决
问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
教学重点：经过模仿、操作、 探索，经历通过设计程序框图表达求解问题的过程,重点是程序框图的基本
概念、基本图形符号和3种基 本逻辑结构
教学难点： 难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
教学过程 引入：算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
程序框图基本概念：
（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一 种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地
表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框





处理框
输入、输出框
名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不
可少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法
中任何需要输入、输出的位置。
赋值、 计算，算法中处理数据需要的算式、公
式等分别写在不同的用以处理数据的处理框
内。


判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明
“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图
符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类
判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
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（3）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
顺序结构：顺序结构是 最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，
它是由若干个依次执行的 处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B
框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执
行B框所指定的操作。
A
B
例3、已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法 ，求出它的面积，并画出算法
的程序框图。 (解法见课本)
条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断，
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
它的一般形式如右图所示：
注意：
右图此结构中包含一个判断框，根据给定的 < br>条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行 A框和B
框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。
例4、任意给 定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在。画出这个算法的程序
框图。解：（见课本）
是
A
p
否
B
循环结构 ：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就
是循环结 构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结
构，循环 结构可细分为两类：
（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时 ，执行A框，A框执行
完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框 ，直到某一次条件P
不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。
（2）、另一类是直到 型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，
如果P仍然不成立， 则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循
环结构。







当型循
注意：1循
结构，但不允许
p
P
A
成立
A
P
不成立
判断。因此，循环结构中一定包含条件
量。计数变量用于记录循环次数，累加
不成立
成立


环结构 直到型循环结构
环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来
“死循环”。2在循环结 构中都有一个计数变量和累加变
变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次， 计数一次。
例5、设计一个计算1＋2＋3＋…＋100的值的算法，并画出程序框图。
解：算法和程序框图（可参看课本）
课堂小结：本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括 常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的
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基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的
结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法的基本
结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达。
在具体画程序框图时，要注意的问题 ：流程线上要有标志执行顺序的前头；判断框后边的流程线应根据情况标注“是”
或“否”；在循环结构 中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加变量等.
§1．2．1输入、输出语句和赋值语句
教学目标：
（1） 正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。
（2） 让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。
（3） 实例使学生 理解3种基本的算法语句（输入语句、输出语句和赋值语句）的表示方法、结构和
用法，能用这三种基本 的算法语句表示算法，进一步体会算法的基本思想。
教学难点重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。
学法：我们用自然语言或程 序框图描述的算法，计算机是无法“看得懂，听得见”的。因此还需要将算法
用计算机能够理解的程序设 计语言翻译成计算机程序。程序设计语言有很多种。如BASIC，Foxbase，C语
言，C++， J++，VB，VC,JB等。为了实现算法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，
各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句条件语句和循环语句.
今天，我们一起用类BASIC语言学习输入语句、输出语句、赋值语句。
教学过程：输入语句、输 出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构。下面的例题是用这三种基本
的算法语句表示的一个算 法。
例1：用描点法作函数y＝x
3
＋3x
2
－24x＋30的图 象时，需要求出自变量和函数的一组对应值。编写程序，
分别计算当x＝－5，－4，－3，－2，－1 ，0，1，2，3，4，5时的函数值。
程序：INPUT“x＝”；x 输入语句
y＝x
^
3＋3*x
^
2－24*x＋30 赋值语句
PRINT x 打印语句
PRINT y 打印语句
END
输入语句
（1）输入语句的一般格式
图形计算器
格式

INPUT“提示内容”；变量 INPUT “提示内容”，变量


（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3） “提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量
是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句 要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、
变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；” 隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号
“，”隔开。
输出语句
（1）输出语句的一般格式
图形计算器
格式
PRINT“提示内容”；表达
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Disp “提示内容”，变量

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（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内 容”提示用户输入什么样的信息，表达
式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或 表达式的值以及字符。
赋值语句
（1）赋值语句的一般格式


（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）
对于一个变量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2 =X是错误的。②赋值号左右不能对换。
如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用 赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式
分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同 。
例2：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
程序：





图形计算器
格式
变量＝表达式
表达式
?
变量
INPUT “Maths=”；a
INPUT “Chinese=”；b
INPUT “English=”；c
PRINT “The average=”；（a＋b＋c）
3
例3、给一个变量重复赋值。(解法略)
例4、交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
程序：
分析：引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，
从而达到交换A，B的值。（比如生活中交换装满红墨水和蓝墨水的两个瓶子里的墨水，
需要再找一个空瓶子）
P15 练习 1. 2. 3
课堂小结
本节 课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入语句，输出语句，赋值
语句 编写一些简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“=”的作用及应用。编程一般的步骤：
先写 出算法，再进行编程。我们要养成良好的习惯，也有助于数学逻辑思维的形成。注意：BASIC语言中
的标准函数，如SQR（x）表示x的算术平方根，ABS（x）表示x的绝对值等。

§1．2．2条件语句
教学目标：1正确理解条件语句的概念，并掌握其结构。2会应用条件语句编写程序。
教学重点：条件语句的步骤、结构及功能。 教学难点：会编写程序中的条件语句。
教学过程
条件语句： 1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—THEN—ELS E语句；（2）IF—THEN语句。2、
IF—THEN—ELSE语句
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IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。




IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2

否
满足条件？
是
语句1
语句2

END IF
图1 图2
分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行 的操作内
容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算 机在执行时，首
先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符 合，则执行ELSE后
面的语句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）




是
满足条件？
否
语句

注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条
件不满足时，结 束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，
如果条件 符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。
例5、编写程序，输入一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0的系数，输出它的实数根。
分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对
应的程序语句表达出来。（程序框图先由学生讨论，再统一，可以参考课本）
算法分析：在求 解方程之前，需要首先判断判别式的符号，再根据判别式的符号判断方程根的情况：△＞
0时，方程有两 个不相等的实数根；△＝0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程没有实数根。这
个过程可以用 算法中的条件结构来表示。
课本练习2
小结：条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法 设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等
问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语 句，有时甚至要用到条件语句的嵌套
编程的一般步骤：（1）算法分析 ：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算
法。
（2）画程序框图：依据算法分析，画出程序框图。（3）写出程序 ：根据程序框图中的算法步骤，逐步
把算法用相应的程序语句表达出来。

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（图4）

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§1．2．3循环语句
教学目标：1正确理解循环语句的概念，并掌握其结构。2会应用循环语句编写程序。
教学重点：两种循环语句的表示方法、结构和用法，用循环语句表示算法。
教学难点：理解循环语句的表示方法、结构和用法，会编写程序中的循环语句。
教学过程: 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计
语言中也有 当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
WHILE语句
（1）WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是







循环体
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？

否
是
（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果 条件符合，就执行WHILE与WEND之间
的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执 行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条
件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到W END语句后，接着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
UNTIL语句
（1）UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是





