2020年人教版高中数学必修三全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修三全套精品教案
（完整版）

第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它
作了 如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的
步骤.”为了让学生更 好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求
解过程出发，归纳出了二元一次方程组 的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程
组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法， 再通过例题加以巩固.
三维目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.
重点难点
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法.
教学过程
导入新课

思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，
没有 人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移
过河？请同学们写出解 决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容
——算法.
思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总
共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关
上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.
思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会
里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习
是一个开始.
推进新课 新知探究 提出问题
（1）解二元一次方程组有几种方法？
（2）结合教材实例错误!未找到引用源。总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
（3）结合教材实例错误!未找到引用源。总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.
（6）请同学们总结算法的特征.

（7）请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法.
（2）回顾二元一次方程组
错误!未找到引用源。的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x=错误!未找到引用源。.
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④，得y=错误!未找到引用源。.
第五步，得到方程组的解为错误!未找到引用源。
(3)用代入消元法解二元一次方程组
错误!未找到引用源。我们可以归纳出以下步骤：
第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④
第三步，解④得y=错误!未找到引用源。.⑤
第四步，把⑤代入③，得x=2×错误!未找到引用源。－1=错误!未找到引用源。.
第五步，得到方程组的解为错误!未找到引用源。
(4)对于一般的二元一次方程组错误!未找到引用源。
其中a
1
b
2
－a
2
b
1
≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b
2
-②×b
1
，得
（a
1
b
2
－a
2
b
1
）x=b
2< br>c
1
－b
1
c
2
.③
第二步，解③，得x=错误!未找到引用源。.
第三步，②×a
1
-①×a
2
，得（a
1
b
2
－a
2
b
1< br>）y=a
1
c
2
－a
2
c
1
.④

第四步，解④，得y=错误!未找到引用源。.
第五步，得到方程组的解为错误!未找到引用源。
(5)算法的定义：广义的算法是 指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的
使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的 算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征 ：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指
不是可有可无的，甚至无用的 步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：
算法从开始的“第一步”直到“最后一步 ”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一
步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续. ③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到
达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说 必须在有限步内完成任务，
不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一 系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤
称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是 解决问题的一种程序性方法.算法
一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只 要按部就班地去
做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.
应用示例
思路1
例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数.
（2）设计一个算法，判断35是否为质数.
算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判 断：依次用2—6除7，如果它们中有一个
能整除7，则7不是质数，否则7是质数.
算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.
（ 2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.
因为余数不为 0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的 整数n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质
数”的算法包含下面 的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不
是质数；否则，将i的值增加1 ，再执行同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.
算法如下：第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余数r.
第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数， 结束算法；否则，将i的值增
加1，仍用i表示.
第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第
三步.
例2 写出用“二分法”求方程x
2
-2=0 (x>0)的近似解的算法.

分析：令f(x)=x
2
-2,则方程x
2
-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点 所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一
分为二”，得到［a,m］和［m,b］. 根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］
或［m,b］，仍记为［a ,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］
“足够小”，则［a, b］内的数可以作为方程的近似解.
解：第一步，令f(x)=x
2
-2,给定精确度d.
第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.
第三步，取区间中点m=错误!未找到引用源。.
第四步，若f(a)·f(m)<0，则含 零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将
新得到的含零点的区间仍记为［a,b ］.
第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；
否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
a
1
1
1.25
1.375
1.375
1.406 25
1.406 25
1.414 062 5
1.414 062 5


b
2
1.5
1.5
1.5
1.437 5
1.437 5
1.421 875
1.421 875
1.417 968 75
|a-b|
1
0.5
0.25
0.125
0.062 5
0.031 25
0.015 625
0.007 812 5
0.003 906 25

于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方
程的近似解.实际上，上述步骤也是求错误 !未找到引用源。的近似值的一个算法.
例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同 船可容纳一个人和两只动物，
没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将 动物转移过
河？请设计算法.
分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量， 还应考虑到两岸的动物
都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有 狼，
这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.
解：具体算法如下：
算法步骤：
第一步：人带两只狼过河，并自己返回.
第二步：人带一只狼过河，自己返回.
第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.
第四步：人带一只羊过河，自己返回.
第五步：人带两只狼过河.
强调：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、 程序化的刻画是最恰
当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出 现的
情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能
解 决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果
能够合适地利用某些 步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根.
解：算法步骤如下：

第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac的值.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，
结束算法.
强调：用算法解决问 题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻
辑性、有穷性.让我们结合例题仔细 体会算法的特点.
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟， 则收取话费0.22元；如果通
话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分 钟按一分钟计算.
设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.
解：算法分析：
数学模型实际上为：y关于t的分段函数.
关系式如下：
y=错误!未找到引用源。
其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立，若成立执行
y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.
第三步，输出通话费用c.
课堂小结
（1）正确理解算法这一概念.
(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.

作业
课本本节练习1、2.

1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
整体设计
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）

三维目标
1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.
2．通过模仿、 操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的
解决过程中，理解程序框图的三 种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.
重点难点
数学重点：程序框图的画法.
数学难点：程序框图的画法.
教学过程
第1课时 程序框图及顺序结构
导入新课
思路1（情境导入）
我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问 路有时还
听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好
旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今
天我们开始学习 程序框图.
思路2（直接导入）
用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的

步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得 困难，而且不直
观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习
程序框图.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）什么是程序框图？
（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.
（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.
（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.
（5）说出判断框的图形符号与功能.
（6）说出流程线的图形符号与功能.
（7）说出连接点的图形符号与功能.
（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.
（9）什么是顺序结构？
讨论结果：
（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
在程序 框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程
线将程序框连接起来，表 示算法步骤的执行顺序.
（2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始 时只有
一个出口；表示结束时只有一个入口．
（3）平行四边形框：
一个入口和一个出口．
表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框，它有

（4）矩形框：
口和一个出口．
（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根 据判断结果来决定程序的流向，
表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入称为判断框，它有一个入口和两个出口．
（6）流程线：表示程序的流向．
（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在
一起．
（8）总结如下表.
图形符号



名称
终端框（起止框）
输入、输出框
处理框（执行框）
功能
表示一个算法的起始和结束
表示一个算法输入和输出的信息
赋值、计算
判断某一条件是否成立，成立时在

判断框 出口处标明“是”或“Y”；不成立时
标明“否”或“N”
流程线
连接点
连接程序框
连接程序框图的两部分


(9)很明显，顺序结构 是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的
基本结构.
三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：

顺序结构 条件结构 循环结构
应用示例
例1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法.

解：程序框图如下:
强调：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更 直观也更精确.
这里只是让同学们初步了解程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法.




变式训练
观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.

解：这是一个累加求和问题，共99项相加，该算法是求错误!未找到引用源。的值.


例2 已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦—秦九韶公式设计一个< br>计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为a,b,c，则
三角 形的面积为S=错误!未找到引用源。），其中p=错误!未找到引用源。.这个公式被称

为海伦—秦九韶公式）
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p 的值，再将它代入分式，最后输出结果.
因此只用顺序结构应能表达出算法.
算法步骤如下：
第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c.
第二步，计算p=错误!未找到引用源。.
第三步，计算S=错误!未找到引用源。.
第四步，输出S.
程序框图如下：

强调：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，
它是任何一个算法都离不开的基本结构.
变式训练
下图所示的是一个算法的流程图，已知a
1
=3，输出的b=7,
求a
2
的值.
解：根据题意错误!未找到引用源。=7,
∵a
1
=3,∴a
2
=11.即a
2
的值为11.
知能训练
有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对 我国
经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.
在 这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴
今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格.
解：用P表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：

2005年P=10 000×（1+3%）=10 300；
2006年P=10 300×（1+3%）=10 609；
2007年P=10 609×（1+3%）=10 927.27；
2008年P=10 927.27×（1+3%）=11 255.09；
因此，价格的变化情况表为：
年份
钢琴的价
格
程序框图如下：
强调：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉.最后将解
题步骤 “细化”就可以.“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图.
拓展提升











2004
10 000
2005
10 300
2006
10 609
2007 2008
10 927.27 11 255.09

如上给出的是计算错误!未找到引 用源。的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条
件是______________.

