2020年高中数学必修3全套精品教案(精心整理)

2020年高中数学必修3全套精品教案
（精心整理）

第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定
义，教科书只对它作了 如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一
定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更 好理解这
一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出
发，归纳出了二元一 次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元
一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引 出算法，再
通过例题加以巩固.
三维目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数
学的兴趣.
重点难点
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法.

第 1 页(共 260 页）

复 备 记 录

教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一
个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量
狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移 过河？请同学们写出解决问题的
步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.
思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，
把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第
三步：把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概
念.
思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重
要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺
少的工具.听音乐、看电影、玩游戏 、打字、画卡通画、处理数据，
计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
推进新课 新知探究 提出问题
（1）解二元一次方程组有几种方法？
第 2 页(共 260 页）

（2）结合教材实例
?
组的步骤.
（3）结合教材实例
?
组的步骤.
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.
（6）请同学们总结算法的特征.
（7）请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法.
（2）回顾二元一次方程组
?
x?2y??1,(1)
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
??
2x?y?1,(2)
?
x?2y??1,(1)
总结用代入消元法解 二元一次方程
?
2x?y?1,(2)
?
x?2y??1,(1)
总 结用加减消元法解二元一次方程
?
2x?y?1,(2)

第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x=.
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④，得y=.
1
?x?,
?
?
5
第五步，得到方程组的解为
?

3
?
y?.
?
5
?
1
5
3
5(3)用代入消元法解二元一次方程组
?
x?2y??1,(1)
我们可以归纳出以下步骤：
?
2x?y?1,(2)
?

第 3 页(共 260 页）

第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④
第三步，解④得y=.⑤
第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=.
1
?
x?,
?
?
第五步，得到方程组的解为
?
5
?
y?
3
.
?
5
?
3
5
3< br>5
1
5
?
a
1
x?b
1
y?c1
,(1)
(4)对于一般的二元一次方程组
?

ax?by?c,(2)
22
?
2
其中a
1
b
2
－a
2
b
1
≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b
2
-②×b
1
，得
（a
1
b
2
－a
2
b
1
）x=b
2< br>c
1
－b
1
c
2
.③
第二步，解 ③，得x=
b
2
c
1
?b
1
c
2
.
a
1
b
2
?a
2
b
1
第三步，②×a
1
-①×a
2
，得（a
1
b
2－a
2
b
1
）y=a
1
c
2
－a2
c
1
.④
第四步，解④，得y=
a
1c
2
?a
2
c
1
.
a
1
b
2
?a
2
b
1
b
2
c
1
?b
1
c
2
?
x?,
?
a
1
b< br>2
?a
2
b
1
?
第五步，得到方程组的解为
?

ac?ac
21
?
y?12
.
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?
复
(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么 我
们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算
法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有
限的步骤.
第 4 页(共 260 页）

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征 ：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重
不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的 步骤，“不漏” 是指缺
少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最
后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，
“后一步”是“前一步” 的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，
当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果， 也就是说必须
在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要 设计出一系列可操作或可计算的步骤来解
决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实 际上
就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大
量重复的计算，它的优 点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得
到结果.因此算法是计算科学的重要基础.
应用示例
思路1
例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数.
（2）设计一个算法，判断35是否为质数.
算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判 断：依次用2—6除7，
如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.
算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所
以2不能整除7.
第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.

第 5 页(共 260 页）

第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.
因此，7是质数. < br>（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除
35，得到余数1.因为 余数不为0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除
35.
第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除
35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因
此，35不是质数.
点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还
可以，如果判断1997是 否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普
适性的算法步骤.
变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i表示2—( n-1)中的任意整数，
则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余
数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，
再执行同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.
算法如下：第一步，给定大于2的整数n.
第 6 页(共 260 页）

第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余数r.
第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数， 结束算法；
否则，将i的值增加1，仍用i表示.
第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算
法；否则，返回第三步.
例2 写出用“二分法”求方程x
2
-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x
2
-2,则方程x
2
-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点 所在的区间［a,b］(满
足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］. 根据“f(a)·f(m)<0”
是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a ,b］.
对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足
够小”， 则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.
解：第一步，令f(x)=x
2
-2,给定精确度d.
第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.
第三步，取区间中点m=
a?b
.
2

第四步，若f(a )·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的
区间为［m,b］.将新得到的含零 点的区间仍记为［a,b］.
第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是 ，则
m是方程的近似解；否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
a b |a-b|

第 7 页(共 260 页）

1
1
1.25
1.375
1.375
1.406 25
1.406 25
1.414 062 5
1.414 062 5
2
1.5
1.5
1.5
1.437 5
1.437 5
1.421 875
1.421 875
1.417 968 75
1
0.5
0.25
0.125
0.062 5
0.031 25
0.015 625
0.007 812 5
0.003 906 25
于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确
度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求2
的近似
值的一个算法.
点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计 算，只要按部
就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学
机械化的 最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题
都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱 、走法、胜负的评判准
则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如
申请 出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……
思路2
例1 一个人带着三只狼 和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳
一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚 羊的数
量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.
分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应
第 8 页(共 260 页）

考虑 到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的
构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样 才能使得两岸的羚羊数量占
到优势.
解：具体算法如下：
算法步骤：
第一步：人带两只狼过河，并自己返回.
第二步：人带一只狼过河，自己返回.
第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.
第四步：人带一只羊过河，自己返回.
第五步：人带两只狼过河.
点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、 程
序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清
晰地表达，要善于分析任 何可能出现的情况，体现思维的严密性和完
整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解 决，在
现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时
候，如果能够合适地 利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简
单，而且可以提高工作效率.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根.
解：算法步骤如下：
第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac的值.

第 9 页(共 260 页）

复 备 记 录

第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则
输出“方 程无实根”，结束算法.
点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.
并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的
特点.
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话
费0.22元；如果通 话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收
取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为 t（分钟），通话
费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.
解：算法分析：
数学模型实际上为：y关于t的分段函数.
关系式如下：
?
0.22,( 0?t?3),
?
y=
?
0.22?0.1(t?3),(t?3,t?Z) ,

?
0.22?0.1([T?3]?1),(T?3,t?Z).
?其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立，若成立
执行
y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.
第三步，输出通话费用c.
课堂小结
第 10 页(共 260 页）

（1）正确理解算法这一概念.
(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.
作业
课本本节练习1、2.


第 11 页(共 260 页）

复 备 记 录

1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
整体设计
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）

三维目标
1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.
2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序 框图表达解决问题的
过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：
顺序 结构、条件结构、循环结构.
3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.
重点难点
数学重点：程序框图的画法.
数学难点：程序框图的画法.
教学过程
第1课时 程序框图及顺序结构
导入新课
思路1（情境导入）
我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好
玩了，问路有时还听不 明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不
就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来 直观、准
确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始
学习程序框图.
第 12 页(共 260 页）

思路2（直接导入）
用自然语言表示 的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条
件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行 的步骤，自
然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要
探究使算法表达 得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）什么是程序框图？
（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.
（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.
（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.
（5）说出判断框的图形符号与功能.
（6）说出流程线的图形符号与功能.
（7）说出连接点的图形符号与功能.
（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.
（9）什么是顺序结构？
讨论结果：
（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来
表示算法的图形.
在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带
有方向箭头的流程线将程序框连接 起来，表示算法步骤的执行顺序.

第 13 页(共 260 页）

（2）椭圆形框：表示程 序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表
示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口． （3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出的信息,又称为输
入、输出框，它有一个入口和一个 出口．
（4）矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行
复
框），它 有一个入口和一个出口．
（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来
决 定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口．
（6）流程线：表示程序的流向．
（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的
含义表示相连接在一起．
（8）总结如下表.
图形符号



名称
终端框（起止框）
输入、输出框
处理框（执行框）
功能
表示一个算法的起始和结束
表示一个算法输入和输出的信息
赋值、计算
判断某一条件是否成立，成立时在

判断框 出口处标明“是”或“Y”；不成立时
标明“否”或“N”
流程线
连接点
连接程序框
连接程序框图的两部分


(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一
第 14 页(共 260 页）

个算法都离不开的基本结构.
三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：


顺序结构 条件结构
循环结构
应用示例
例1 请用程序框图表示前面讲过的“判
断整数n(n>2)是否为质数”的算法.