（2）直到型循环又称为“ 后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一
次循环体，然后进行条 件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个
过程反复进行，直到某 一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先
执行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）
（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
（2） 在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环体。
例1：编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。
程序（WHILE语句）：（略） 程序（UNTIL语句）：（略）
练习（课本23页）
小结1、循环语句的两种不同形式： WHILE语句和UNTIL语句（另补充了For语句），掌握它们的一般格
式。2、在用WHILE 语句和UNTIL语句编写程序解决问题时，一定要注意它们的格式及条件的表述方法。
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循环体
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
满足条件？
是
否

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WHILE语句中 是当条件满足时执行循环体，而UNTIL语句中是当条件不满足时执行循环体。3、循环语句主
要用来 实现算法中的循环结构，在处理一些需要反复执行的运算任务。如累加求和，累乘求积等问题中常
用到。

§1．3进位制
教学目标：1了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各 种进位制与十进制之间的联系进行各种
进位制之间的转换。 2学习各种进位制转换成十进制的计算方 法，研究十进制转换为各种进位制的除k
去余法，并理解其中的数学规律。
教学重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
教学难点：除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计
学法：学习各 种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示
数的方法，从 而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
教学过程
引入：我们常见的数字都是十进制 的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制
的.比如时间和角度的单位用六十 进位制,电子计算机用的是二进制，旧式的称是十六进制的，计算一打数
值时是12进制的...... 那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同 的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，
基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现 在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记
数。对于任何一个数，我们可以用不同的 进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，
也可以用八进制表示为71、用 十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n< br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)< br>，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5进制数
543210
如：把二进制数110011(2)化为十进制数. 110011=1*2+1*2+0*2+0*2+1*2+1*2=32+16+2+1=51
把八进制数
7348
(8)
化为十进制数.
7348
(8)
?7*8?3*8?4*8?8*8?3816

例4、把二进制数110011(2)化为十进制数.
543210
解:11001 1=1*2+1*2+0*2+0*2+1*2+1*2=32+16+2+1=51
例5 把89化为二进制数.
解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.
具体的计算方法如下:
89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0
11=2*5+1 5=2*2+1
所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1* 26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=1011001(2)
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:
把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)
上述方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法.
例6 利用除k取余法把89转换为5进制数
具体的计算方法如把十进制数化为二进制数。
把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程可以利用计算机程序来实现,语句为:
INPUT a,k,n i=1 b=0
WHILE i<=n t=GET a[i] b=b+t*k^(i-1) i=i+1
WEND PRINT b END
小结:
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3210

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(1)进位制的概念及表示方法(2)十进制与二进制之间转换的方法及程序
(3) 图形计算器进一步激发学生在算法方面的潜能，更能体现他们的创造精神。
§1．3秦九韶算法与排序（两个课时）
教学目标：1了解秦九韶算法的计算过程，并理解利 用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒 泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框
图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别 ，理解计算机对数学的辅助作用。
教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计，两种排序法的排序步骤及其程序设计
教学难点:秦九韶算法的先进性理解及其程序设计,排序法的计算机程序设计
教学过程 (秦九韶计算多项式的方法)
例1、 设计求多项式f(x)=2x
5
-5x
4
-4x
3
+3x
2
-6x+7当x=5时的值的算法，并写出程 序。
个别学生提出一般的解决方案，如：x=5 y=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7
PRINT“y=”；y END
提问：例1计算时需要多少次 乘法计算？多少次加法计算？有什么优缺点？(上述算法一共做了解15次乘
法运算，5次加法运算，优 点是简单、易懂。缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算
效率不高。)
提 问：计算x的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x
2
，然后依次计算x
2
.x，（x
2
.x）.x，
(（x
2
.x）. x).x的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法，多少次加法?(上述算法一共做了解4
次乘法运算，5次加法运算。)
结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能 提高运算效率，而且对于计算机来
说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做 法更快地得到结果。
我们把多项式变形为：f(x)= 2x
5
-5x
4< br>-4x
3
+3x
2
-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3) x-6)x+7
从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，x的系数依次是什么？
用图表可以表示为：
多项式x系数

2

-5
10
-4
25
3
105
-6
540
7
2670
运算
+
变形后x的系数 2 5 21 108 534 2677 *5
最后的系数2677即为所求的值,让学生描述上述计算过程。上述算法就是“秦九韶算法”。
如何应用秦九韶算法完成一般的多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n -1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题？
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
=( a
n
x
n- 1
+a
n-1
x
n-2
+….+a
1
)x+a0
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
xn-3
+….+a
2
)x+a
1
)x+a
0

=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0

求多项式的值时， 首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v
1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
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v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题
观察秦九韶算法的数学模 型，计算v
k
时要用到v
k-1
的值，若令v
0
=a
n
，
我们可以得到下面的递推公式：
v
0
=a
n

v
k
=v
k-1
+a
n-k
(k=1,2,…n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。

例2、已知一个 五次多项式f(x)=5x
5
+2x
4
+3.5x
3
-2. 6x
2
+1.7x-0.8用秦九韶算法求当x=5时多项式的值。
分析：先画出程序框图（见课本）
排序
排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与
已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一
个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数 放前,
小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的 一定沉到最后.重
复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气
泡上升,所以叫冒泡排序.
例3、用冒泡法对数据7，5，3，9，1从小到大进行排序。
小结
(1)秦九韶 算法计算多项式的值及程序设计(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡
排序法( 3)冒泡法排序的计算机程序设计(4)注意循环语句的使用与算法的循环次数，对算法进行改进。
§1．3辗转相除法与更相减损术
教学目标：1理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2基
本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
教学过程
提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，如口算求出12与20的公约数。
分 析：我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到
一 些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这
一堂课所要探讨的内容。
辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明 显的公约数，可以把它们都变小一点，根据已有的知识即
可求出最大公约数
Q
8251 ＝6105×1＋2146
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显然8251的最 大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，
?
所以
8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37
148＝37×4＋0 则37为8251与6105的最大公约数。 < br>以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右
首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
（1）：用较大的数m除以较小的数 n得到一个商
S
0
和一个余数
R
0
；（2）：若
R
0
＝0，则n为m，n的最
大公约数；若
R
0
≠0，则用除 数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数
R< br>1
；（3）：若
R
1
＝0，则
R
1
为m，< br>n的最大公约数；若
R
1
≠0，则用除数
R
0
除以余 数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数
R
2< br>；…… 依次计
算直至
R
n
＝0，此时所得到的
R
n?1
即为所求的最大公约数。
更相减损术
我国早期也有求最大公约数 问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数
的步骤：可半者半之，不可 半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译为：（1）：任意给出 两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
（2）：以较大的数减去较 小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，
直到所得的数相等为止，则 这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析：（略）
辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法 ，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗
转相除法计算次数相对较少，特 别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结 果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差
相等而得到
小结：对比分析辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序。
