答案：i>10.
课堂小结
（1）掌握程序框的画法和功能.
（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.
（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法.
作业
习题1.1A 1.

第2课时 条件结构

导入新课
思路1（情境导入）
我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：
你有 牙齿是我们一伙的，鸟们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一
会儿蝙蝠有了一个好 办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实
上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程 序框图中也经常用到这一思想方法，今天我们开
始学习新的逻辑结构——条件结构.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海 不复回，
事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构.
提出问题
（1）举例说明什么是分类讨论思想？
（2）什么是条件结构？
（3）试用程序框图表示条件结构.
（4）指出条件结构的两种形式的区别.
讨论结果：
（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道 a的符号，但条件没
有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论思想.
（2）在一个算 法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不
同的流向.条件结构就是处理这种 过程的结构.
（3）用程序框图表示条件结构如下．

< br>条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分
支结构）， 如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框．

图1 图2

注 ：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，
可以有一个是空的 ，即不执行任何操作，如图2.
（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“ 步骤A”，否则执行“步
骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支” 上不包含算法
的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤.
应用示例
例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边 边长的三
角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.
算法分析：判断以3个任意给定的正实 数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这
3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需 要用到条件结构.
算法步骤如下：
第一步，输入3个正实数a，b，c.
第二步 ，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，
不存在 这样的三角形.
程序框图如右图：

强调：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存

在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种 分类讨论思想是高中的重点，
在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结构.

例2 设计一个求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示.
算 法分析：我们知道，若判别式Δ=b
2
-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根
x
1
=错误!未找到引用源。,x
2
=错误!未找到引用源。； < br>若Δ=0，则原方程有两个相等的实数根x
1
=x
2
=错误!未找到引 用源。；
若Δ<0，则原方程没有实数根.也就是说，在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，< br>根据判断的结果执行不同的步骤，这个过程可以用条件结构实现.
又因为方程的两个根有相同的 部分，为了避免重复计算，可以在计算x
1
和x
2
之前，先
计算p= 错误!未找到引用源。，q=错误!未找到引用源。.
解决这一问题的算法步骤如下：
第一步，输入3个系数a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
-4ac. < br>第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p=错误!未找到引用源。，q=错误!未找到引
用 源。；否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.
第四步，判断Δ=0是否成立.若是，则输出x< br>1
=x
2
=p；否则，计算x
1
=p+q，x
2=p-q，并输
出x
1
，x
2
.
程序框图如下：

例3 设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的程序框图.
解：算法步骤如下：
第一步，输入3个系数：a，b，c.

第二步，计算Δ=b
2
－4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立 .若是，则输出“方程有实根”；否则，输出“方程无实根”.结
束算法.
相应的程序框图如右：

强调：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式Δ=b< br>2
－4ac的值.再分成两种情况处理：
（1）当Δ≥0时，一元二次方程有实数根；
（2）当Δ＜0时，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一
元二次 方程系数的不同情况，最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先
确定判别式的值，然后 再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构
是办不到的，要对判别式的值进行判断 ，需要用到条件结构.

例4 （1）设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图.
解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解.
我们要对一次项系数a和常数项b的取值情况进行分类，分类如下：
（1）当a≠0时，方程有唯一的实数解是错误!未找到引用源。；
（2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解；
（3）当a=0，b≠0时，方程无解.
联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤：
第一步，判断a≠0是否成立.若成立，输出结果“解为错误!未找到引用源。”.
第二步，判断a=0，b=0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R”.
第三步，判断a=0，b≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，结束算法.
程序框图如右：

强调：这是条件结构 叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”“条件2”“条
件3”……都进行判断，只有 遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作.
知能训练
设计算法，找出输入的三个不相等实数a、b、c中的最大值，并画出流程图.
解：算法步骤：
第一步，输入a，b，c的值.
第二步，判断a>b是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步.
第三步，判断a>c是否成立，若成立，则输出a，并结束；否则输出c，并结束.
第四步，判断b>c是否成立，若成立，则输出b，并结束；否则输出c，并结束.
程序框图如右：
例5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种 快捷方式.某快
递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f=错误!未找到引用源。
其中f（单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）.
试画出计算费用f的程序框图.

分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求 费用f的计算公式随物品重量ω的变
化而有所不同，因此计算时先看物品的重量，在不同的条件下，执行 不同的指令，这是
条件结构的运用，是二分支条件结构.其中，物品的重量通过输入的方式给出.
解：算法程序框图如右图：
拓展提升
有一城市，市区为半径为15 km的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km的范围内
的环形地带，距中心25 km以外的为远郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，

< br>近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x,y)，
求 该点的地价．

分析：由该点坐标(x，y)，求其与市中心的距离r=错误!未找到引用源 。，确定是市区、
近郊区，还是远郊区，进而确定地价p．由题意知，p=错误!未找到引用源。
解：程序框图如下：
课堂小结
（1）理解两种条件结构的特点和区别.
（2）能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题.
作业
习题1.1A组3.

3课时 循环结构
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
我们都想生活在一个优美的环境中，希望看到的是碧水蓝天，大家知道工 厂的污水
是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要
再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准.污水处理装置是一个循环系统，对于处理
需要反复操作的 事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反复操作，今天我们学习
能够反复操作的逻辑结构——循 环结构.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条 没有分支的河流，奔流到海不复回；上
一节我们学习了条件结构，条件结构像有分支的河流最后归入大海 ；事实上很多水系是
循环往复的，今天我们开始学习循环往复的逻辑结构——循环结构.
提出问题
（1）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.
（2）什么是循环结构、循环体？
（3）试用程序框图表示循环结构.
（4）指出两种循环结构的相同点和不同点.
讨论结果：
（1）例如用二分法求方程的近似解、数列求和等.
（2）在一些算法中，经常会出现从某处 开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情
况，这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体. （3）在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按

照一定条件重复执行某一处理的过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（ 1）所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A
框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成 立，如果仍然成立，返回来再执行A
框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止 ，此时不再执行A
框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
2°直到型循环结构， 如图（2）所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判
断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成 立，则返回来继续执行A框，再判断条件P
是否成立.继续重复操作，直到某一次给定的判断条件P时成 立为止，此时不再返回来
执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
见示意图：

当型循环结构 直到型循环结构
(4)两种循环结构 的不同点：直到型循环结构是程序先进入循环体，然后对条件进行判断，
如果条件不满足，就继续执行循 环体，直到条件满足时终止循环.
当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循
环体，否则终止循环.
两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循环结构中一定包含
条件结构，用于确定何时终止执行循环体.
应用示例
思路1

例1 设计一个计算1+2+……+100的值的算法，并画出程序框图.
算法分析：通常，我们按照下列过程计算1+2+……+100的值.
第1步，0+1=1.
第2步，1+2=3.
第3步，3+3=6.
第4步，6+4=10.
……
第100步，4 950+100=5
050.
显然，这个过程中包含重复操作的步骤，可以用循环 结构表示.分析上述计算过程，
可以发现每一步都可以表示为第（i-1）步的结果+i=第i步的结果 .
为了方便、有效地表示上述过程，我们用一个累加变量S来表示第一步的计算结果，
即把S+i的结果仍记为S，从而把第i步表示为S=S+i，
其中S的初始值为0，i依 次取1，2，…，100，由于i同时记录了循环的次数，所
以也称为计数变量.
解决这一问题的算法是：
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
程序框图如右：

上述程序框图用的是当型循环结构，如果用直到型循环结构表示，则程序框图如下：

变式训练
已知有一列数错误!未找到引用源。，设计框图实现求该列数前20项的和．
分析：该列数中每一项的 分母是分子数加1，单独观察分子，恰好是1，2，3，4，…，
n，因此可用循环结构实现，设计数器 i，用i=i+1实现分子，设累加器S，用S=错误!
未找到引用源。，可实现累加，注意i只能加到 20．
解：程序框图如下：
方法一： 方法二：

例2 某厂2005年的年生产总值 为200万元，技术革新后预计以后每年的年生产总值都
比上一年增长5%，设计一个程序框图，输出预 计年生产总值超过300万元的最早年份.
算法分析：先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入2005年的年生产总值.
第二步，计算下一年的年生产总值.
第三 步，判断所得的结果是否大于300，若是，则输出该年的年份，算法结束；否则，
返回第二步. 由于“第二步”是重复操作的步骤，所以本例可以用循环结构来实现.我们按照“确定循环
体”“初 始化变量”“设定循环控制条件”的顺序来构造循环结构.