解：程序框图如下:
点评：程序框图是用图形的方式表达算
法，使算法的结构更清楚 ，步骤更直观也更精确.这里只是让同学们
初步了解程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的 画法.





第 15 页(共 260 页）

变式训练
观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.

解：这是一个累加求和问题，共99项相加，该
算法是求


例2 已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，
c，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法 ，并画出
程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为a,b,c，则三角形的面积
为S=p(p?a)(p?b)(p?c)
），其中p=
秦九韶公式）
算法分析：这是 一个简单的问题，只需先算出p
的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用
顺序结构应能 表达出算法.
算法步骤如下：
第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c.
第二步，计算p=
a?b?c
.
2
a?b?c
.这个公式被称为海伦—
2
1111
的值.
?????
1?22?33?499?100
第三步，计算S=
p(p?a) (p?b)(p?c)
.
第四步，输出S.
程序框图如下：

点评：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最
第 16 页(共 260 页）

简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构.
变式训练
下图所示的是一个算法的流程图，已知a
1
=3，输
出的b=7,
求a
2
的值.
解：根据题意
a
1
?a
2
=7,
2
∵a
1
=3,∴a
2
=11.即a
2
的值为11.
知能训练
有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%
左右 ，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的
是每年消费品的价格增长率为3%.在 这种情况下，某种品牌的钢琴
2004年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价
格变化情况，并输出四年后的价格.
解：用P表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：
2005年P=10 000×（1+3%）=10 300；
2006年P=10 300×（1+3%）=10 609；
2007年P=10 609×（1+3%）=10 927.27；
2008年P=10 927.27×（1+3%）=11 255.09；
因此，价格的变化情况表为：
年份
钢琴的价
格

第 17 页(共 260 页）

复 备 记 录
2006
10 609
2007 2008 2004
10 000
2005
10 300 10 927.27 11 255.09

程序框图如下：
点评：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问
题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就可以.“细化”指的是写出算法步
骤、画出程序框图.
拓展提升













如上给出的是计算
?????
1
2
1
4
1
6
1
的值的一个流程图，其中判断框
20
内应填入的 条件是______________.

答案：i>10.
课堂小结
第 18 页(共 260 页）

（1）掌握程序框的画法和功能.
（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.
（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的
画法.
作业
习题1.1A



第 19 页(共 260 页）
1.

复 备 记 录
第2课时 条件结构
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）

导入新课
思路1（情境导入）
我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来
了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的 ，鸟们喊道：你有翅膀是我
们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如
果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了
分类讨论思想，在算法和程序框图中 也经常用到这一思想方法，今天
我们开始学习新的逻辑结构——条件结构.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，
奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有
分支的逻辑结构——条件结构.
提出问题
（1）举例说明什么是分类讨论思想？
（2）什么是条件结构？
（3）试用程序框图表示条件结构.
（4）指出条件结构的两种形式的区别.
讨论结果：
（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道 a
的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论
第 20 页(共 260 页）

思想.
（2）在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据
条件是否 成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.
（3）用程序框图表示条件结构如下． 条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称
为条件结构（或分支结构），如 图1所示.执行过程如下：条件成立，
则执行A框；不成立，则执行B框．

图1 图2

注 ：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、
B两个框中，可以有一个是空的 ，即不执行任何操作，如图2.
（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“ 步
骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步
骤A，而在另一个 “分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行
“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤.
应用示例
例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实
数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.
算法分析：判断以3个任意给定的正实 数为三条边边长的三角形是否
存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个

第 21 页(共 260 页）

验证需要用到条件结构.
算法步骤如下：
第一步，输入3个正实数a，b，c.
第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b< br>是否同时成立.若是，则存在这样的三
角形；否则，不存在这样的三角形.
程序框图如右图：

点评：根据构成三角形的条件，判断
是否满足任意两边 之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，
如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想 是高中的重
点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结
构.

例2 设计一个求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的算法，并画出程序
框图表示. < br>算法分析：我们知道，若判别式Δ=b
2
-4ac>0，则原方程有两个不相等
的实数根
x
1
=
?b???b??
,x
2
=；
2a2a
复
若Δ=0，则原方程有两个相等的实数根x
1
=x
2
=
?
b
；
2a
若Δ<0，则原方程没有实数根.也就 是说，在求解方程之前，可以先
判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的步骤，这个过程可以第 22 页(共 260 页）

用条件结构实现.
又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在
计算x
1
和x
2
之前，先计算< br>p=
?
?
b
，q=.
2a
2a
解决这一问题的算法步骤如下：
第一步，输入3个系数a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
-4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若
是，则计算p=
?
法.
第四步， 判断Δ=0是否成立.若是，则输出x
1
=x
2
=p；否则，计算x
1
=p+q，
x
2
=p-q，并输出x
1
，x
2< br>.
程序框图如下：

例3 设计算法判断一元二次方程ax
2< br>+bx+c=0是否有实数根，并画出
相应的程序框图.
解：算法步骤如下：
第一步，输入3个系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则输出“方程有实根”；否则，输

第 23 页(共 260 页）

?
b
，q=；否则，输出“方 程没有实数根”，结束算
2a
2a

复 备 记 录
出“方程无实根”.结束算法.
相应的程序框图如右：

点评：根据一元二次方程的意义，需
要计算判别式Δ=b
2
－4ac的值.再 分成
两种情况处理：（1）当Δ≥0时，一元
二次方程有实数根；
（2）当Δ＜0时 ，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类
讨论问题，根据一元二次方程系数的不同情况，最后 结果就不同.因
而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判
别式的值的 取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到
的，要对判别式的值进行判断，需要用到条件结 构.

例4 （1）设计算法，求ax+b=0的
解，并画出流程图.
解：对于方程ax+b=0来讲，应该分
情况讨论方程的解.
我们要对一次项系数a和常数项b的
取值情况进行分类，分类如下：
（1）当a≠0时，方程有唯一的实数解是
?
；
（2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解；
（3）当a=0，b≠0时，方程无解.
联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤：
第 24 页(共 260 页）


b
a

第一步，判断a≠0是否成立.若成立，输出结果“解为
?
”.
第二步，判断a=0，b=0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R”.
第三步，判断a=0，b≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，
结束算法.
程序框图如右：
点评：这是条件结构叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对
“条件1”“条件2”“条件3”……都进行判断，只有遇到能满足的条件才
执行该条件对应的操作.
知能训练
设计算法，找出输入的三个不相
等实数a、b、c中的最大值，并画出
流程图.
解：算法步骤：
第一步，输入a，b，c的值.
第二步，判断a>b是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四
步.
第三步，判断a>c是否成立，若成立，则输出a，并结束；否则输出
c，并结束.
第四步，判断b>c是否成立，若成立，则输出b，并结束；否则输出
c，并结束.
程序框图如右：
点评：条件结构嵌套与条件结构叠加的区别：

第 25 页(共 260 页）

b
a
复 备 记 录

（1）条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1 ”“条件2”“条件
3”……都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操
作.
（2）条件结构的嵌套中，“条件2”是“条件1”的一个分支，“条件3”
是“条件2”的一 个分支……依此类推，这些条件中很多在算法执行过
程中根据所处的分支位置不同可能不被执行. （3）条件结构嵌套所涉及的“条件2”“条件3”……是在前面的所有条
件依次一个一个的满足“ 分支条件成立”的情况下才能执行的此操作，
是多个条件同时成立的叠加和复合.
例5 “ 特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的
一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地 之间物品的托运费用根据
下列方法计算：
f=
?
?
0.53
?
,(
?
?50),

?
50?0.53?(
?
?50)?0.85,(
?
?50).
其中f（单位：元）为托运费，ω为托 运物品的重量（单位：千克）.
试画出计算费用f的程序框图.

分析：这是一个 实际问题，根据数学模
型可知，求费用f的计算公式随物品重
量ω的变化而有所不同，因此计算 时先
看物品的重量，在不同的条件下，执行
不同的指令，这是条件结构的运用，是二分支条件结 构.其中，物品
的重量通过输入的方式给出.
第 26 页(共 260 页）

解：算法程序框图如右图：
拓展提升
有一城市，市区为半径为15 km的圆形区域，近郊区为距中心
15—25 km的范围内的环形地带，距中心25 km
以外的为远郊区，如右图所示．市区地价每公顷
1 00万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区
地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为
( x,y)，求该点的地价．

分析：由该点坐标(x，y)，求其与市中心的距离r=
x
2
?y
2
，确定是
市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价p ．由题意知，
?
100,0?r?15,
?
p=
?
60,1 5?r?25,

?
20,r?25.
?
解：程序框图如下：
课堂小结
（1）理解两种条件结构的特点和区别.
（2）能用学过的两种条件结构解决常见
算法问题.
作业
的
习题1.1A组3.