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2.1.1简单随机抽样
教学目标：1．结合实际问题情景，理解随机抽样的必要性和重要性
2．学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本
教学重点：学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本
教学过程：
1．
总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．
把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ，
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全
独立 ，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位
之间 差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容 量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证
程度。
4．抽签法:
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
课堂练习：第52页，练习A,练习B
小结：本节重点介绍简单随机抽样常用的方法：⑴抽签 法；⑵随机数表法；学会用简单随机抽样的方法从
总体中抽取样本
课后作业：第58页，习题2-1A第1、2、3题,
2.1.2系统抽样
教学目标：1．结合实际问题情景，理解系统抽样的必要性和重要性
2．学会用系统抽样的方法从总体中抽取样本
教学重点：学会用系统抽样的方法从总体中抽取样本
教学过程：
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排 序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采
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用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变 量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规
则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样 本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说
明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这 种循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样 框的要求较低，实施也
比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体 单元按辅助变量的大小
顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
3．例子： < br>（1）某工厂平均每天生产某种机器零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其
质量情况。假设一天的生产时间中生产的机器零件数是均匀的，请你设计一个调查方案
（2） 某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其质量状况，
请你 设计一个调查方案.
（3）调查某班学生的身高情况，利用系统抽样的方法样本容量为40，这个班共 分5个组，每个组都
是8名同学，他们的座次是按身高进行编排的。李莉是这样做的，抽样距是8，按照 每个小组的座次进行
编号。你觉得这样做有代表性么？
（4）在（3）中，抽样距是8，按身全班身高进行编号，然后进行抽样，你觉得这样做有代表性么？
课堂练习：第54页，练习A,练习B
小结：本节重点介绍系统抽样的方法及其局限性
课后作业：第58页，习题2-1A第4题,

2.1.3分层抽样
教学目标：1．结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性
2．学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本
教学重点：学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本
教学过程：
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标 志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个
类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的 办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体
的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以 分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样
的方法抽取样 本。

2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子 总体中的样本分别
代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法， 主
要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先 对
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各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
课堂练习：第55页，练习A,练习B
小结：本节重点介绍分层抽样的方法及其局限性
课后作业：第58页，习题2-1A第5、6题,


2.1.4数据的收集

教学目标：学习收集数据
教学重点：学习收集数据
教学过程：
1．做实验
2．查阅资料
3．实际调查问卷
4．案例分析
统计活动案例：通俗歌曲的流行趋势
问题情境
1987年的春节联欢晚会上，费翔的“冬天里的一把火”点燃了通俗歌曲在我国大 陆的流行，成为当时
风靡一时的歌曲，也流行了很长一段时间。但是，现在的中学生对这首歌可能就不一 定很认同，而更多的
是喜欢目前流行的歌曲。这就是通俗歌曲流行的趋势。
为了方便分析，我们将一个人对歌曲的喜欢程度进行量化，分为10个等级： 1，2，3，4，5，6，7，
8，9，10，其中“10”表示非常喜欢，“1”表示非常不喜欢。
根据你和同学们的了解，确定每年最具有代表性的一首通俗歌曲。由调查对象根据他自己的喜好给每首歌曲打分。调查时，要求记下被调查对象的性别与年龄，以便为分析提供可靠的证据。
任务1：请你与同学们一起讨论一个调查方案，然后按照设计好的方案进行调查。
任务2：根据调查的数据，分析每首通俗歌曲的喜好程度与性别是否有关系。
任务3：根据调查的数据，分析每首通俗歌曲的喜好程度与年龄有什么关系。
任务4：根据调查的数据，计算填写下面的表格：
通俗歌曲的名称









通俗歌曲首次 被调查人的
推出的年份（A） 出生年份（B）


















C=B—A









喜好程度（D）










以变量C为横坐标、以变量D为纵坐标，做出散点图，并由此分析变量D随着变量C的变化趋势。
任务4：根据调查数据和分析结果，写出调查报告，并在全班进行交流。
实施建议
（1）可以组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，分工合作，形成具体可行的调查方案。调查方
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案的设计与讨论是非常必要，也是非常重要的，讨论要充分，设计要细致。
（2）在设计调查 方案时，一定要讨论调查问卷的设计。问卷上栏目的设计直接影响调查的结果，要
尽可能避免一些敏感性 问题。
（3）调查报告的呈现形式可以参考下表。

调查内容： 年级 班 调查时间：
1．课题组成员、分工、贡献
成员姓名






分工与完成情况

1． 探究的过程和结果



2． 主要参考资料




4．成果的自我评价（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）



5．在调查的过程中发现和提出了哪些新问题？是如何解决的？得到哪些很得意的结论？




6．描述在探究中的感受



（4）成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。
（5）评价建议
在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，应善于发现别人工作中 的特色，可主要考虑以
下几个方面：
——求解过程和结果：合理、清楚、简洁、正确；
——独到的思考和发现；
——提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
——发挥组员的特长，合作学习的效果。

课堂练习：第58页，练习A,练习B
小结：本节重点介绍系统抽样的方法及其局限性
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课后作业：第58页，习题2-1A第7题,

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

教学目标：1．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
2．进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
初步体会样 本频率分布和数字特征的随机性。
教学重点：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数 据标准差。进一步体会用样本估计总
体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步 体会样本频率分布和数字
特征的随机性。
教学过程：
1． 本均值：
x?
x
1
?x
2
???x
n
< br>n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x )
2
???(x
n
?x)
2
2．样本标准差：
s? s?

n
3．通过例1、例2、例3、例4、例5熟悉上述两个公式
4．用 样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到
的信息会有偏 差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总 体的真正的分布、均值和标准差，
而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们 确实反映了总体的信息。
5．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
（3） 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
(x?3s,x?3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
课堂练习：第73页，练习A,练习B
小结：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。进一步体会用样本估计总体的
思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随
机性。
课后作业：第74页，习题2-2A第4、5、6题,

2.3.1变量之间的相关关系
教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散 点图，并利用散点图直观认识变量间的相关
关系。
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联 变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关
关系。
教学过程：
案例分析:
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一般说来，一个人的身高 越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与
右手一拃长之间存在着一定的 关系。为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年
级96名学生的身高与右手 一拃长的数据如下表。
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性别
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
男
男
男
男
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身高cm
152
153
156
157
158
159
160
160
160
160
160
160
160
160
161
161
162
162
163
163
164
164
164
164
165
165
165
165
166
167
167
168
168
168
170
170
170
171
171
171
172
173
173
162
164
165
168
右手一拃长cm
18.5
16.0
16.0
20.0
17.3
20.0
15.0
16.0
17.5
17.5
19.0
19.0
19.0
19.5
16.1
18.0
18.2
18.5
20.0
21.5
17.0
18.5
19.0
20.0
15.0
16.0
17.5
19.5
19.0
19.0
19.0
16.0
19.0
19.5
21.0
21.0
21.0
19.0
20.0
21.5
18.5
18.0
22.0
19.0
19.0
21.0
18.0
















