（1）确定循环体：设a为某年的年生产总值，t为年生产总值的年增长量，n为年份，
则循环 体为t=0.05a,a=a+t,n=n+1.
（2）初始化变量：若将2005年的年生产总值看 成计算的起始点，则n的初始值为2005，
a的初始值为200.
（3）设定循环控制条件 ：当“年生产总值超过300万元”时终止循环，所以可通过判断
“a>300”是否成立来控制循环.
程序框图如右：
思路2
例1 设计框图实现1+3+5+7+…+131的算法．
分析：由于需加的数较多，所以要引入循环结构来 实现累加．观察所加的数是一组有规
律的数（每相临两数相差2），那么可考虑在循环过程中，设一个变 量i，用i=i+2来实
现这些有规律的数，设一个累加器sum，用来实现数的累加，在执行时，每循 环一次，
就产生一个需加的数，然后加到累加器sum中．
解：算法如下：
第一步，赋初值i=1，sum=0.
第二步，sum=sum+i，i=i+2.
第三步，如果i≤131，则反复执第二步；否则，执行下一步.
第四步，输出sum.
第五步，结束．
程序框图如右图．
（2）框图画完后，要进行验证，按设计的流程 分析是否能实现所求的数的累加，分析
条件是否加到131就结束循环，所以我们要注意初始值的设置、 循环条件的确定以及循
环体内语句的先后顺序，三者要有机地结合起来．最关键的是循环条件，它决定循 环次

数，可以想一想，为什么条件不是“i<131”或“ i=131”，如果是“i<131”，那么会少执行一
次循环，131就加不上了．
例2 高中某班一共有40名学生，设计算法流程图，统计班级数学成绩良好(分数>80)
和优秀(分数>9 0)的人数．
分析：用循环结构实现40个成绩的输入，每循环一次就输入一个成绩s，然后对s的值
进行判断.设两个计数器m,n，如果s>90，则m=m+1，如果80器i，用来控制40个成绩的输入，注意循环条件的确定．
解：程序框图如右图：

知能训练
由相应的程序框图如右图，补充完整一个计算1+2+3+…+100的值的算法.（用循环
结构）

第一步，设i的值为_____________.
第二步，设sum的值为_____________.
第三步，如果i≤100执行第__ ___________步,否则，转去执行第_____________步.
第四步，计算sum＋i并将结果代替_____________.
第五步，计算_____________并将结果代替i.
第六步，转去执行第三步.
拓展提升
设计一个算法，求1+2+4+…+2
49
的值，并画出程序框图.
解：程序框图如右图：

课堂小结
（1）熟练掌握两种循环结构的特点及功能.
（2）能用两种循环结构画出求和等实际问题的程序框图，进一步理解学习算法的意义.
作业
习题1.1A组2.

第4课时 程序框图的画法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
一条河流有时像顺序结构，奔流到 海不复回；有时像条件结构分分合合向前进；有
时像循环结构，虽有反复但最后流入大海.一个程序框图 就像一条河流包含三种逻辑结
构，今天我们系统学习程序框图的画法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构，今天我们系统学习程序框图的画
法.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)请大家回忆顺序结构，并用程序框图表示.
(2)请大家回忆条件结构，并用程序框图表示.
(3)请大家回忆循环结构，并用程序框图表示.
(4)总结画程序框图的基本步骤.
讨论结果：
(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的 基本结构.
框图略.
(2)在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件 是否成立有不同的
流向.条件结构就是处理这种过程的结构.框图略.
(3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照

一定条件重复执行某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.框图略.
(4)从前面的学习可以看出，设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤：
第一步，用自然语言表达算法步骤.
第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框表示，得到该
步骤的程序框图.
第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个
算法的程序框图.
应用示例
例1 结合前面学过的算法步骤，利用三种基本逻辑结构画出程序框图，表示用“ 二分法”
求方程x
2
-2=0（x>0）的近似解的算法.
程序框图（如右图）.

例2 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问 他需要什么.发明者说：陛下，
在国际象棋的第一个格子里面放1粒麦子，在第二个格子里面放2粒麦子 ，第三个格子
放4粒麦子，以后每个格子中的麦粒数都是它前一个格子中麦粒数的二倍，依此类推（国< br>际象棋棋盘共有64个格子）,请将这些麦子赏给我，我将感激不尽.国王想这还不容易，
就让人 扛了一袋小麦，但不到一会儿就没了，最后一算结果，全印度一年生产的粮食也
不够.国王很奇怪，小小 的“棋盘”，不足100个格子，如此计算怎么能放这么多麦子？试
用程序框图表示此算法过程.
解：将实际问题转化为数学模型，该问题就是要求1+2+4+……+2
63
的和.
程序框图如下：

例3 乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客票托运费计算方法
是：行李质量不超过50 kg时按0．25元kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过
部分按0．35元kg；超过100 kg时，其超过部分按0．45元kg．编写程序，输入行李
质量，计算出托运的费用．
分析 ：本题主要考查条件语句及其应用．先解决数学问题，列出托运的费用关于行李质
量的函数关系式．设行 李质量为x kg，应付运费为y元，则运费公式为：
y=错误!未找到引用源。
整理得y=错误!未找到引用源。
程序框图如上图

知能训练
设计一个用有理数数幂逼近无理指数幂错误!未找到引用源。的算法，画出算法的
程序框图.
解：算法步骤:
第一步,给定精确度d,令i=1.
第二步，取出错误!未找到引 用源。的到小数点后第i位的不足近似值，记为a；取出错
误!未找到引用源。的到小数点后第i位的过 剩近似值，记为b.

第三步，计算m=5
b
-5
a
.
第四步，若ma
；否则，将i的值增加1，返
回第二步.
第五步，得到错误!未找到引用源。的近似值为5
a
.
程序框图如下：

拓展提升
求错误!未找到引用源。，画出程序框图．

分析：如果采用逐步计算的方法，利用顺序结构来实现，则非常麻烦，由于前后的运算
需重复多次相同的运算，所以应采用循环结构，可用循环结构来实现其中的规律．观察
原式中的变化的 部分及不变项，找出总体的规律是4+错误!未找到引用源。，要实现这
个规律，需设初值x=4．
解：程序框图如上：

课堂小节
（1）进一步熟悉三种逻辑结构的应用，理解算法与程序框图的关系.
（2）根据算法步骤画出程序框图.

作业
习题1.1B组1、2.