第 27 页(共 260 页）

复 备 记 录
3课时 循环结构
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
我们都想生活在一个优美的环 境中，希望看到的是碧水蓝天，大
家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直
到达到排放标准.污水处理装置 是一个循环系统，对于处理需要反复
操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反复操作，今
天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔
流到海不复回；上一节我们学习了条件结 构，条件结构像有分支的河
流最后归入大海；事实上很多水系是循环往复的，今天我们开始学习
循环往复的逻辑结构——循环结构.
提出问题
（1）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.
（2）什么是循环结构、循环体？
（3）试用程序框图表示循环结构.
（4）指出两种循环结构的相同点和不同点.
讨论结果：
（1）例如用二分法求方程的近似解、数列求和等.
（2）在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复
第 28 页(共 260 页）

执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体.
（3）在一些算法中要 求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从
算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理的过程. 重复执行的
处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（1）所示，它的功能是当给定的条件P
成立时，执行A框， A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成
立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框 ，直到
某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开
循环结构.继续执行下 面的框图.
2°直到型循环结构，如图（2）所示，它的功能是先执行重复执
行的A 框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，
则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成 立.继续重复操作，直
到某一次给定的判断条件P时成立为止，此时不再返回来执行A框，
离开 循环结构.继续执行下面的框图.
见示意图：

当型循环结构 直到型循环结构
(4)两种循环结构的不同点：直到型循环结构是程序先进入循环体，然
后对 条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件

第 29 页(共 260 页）

满足时终止循环.
当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条
件满足时，执行循环体，否则终止循环.
两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循
环结构中一定包含条件结构，用于确定何时终止执行循环体.
应用示例
思路1
例1 设计一个计算1+2+……+100的值的算法，并画出程序框图.
算法分析：通常，我们按照下列过程计算1+2+……+100的值.
第1步，0+1=1.
第2步，1+2=3.
第3步，3+3=6.
第4步，6+4=10.
……
第100步，4 950+100=5
050.
显然，这个过程中包含重复操作的步骤，可以用循环 结构表示.
分析上述计算过程，可以发现每一步都可以表示为第（i-1）步的结果
+i=第i 步的结果.
为了方便、有效地表示上述过程，我们用一
个累加变量S来表示第一步的 计算结果，即把
S+i的结果仍记为S，从而把第i步表示为S=S+i，
其中S的初始值为0，i依次取1，2，…，
第 30 页(共 260 页）


复

100，由于i同时记录了循环的次数，所以也称为计数变量.
解决这一问题的算法是：
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算
法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
程序框图如右：

上述程序框图用的是当型循环结构，如果用直到型循环结构表
示，则程序框图如下：

点评：这是一个典型的用循环结构解决求和的问题，
有典型的代表意义，可把它作为一个范例，仔细体
会三种逻辑结构在程序框图中的作用，学会画程序
框图.
变式训练
已知有一列数
,,,?,
该列数前20项的和．
分析：该列数中每一项的分母是分子 数加1，单独观察分子，恰好是
1，2，3，4，…，n，因此可用循环结构实现，设计数器i，用i= i+1
实现分子，设累加器S，用S=
S?
i
，可实现累加，注意i只能加到
i?1
123
234
n
，设计框图实现求
n?1

第 31 页(共 260 页）

20．
解：程序框图如下：
方法一： 方法二：
复 备 记 录

例2 某 厂2005年的年生产总值为200万元，技术革新后预计以后
每年的年生产总值都比上一年增长5%， 设计一个程序框图，输出预
计年生产总值超过300万元的最早年份.
算法分析：先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入2005年的年生产总值.
第二步，计算下一年的年生产总值.
第三步，判断所得的结果是否大于300，若是，则输< br>出该年的年份，算法结束；否则，返回第二步.
由于“第二步”是重复操作的步骤，所以本例可 以用循
环结构来实现.我们按照“确定循环体”“初始化变
量”“设定循环控制条件”的顺序来 构造循环结构.
（1）确定循环体：设a为某年的年生产总值，t为年生产总值的年增
长量， n为年份，则循环体为t=0.05a,a=a+t,n=n+1.
（2）初始化变量：若将2005年的年生产总值看成计算的起始点，则
第 32 页(共 260 页）

n的初始值为2005，a的初始值为200.
（3）设定循环控制条件：当“年生产总值超 过300万元”时终止循环，
所以可通过判断“a>300”是否成立来控制循环.
程序框图如右：
思路2
例1 设计框图实现1+3+5+7+…+131的算法．
分析：由于需加的数较多，所以要引入循环结构来 实现累加．观察所
加的数是一组有规律的数（每相临两数相差2），那么可考虑在循环
过程中， 设一个变量i，用i=i+2来实现这些有规
律的数，设一个累加器sum，用来实现数的累加，
在执行时，每循环一次，就产生一个需加的数，
然后加到累加器sum中．
解：算法如下：
第一步，赋初值i=1，sum=0.
第二步，sum=sum+i，i=i+2.
第三步，如果i≤131，则反复执第二步；否则，执行下一步.
第四步，输出sum.
第五步，结束．
程序框图如右图．
点评：（1）设计流程图要分步进行，把一个大 的流程图分割成几个小
的部分，按照三个基本结构即顺序、条件、循环结构来局部安排，然
后把 流程图进行整合．

第 33 页(共 260 页）

（2）框图画完后，要进行验证，按设计 的流程分析是否能实现所求
的数的累加，分析条件是否加到131就结束循环，所以我们要注意初
始值的设置、循环条件的确定以及循环体内语句的先后顺序，三者要
有机地结合起来．最关键的是循环 条件，它决定循环次数，可以想一
想，为什么条件不是“i<131”或“i=131”，如果是“i< 131”，那么会少执
行一次循环，131就加不上了．
例2 高中某班一共有40名学生 ，设计
算法流程图，统计班级数学成绩良好(分
数>80)和优秀(分数>90)的人数． < br>分析：用循环结构实现40个成绩的输入，
每循环一次就输入一个成绩s，然后对s
的值 进行判断.设两个计数器m,n，如果
s>90，则m=m+1，如果80设计数器i，用来控制40个成绩的输入，
注意循环条件的确定．
解：程序框图如右图：

知能训练
由相应的程序框图如右图，补充完整一个计算1+2+3+…+100的
值的算法.（用循环结构）

第一步，设i的值为_____________.
第二步，设sum的值为_____________.
第 34 页(共 260 页）


复

< br>第三步，如果i≤100执行第_____________步,否则，转去执行第
______ _______步.
第四步，计算sum＋i并将结果代替_____________.
第五步，计算_____________并将结果代替i.
第六步，转去执行第三步.

拓展提升
设计一个算法，求
画出程序框图.
解：程序框图如右图：

点评：（1）如果算法问题里涉
次重复的操作，且 先后参与运
及的运算进行了许多
算的数之间有相同的
1+2+4+…+2
49
的值，并
规律，就可引入变量循环参与运算（我们称之为循环变量），应用于
循环结构 .在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累
加和累乘变量及其个数等，特别要求条件的表 述要恰当、精确.
（2）累加变量的初始值一般取0，而累乘变量的初始值一般取1.
课堂小结
（1）熟练掌握两种循环结构的特点及功能.
（2）能用两种循环结构画出求和等实际问题的程序框图，进一步理
解学习算法的意义.
作业

第 35 页(共 260 页）

习题1.1A组2.
第 36 页(共 260 页）

第4课时 程序框图的画法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
一条河流有 时像顺序结构，奔流到海不复回；有时像条件结构分
分合合向前进；有时像循环结构，虽有反复但最后流 入大海.一个程
序框图就像一条河流包含三种逻辑结构，今天我们系统学习程序框图
的画法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构，今天我们系统
学习程序框图的画法.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)请大家回忆顺序结构，并用程序框图表示.
(2)请大家回忆条件结构，并用程序框图表示.
(3)请大家回忆循环结构，并用程序框图表示.
(4)总结画程序框图的基本步骤.
讨论结果：
(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都
离不开的基本结构.框图略.
(2)在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件

第 37 页(共 260 页）

是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.框图略.
(3)在一 些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算
法某处开始，按照一定条件重复执行某一处 理过程.重复执行的处理
步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.框图略.
(4)从前面的学习可以看出，设计一个算法的程序框图通常要经过以下
步骤：
第一步，用自然语言表达算法步骤.
第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程
序框表示，得到该步骤的程序框图.
第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端
框，得到表示整个算法的程序框图.
应用示例
例1 结合前面学过的算法步骤，利用三种基
本逻辑结构画出程序框图， 表示用“二分法”求
方程x
2
-2=0（x>0）的近似解的算法.
程序框图（如右图）.