性别
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男

身高cm
170
170
170
170
171
171
171
172
172
173
173
173
173
173
174
174
175
175
175
175
175
176
176
176
176
176
177
178
178
178
178
179
179
179
180
181
181
181
182
182
182
183
185
186
191
191

右手一拃长
cm
20.0
21.0
21.5
22.0
21.5
21.5
22.3
21.5
23.0
20.0
20.0
20.0
20.0
21.0
22.0
22.0
16.0
20.0
21.0
21.2
22.0
16.0
19.0
20.0
22.0
22.0
21.0
21.0
21.0
22.5
24.0
21.5
21.5
23.0
22.5
21.1
21.5
23.0
18.5
21.5
24.0
21.2
25.0
22.0
21.0
23.0

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性别
男
男
身高cm
168
169
右手一拃长cm
19.0
17.0



性别


身高cm


右手一拃长
cm


（1）根据上表中的数据，制成散点图。你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似
关系吗？
（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。
（3）如果一个学生的身高是188cm，你能估计他的一拃大概有多长吗？
解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。


30


25


20

15


10

150195

从散点图上可以发现，身高与右手一拃长之间 的总体趋势是成一直线，也就是说，它们
之间是线性相关的。那么，怎样确定这条直线呢？
同 学1：选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条
直线。
同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。
同学3：多取几组 点对，确定几条直线方程。再分别算出各个直线方程斜率、截距的算
术平均值，作为所求直线的斜率、截 距。
同学4：
我从左端点开始，取两条直线，如下图。再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。
30
25
20
15
10
150195

同 学5：我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近
似的直线，使得在直 线两侧的点数尽可能一样多。
30
25
20
15
10
150195


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同学6：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm以下的，一部分是身高
在170 cm以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均 值作为平均身高、
右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最 后，将这两点连
接成一条直线。
同学7：我先将所有的点按从小到大的顺序进行排列，尽可能 地平均分成三等份；每部
分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为（161.3，18. 2），中间的点为（170.5，
20.1），最大的点为（179.2，21.3）。求出这三个点的 “平均点”为（170.3，19.9）。我再
用直尺连接最大点与最小点，然后平行地推，画出过点（ 170.3，19.9）的直线。


21.5
(179.2,21.3)

右手一拃长cm


21

20.5

(170.5,20.1)


20

19.5



19

18.5

身高cm

(161.3,18.2)

18

2

同学8：取一条直线，使得在它附近的点比较多。 在这里需要强调的是，身高和右手一拃长之间没有函数关系。我们得到的直线方程，只
是对其变化趋 势的一个近似描述。对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人
的右手一拃长。这是十分有 意义的。
课堂练习：第77页，练习A,练习B
小结：通过收集现实问题中两个有关联变量 的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量
间的相关关系。
课后作业：第84页，习题2-3A第1(1)、2(1)题,

2.3.2两个变量的线性相关

教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性 相关的过程。知道最小二乘法的思想，能
根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学重点：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能
根据给出的 线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学过程：
1．回顾上节课的案例分析给出如下概念:
（1）回归直线方程
（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存
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的数量关系
（2）利用回归方程进行预测； 把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即
因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区 间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控
制的目标。如已经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方程，即可
通过控制汽车流量来控制空气中NO
2
的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。
5．实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年 来科研费用支出（
X
i
）与公司所获得利润（
Y
i
）的统计资料如下表：
科研费用支出（
X
i
）与利润（
Y
i
）统计表 单位：万元
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
合计
科研费用支出
5
11
4
5
3
2
30
利润
31
40
30
34
25
20
180
要求估 计利润（
Y
i
）对科研费用支出（
X
i
）的线性回归模型。
?
?
?
?
X
?
?
?
Y
i 01i
解：设线性回归模型直线方程为：
n
因为：
根据资料列表计算如下表：
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
合计
X?
?
X
i
?
30
?5Y?
6

?
Y
n
i
?
180
?30
6

X
i

5
11
4
5
3
2
30
Y
i

31
40
30
34
25
20
180
X
i
Y
i

155
440
120
170
75
40
1000
X
i

25
121
16
25
9
4
200
2
X
i
?X

Y
i
?Y

(X
i
?X)
2

(X
i
?X)(Y
i
?Y)

0
6
-1
0
-2
-3
0
1
10
0
4
-5
-10
0
0
36
1
0
4
9
50
0
60
0
0
10
30
100
现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解 参数
?
0
、
?
1
的估计值：
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?
?
?
1
?
n
?
X
i
Y
i
?
?
X
i
?
Y
i
n
?
X
i
?(
?
X
i
)
2
2
6?1000?30?180
6?200?30
2
6000?5400
?
1200?900
600
?
300
? 2

?
?Y?
?
?
X
?
01
? 30?2?5

?20
?
?Y?
?
?
X
?
01
?30?2?5

?20


?
?Y?
?
?
X
?< br>01
?
?
?
1
?
?
XY?nXY
?
X?n(X)
ii
2
i
2
1000?6?5?30
200?6?5
2
100
?
50
?2

?
?Y?
?
?
X
?
01
?
?
?
1< br>?
100
50
?2

?
(X?X)(Y?Y)
?30?2?5
?
(X?X)

?20
ii
2
i
?
?Y?
?
?
X
?
01

所以：利润（
Y
i
）对科研费用支出（< br>X
i
）的线性回归模型直线方程为：
?
?20?2XY
ii

6、求直线回归方程，相关系数和作图,这 些EXCEL可以方便地做到。仍以上题的数据为例。
于 EXCEL表 中的空白区，选用插入菜单命令中的图表，选中 XY散 点图类型，在弹
出的图表向导中按向导的要求一步一步地 操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改。
适当修饰 图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图 美观，最后得到图1，
图中有直线称为趋势线 ，还有直线方程和相关系数。图中的每一个部份如坐标、标题、图例
等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程。
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45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
051015
y = 2x + 20
R = 0.8264
2
系列1
线性 (系列1)

图1散点图
鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选 添加趋势线，图中自动 画上一
条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选
取显示公式和显示R 平方值，确定后即在图中显示回归方程和相关系数。
课堂练习：第83页，练习A,练习B
小结：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过 程。知道最小二乘法的思想，能根据
给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
课后作业：第84页，习题2-3A第1、2题,