1.2 基本算法语句
1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
中国足球队在 亚洲杯上的失利说明，中国足球仍然需要请外国教练.高水平的外国教
练有先进的足球理念，有系统科学 的训练计划，有先进的足球技术，但由于语言不通不
能直接传授给队员. 算法步骤、程序框图虽然容易掌握，但计算机不能理解，因此我们
需要学习算法语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，我们
开始学习算法语句.
提出问题
（1）指出输入语句的格式、功能、要求.
（2）指出输出语句的格式、功能、要求.

（3）指出赋值语句的格式、功能、要求.
（4）利用框图总结三种语句的功能、格式、特点.
（5）指出三种语句与框图的对应关系.
讨论结果：
(1)输入语句的格式：INPUT“提示内容”； 变量
例如：INPUT “x=”；x
功能：实现算法的输入变量信息（数值或字符）的功能.
要求：
1°输入语句要求输入的值是具体的常量.
2°提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容 “原原本本”的在计
算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开.
3°一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔.
形式如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c
(2)输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
例如：PRINT“S=”；S
功能：实现算法输出信息（表达式）的功能.
要求：
1°表达式是指算法和程序要求输出的信息.
2°提示内容提示用户要输出 的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分
号和表达式分开.
3°如同输入语句 一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式
之间可用“，”分隔.
形式如：PRINT “a,b,c:”；a,b,c

(3)赋值语句的一般格式：变量=表达式.
赋值语句中的“＝”称作赋值号.
功能：将表达式所代表的值赋给变量.
要求：
1°赋值语句左边只能是变量名字， 而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量
或含变量的运算式.如：2=x是错误的.
2°赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边
的变量.如“A =B”“B=A”的含义运行结果是不同的，如x=5是对的，5=x是错的，A+B=C
是错的，C= A+B是对的.
3°不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等），如y=x
2
－1=(x
－1)(x+1)，这是实现不了的.在赋值号右边表达式中每一个变量 的值必须事先赋给确定
的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或以上的“=”.但 对于同一个
变量可以多次赋值.
(4)三种语句的功能、格式、特点如下：
在QBASIC语言中，输入语句是INPUT语句，输出语句是PRINT语句，赋值语
句是LET语 句（“LET”可以省略）.下表列出了这三种语句的一般格式、主要功能和相
关说明，供教师教学时参 考，不要求学生掌握.

格
INPUT“提示内容”；变量
式
功
可对程序中的变量赋值
能
说
的值，计算 值，计算
①又称“键盘输入语句”，①又称“打印①在程序运行过程中
内容”；表达式
可输出表达式可对程序中的变量赋
INPUT语句 PRINT语句
PRINT“提示
LET变量=表达式
赋值语句

明 在程序运行过程中，停机语句”，将表达给变量赋值
等候用户由键盘输入数式的值在屏幕
据，而不需要在写程序时上显示出来
指定 ②“LET”可以省略，
“=”的右侧必须是表
②表达式可以达式，左侧必须是变
②“提示内容”和它后面是变量、计算量
的“；”可以省略
③一个语句可以给多个
公式或系统信
息
③一个语句只能给一
个变量赋值
④有计算功能
隔
④无计算功能
以输出多个表
达式.不同的表
⑤将一个变量的值赋
达式之间可用
给另 一个变量，前一
个变量的值保持不
变；可先后给一个变
④有计算功
能，能直接 输
出计算公式的
值
（5）指出三种语句与框图的对应关系如下图.



量赋多个不同的值，
但变量的取值总是最
后被赋予的值
变量赋值，中间用“，”分③一个语句可
⑤用户由键盘输入的数
“，”分隔
据必须是常量，输入多个
数据时用“，”分隔，且个
数要与变量的个数相同

应用示例
思路1
例1 用描点法作函数y=x
3
+3x
2
-24x+30的图象时，需要求出自变量 和函数的一组对应
值 .编写程序，分别计算当x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时的函数值.
算法分析：根据题意，对于每一个输入的自变量的值，都要输出相应的函数值.写成算法
步骤如下：
第一步，输入一个自变量的x的值.
第二步，计算y=x
3
+3x
2
-24x+30.
第三步，输出y.
程序框图如右图：

显然，这是一个由顺序结 构构成的算法，按照程序框图中流程线的方向，依次将程
序框中的内容写成相应的算法语句，就得相应的 程序.
解：程序：
INPUT “x”；x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
END
强调 ：前面我们学习了算法步骤、程序框图，我们对照程序框图与算法语句可以得到它

们之间的对应关系.例如：在这个程序中，第1行中的INPUT语句就是输入语句.这个语
句的一般格式是

INPUT “提示内容”；
变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息，每次运行例1中的程序时，依次
输入-5， -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”，
并按 “x”新获得的值计算变量“y”的值.
例2 给一个变量重复赋值.
解：程序：
A=10
A=A+15
PRINT A
END
例3 编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.
算法分析：
先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入该学生数学、语文、英语三门课的成绩a，b，c.
第二步，计算y=错误!未找到引用源。.
第三步，输出y.
程序框图如右：

由于PRINT语
程序.
程序：
INPUT “Maths=”;a
INPUT “Chinese=”;b
INPUT “English=”;c
PRINT “The average=”;(a+b+c)3
END
强调：例3中的第4行的PRINT语句是输出语句，它的一般形式是

PRINT“提示内容”；表达
式

PRINT语句可以在计算机的屏幕上 输出常量、变量的值和系统信息，同输入语句一样，
这里的表达式前也可以有“提示内容”.
例4 变换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值.
解：程序：
INPUT A，B
PRINT A，B
x=A
A=B
B=x
PRINT A,B
句还可以用于输出数值计算的结果，所以这个算法可以写成下列

END
思路2
例1 写出求三个数a，b，c的方差的程序. 分析：方差是在初中统计内容中学习过的知识，计算所有数的方差首先计算所有数的平
均数错误!未 找到引用源。，通过公式s
2
=错误!未找到引用源。来计算.
算法步骤：
第一步，计算平均数错误!未找到引用源。.
第二步，计算方差s
2
=错误!未找到引用源。.
第三步,得到的结果即为所求.
程序如下：
INPUT a，b，c
y=(a+b+c)3
S=((a－y)
2
+ (b－y)
2
+ (c－y)
2
)3
PRINT S
END
例2 编写一个程序，要求输入两个正数a和b的值，输出a
b
和b
a
的值. 分析：可以利用INPUT语句输入两个正数，然后将a
b
和b
a
的值分 别赋给两个变量
输出即可.也可以将a
b
和b
a
的底数和幂数进行交 换，故还可以利用赋值语句，采用将两
个变量的值互换的办法实现.
解：程序1：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
B=b^a

PRINT “a^b=”；A，“b^a=”；B
END
程序2：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
PRINT “a^b=”；A
x=a
a=b
b=x
A=a^b
PRINT “b^a=”；A
END
强调：交换a，b的值可通过下面三个语句来实现：
t=a
a=b
b=t
通过引进一个中间变量t实现变量a和b的值的交换，因此只需用赋值语句即可实现算
法.在一些较为复杂的问题算法中经常需要对两个变量的值进行交换，因此应熟练掌握这
种方法 .
知能训练
1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确？为什么？
（1）输入语句INPUT a；b；c
（2）输出语句A＝4