点评：在用自然语言表述一个算法后，可以画
出程 序框图，用顺序结构、条件结构和循环结
构来表示这个算法，这样表示的算法清楚、简练，便于阅读和交 流.

例2 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他需要什么.
第 38 页(共 260 页）

发明者说：陛下，在国际象棋的第一个格子里面放1粒麦子，在第二
个格子里面放2粒麦子，第 三个格子放4粒麦子，以后每个格子中的
麦粒数都是它前一个格子中麦粒数的二倍，依此类推（国际象棋 棋盘
共有64个格子）,请将这些麦子赏给我，我将感激不尽.国王想这还不
容易，就让人扛了 一袋小麦，但不到一会儿就没了，最后一算结果，
全印度一年生产的粮食也不够.国王很奇怪，小小的“ 棋盘”，不足100
个格子，如此计算怎么能放这么多麦子？试用程序框图表示此算法过
程.
解：将实际问题转化为数学模型，该问题就是要求1+2+4+……+2
63
的和.
程序框图如下：
复 备 记 录

例3 乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客
票托运费计算方法是：行李质量不超过50 kg时按0．25元kg；超
过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0．35元kg；超过100 kg
时，其超过部分按0．45元kg．编写程序，输入行李质量，计算出
托运的费用．

第 39 页(共 260 页）

分析：本题主要考查条件语句及其应用．先解决数学 问题，列出托运
的费用关于行李质量的函数关系式．设行李质量为x kg，应付运费为
y元，则运费公式为：
?
0.25x,0?x?50,
?
y=
?
0.25?50?0.35(x?50),50?x?100,
?
0.25?50?0.35?50?0.45(x?100),x?100,
?
?
0.25x,0?x?50,
?
整理得y=
?
0.35x?5,5 0?x?100,

?
0.45x?15,x?100.
?
程序框图如上图

知能训练
设计一个用有理数数幂逼近无理指数幂
5
2
的算法，画出算法的
程序框图.
解：算法步骤:
第一步,给定精确度d,令i=1.
第二步，取出
2的到小数点后第i位的不足近似值，记为a；取出
2
的到小数点后第i位的过剩近似值，记 为b.
第三步，计算m=5
b
-5
a
.
第四步，若m< d,则得到
5
2
的近似值为5
a
；否则，将i的值增加1，
返回第二步.
复 备 记 录
第五步，得到
5
2
的近似值为5
a
.
程序框图如下：
第 40 页(共 260 页）

拓展提升
求
4?
4?
1
1

，画出程序框图．
1
4???
4
?????????
(共10个4)
分析：如果采用逐步计算的方 法，利用顺序结构来实现，则非常麻烦，
由于前后的运算需重复多次相同的运算，所以应采用循环结构， 可用
循环结构来实现其中的规律．观察原式中的变化的部分及不变项，找
出总体的规律是4+， 要实现这个规律，需设初值x=4．
解：程序框图如上：

课堂小节
（1）进一步熟悉三种逻辑结构的应用，理解算法与程序框图的关系.
（2）根据算法步骤画出程序框图.
作业
习题1.1B组1、2.

第 41 页(共 260 页）

1
x

第 42 页(共 260 页）

1.2 基本算法语句
1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
中国足球队在 亚洲杯上的失利说明，中国足球仍然需要请外国教
练.高水平的外国教练有先进的足球理念，有系统科学 的训练计划，
有先进的足球技术，但由于语言不通不能直接传授给队员. 算法步
骤、程序框图虽然容易掌握，但计算机不能理解，因此我们需要学习
算法语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步
骤、程序框图，我们开始学习算法语句.
提出问题
（1）指出输入语句的格式、功能、要求.

第 43 页(共 260 页）

复 备 记 录

（2）指出输出语句的格式、功能、要求.
（3）指出赋值语句的格式、功能、要求.
（4）利用框图总结三种语句的功能、格式、特点.
（5）指出三种语句与框图的对应关系.
讨论结果：
(1)输入语句的格式：INPUT“提示内容”； 变量
例如：INPUT “x=”；x
功能：实现算法的输入变量信息（数值或字符）的功能.
要求：
1°输入语句要求输入的值是具体的常量.
2°提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容
“原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔
开.
3°一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔.
形式如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c
(2)输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
例如：PRINT“S=”；S
功能：实现算法输出信息（表达式）的功能.
要求：
1°表达式是指算法和程序要求输出的信息.
2°提示内容提示用户要输出 的是什么信息，提示内容必须加双引号，
提示内容要用分号和表达式分开.
复 备 记 录
3°如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功
第 44 页(共 260 页）

能，不同的表达式之间可用“，”分隔.
形式如：PRINT “a,b,c:”；a,b,c
(3)赋值语句的一般格式：变量=表达式.
赋值语句中的“＝”称作赋值号.
功能：将表达式所代表的值赋给变量.
要求：
1°赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以
是一个常量、变量或含变量 的运算式.如：2=x是错误的.
2°赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式
的值赋给赋值号左边的变量.如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同
的，如x=5是对 的，5=x是错的，A+B=C是错的，C=A+B是对的.
3°不能利用赋值语句进行代数式的演算 （如化简、因式分解、解方
程等），如y=x
2
－1=(x－1)(x+1)，这是实 现不了的.在赋值号右边表达
式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能
给一个变量赋值,不能出现两个或以上的“=”.但对于同一个变量可以
多次赋值.
(4)三种语句的功能、格式、特点如下：
在QBASIC语言中，输入语句是IN PUT语句，输出语句是
PRINT语句，赋值语句是LET语句（“LET”可以省略）.下表列出了
这三种语句的一般格式、主要功能和相关说明，供教师教学时参考，
不要求学生掌握.
INPUT语句 PRINT语句 赋值语句

第 45 页(共 260 页）

格
INPUT“提示内容”；变量
式
功
可对程序中的变量赋值
能 的值，计算
①又称“打印
①在程序运行过程
①又称“键盘输入语句”， 语句”，将表达
中给变量赋值
在程序运行过程中，停机式的值在屏幕
②“LET”可 以省略，
等候用户由键盘输入数上显示出来
“=”的右侧必须是表
据，而不需要在写 程序时②表达式可以
达式，左侧必须是变
指定 是变量、计算
量
②“提示内容”和它后面公式或系统信
③一个语句只能给
的“；”可以省略
说
③一个语句可以给多个③一个语句可
明
变量赋值，中间用“，”以输出多个表
⑤将一个变量的值
分隔
④无计算功能
达式.不同的表
赋给另一个变量，前
达式之间可用
一个变量的值保持
⑤用户由键盘输入的数
“，”分隔
不变；可先后给一个
据必须是常量，输入多个④有 计算功
变量赋多个不同的
数据时用“，”分隔，且个能，能直接输
值，但变量的取值总
数要与变量的个数相同 出计算公式的
是最后被赋予的值
值
（5）指出三种语句与框图的对应关系如下图.

第 46 页(共 260 页）


PRINT“提示
LET变量=表达式
内容”；表达式
可输出表达式可对程序中的变量
赋值，计算
息
一个变量赋值
④有计算功能

复 备 记 录

应用示例
思路1
例1 用描点法作函数y=x
3
+ 3x
2
-24x+30的图象时，需
要求出自变量和函数的一组对应值 .编写程序， 分别
计算当x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时
的函数值. 算法分析：根据题意，对于每一个输入的自变量的值，都要输出相应
的函数值.写成算法步骤如下：
第一步，输入一个自变量的x的值.
第二步，计算y=x
3
+3x
2
-24x+30.
第三步，输出y.
程序框图如右图：

显然，这是一个由顺序结 构构成的算法，按照程序框图中流程线
的方向，依次将程序框中的内容写成相应的算法语句，就得相应的 程
序.