2.3.3实习作业

教学目标：会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想， 解决一些简单的实际问题；能
通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计 思维
与确定性思维的差异。
教学重点：会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决 一些简单的实际问题；能
通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维
与确定性思维的差异。
教学过程：
1．课本86页案例设计一个题目
2．尝试解决下面的问题。
（1）下面是关于吸烟情况的20个国家的统计数字，其中第一行 是国名，第二行是男
性吸烟成员的百分数，第三行是女性吸烟成员的百分数。
韩国
68.2
6.3
美国
28.1
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拉脱
维亚
67.0
12.0
巴基
斯坦
27.4
俄罗斯 多米
尼加
67.0
30.0
芬兰
27.0
66.3
13.6
土库曼
26.6
汤加
65.0
14.0
尼日
利亚
24.4
土耳其
63.0
24.0
巴拉圭
24.1
中国
61.0
7.0
巴林
24.0
泰国
60.0
15.0
新西兰
24.0
斐济
59.3
30.6
瑞典
20.0
日本
59.0
14.8
巴哈马
19.3

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23.5 4.4 19.0 1.5 6.7 5.5 6.0 22.0 24.0 3.8
根据以上数据，试研究这些国家吸烟状况的类似程度。
问题(1)的分析:
要根据数据研究这些国家吸烟状况的类似程度,我们可以仅讨论男性的 吸烟情况，首先
确定一个划分类似的标准,不妨取1%,即当两个国家男性吸烟人数百分比之差小于1% 时,将
这两个国家称为类似的.则可分成下面九组：
（1）韩国；（2）拉脱维亚，俄罗斯和 多米尼加；（3）汤加；（4）土耳其；（5）中
国，泰国，斐济和日本；（6）美国；（7）巴基斯坦 ，芬兰和土库曼；（8）尼日利亚，巴
拉圭，巴林和新西兰；（9）瑞典和巴哈马。对于女性吸烟的情况 也可做类似的分析。
如果我们要整体地讨论吸烟情况，我们应当怎样做呢？一个直接的想法就是考虑下 面的
平面图：以女性吸烟者的百分数为横轴，男性吸烟者的百分数为纵轴。（如下图所示）
7 0
韩国
中国
60
拉脱维亚
多米尼加
汤加
泰国
日本
俄罗斯
土耳其
斐济
50
40
30
巴基斯坦< br>土库曼
尼日利亚
巴拉圭
巴林
巴哈马
美国
芬兰
新西兰
瑞典
男
吸
烟
20
10
010203040< br>女吸烟


从图中可以看出，基本上分成下面四组：（1）巴哈马，巴基斯坦， 巴拉圭，巴林，尼
日利亚和土库曼斯坦；（2）芬兰，新西兰，瑞典和美国；（3）中国，日本，泰国， 韩国，
拉脱维亚，多米尼加和汤加；（4）土耳其，斐济和俄罗斯。
这个过程叫做聚类分析,它的基本思想是：
在一批样本数据中，定义能度量样本数据或类别间 相近程度的统计量，在此基础上计算
出个样本数据或类别之间的相近程度度量值；再按相近程度的大小， 把样本逐一归类，关系
密切的聚集到一个小的分类单位，关系疏远的聚集到一个大的分类单位，直到所有 的样本数
据都聚集完毕；最后把不同的类别一一划分出来，形成一个关系密疏图，并用以直观地显示分类对象的差异和联系。
上例向我们展示了对数据进行的聚类分析的过程, 一般来说,进行聚类 分析需要解决两
个问题：一是如何确定度量两个数据的接近程度的方法；二是究竟分成多少类合适。这两 个
问题都需要根据实际问题的背景和数据本身的意义来确定。统计上对此提出了一套程序化的
方 法：
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（1）选择一种确定接近程度的方法，最 直接的就是点之间的距离，我们上面的分析即
是基于此；（不同的方法将得到不同的分类结果）
（2）设要分类的对象有n个；我们以这n个对象分成n类开始，按所选择的方法确定
这n个对象两两 的接近程度度量值，将最接近的两个对象合并为一类，如此我们得到了至多
n-1类；
（3）确定类与类之间接近程度的方法；
（4）对n-1类重复步骤（2），如此下去到完全 归为一类止。至于究竟分成多少类合适，
需要分析者根据所讨论的问题来决定。在实际问题中，往往需要 对几种分类方案进行比较后，
再加以选择。
（2）为了研究某种新药的副作用（如恶心等）， 给50位患者服用此新药，另外50位
患者服用安慰剂，得到下列实验数据：

副作用
药物
新药

安慰剂

合计

有

15

4

19

无

35

46

81

合计

50

50
100
请问服用新药是否可产生副作用？
问题(2)的分析:
假定服用新药与产生副作用 没有关联.那么，首先要给“没有关联”下一个“能够操作”
的定义。根据直观的经验，在服用新药与产 生副作用的情形下，这个定义可以是这样的：如
果服用新药与产生副作用没有关联，就意味着，无论服用 新药与否，产生副作用的概率都是
一样的。就此例题而言：
P(全体实验者产生副作用)?< br>1915
?0.19.P(服用新药产生副作用)??0.3,
10050
二者 相差较大。由此可以推断，开始的假设是不成立的。也就是说，服用新药与产生副作用
是有关联的。 < br>由统计的常识知道，要求等号成立是非常苛刻的条件，实际上一般也是办不到的，我们
所能追求的 是在概率意义下的可靠性。对于上面的独立性问题，类比在聚类分析讨论中的想
法，我们应当寻找一个适 当的统计量，用它的大小来说明独立性是否成立。在统计中，我们
引入下面的量








副作用B
药物A
新药A
1
安慰剂A
2
合计

有副作用
B
1
无副作用
B
2
合计

a

c

a?c

b

d

b?d

a?b

c?d

n?a?b?c?d

在前面的例子中
a＝15,b＝35，c＝4，d＝46。注意到独立性要求：
P（全体生实验者产生副作用）＝P（服用新药产生副作用）
即
a?ca
?

na?b
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这等价于
a?ba?ca
??

nnn
aa?ba?c
??
的大小来衡量独立性的好坏。
nnn
因此，可以用
问题：
（1）用
aa?ba?cba?bb? dcc?da?c
????
＋
?
＋
?
＋
nnnnnnnnn
dc?db?d
??
是不是更好些？
nnn< br>aa?ba?c
??|
nn
比用
a
?
a?b
?
a?c
合理，你认为有道理吗？ （2）用
n
a?ba?c
nnn
?
nn
|
（3）为了得到统计量的近似的分布，统计学家最终选用了：

ba?bb?d
2
ca?cc?d
2
dc?db?d2
?
aa?ba?c
2
(??)(??)(??)(??)
?< br>nnnnnnnnnnn
Q
2
=
n
?
n
?? ?
a?ba?ca?bb?da?cc?dc?db?d
?
????
?
nnnnnnnn
?
?
?
?