（3）赋值语句3＝B
（4）赋值语句A＝B＝－2
解：（1）错，变量之间应用“，”号隔开.
（2）错，PRINT语句不能用赋值号“=”.
（3）错，赋值语句中“=”号左右不能互换.
（4）错，一个赋值语句只能给一个变量赋值.
强调：输入语句、输出语句和赋值语句基本上 对应于算法中的顺序结构.输入语句、输出
语句和赋值语句都不包括“控制转移”，由它们组成的程序段 必然是顺序结构.
2.请写出下面运算输出的结果.
（1）a=5
b=3
c=(a+b)2
d=c*c
PRINT“d=”;d
(2)a=1
b=2
c=a+b
b=a+c-b
PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c
(3)a=10
b=20
c=30
a=b

b=c
c=a
PRINT “a=,b=,c=” a,b,c
解：（1）16；语句c=(a+b)2 是将a，b和的一半赋值给变量c，语句d=c*c是将c的平
方赋值给d，最后输出d的值.
（2）1，2，3；语句c=a+b是将a，b的和赋值给c，语句b=a+c－b是将a+c－b的值赋值给了b.
（3）20，30，20；经过语句a=b后a，b，c的值是20，20，30.经 过语句b=c后a，b，
c的值是20，30，30.经过语句c=a后a，b，c的值是20，30， 20.
拓展提升
已知某生某三科的成绩为80、75、95分，求三科的总分及平均分．
分析：将三科成绩赋给三个变 量A，B，C，然后对三个变量进行操作、运算，求其总
分、平均分．变量的起名规则：由字母、数字、 下划线组成，但第一个字符必须是字母
（大、小写皆可），起名时尽量做到见名知义，如本例中我们可用 变量
PJF表示平均分．
解：程序框图如右图：

程序：
A=80
B=75
C=95
ZF=A+B+C
PJF=ZF3
ZF表示总分，

PRINT ZF，PJF
END
课堂小结
（1）输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
（2）用输入语句、输出语句和赋值语句编写算法语句.
作业习题1.2A组2.

1.2.2 条件语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会条件语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：条件语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一位老农平整了一块良田，种瓜好 呢，还是种豆好呢，他面临着一个选择.如果他选
择种瓜，他会得瓜，如果他选择种豆，他会得豆.人的 一生面临许多选择，我们要做出正
确的选择.前面我们学习了条件结构，今天我们学习条件语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理 解算法步骤、程序框图，上一
节我们学习了输入语句、输出语句、赋值语句，今天我们开始学习条件语句 .
提出问题
（1）回忆程序框图中的两种条件结构.
（2）指出条件语句的格式及功能.
（3）指出两种条件语句的相同点与不同点.

（4）揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.
讨论结果： （1）一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同
的流向.条件 结构就是处理这种过程的结构.
用程序框图表示条件结构如下图：

（2）条件语句
1°“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF

功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，“条件”表示判断的条件，“语句体1”表 示满足条
件时执行的操作内容；“语句体2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条
件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，< br>如果符合条件，则执行THEN后面的“语句1”；若不符合条件，则执行ELSE后面的“语
句 2”.
2°“IF—THEN”语句
格式：

IF 条件 THEN
语句体
END IF < br>功能：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，
直接 结束判断过程；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN”语句时，首
先对I F后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句，若不符合条件则
直接结束该条件语句， 转而执行其他后面的语句.
（3）相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句.
不 同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句体2”.
对于“IF—THEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语
句.
（4）程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图：

应用示例
思路1
例1 编写一个程序，求实数x的绝对值.
算法分析：首先，我们来设计求实数x的绝对值的算法，因为实数x的绝对值为
|x|=错误!未找到引用源。

程序：
INPUT x
IF x＞=0 THEN
PRINT x
ELSE
PRINT -x
END IF
END

变式训练
阅读下面的程序，你能得出什么结论？
INPUT x
IF x＜0 THEN
x=-x
END IF
PRINT x
END 由程序得出，该程序是输出x的绝对值.
例2 把前面求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的程序框图转化为程序.
解：由程序 框图可以发现，其中包含着两个条件结构，而且内层的条件结构是外层的条
件结构的一个分支，所以，可 以用“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化.
程序：
INPUT “a,b,c=”;a,b,c

d=b^2-4*a*c
IF d＞=0 THEN
p=-b(2*a)
q=SQR(d)(2*a)
IF d=0 THEN
PRINT “x
1
=x
2
=”;p
ELSE
PRINT “x
1
,x
2
=”;p+q,p-q
END IF
ELSE
PRINT“No real root”
END IF
END
例3 编写程序，使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出.
如下图所示，上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.
根据程序框图，写出相应的计算机程序.
INPUT “a,b,c=”;a,b,c
IF b＞a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c＞a THEN

t=a
a=c
c=t
END IF
IF c＞b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a,b,c
END
思路2
例1 编写程序，输出两个不相等的实数a、b的最大值. 分析：要输出两个不相等的实数a、b的最大值，从而想到对a，b的大小关系进行判断，
a，b的 大小关系有两种情况：（1）a>b；（2）b>a.这也就用到了我们经常提及的分类讨
论的方式，找 出两个数的最大值.
解：算法一：
第一步，输入a， b的数值.
第二步，判断a，b的大小关系，若a>b，则输出a的值，否则，输出b的值.
（程序框图如下图）

程序如下：（“IF—THEN—ELSE”语句）
INPUT “a，b”；a，b

IF a＞b THEN
PRINT a
ELSE
PRINT b
END IF
END
算法二：
第一步，输入a,b的数值.
第二步，判断a,b的大小关系，若b>a，则将b的值赋予a；否则，直接执行第三步.
第三步，输出a的值，结束.
（程序框图如右图）

程序如下：（“IF—THEN”语句）
INPUT “a，b”；a，b
IF b＞a THEN
a=b
END IF
PRINT a
END
例2 高等数学中经常用到符号函数，符号函数的定义为y=错误!未找到引用源。 试编
写程序输入x的值，输出y的值.
解：程序一：（嵌套结构）
程序框图：（下图）

程序如下：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y=－1
END IF
END IF
PRINT y
END
程序二：（叠加结构）
程序框图（右图）：
程序如下：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
END IF
IF x=0 THEN
y=0

END IF
IF x<0 THEN
y=－1
END IF
PRINT y
END
强调：（1）条件结构的差异，造成程序执行的不同.当代入x的数值时，“程序一” 先判断
外层的条件，依次执行不同的分支，随后再判断内层的条件；而“程序二”中执行了对“条
件1”的判断，同时也对“条件2”进行判断，是按程序中条件语句的先后依次判断所有的
条件，满足 哪个条件就执行哪个语句.
（2）条件语句的嵌套可多于两层，可以表达算法步骤中的多重限制条件.
知能训练
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果 通话时
间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按以一分钟计算.
设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.
解：算法程序如下：
INPUT “请输入通话时间：”；t
IF t<=3 THEN
y=0.22
ELSE
IF INT(t)=t THEN
y=0.22+0.1*(t－3)
ELSE

y=0.22+0.1*(INT(t－3)+1)
END IF
END IF
PRINT “通话费用为：”；y
END

拓展提升
函数y=错误!未找到引用源。写出求函数的函数值的程序.
解：INPUT x=”;x
IF x>=0 and x<=4 THEN
y=2*x
ELSE IF x<=8 THEN
y=8
ELSE y=2*(12-x)
END IF
END IF
PRINT y
END
课堂小结
（1）条件语句的用法.
（2）利用条件语句编写算法语句.
作业
习题1.2 B组1.

1.2.3循环语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会循环语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：循环语句的基本用法.
教学难点：循环语句的写法.
课时安排1课时
导入新课
思路1（情境导入）
一位同学不小心违反了学校纪律， 班主任令其写检查，他写完后交给班主任，班主
任看后说：“认识不深刻，拿回去重写，直到认识深刻为 止”.这位同学一想，这不是一
个循环结构吗？可惜我还没学循环语句，不然可以写一个算法语句输入计 算机了.同学
们，今天我们开始学习循环语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，上一
节我们学习了输入语 句、输出语句、赋值语句和条件语句，今天我们开始学习循环语句.
提出问题
（1）试用程序框图表示循环结构.
（2）指出循环语句的格式及功能.
（3）指出两种循环语句的相同点与不同点.