第 47 页(共 260 页）

解：程序：
INPUT “x”；x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
END
点评：前面我们学习了算法步骤、程序框图，我们对照程序框图与算
法语句可以得到它们之间的 对应关系.例如：在这个程序中，第1行
中的INPUT语句就是输入语句.这个语句的一般格式是

INPUT “提示内容”；
变量

其中，“提示内容”一 般是提示用户输入什么样的信息，每次运行例1
中的程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1， 0，1，2，3，4，5，计算
机每次都把新输入的值赋给变量“x”，并按“x”新获得的值计算变量 “y”
的值.
例2 给一个变量重复赋值.
解：程序：
A=10
A=A+15
PRINT A
END
复 备 记 录
点评：给一个变量重复赋值，变量只保存最后一次赋值，比如此程序
第 48 页(共 260 页）

的输出值是25.
例3 编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.
算法分析：
先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入该学生数学、语文、英语三门课的成绩a，
b，c.
第二步，计算y=
第三步，输出y.
程序框图如右：

由于PRINT语句还可以用于输出数值计算的结果，所以这个
算法可以写成下列程序.
程序：
INPUT “Maths=”;a
INPUT “Chinese=”;b
INPUT “English=”;c
PRINT “The average=”;(a+b+c)3
END
点评：例3中的第4行的PRINT语句是输出语句，它的一般形式
是

PRINT“提示内容”；表达

第 49 页(共 260 页）

a?b?c
.
3

式

PRINT语句可以在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信 息，
同输入语句一样，这里的表达式前也可以有“提示内容”.
例4 变换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值.
解：程序：
INPUT A，B
PRINT A，B
x=A
A=B
B=x
PRINT A,B
END
思路2
例1 写出求三个数a，b，c的方差的程序.
分析：方差是在初中统计内容中学习过的知识，计算所有数的方差首
(x
1
?x)< br>2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)< br>2
先计算所有数的平均数
x
，通过公式s=
n
2
来计 算.
算法步骤：
第一步，计算平均数
x?
2
a?b?c
.
3
(a ?x)
2
?(b?x)
2
?(c?x)
2
第二步，计算方差 s=.
3
第三步,得到的结果即为所求.
第 50 页(共 260 页）


复

程序如下：
INPUT a，b，c
y=(a+b+c)3
S=((a－y)
2
+ (b－y)
2
+ (c－y)
2
)3
PRINT S
END
例2 编写一个程序，要求输入两个正数a和b的值，输出a
b
和b
a
的值. 分析：可以利用INPUT语句输入两个正数，然后将a
b
和b
a
的值< br>分别赋给两个变量输出即可.也可以将a
b
和b
a
的底数和幂数进行交
换，故还可以利用赋值语句，采用将两个变量的值互换的办法实现.
解：程序1：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
B=b^a
PRINT “a^b=”；A，“b^a=”；B
END
程序2：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
PRINT “a^b=”；A
x=a

第 51 页(共 260 页）

a=b
b=x
A=a^b
PRINT “b^a=”；A
END
点评：交换a，b的值可通过下面三个语句来实现：
t=a
a=b
b=t
通过引进一个中间变量t实现变量a和b的值的交换，因此只需用赋
值语句即 可实现算法.在一些较为复杂的问题算法中经常需要对两个
变量的值进行交换，因此应熟练掌握这种方法 .
知能训练
1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确？为什
么？
（1）输入语句INPUT a；b；c
（2）输出语句A＝4
（3）赋值语句3＝B
（4）赋值语句A＝B＝－2
解：（1）错，变量之间应用“，”号隔开.
（2）错，PRINT语句不能用赋值号“=”.
（3）错，赋值语句中“=”号左右不能互换.
（4）错，一个赋值语句只能给一个变量赋值.
第 52 页(共 260 页）

点评：输入语句、输出语句和赋值语句基本上对应于算 法中的顺序结
构.输入语句、输出语句和赋值语句都不包括“控制转移”，由它们组成
的程序段 必然是顺序结构.
2.请写出下面运算输出的结果.
（1）a=5
b=3
c=(a+b)2
d=c*c
PRINT“d=”;d
(2)a=1
b=2
c=a+b
b=a+c-b
PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c
(3)a=10
b=20
c=30
a=b
b=c
c=a
PRINT “a=,b=,c=” ;a,b,c
解：（1）16；语句c=(a+b)2是将a，b和的一半赋值给变量c，语句

第 53 页(共 260 页）

d=c*c是将c的平方赋值给d，最后输出d的值.
（2）1，2，3；语句c =a+b是将a，b的和赋值给c，语句b=a+c－b
是将a+c－b的值赋值给了b.
（ 3）20，30，20；经过语句a=b后a，b，c的值是20，20，30.经过
语句b=c后a， b，c的值是20，30，30.经过语句c=a后a，b，c的
值是20，30，20.
拓展提升
已知某生某三科的成绩为80、75、95分，求三科的总分及平均
分．
分析：将三科成绩赋 给三个变量A，B，C，然后对三个变量进行操
作、运算，求其总分、平均分．变量的起名规则：由字母 、数字、下
划线组成，但第一个字符必须是字母（大、小写皆可），起名时尽量
做到见名知义， 如本例中我们可用变量ZF表示总分，PJF表
均分．
解：程序框图如右图：

程序：
A=80
B=75
C=95
ZF=A+B+C
PJF=ZF3
PRINT ZF，PJF
第 54 页(共 260 页）


示平

END
课堂小结
（1）输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
（2）用输入语句、输出语句和赋值语句编写算法语句.
作业习题1.2A组2.

第 55 页(共 260 页）

1.2.2 条件语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会条件语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：条件语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一位老农平整了一块良田，种瓜好 呢，还是种豆好呢，他面临着
一个选择.如果他选择种瓜，他会得瓜，如果他选择种豆，他会得豆.人的一生面临许多选择，我们要做出正确的选择.前面我们学习了条
件结构，今天我们学习条件语句 .
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能 够理解算法步
骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输出语句、赋值语句，
今天我们开始 学习条件语句.
提出问题
（1）回忆程序框图中的两种条件结构.
第 56 页(共 260 页）


复

（2）指出条件语句的格式及功能.
（3）指出两种条件语句的相同点与不同点.
（4）揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应
关系.
讨论结果：
（1）一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条
件是 否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.
用程序框图表示条件结构如下图：

（2）条件语句
1°“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF

功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，“条件”表示判 断的条件，“语句
体1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句体2”表示不满足条件时
执行 的操作内容；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行

第 57 页(共 260 页）

“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符
合条件，则执行TH EN后面的“语句1”；若不符合条件，则执行ELSE
复 备 记 录
后面的“语句2”.
2°“IF—THEN”语句
格式：
IF 条件 THEN
语句体
END IF
功能：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内
容，条件不满足时，直接结束判断过程；END IF表示条件语句的结
束.计算机在执行“IF—T HEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，
如果符合条件就执行THEN后边的语句，若不符合条 件则直接结束该
条件语句，转而执行其他后面的语句.
（3）相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行
THEN后边的语句. < br>不同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE
后面的“语句 体2”.
对于“IF—THEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而
执行其他 后面的语句.
（4）程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系
如下图：
第 58 页(共 260 页）

应用示例
思路1
例1 编写一个程序，求实数x的绝对值.
算法分析：首先，我们来设计求实数x的绝对值的算法，因为实数x
的绝对值为
?
x(x?0),
|x|=
?

?x(x?0),
?