?
?
?
用它的大小来衡量独立性的大小，你能把它化简得到下式吗？

n(ad?bc)
2
Q?,

(a?b)(c?d)(a ?c)(b?d)
2
Q
的值越小，从上面的表达式可以直观地看出：事件A与B之间的 独立性将会越大（当
Q
2
的值为0时，事件A与B完全独立）。通过有关统计量分布的 计算可知：当
Q
2
?3.84
时，事件A与B在概率为95%的意义下是相关 的；当
Q?6.63
时，事件A与B在概率为
99%的意义下是相关的。
我们来算一算本题中
Q
的值：
2
2
2
100?( 15?46?35?4)
2
Q??7.86?6.63,

50?50?19 ?81
2
于是得出结论：在概率为99%的意义下，服用新药与产生副作用是相关联的。从数据
可以进一步看出，服用新药更容易产生副作用。
上述过程在统计推断叫做独立性检验,它的基本思想是：
如何选用一个标准，用它来衡量事件之间的独立性是否成立。
在独立性检验中，我们要特别关注方法的直观及合理性。
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3.1.1随机现象

教学目标：了解随机现象，概率论的历史
教学重点：了解随机现象，概率论的历史
教学过程：
1．从随机现象说起
在自然界和现实生活中，一些事物都 是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和
发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截 然不同的两大类：一类是确定性的现
象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来 说，在标准大气压下，
水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常 的自然科学
各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的< br>数量规律。
另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定 的。举例来说，
同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如， 在
同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早
晚 的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的
“相同条件”是 指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然
因素又是人们无法事先一一能 够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然
性的因果关系，对个别现象的结果事先做出 确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，
这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比
如：每期 体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，
我们说：随机现象就 是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完
全一样，而且无法准确地预测下一 次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由
于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同
类的随机 现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的
这种规律性，随着我们 观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是
那一面朝上，但是如果多次重复的掷 这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体
相同。
我们把这种由大量同类 随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和
数理统计就是研究大量同类随机现象的统 计规律性的数学学科。
2．概率论的产生和发展
概率论产生于十七世纪，本来是由 保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，
却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：
“两 个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢
了 a 局赌 本如何分配？三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企
图自己解决这一问题 ，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。
近几十年来，随着科技的蓬勃发 展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科
领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、 排队论、控制论等，都是以概率论作为基
础的。

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课堂练习：第98页，练习A,练习B
小结：通过本届课的学习我们了解随机现象，概率论的历史
课后作业：略




3.1.2事件与基本事件空间

教学目标：理解事件与基本事件空间的概念
教学重点：理解事件与基本事件空间的概念
教学过程：
1．概念：对随机现象的观测称作随机试验。
种类：随机试验有可重复 随机试验和不可重复随机试验两种。前者是指可以在相同条件
下重复进行的随机试验；后者是指不能在相 同条件下重复进行的随机试验。
要注意，随机现象或随机试验的概念都是同给定的一组条件联系在一起 的。给定的一组条件
发生了改变，就变成了另外的随机现象和另外的随机试验。
2．基本概念：
（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件，记作
?
。
不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件，记作?。
（2）随机事件（事件）：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，
简称为事件
（3）基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。
（4）基本事件空间：一项随机试验的所有基本事件的集合，称作该随机试验的基本事件
空间。
3．集合来解释上述概念
a)基本事件----元素
b)基本事件空间 ----全集
c)随机事件----全集的子集
4．通过例1、例2学会写出基本事件空间、事件


课堂练习：第101页，练习A,练习B
小结：通过本节课的学习我们理解事件与基本事件空间的概念
课后作业：略

3.1.3频率与概率

教学目标：在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和 频率的稳定性，进一步了解概率
的意义以及频率与概率的区别。
教学重点：在具体情境中，了 解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率
的意义以及频率与概率的区别。
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教学过程：
1．案例分析：为了研究 这个问题，2003年北
京市某学校高一（5）班的学生做了如下试验：
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察“钉尖
朝上”出现频率的变化情况。
（1）每人手捏一枚图钉的钉尖、钉帽在下，
从1.2米的高度让图钉自由下落。
（2）重复20次，记录下“钉尖朝上”出现
钉尖朝上
钉尖着地
的次数。
图3—1
下图是汇总这个班上六位同学的数据后画出
来的频率图。
频率

1.50


1.00

0.50

投掷次数
0.00

95765738


观察上图，“钉尖朝上”出现的频率有什么样的变化趋势？

动手实践
从 一定高度按相同的方式让一枚图钉自由下落，图钉落地后可能钉尖朝上、也可能钉尖
着地。大量重复试验 时，观察“钉尖朝上”出现频率的变化情况。
（1）从一定高度让一枚图钉自由下落并观察图钉落地后 的情况，每人重复20次，记录
下“钉尖朝上”出现的次数。
（2）汇总每个人所得的数据， 并将每个人的数据进行编号，分别得出前20次、前40
次、前60次、……出现“钉尖朝上”的频率。
（3）在直角坐标系中，横轴表示掷图钉的次数，纵轴表示以上试验得到的频率，将上
面算出的 结果表示在坐标系中。
（4）从图上观察出现“钉尖朝上”的频率的变化趋势，你会得出什么结论？
归纳概括
通过上面的试验，我们可以看出：出现“钉尖朝上”的频率是一个变化的量，但是在 大
量重复试验时，它又具有“稳定性”——在一个“常数”附近摆动。
2．在n次重复实验中 ，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常数值附近
摆动，随着n的增加出现摆动幅度较大的 情形越少，此时就把这个常数叫做事件A的概率
3．实例：计算一个现实世界中复杂事件发生的概率往 往是比较困难的，我们可以制造
一个较为简单的模型去模拟复杂事件。通过实验确定出简单模型的频率， 并以此估计复杂事
件的概率。
例如，你用一块面团做6个甜饼，在面团中随意地放入10块巧 克力。那么，你拿到一
个甜饼上至少有3块巧克力的概率是多少？
（1）10块巧克力在6个甜饼中任何一个的概率是多少？
10块巧克力在6个甜饼中任何一个的概率是相等的，都为16。
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（2）制作一个模型进行模拟。
因为，10块巧克力在6 个甜饼中任何一个的概率都为16，所以，可以利用骰子来模拟。
用一个骰子掷10次，骰子掷出后，朝 上的点数是几，就在第几个甜饼中。
（3）进行大量实验，用频率来估计一个甜饼上至少有3块巧克力的概率。



课堂练习：第105页，练习A,练习B
小结：通过本节课的学习我们了解随机事 件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概
率的意义以及频率与概率的区别。
课后作业：略