（4）揭示程序中的循环语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.
讨论结果：
（1）循环结构
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（1）所示
2°直到型循环结构，如图（2）所示，

（1）当型循环结构 （2）直到型循环结构
（2）循环语句
1°当型循环语句
当型（WHILE型）语句的一般格式为：
WHILE 条件
循环体
WEND
功能：计算机执行此程序时，遇到WHILE语句，先判断条件是 否成立，如果成立，
则执行WHILE和WEND之间的循环体；然后返回到WHILE语句再判断上述 条件是否
成立，如果成立，再执行循环体，这个过程反复执行，直到一次返回到WHILE语句判
断上述条件不成立为止，这时不再执行循环体，而是跳到WEND语句后，执行WEND
后面的语句. 因此当型循环又称“前测试型”循环，也就是我们经常讲的“先测试后执行”
“先判断后循环”.
2°直到型循环语句

直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
功能：计算机执行UNTIL语句时，先执行DO和LOOP UNTIL之间的循环体，然后
判断“LOOP UNTIL”后面的条件是否成立，如果条件不成立 ，返回DO语句处重新
执行循环体.这个过程反复执行，直到一次判断“LOOP UNTIL”后面的条件成立为止，
这时不再返回执行循环体，而是跳出循环体执行“LOOP UNTIL条件”下面的语句.
因此直到型循环又称“后测试型”循环，也就是我们经常讲的“先执行后测试”“先
循环后判断”.
(3)相同点：都是反复执行循环体语句.
不同点：当型循环语句是先判断后循环，直到型循环语句是先循环后判断.
(4)下面为循环语句与程序框图中的条件结构的一一对应关系.
1°直到型循环结构：

2°当型循环结构：

应用示例

思路1
例1 修改前面编写过的求函数y=x3+3x2-24x+30的值的 程序，连续输入11个自变量的
取值，输出相应的函数值.
算法分析：与前面不同的是，本例 要求连续输入11个自变量的取值.并输出相应的函数
值，先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入自变量x的值.
第二步，计算y=x3+3x2-24x+30.
第三步，输出y.
第四步，记录输入次数.
第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返回第一步.
显然，可以用计数变量n（1≤n≤11）记录次数，通过循环结构来实现算法.
程序框图如下图：

程序：
n=1
DO
INPUT x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
n=n+1
LOOP UNTIL n＞11
END
例2 教材 中的用“二分法”求方程x
2
-2=0（x＞0）的近似解的程序框图（见教材图1.120）

包含了顺序结构、条件结构和循环结构.下面，我们把这个程序框图转化为相应的程序.
解：程序为：
INPUT “a,b,d=”；a,b,d
DO
m=(a+b)2
g=a^2-2
f=m^2-2
IF g*f＜0 THEN
b=m
ELSE
a=m
END IF
LOOP UNTIL ABS(a-b)＜d OR f=0
PRINT m
END
强调：ABS（）是一个函数，用来求某个数的绝对值，即ABS（x）=|x|.
例3 设计一个计算1×3×5×7×…×99的算法，编写算法程序.
解：算法如下：
第一步，s＝1.
第二步，i＝3.
第三步，s＝s×i.
第四步，i＝i＋2.
第五步，如果i≤99，那么转到第三步.

第六步，输出s.
程序如下：（“WHILE型”循环语句）
s＝1
i＝3
WHILE i＜＝99
s＝s*i
i＝i＋2
WEND
PRINT s
END
强调：前面我们已经学过“求和”问题 ，这是一个“求积”问题，这两个问题都是典型
的算法问题，注意它们的联系与区别.
例4 编写一个程序，求1!+2!+…+10!的值（其中n！=1×2×3×…×n）.
分析：这个问题可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌套语句格式来实现.
程序结构要做到如下步骤：
①处理“n！”的值；（注：处理n！的值的变量是一个内循环变量）
②累加“n！”的值.（注：累加n！的值的变量是一个外循环变量）
显然，通过10次循环可分别求出1!、2!、…、10!的值，并同时累加起来, 可求得S的
值.而求T=n！，又可以用一个循环（内循环）来实现.
解：程序为：
s=0
i=1
WHILE i<=10

j=1
t=1
WHILE j<=i
t=t*j
j=j+1
WEND
s=s+t
i=i+1
WEND
PRINT s
END
思考：上面程序中哪个变量是内循环变量，哪个变量是外循环变量？
解答：内循环变量：j，t.外循环变量：s，i.
上面的程序是一个的“WHIL E+WHILE”型循环嵌套语句格式.这是一个比较好想的
方法，但实际上对于求n！，我们也可以根 据求出的(n－1)!乘上n即可得到，而无需重新
从1再累乘到n.
程序可改为：
s=0
i=1
j=1
WHILE i<=10
j=j*i
s=s+j

i=i+1
WEND
PRINT s
END
显然第二个程序的效率要比第 一个高得多.第一程序要进行1+2+…+10=55次循环，
而第二程序进行10次循环.如题目中求 的是1！＋2！＋…＋1 000！，则两个程序的效率
区别会更明显.
变式训练
某种蛋白质是由四种氨基酸组合而成.这四种氨基酸的相对分子质量分别是57，71，
97，101. 实验测定蛋白质的相对分子质量为800.问这种蛋白质的组成有几种可能？
分析：该问题即求如下不 定方程的整数解：设四种氨基酸在蛋白质的组成中分别各有x，
y，z，w个.则由题意可得57x+7 1y+97z+101w=800，（x，y，z，w是非负整数）
这里0≤x≤14，0≤ y≤11，0≤z≤8，0≤w≤7，利用穷取法，考虑一切可能出现
的情况.运用多层循环嵌套处理即 可.
解：编写程序如下：
w=0
WHILE w<=7
z=0
WHILE z<=8
y=0
WHILE y<=11
x=0
WHILE x<=14

IF 57*x+71*y+97*z+101*w=800 THEN
PRINT x，y，z，w
END IF
x=x+1
WEND
y=y+1
WEND
z=z+1
WEND
w=w+1
WEND
END
知能训练
设计算法求错误!未找到引用源。的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
解 ：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用
循环结构实现这一算 法.程序框图如下图所示：

程序如下：
s=0
i=1
Do
s=s+1（i*(i+1)）
i=i+1

LOOP UNTIL i>99
PRINT s
END
拓展提升
青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了12名评委，在计算每位选手的平均
分 数时，为了避免个别评委所给的极端分数的影响，必须去掉一个最高分和一个最低分
后再求平均分.试设 计一个算法解决该问题，要求画出程序框图，写出程序（假定分数采
用10分制，即每位选手的分数最高 分为10分，最低分为0分）.
解：由于共有12位评委，所以每位选手会有12个分数，我们可以用 循环语句来完成这
12个分数的输入，同时设计累加变量求出这12个分数的和，本问题的关键在于从这 12
个输入分数中找出最大数与最小数，以便从总分中减去这两个数.由于每位选手的分数都
介 于0分和10分之间，我们可以先假设其中的最大数为0，最小数为10，然后每次输
入一个评委的分数 ，就进行一次比较，若输入的数大于0,就将之代替最大数，若输入的
数小于10，就用它代替最小数， 依次下去，就能找出这12个数中的最大数与最小数，
循环结束后，从总和中减去最大数与最小数，再除 以10，就得到该选手最后的平均分.
程序框图如右图：

程序如下：s=0
i=1
max=0
min=10
DO
INPUT x

s=s+x
IF max<=x THEN
max=x
END IF
IF min>=x THEN
min=x
END IF
i=i+1
LOOP UNTIL i>12
s1=s－max－min
a=s110
PRINT a
END
课堂小结
（1）学会两种循环语句的应用.
(2)熟练应用两种循环语句编写计算机程序，巩固算法应用
作业
习题1.2A组3.
.