程序：
INPUT x
IF x＞=0 THEN
PRINT x
ELSE
PRINT -x
END IF
END


第 59 页(共 260 页）

变式训练
阅读下面的程序，你能得出什么结论？
INPUT x
IF x＜0 THEN
x=-x
END IF
PRINT x
END 由程序得出，该程序是输出x的绝对值.
例2 把前面求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的程序框图转化为程序.
解：由程序 框图可以发现，其中包含着两个条件结构，而且内层的条
件结构是外层的条件结构的一个分支，所以，可 以用
“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化.
程序：
INPUT “a,b,c=”;a,b,c
d=b^2-4*a*c
IF d＞=0 THEN
p=-b(2*a)
q=SQR(d)(2*a)
IF d=0 THEN
PRINT “x
1
=x
2
=”;p
ELSE
PRINT “x
1
,x
2
=”;p+q,p-q
END IF
第 60 页(共 260 页）


复

ELSE
PRINT“No real root”
END IF
END
例3 编写程序，使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出.
如下图所示，上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.
根据程序框图，写出相应的计算机程
序.
INPUT “a,b,c=”;a,b,c
IF b＞a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c＞a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c＞b THEN
t=b
b=c

第 61 页(共 260 页）

c=t
END IF
复 备 记 录
PRINT a,b,c
END
思路2
例1 编写程序，输出两个不相等的实数a、b的最大值.
分析：要输出两个不相等的实数a、b的最大值， 从而想到对a，b的
大小关系进行判断，a，b的大小关系有两种情况：（1）a>b；（2）b>a.
这也就用到了我们经常提及的分类讨论的方式，找出两个数的最大
值.
解：算法一：
第一步，输入a， b的数值.
第二步，判断a，b的大小关系，若a>b，则输出a的值，否则，输出
b的值.
（程序框图如下图）

程序如下：（“IF—THEN—ELSE”
INPUT “a，b”；a，b
IF a＞b THEN
PRINT a
ELSE
PRINT b
END IF
第 62 页(共 260 页）


语句）

END
算法二：
第一步，输入a,b的数值.
第二步，判断a,b的大小关系，若b>a，则将b的值赋予a；否则，直
接执行第三步.
第三步，输出a的值，结束.
（程序框图如右图）

程序如下：（“IF—THEN”语句）
INPUT “a，b”；a，b
IF b＞a THEN
a=b
END IF
PRINT a
END
?
1,x?0,
?
例2 高等数学中经常用到符号函数， 符号函数的定义为y=
?
0,x?0,
?
?1,x?0,
?
试编写程序输入x的值，输出y的值.
解：程序一：（嵌套结构）
程序框图：（下图）

程序如下：

第 63 页(共 260 页）

INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y=－1
END IF
END IF
PRINT y
END
程序二：（叠加结构）
程序框图（右图）：
程序如下：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
END IF
IF x=0 THEN
y=0
END IF
IF x<0 THEN
第 64 页(共 260 页）




复

y=－1
END IF
PRINT y
END
点评：（1）条件结构的差异，造成程序执行的不同.当代 入x的数值
时，“程序一”先判断外层的条件，依次执行不同的分支，随后再判断
内层的条件； 而“程序二”中执行了对“条件1”的判断，同时也对“条件
2”进行判断，是按程序中条件语句的先后 依次判断所有的条件，满足
哪个条件就执行哪个语句.
（2）条件语句的嵌套可多于两层，可以表达算法步骤中的多重限制
条件.
知能训练
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费
0.22元；如果通话时间超 过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取
通话费，不足一分钟按以一分钟计算.设通话时间为t（分 钟），通话
费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.
解：算法程序如下：
INPUT “请输入通话时间：”；t
IF t<=3 THEN
y=0.22
ELSE
IF INT(t)=t THEN

第 65 页(共 260 页）

y=0.22+0.1*(t－3)
ELSE
y=0.22+0.1*(INT(t－3)+1)
END IF
END IF
PRINT “通话费用为：”；y
复 备 记 录
END

拓展提升
?
2x,0?x?4,
?
函数y=
?
8,4?x?8,
写出求函数的函数值的程序.
?
2(12?x),8?x?12,
?
解：INPUT x=”;x
IF x>=0 and x<=4 THEN
y=2*x
ELSE IF x<=8 THEN
y=8
ELSE y=2*(12-x)
END IF
END IF
PRINT y
END
课堂小结
（1）条件语句的用法.
第 66 页(共 260 页）

（2）利用条件语句编写算法语句.
作业
习题1.2 B组1.

第 67 页(共 260 页）

1.2.3循环语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会循环语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：循环语句的基本用法.
教学难点：循环语句的写法.
课时安排1课时
导入新课
思路1（情境导入）
一位同学不小心违反了学校纪律， 班主任令其写检查，他写完后
交给班主任，班主任看后说：“认识不深刻，拿回去重写，直到认识
深刻为止”.这位同学一想，这不是一个循环结构吗？可惜我还没学
循环语句，不然可以写一个算法语 句输入计算机了.同学们，今天我
们开始学习循环语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步
骤、程序框图，上一节 我们学习了输入语句、输出语句、赋值语句和
条件语句，今天我们开始学习循环语句.
提出问题
（1）试用程序框图表示循环结构.
第 68 页(共 260 页）


复

（2）指出循环语句的格式及功能.
（3）指出两种循环语句的相同点与不同点.
（4）揭示程序中的循环语句与程序框图中的条件结构存在一一对应
关系.
讨论结果：
（1）循环结构
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（1）所示
2°直到型循环结构，如图（2）所示，

（1）当型循环结构 （2）直到型循环结构
（2）循环语句
1°当型循环语句
当型（WHILE型）语句的一般格式为：
WHILE 条件
循环体
WEND
功能：计算机执行此程序时，遇到WHILE语句，先判断条件是
否成立，如果成立，则执行WHILE和WEND之间的循环体；然后
返回到WHILE语句再 判断上述条件是否成立，如果成立，再执行循

第 69 页(共 260 页）

环体，这个过程 反复执行，直到一次返回到WHILE语句判断上述条
件不成立为止，这时不再执行循环体，而是跳到W END语句后，执
复 备 记 录
行WEND后面的语句.因此当型循环又称“前测试型”循 环，也就是
我们经常讲的“先测试后执行”“先判断后循环”.
2°直到型循环语句
直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
功能：计算机执行UNTIL语句时，先执行DO和LOOP UNTIL之
间的循环体，然后判断“LOOP UNTIL”后面的条件是否成立，如
果条 件不成立，返回DO语句处重新执行循环体.这个过程反复执行，
直到一次判断“LOOP UNTIL”后面的条件成立为止，这时不再返
回执行循环体，而是跳出循环体执行“LOOP UNTIL条件”下面的语
句.
因此直到型循环又称“后测试型”循环，也就是我们经常讲的“先
执行后测试”“先循环后判断”.
(3)相同点：都是反复执行循环体语句.
不同点：当型循环语句是先判断后循环，直到型循环语句是先循环后
判断.
(4)下面为循环语句与程序框图中的条件结构的一一对应关系.
1°直到型循环结构：
第 70 页(共 260 页）

2°当型循环结构：

应用示例
思路1
例1 修改前面编写过的求函数y=x3+3x2-24x+30的值的程序，连续
输入11个自变量的取值，输出相应的函数值.
算法分析：与前面不同的是，本例要求连续输 入11个自变量的取值.
并输出相应的函数值，先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入自变量x的值.
第二步，计算y=x3+3x2-24x+30.
第三步，输出y.
第四步，记录输入次数.
第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返
回第一步.
显然，可以用计数变量n（1≤n≤11）记录次数，通过循环结构来实
现算法.