3.1.4概率的加法公式

教学目标：通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
教学重点：通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
教学过程：
1．在10个杯子里，有5个一等品，3个二等品，2个三等品。现在我们从中任取一个。
设：“取到一等品”记为事件A
“取到二等品”记为事件B
“取到三等品”记为事件C
分析：如果事件A发生，事件B、C就不发生，引出概念。
概念：在一次随机事 件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。（如上述中的
A与B、B与C、A与C）
一般的：如果事件A1、A2……An中，任意两个都是互斥事件，那么说A1、A2……An
彼此互斥 。
例1某人射击了两次。问：两弹都击中目标与两弹都未击中，两弹都未击中与至少有一
个弹 击中，这两对是互斥事件吗？
例2：P106，例1
532
2．再回想到第一个例子：P（A）=
10
P（B）=
10
P（C）=
10

问：如果取到一等品或二等品的概率呢？
5?353
答：P（A+B）=
10
=
10
+
10
=P（A）+P（B）
得到下述公式：
一般的，如果n个事件A1、A2、……An彼此互斥，那么事件“A1+A2+…… +An”发
生的概率，等于这n个事件分别发生的概率之和，即P（A1+A2+……+An）=P（A 1）+P（A2）
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+……+P（An）
3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件。
对立事件性质：P（A）+P（
A
）=1或P（A）=1-P（
A
）
例3：袋中有20个球，其中有17个红球，3个黄球，从中任取3个。求，至少有一个
黄球的概率？
析：在上述各问题都理解后，这道题就可以多渠道来解。
解：记“至少有一个黄球”为事件A
记“恰好有一个黄球”为事件A1
记“恰好有二个黄球”为事件A2
记“恰好有三个黄球”为事件A3
法1
?
事件A1、A2、A3彼此互斥
?
P（A）=P（A1+A2+A3）= P（A1）+P（A2）+P（A3）=
0.4035

法2：（利用对立事件的概率关系）
?
A
对立事件
A
是“没有黄球”

故P（A）=1-P（A0）=
0.4035


课堂练习：第108页，练习A,练习B
小结：运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断 它们是否互斥，再由随机事件的概率公
式分别求它们的概率，然后计算。

在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。
课后作业：略



3.2.1古典概型

教学目标：通过实例，理解古典概型及 其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含
的基本事件数及事件发生的概率。
教学重 点：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含
的基本事件数及事件 发生的概率。
教学过程：
1．古典概型是最简单的随机试验模型，也是很多概率计算的基础，而且有不少实际应
用．
古典概型有两个特征：
（1）样本空间是有限的,
??{
?
1< br>,
?
2
,?,
?
n
}
，其中
?i
, i=1, 2, …,n, 是基本事件．
（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看待． 在“等可能性”
概念的基础上，很自然地引进如下的古典概率(classical probability)定义．
定义1 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中 的m个基本事件，
则事件A的概率P(A)定义为
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m
A包含的样本点数
P(A)=
?

n
样本空间中样本点总数

2．例1掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率．
取样本空间：{甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反}．
这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．
n=4, m=1, P=1 4
例2 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。
解法1 设

颗骰子出现

表示“出现点数之和为奇数”，用

记“第一颗骰子出现

点，第二
点”，
i,j?1,2,...6< br>。显然出现的36个基本事件组成等概样本空间，其中


，故 包含的基本事件个数为

解法2 若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶 ），（偶，奇），
（偶，偶），则它们也组成等概样本空间。基本事件总数
，故

，


。
包含的基本事件个数



。
解法3 若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}， 也组
成等概样本空间，基本事件总数

，

所含基本事件数为1，故

注 找出的基本事件组构成的样本空间，必须是等概的。解法2中倘若解为：（两个奇），

。
（一奇一偶），（两个偶）当作基本事件组成样本空间，则得出

，错的原因就是
它不是等概的。例如

（两个奇）

，而

（一奇一偶）

。本例又告诉我们，同一
问题可取不同的样本空间解答。


课堂练习：第116页，习题3-2A 1，2，3,
小结：

运用 互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率
公式分别求它们的概率，然 后计算。

在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。
课后作业：第116页，习题3-2A 4，5，6,
3.3.1几何概型

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教学目标：初步体会几何概型的意义。
教学重点：初步体会几何概型的意义。
教学过程：
1．古典概型要求样本点总数为 有限．若是有无限个样本点，特别是连续无限的情况，
虽是等可能的，也不能利用古典概型．但是类似的 算法可以推广到这种情形．
若样本空间是一个包含无限个点的区域Ω（一维，二维，三维或n维），样 本点是区域
中的一个点．此时用点数度量样本点的多少就毫无意义．“等可能性”可以理解成“对任意< br>两个区域，当它们的测度（长度，面积，体积，…）相等时，样本点落在这两区域上的概率
相等， 而与形状和位置都无关”．
在这种理解下，若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g
? ?
}，则A的概率定义
为
g的测度
P(A)=
?的测度
． 这样定义的概率称为几何概率．
2．例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该 车站等车时间少于3
分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一
切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2,
a+5)中的任一时刻，故
g的长度
3
?
?的长度5
． P(A)=
例2（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时
离去．求两人会面的概率．
因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到 达的时刻）组成．以
7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为
Ω:{(x,y) | 0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形．会面的充要条件是|x－y| ≤20，即事件
A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分．
g的面积60
2
?(60?20)
2
5
??
2
9