1.3 算法案例
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.
2．引导学生得出自己设计的算法程序.
3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
重点难点
教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能
力.
第1课时 案例1 辗转相除法与更相减损术
导入新课
思路1（情境导入）
大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢 横握拍打
球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.
在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去
除，一直除到所 得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质
因数较大时（如8 251与6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们
介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相 减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.
思路2（直接导入）
前面我 们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相
减损术来进一步体会算法的 思想.

推进新课
新知探究
提出问题
（1）怎样用短除法求最大公约数？
（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？
（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？
（4）怎样用更相减损术求最大公约数？
讨论结果：
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到
所得的商是两个互质数 为止，然后把所有的除数连乘起来.
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正 整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列
举，直到找到公约数立即中断列举，得 到的公约数便是最大公约数.
（3）辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.
第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环
执行.
如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提
出的，因而又叫欧几里得算法.

（4）更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中
国古代的数学专著， 其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半
者半之，不可半者，副置分母、子之 数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”
翻译为现代语言如下：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，
执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减
小数 ，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数
的乘积就是所求的最大 公约数.
应用示例
例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写
出算法程序.
解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146.
由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105
的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等.
对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.
同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：
2 146=1 813×1+333，
1 813=333×5+148，
333=148×2+37，
148=37×4.
最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.

这就是辗转相除法.由除法的性质可以 知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总
可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个 正整数的最大公约数.
算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可 以用循
环结构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数为r.
第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.
程序框图如右图：
程序：
INPUT m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
强调：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105
的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，
可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6 105与2 146
的公约数也是8 251与6 105的公约数.

变式训练
你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和
程序.
解：当型循环结构的程序框图如下图：

程序：
INPUT m，n
r=1
WHILE r＞0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗 转相减，如下图所示
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7


.

所以，98和63的最大公约数等于7.
强调：更相减损术 与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名
著，但是二者的算理却是相似的，有 异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是
除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运 算，即辗转相减，但是实质都是
一个不断的递归过程．
变式训练
用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.
解：324=243×1＋81，
243=81×3＋0，
则324与243的最大公约数为81.
又135=81×1＋54，81=54×1＋27，
54=27×2＋0，
则 81 与 135的最大公约数为27.
所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.
另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大 公约数为81.
135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.
所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.
例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.
（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.
解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：
123＝2×48＋27，
48＝1×27＋21，
27＝1×21＋6，

21＝3×6＋3，
6＝2×3+0，
最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.
（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.
80÷2=40，36÷2=18.
40和18都是偶数，要除公因数2.
40÷2=20，18÷2=9.
下面来求20与9的最大公约数，
20－9=11，
11－9=2，
9－2=7，
7－2=5，
5－2=3，
3－2=1，
2－1=1，
可得80和36的最大公约数为2
2
×1=4.
强调：对比两种方法控制好 算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到
达减数和差相等.
变式训练
分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．
解：辗转相除法：
1 734=816×2+102，816=102×8（余0），
∴1 734与816的最大公约数是102．

更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公
约数．
867-408=459，
459-408=51，
408-51=357，
357-51=306，
306-51=255，
255-51=204，
204-51=153，
153-51=102，
102-51=51.
∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．
利用更相减损术可另解：
1 734－816＝918，
918－816＝102，
816－102＝714，
714－102＝612，
612－102＝510，
510－102＝408，
408－102＝306，
306－102＝204，
204－102＝102.
∴1 734与816的最大公约数是102．

知能训练
求319，377，116的最大公约数．
解：377=319×1+58，
319=58×5+29，
58=29×2.
∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．
116=29×4.
∴29与116的最大公约数为29.
∴377，319，116的最大公约数为29.
拓展提升
试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．
解：更相减损术程序：
INPUT “m，n=”；m，n
WHILE m<>n
IF m>n THEN
ｍ＝m-n
ELSE
m=n-m
END IF
WEND
PRINT m
END
课堂小结

（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.
思想方法：递归思想.
作业
分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.
分析：本题主要考查辗转相除法和更 相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据
m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；用更相减损术就 是根据m-n=r，反复执行，直到n=r
为止．
解：辗转相除法：
319=261×1+58,
261=58×4+29,
58=29×2.
∴319与261的最大公约数是29．
更相减损术：
319-261=58,
261-58=203,
203-58=145,
145-58=87,
87-58=29,
58-29=29, ∴319与261的最大公约数是29．

第2课时 案例2 秦九韶算法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
大家都喜欢 吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到
苹果里面从里到外一口一口的吃， 由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项
式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的， 今天我们开始学习秦
九韶算法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）求多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特 点.
（2）什么是秦九韶算法？
（3）怎样评价一个算法的好坏？
讨论结果：
（1）怎样求多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值呢？
一个自然的做法就是把5代入多项式f (x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这
时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5 次加法运算.
另一种做法是先计算x
2
的值，然后依次计算x
2< br>·x，（x
2
·x）·x，（（x
2
·x）·x）·x的值，
这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法

运算.
第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算 次数减少了，因而能够提高运算效率，
对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要 长得多，所以采用第
二种做法，计算机能更快地得到结果.
（2）上面问题有没有更有效的算 法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）
在他的著作《数书九章》中提出了下面的 算法：
把一个n次多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
改写成如下 形式：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0

=（a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+…+a
1
）x+ a
0

=（（a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n-3
+…+a
2
）x+a
1
)x+a< br>0

=…
=（…（（a
n
x+a
n-1
） x+a
n-2
）x+…+a
1
）x+a
0
.
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v
1
=a
n
x+a
n-1
，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
，
v
3
=v
2
x+a
n-3
，
…
v
n
=v
n-1
x+a
0
，
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.
（3）计算 机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要
标志仍然是运算的次数.如果 一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，

那么这样的算法就只能是一个理论的算法.
应用示例
例1 已知一个5次多项式 为f（x）=5x
5
+2x
4
+3.5x
3
-2.6x2
+1.7x-0.8，
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：
v
0
=5；
v
1
=5×5+2=27;
v
2
=27×5+3.5=138.5;
v
3
=138.5×5-2.6=689.9;
v
4
=689.9×5+1.7=3 451.2;
v
5
=3 415.2×5-0.8=17 255.2;
所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.
算法分析：观察上述秦九韶算法中的 n个一次式，可见v
k
的计算要用到v
k-1
的值，若令
v
0
=a
n
，我们可以得到下面的公式：
错误!未找到引用源。
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.
算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次的系数a
n
和x的值.
第二步，将v的值初始化为a
n
，将i的值初始化为n-1.
第三步，输入i次项的系数a
i
.
第四步，v=vx+a
i
,i=i-1.

第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
强调：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽 介绍了思想方法、算法步骤、
程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.
变式训练
请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.
解：设f（x）=a< br>5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0

首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：

f（x）=（a
5
x
4
+a
4
x
3
+a
3
x
2
+a
2
x+a
1
）x+a< br>0

=（（a
5
x
3
+a
4
x
2
+ a
3
x+a
2
）x+a
1
）x+a
0

=（（（a
5
x
2
+a
4
x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0

=（（（（a
5
x+a
4
）x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0
.
上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计
算，直 到最外层的括号，然后加上常数项即可.
程序框图如右图：