第 71 页(共 260 页）

复 备 记 录

程序框图如下图：

程序：
n=1
DO
INPUT x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
n=n+1
LOOP UNTIL n＞11
END
例2 教材 中的用“二分法”求方程x
2
-2=0（x＞0）的近似解的程序
框图（见教材图1. 120）包含了顺序结构、条件结构和循环结构.下面，
我们把这个程序框图转化为相应的程序.
解：程序为：
INPUT “a,b,d=”；a,b,d
DO
m=(a+b)2
g=a^2-2
f=m^2-2
IF g*f＜0 THEN
b=m
ELSE
第 72 页(共 260 页）

a=m
END IF
LOOP UNTIL ABS(a-b)＜d OR f=0
PRINT m
END
点评：ABS（）是一个函数，用来求某个数的绝对值，即ABS（x）
=|x|.
例3 设计一个计算1×3×5×7×…×99的算法，编写算法程序.
解：算法如下：
第一步，s＝1.
第二步，i＝3.
第三步，s＝s×i.
第四步，i＝i＋2.
第五步，如果i≤99，那么转到第三步.
第六步，输出s.
程序如下：（“WHILE型”循环语句）
s＝1
i＝3
WHILE i＜＝99
s＝s*i
i＝i＋2
WEND

第 73 页(共 260 页）

PRINT s
复 备 记 录
END
点评：前面我们已经学过“求和”问题，这是一个“求积”问题，这
两个 问题都是典型的算法问题，注意它们的联系与区别.
例4 编写一个程序，求1!+2!+…+10!的值（其中n！=1×2×3×…
×n）.
分析：这个问题可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌套语句格式来实
现.
程序结构要做到如下步骤：
①处理“n！”的值；（注：处理n！的值的变量是一个内循环变量）
②累加“n！”的值.（注：累加n！的值的变量是一个外循环变量）
显然，通过10次循环可分别求出1!、2!、…、10!的值，并同时累加
起来, 可求得S的值.而求T=n！，又可以用一个循环（内循环）来实
现.
解：程序为：
s=0
i=1
WHILE i<=10
j=1
t=1
WHILE j<=i
t=t*j
j=j+1
第 74 页(共 260 页）

WEND
s=s+t
i=i+1
WEND
PRINT s
END
思考：上面程序中哪个变量是内循环变量，哪个变量是外循环变量？
解答：内循环变量：j，t.外循环变量：s，i.
上面的程序是一个的“WHIL E+WHILE”型循环嵌套语句格式.
这是一个比较好想的方法，但实际上对于求n！，我们也可以根 据求
出的(n－1)!乘上n即可得到，而无需重新从1再累乘到n.
程序可改为：
s=0
i=1
j=1
WHILE i<=10
j=j*i
s=s+j
i=i+1
WEND
PRINT s
END

第 75 页(共 260 页）

显然第二个程序的效率要比第一 个高得多.第一程序要进行
1+2+…+10=55次循环，而第二程序进行10次循环.如题目中求的 是1！
＋2！＋…＋1 000！，则两个程序的效率区别会更明显.
变式训练
某种蛋白质是由四种氨基酸组合而成.这四种氨基酸的相对分子
质量分别是57，71，97，101. 实验测定蛋白质的相对分子质量为800.
问这种蛋白质的组成有几种可能？
分析：该问题即 求如下不定方程的整数解：设四种氨基酸在蛋白质的
组成中分别各有x，y，z，w个.则由题意可得5 7x+71y+97z+101w=800，
（x，y，z，w是非负整数）
这里0 ≤x≤14，0≤y≤11，0≤z≤8，0≤w≤7，利用穷取法，
考虑一切可能出现的情况.运用多 层循环嵌套处理即可.
解：编写程序如下：
w=0
WHILE w<=7
z=0
WHILE z<=8
y=0
WHILE y<=11
x=0
WHILE x<=14
IF 57*x+71*y+97*z+101*w=800 THEN
PRINT x，y，z，w
第 76 页(共 260 页）


复

END IF
x=x+1
WEND
y=y+1
WEND
z=z+1
WEND
w=w+1
WEND
END
知能训练
设计算法求
1111
的值.要求画出程序框图，写
?????
1?22?3 3?499?100
出用基本语句编写的程序.
解：这是一个累加求和问题，共99项相加， 可设
计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实
现这一算法.程序框图如下图所示：

程序如下：
s=0
i=1
Do
s=s+1（i*(i+1)）

第 77 页(共 260 页）

i=i+1
LOOP UNTIL i>99
PRINT s
END
拓展提升
青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了12名评委，在计
算每位选手的平均分 数时，为了避免个别评委所给的极端分数的影
响，必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分.试设 计一个算
复 备 记 录
法解决该问题，要求画出程序框图，写出程序（假定分数采用10分
制，即每位选手的分数最高分为10分，最低分为0分）.
解：由于共有12位评委，所以每 位选手会有12个分数，我们可以用
循环语句来完成这12个分数的输入，同时设计累加变量求出这12 个
分数的和，本问题的关键在于从这12个输入分数中找出最大数与最
小数，以便从总分中减去 这两个数.由于每位选手的分数都介于0分
和10分之间，我们可以先假设其中的最大数为0，最小数为 10，然
后每次输入一个评委的分数，就进行一次比较，若输入的数大于0,
就将之代替最大数 ，若输入的数小于10，就用它代替最小数，依次
下去，就能找出这12个数中的最大数与最小数，循环 结束后，从总
和中减去最大数与最小数，再除以10，就得到该选手最后的平均分.
程序框图如右图：

第 78 页(共 260 页）

程序如下：s=0
i=1
max=0
min=10
DO
INPUT x
s=s+x
IF max<=x THEN
max=x
END IF
IF min>=x THEN
min=x
END IF
i=i+1
LOOP UNTIL i>12
s1=s－max－min
a=s110
PRINT a
END
课堂小结
（1）学会两种循环语句的应用.
(2)熟练应用两种循环语句编写计算机程序，巩固算法应用.

第 79 页(共 260 页）

作业
习题1.2A组3.
第 80 页(共 260 页）

1.3 算法案例
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.
2．引导学生得出自己设计的算法程序.
3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与
数学表达能力.
重点难点
教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地
思考与数学表达能力.
第1课时 案例1 辗转相除法与更相减损术
导入新课
思路1（情境导入）
大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西
方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、
西方人处理问题方式是有所不同的 .在小学，我们学过求两个正整数
的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到< br>所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有
的质因数较大时（如8 251与6 105），使用上述方法求最大公约
复 备 记 录
数就比较困难.下面我们介 绍两种不同的算法——辗转相除法与更相
减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.

第 81 页(共 260 页）

思路2（直接导入）
前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天 我们将通
过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）怎样用短除法求最大公约数？
（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？
（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？
（4）怎样用更相减损术求最大公约数？
讨论结果：
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连
续去除，一直除到所得的商是两个互质数 为止，然后把所有的除数连
乘起来.
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法 求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小
数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断 列举，得到的公约数
便是最大公约数.
（3）辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.
第 82 页(共 260 页）

第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转
向第二步继续循环执行.
如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前
300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.
（4）更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用
来求两个数的最大公约数 ，即“可半者半之，不可半者，副置分母、
子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻 译为现代语
言如下：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，
用2约简；若不是，执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数
比较，并以大数减小数 ，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则
这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大 公约数.
应用示例
例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，
画出程序框图，写出算法程序.
解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6
105×1+2 146.
由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反

第 83 页(共 260 页）

过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它
们的最大公约数相等.
对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.
同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.
继续重复上述步骤：
2 146=1 813×1+333，
1 813=333×5+148，
333=148×2+37，
148=37×4.
最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105
的最大公约数.
这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整
数，上述除法步骤总可 以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除
法求出两个正整数的最大公约数.
算法分析：从 上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步
骤，因此可以用循环结构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数为r.
第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；
否则，返回第二步.
程序框图如右图：
第 84 页(共 260 页）

程序：
INPUT m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：
求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146
的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，可以化为8 251-6 105×1=2 164，
所以公约数能够整除等式两边的数，即6 105与2 146的公约数也是
8 251与6 105的公约数.
变式训练
你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？
试画出程序框图和程序.
解：当型循环结构的程序框图如

程序：
INPUT m，n
r=1

第 85 页(共 260 页）

复 备 记 录
下图：

WHILE r＞0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如
下图所示.
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7.
点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、
西方古代数学名著，但是二者的算 理却是相似的，有异曲同工之妙．主
要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损
术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过
程．
变式训练
第 86 页(共 260 页）

用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约
数.
解：324=243×1＋81，
243=81×3＋0，
则324与243的最大公约数为81.
又135=81×1＋54，81=54×1＋27，
54=27×2＋0，
则 81 与 135的最大公约数为27.
所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.
另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大
公约数为81.
135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.
所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.
例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.
（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.
解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：
123＝2×48＋27，
48＝1×27＋21，
27＝1×21＋6，
21＝3×6＋3，
6＝2×3+0，
最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.