60
P(A)=
?的面积

课堂练习：略
小结：通过实例初步体会几何概型的意义
课后作业：略



3.4概率的应用

教学目标：结合实际问题情景，理解概率的应用
教学重点：结合实际问题情景，理解概率的应用
教学过程：
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1．概率依赖于观察者
至少在数学中概率是依赖于观察者的。
现在，考虑一个日常生活的例子。如果我们说“‘张三 得肺结核的概率’是2％”，那么，
在这一命题有意义的限度内，它是指
第一，某一人群G有2％的人得了肺结核；
第二，张三属于人群G。
在这里，第一 个条件与观察者无关，是一个客观条件；但第二个条件则是观察者的已知
条件，是一个主观条件。如果换 一个观察者，当然不会有“张三不属于人群G”这样的相反的
已知条件，但不同的观察者对张三属于什么 人群的认识可能是各式各样的。例如，“张三是
青岛大学的一个学生”、“张三是一个二十岁的年轻人” 或者“张三是山东人”，等等。在“青岛
大学学生”、“二十岁的年轻人”和“山东人”的这些人群中， 得肺结核的人的比例是不同的，
张三得肺结核的概率就因此而有所不同。
如果经过透视，查明 张三没有得肺结核，那么张三得肺结核的概率就是零。这样，在透
视前后，张三得肺结核的概率从0.0 2突变为0。显然，张三的健康情况并未因为这次透视而
有所改变。那么，这次透视究竟改变了什么呢？ 是给张三作透视的这位大夫对张三的健康情
况的“认识”，确切地说，是这位大夫的“已知条件”。在透 视之前，他只知道张三属于一个有
2％的人得了肺结核的人群；透视之后，他有了进一步的认识，知道张 三同时还属于经过他
透视排除了的肺结核的可能性的那个人群。在这里，关键是“已知条件”，而不是“ 大夫”这个
人，我们可以把这位大夫换成任何一个掌握了相同的已知条件的另一位观察者。由此可见，< br>在日常生活中，概率也依赖于观察者。
2．例1 李炎是一位喜欢调查研究的好学生，他对高三 年级的12个班（每班50人）同
学的生日作过一次调查，结果发现每班都有三位同学的生日相同，难道 这是一种巧合吗？
解析：本题即求50个同学中出现生日相同的机会有多大？
我们知道，任 意两个人的生日相同的可能性为1365×1365≈0.0000075，确实非常小，
那么对于一个 班而言，这种可能性是不是也不大呢？
正面计算这种可能性的大小并不简单，因为要考虑可能有2个人 生日相同，3个人生日
相同，……有50个人生日相同的这些情况。如果我们从反而来考察，即计算找不 到俩个人
生日相同的可能性，就可知道最少有两个人生日相同的可能性。
对于任意2个人，他们生日不同的可能性是 （365365）×（364365）=365×364365
2

对于任意3个人，他们中没有生日相同的可能性是
365365×364365×363365=365×364×363365
3
；
类似可得，对于50个人，找不到两个生日相同的可能性是
365×364×363×…×3 16365
50
≈0.03，因此，50个人中至少有两个人生日相同的机会
达97% ，这么大的可能性有点出乎意料，然而事实就是如此，高三年级的12个班级（每班
50人）都有两位同 学生日相同的事件发生，并非巧合。那么，50人中有3人生日相同的概
率有多大？请读者计算。
3．认定闯祸的是红色出租车，这公平吗？
深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有 两家出租车公司——红色出租车公司
和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整 个城市出租车的85%
和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作 了测试，
测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察精品文档

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的认定对红色出租车公平吗？试说明理由
解析：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

真
实
颜
色

蓝色（85%）
红色（15%）
合计
680
30
710
证人所说的颜色（正确率80%）
蓝色 红色
170
120
290
合计
850
150
1000
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为
它是 蓝色的概率为
显然是不公平的。
4．你能设计一个摸奖方案吗？
120
?
0.41，而
290
170
?
0.59.在这种情况下，以证人的证 词作为推断的依据对红色出租车
290
某食品公司为新产品问世拟举办2004年国庆促销活动 ，方法是买一份糖果摸一次彩，
摸彩的器具是黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同。另 有一只棱长约为
30厘米密封良好且不透光的长方体木箱（木箱上方可容一只手伸人）。该公司拟按中奖 率
1%设大奖，其余99%则为小奖，大奖奖品的价值为400元，小奖奖品的价值为2元。请你
按公司的要求设计一个摸彩方案。
解析：本题并不要求计算中奖概率，而是在给定的中奖率条件下设 计摸奖的方案，因此
本题是个开放性问题，可以有多种构思，可谓“一果多因”。我们不妨提出了如下5 个方案：
方案1：在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球。顾客一次摸出一个< br>乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖。
方案2：在箱内放置14个乒乓球，其中2个为黄球 ，12个为白球，顾客一次摸出2个
乒乓球，摸到2个均为黄球中大奖，否则中小奖。
方案3 ：在箱内放置15个乒乓球，其中2个为黄球，13个为白球，顾客摸球和中奖办
法与方案2相同。 < br>方案4：在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个
乒乓球， 摸到2个均为黄球为中大奖，否则中小奖。
方案5：在箱内放置10个乒乓球，其中3个为黄球，7个 为白球，顾客一次摸出3个乒
乓球或分几次摸，一次摸1个或2个，共摸出3个，不放回（考虑到儿童一 次摸3个球比较
困难），如果摸出的3个乒乓球均为黄色即中大奖，否则中小奖。
课堂练习：
小结：结合实际问题情景，理解概率的应用
课后作业：
阅读与思考：割圆术 圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者
们的兴趣。作 为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一
点，求出它的尽量准确的近 似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作
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为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己 的智慧和劳动。回顾历
史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在
一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学< br>中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。
我国 的刘徽创立了割圆术，给出了“割圆”的一般法则，后世的割圆家可能在 π 的近似值
上估计得比他精密，但若论及创始的功劳，则他的地位是无人可以替代的。
刘徽是魏人，经历可能延长到晋朝，这是史家根据《隋书》记载的魏陈留王景元四年（263
A.D.）刘徽注九章的文句推断出来的。晋朝算学博士王孝通（《缉古算经》的作者）称赞他
“思极毫 芒”，推许他的著作“一时独步”。他那极富原创性的《九章算术注》（附于现传
本的《九章算术》内） ，及《重差术》（即现传的《海岛算经》）二部著作，的确是他不朽
声名的最佳脚注。
刘徽 的割圆术记载在九章算术第一卷方田章的第32题关于圆面积计算的注文里。我们
把它归纳为下列几点来 加以说明。
一、刘徽首先指出利用 π=3 这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形
的面积，这个结果比 π 的真值少。
二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，算出正12边形、正24边形、正48
边形、正96 边形……的面积，这些面积会逐渐地接近圆面积。
三、已知正6边形一边（恰与半径等长，详见《九 章算术》），即求得正12边形边长，……。
由正12边形求正24边形一边之长时，刘徽反复地应用到 句股定理（或称商高、勾股定理），
如下图：




设圆的半径为1，弦心距OG为
h
n
；正n边形的

边长A B为
x
n
，面积为
S
n
，根据各个勾股定理，
得：
2
?
x
??
x
?
h
n
?1??
n
?
,x
2n
?
?
n
?
?
?
1?h
n
?
?
2
??
2
?22




正n边

形的面
积等于
正n边形的面积加上n个等腰三角形
的面积，即
1< br>S
2n
?S
n
?nggx
n
g(1?h
n< br>)(n?6)

2
?S
6
?6?
3
；
S
12
?3
；
S
24
;3.105828
...
4
(n?6)

容易知道
x
6
?1

学生利用TI-voyage200图形计算器操作：（老师现场指导）





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运行程序为：


用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，在公元前 200年左右，早为
阿基米德（287？～212 B.C.）率先采用。但阿阿基米德同时采用内接和外切两种
入算，不如刘徽仅用内接，比较简便多了。
大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献。对此，《隋书·律历志》有如下记
载：“宋末，南徐州 从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺
四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四 寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在
盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径 七，周二
十二。”
这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率
3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927


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