第 87 页(共 260 页）

（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，
要除公因数2.
80÷2=40，36÷2=18.
40和18都是偶数，要除公因数2.
40÷2=20，18÷2=9.
下面来求20与9的最大公约数，
20－9=11，
11－9=2，
9－2=7，
7－2=5，
5－2=3，
3－2=1，
2－1=1，
可得80和36的最大公约数为2
2
×1=4.
点评：对比两种方法控制好 算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，
更相减损术是到达减数和差相等.
变式训练
分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．
解：辗转相除法：
1 734=816×2+102，816=102×8（余0），
∴1 734与816的最大公约数是102．
更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2 得到867，408，再求
867与408的最大公约数．
第 88 页(共 260 页）

867-408=459，
459-408=51，
408-51=357，
357-51=306，
306-51=255，
255-51=204，
204-51=153，
153-51=102，
102-51=51.
∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．
利用更相减损术可另解：
1 734－816＝918，
918－816＝102，
816－102＝714，
714－102＝612，
612－102＝510，
510－102＝408，
408－102＝306，
306－102＝204，
204－102＝102.
∴1 734与816的最大公约数是102．
知能训练


复 备 记 录
第 89 页(共 260 页）

求319，377，116的最大公约数．
解：377=319×1+58，
319=58×5+29，
58=29×2.
∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．
116=29×4.
∴29与116的最大公约数为29.
∴377，319，116的最大公约数为29.
拓展提升
试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．
解：更相减损术程序：
INPUT “m，n=”；m，n
WHILE m<>n
IF m>n THEN
ｍ＝m-n
ELSE
m=n-m
END IF
WEND
PRINT m
END
课堂小结
（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.
第 90 页(共 260 页）

思想方法：递归思想.
作业
分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.
分析：本题主要考查辗转相除法和更 相减损术及其应用．使用辗转相
除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；用更相减损术就 是
根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止．
解：辗转相除法：
319=261×1+58,
261=58×4+29,
58=29×2.
∴319与261的最大公约数是29．
更相减损术：
319-261=58,
261-58=203,
203-58=145,
145-58=87,
87-58=29,
58-29=29, ∴319与261的最大公约数是29．


第 91 页(共 260 页）

复 备 记 录

第2课时 案例2 秦九韶算法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
大 家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，
而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一 口的吃，由此看来处理同
一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5
时的值呢？方法 也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习
秦九韶算法.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）求多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值有哪些方法？比
较 它们的特点.
（2）什么是秦九韶算法？
（3）怎样评价一个算法的好坏？
讨论结果：
（1）怎样求多项式f(x)=x
5
+x
4
+ x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值呢？
一个自然的做法 就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后
把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4 =10次乘法运算，5次
第 92 页(共 260 页）

加法运算.
另一种做法是先计算x
2
的值，然后依次计算x
2
·x，（x
2
·x）·x，（（x
2
·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，
我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数 减少了，因而能
够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做
一次加法运 算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到
结果.
（2）上面问题有没有更有效 的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九
韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下 面的算法：
把一个n次多项式f(x)=a
n
x
n
+a< br>n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
改写成 如下形式：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x< br>n-1
+…+a
1
x+a
0

=（a
nx
n-1
+a
n-1
x
n-2
+…+a
1）x+ a
0

=（（a
n
x
n-2
+an-1
x
n-3
+…+a
2
）x+a
1
)x+ a
0

=…
=（…（（a
n
x+a
n-1
）x+a
n-2
）x+…+a
1
）x+a
0
.
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v
1
=a
n
x+a
n-1
，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
，
v
3
=v
2
x+a
n-3
，
…

第 93 页(共 260 页）

v
n
=v
n-1
x+a
0
，
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较
先进的算法.
（ 3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算
法好坏的一个重要标志仍然是运算的次 数.如果一个算法从理论上需
要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个
理论的算法.
应用示例
例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x
5
+2x
4
+3.5x
3
-2.6x
2
+1.7x-0.8 ，
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：
v
0
=5；
v
1
=5×5+2=27;
v
2
=27×5+3.5=138.5;
v
3
=138.5×5-2.6=689.9;
v
4
=689.9×5+1.7=3 451.2;
v
5
=3 415.2×5-0.8=17 255.2;
所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.
算法分析：观察上述秦九韶算法中的 n个一次式，可见v
k
的计算要
用到v
k-1
的值，若令v
0
=a
n
，我们可以得到下面的公式：
第 94 页(共 260 页）


复

?
v
0
?a
n
,

?
?
v
k
?v
k?1
x?a
n?k
(k?1,2,?,n).< br>这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实
现.
算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次的系数a
n
和x的值.
第二步，将v的值初始化为a
n
，将i的值初始化为n-1.
第三步，输入i次项的系数a
i
.
第四步，v=vx+a
i
,i=i-1.
第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出
多项式的值v.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a

第 95 页(共 260 页）

i=i-1
WEND
PRINT v
END
点评：本题 是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思
想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一 个典型的算法案例.
变式训练
复 备 记 录
请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.
解：设f（x）=a
5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3+a
2
x
2
+a
1
x+a
0

首先，让我们以5次多项式一步步地进
行改写：
f（x）=（a
5
x
4
+a
4
x
3
+a
3
x
2+a
2
x+a
1
）x+a
0

=（（a
5
x
3
+a
4
x
2
+ a
3
x+a
2
）x+a
1
）x+a
0

=（（（a
5
x
2
+a
4
x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0

=（（（（a
5
x+a
4
）x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0
.
上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，
然后由里向外逐层计算，直 到最外层的括号，然后加上常数项即可.
程序框图如右图：

例2 已知n次多 项式P
n
(x)=a
0
x
n
+a
1
xn-1
+…+a
n-1
x+a
n
，如果在一种算法
中， 计算
x
0
k
（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3
(x
0
)
的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P< br>10
(x
0
)的值共
需要__________次运算.下面给出一种 减少运算次数的算法：
第 96 页(共 260 页）

P
0
(x)=a
0
,P
k+1
(x)=xP
k
(x)+a
k+1
（k＝0，1 ，2，…，n－1）．利用该算法，
计算P
3
(x
0
)的值共需要6 次运算，计算P
10
(x
0
)的值共需要___________
次 运算.
答案：65 20
点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a
n< br>x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
的求
值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达
(n?1)n，加法最多n次.秦
2
九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次 .
例3 已知多项式函数f(x)=2x
5
－5x
4
－4x3
+3x
2
－6x+7，求当x=5时的
函数的值.
解析：把 多项式变形为：f(x)=2x
5
－5x
4
－4x
3
+3x
2
－6x+7
=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.
计算的过程可以列表表示为：

最后的系数2 677即为所求的值.
算法过程：
v
0
=2；
v
1
=2×5－5=5；
v
2
=5×5－4=21；
v
3
=21×5+3=108；
v
4
=108×5－6=534；
v
5
=534×5+7=2 677.

第 97 页(共 260 页）

点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计
算.
知能训练
当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x
5
+8x
4
-3 x
3
+5x
2
+12x-6的值．
解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.
v
0
=3;
v
1
=v
0
×2+8=3×2+8=14;
v
2
=v
1
×2-3=14×2-3=25;
v
3
=v
2
×2+5=25×2+5=55;
v
4
=v
3
×2+12=55×2+12=122;
v
5
=v
4
×2-6=122×2-6=238.
∴当x=2时，多项式的值为238.
解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，
则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．
拓展提升
用秦九韶算法求多项式f(x)=7x
7
+6x
6
+5x
5
+4x
4
+3x
3
+2x
2< br>+x当x=3
时的值.
解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x
v
0
=7；
v
1
=7×3+6=27；
v
2
=27×3+5=86；
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复

v
3
=86×3+4=262；
v
4
=262×3+3=789；
v
5
=789×3+2=2 369；
v
6
=2 369×3+1=7 108；
v
7
=7 108×3+0=21 324.
∴f(3)=21 324.
课堂小结
1.秦九韶算法的方法和步骤.
2.秦九韶算法的计算机程序框图.
作业
已知函数f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8,求f(9)的值.
解：f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8=(x
2
－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8
∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.

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复 备 记 录
第3课时 案例3 进位制
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
情境导入
在日常生活中 ，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人
曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进 制、十二进制、
六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十
分的历法. 今天我们来学习一下进位制.
提出问题
（1）你都了解哪些进位制？
（2）举出常见的进位制.
（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.
（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.
活动：先让学生思考或讨 论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正
确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的 思路．
讨论结果：
（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十
二进制；满六十进一，就是六十 进制等等.也就是说：“满几进一”就是
几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.
（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古
人曾以手指计数有关，爱好天文学 的古人也曾经采用七进制、十二进
制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时< br>第 100 页(共 260 页）