例2 已知n次多 项式P
n
(x)=a
0
x
n
+a
1
xn-1
+…+a
n-1
x+a
n
，如果在一种算法中，计算错误 !未
找到引用源。（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P
3
(x
0
)的值共需要9
次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P
10
(x
0
)的值共需要__________次运算.下面给出
一种减少运算次数的算法 ：P
0
(x)=a
0
,P
k+1
(x)=xP
k< br>(x)+a
k+1
（k＝0，1，2，…，n－1）．利用
该算法，计算P3
(x
0
)的值共需要6次运算，计算P
10
(x
0< br>)的值共需要___________次运算.
答案：65 20
强调：秦九韶算 法适用一般的多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
xn-1
+…+a
1
x+a
0
的求值问题.直接法乘法
运 算的次数最多可到达错误!未找到引用源。，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘
法运算的次数减少 到最多n次，加法最多n次.
例3 已知多项式函数f(x)=2x
5
－5x4
－4x
3
+3x
2
－6x+7，求当x=5时的函数的值.
解析：把多项式变形为：f(x)=2x
5
－5x
4
－4x
3
+3x
2
－6x+7
=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.
计算的过程可以列表表示为：

最后的系数2 677即为所求的值.
算法过程：
v
0
=2；
v
1
=2×5－5=5；
v
2
=5×5－4=21；
v
3
=21×5+3=108；
v
4
=108×5－6=534；
v
5
=534×5+7=2 677.
强调：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.
知能训练
当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x
5
+8x
4
-3x
3
+5x
2
+12x-6的值．
解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.
v
0
=3;
v
1
=v
0
×2+8=3×2+8=14;
v
2
=v
1
×2-3=14×2-3=25;
v
3
=v
2
×2+5=25×2+5=55;
v
4
=v
3
×2+12=55×2+12=122;
v
5
=v
4
×2-6=122×2-6=238.
∴当x=2时，多项式的值为238.
解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，
则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．

拓展提升
用秦九韶算法求多项式f(x )=7x
7
+6x
6
+5x
5
+4x
4
+ 3x
3
+2x
2
+x当x=3时的值.
解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x
v
0
=7；
v
1
=7×3+6=27；
v
2
=27×3+5=86；
v
3
=86×3+4=262；
v
4
=262×3+3=789；
v
5
=789×3+2=2 369；
v
6
=2 369×3+1=7 108；
v
7
=7 108×3+0=21 324.
∴f(3)=21 324.
课堂小结
1.秦九韶算法的方法和步骤.
2.秦九韶算法的计算机程序框图.
作业
已知函数f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8,求f(9)的值.
解：f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8=(x
2
－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8
∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.

第3课时 案例3 进位制
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
情境导入
在日常生活中 ，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，
爱好天文学的古人也曾经采用七进 制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七
天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们 来学习一下进位制.
提出问题
（1）你都了解哪些进位制？
（2）举出常见的进位制.
（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.
（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.
活动：先让学生思考或讨 论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，
对回答不准确的学生提示引导考虑问题的 思路．
讨论结果：
（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进 一，就是二进
制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.
（2） 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有
关，爱好天文学的古人也 曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一
周七天、一年十二个月、一小时六十分的历 法.
（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，
个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；

接着依次是百位、千位、万位……
例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.
于是，我们得到下面的式子：
3 721=3×10
3
+7×10
2
+2×10
1
+1×10
0
.
与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一 种进位制的基数不同，
所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连
写在一起 的形式
a
n
a
n-1
…a
1
a
0
（k）（0＜a
n
＜k，0≤a
n-1
，…，a
1
，a
0
＜k).
其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如
110 011
（
2
）
=1×2
5
+1×2
4
+0×2< br>3
+0×2
2
+1×2
1
+1×2
0
，
7 342
（
8
）
=7×8
3
+3×8
2
+4×8
1
+2×8
0
.
非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：
a
n
a
n-1
…a
1
a
0(k)
=a
n
×kn
+a
n-1
×k
n-1
+…+a
1
×k+a
0
.
第一步：从左到右依次取出k进制数a
n
a
n-1< br>…a
1
a
0
(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，
k的幂 从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a
n
×k
n
,a
n-1< br>×k
n-1
,…,a
1
×k,a
0
×k
0< br>；
第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.
（4）关于进 位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到
十进制和其他进制之间的转换. 这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计
算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十 进制数据，因此计算机必须先将十进制
数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制 数，同时计算机又把
运算结果由二进制数转换成十进制数输出.
1°十进制数转换成非十进制数

把十 进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制
数转换成k进制数的 算法“除k取余法”.
2°非十进制之间的转换
一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教 科书上提供了一个二进制数据与16进制数据
之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数， 再由十进制数转化成为16
进制数.
应用示例
思路1
例1 把二进制数110 011
(2)
化为十进制数.
解：110 011
(2 )
=1×2
5
+1×2
4
+0×2
3
+0×22
+1×2
1
+1×2
0
=1×32+1×16+1×2+1= 51.
强调：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运
算规则计算出结果.
变式训练
设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.
算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a
i
与k< br>i-1
的
乘积a
i
·k
i-1
，再将其累加，这是一 个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，输入a，k和n的值.
第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.
第三步，b=b+a
i
·k
i-1
，i=i+1.
第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.
第五步，输出b的值.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “a,k，n=”；a，k，n
b=0
i=1
t=a MOD 10
DO
b=b+t*k^（i-1）
a=a10
t=a MOD 10
i=i+1
LOOP UNTIL i＞n
PRINT b
END
例2 把89化为二进制数.
解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用
体计算方法如下：
因为89=2×44+1，44=2×22+0，
22=2×11+0，
11=2×5+1，
5=2×2+1，
2=2×1+0，
1=2×0+1，





2连续去除89或所得商，然后取余数.具

所以
89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1
=2×（2×（2×（2×（2
2
+1）+1）+0）+0）+1
=…=1 ×2
6
+0×2
5
+1×2
4
+1×2
3
+0×2
2
+0×2
1
+1×2
0

=1 011 001
(2)
.
这种算法叫做除2取余法，还可以用右面的除法算式表示：

把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001
(2)
.
上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.
变式训练
设计一个程序，实现“除k取余法”.
算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：
若十制数a除以k所得商是q< br>0
，余数是r
0
，即a=k·q
0
+r
0
， 则r
0
是a的k进制数的右
数第1位数.
若q
0
除以k所得的商是q
1
，余数是r
1
，即q
0
=k·q1
+r
1
，则r
1
是a的k进制数的左数
第2位数.
……
若q
n-1
除以k所得的商是0，余数是r
n
，即q
n-1
=r
n
，则r
n
是a的k进制数的 左数第1
位数.
这样，我们可以得到算法步骤如下：
第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.
第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.
第三步，把得到的余数依次从右到左排列.

第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制
数.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “a，k=”；a，k
b=0
i=0
DO
q=ak
r=a MOD k
b=b+r*10^i
i=i+1
a=q
LOOP UNTIL q=0
PRINT b
END
思路2
例1 将8进制数314 706
(8)
化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.
解：314 706< br>(8)
=3×8
5
+1×8
4
+4×8
3
+ 7×8
2
+0×8
1
+6×8
0
=104 902.
所以，化为十进制数是104 902.
强调：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706
(8)
化为十进
制数.

例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.
解：具体的计算方法如下：
89=3×29+2，
29=3×9+2，
9=3×3+0，
3=3×1+0，
1=3×0+1，
所以:89
(10)
=10 022
(3)
.
强调：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所 得的商，然后按倒
序的顺序取出余数组成数据即可.
知能训练
将十进制数34转化为二进制数．
分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数 ，直到商为0，所
得余数（从下往上读）就是所求．
解：

即34
(10)
=100 010
(2)

拓展提升
把1 234
(5)
分别转化为十进制数和八进制数．
解：1 234(5)
=1×5
3
+2×5
2
+3×5+4＝194．
则1 234
(5)
=302
(8)

所以，1 234
(5)
=194＝302
(8)

强调：本题主要考查进位制 以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转

化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．
课堂小结
（1）理解算法与进位制的关系.
（2）熟练掌握各种进位制之间转化.
作业
习题1.3A组3、4.

第2课时
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1
客观事物是相互联系的, 过去研究的大多数是因果关系,但实际上
更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与 物理
成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反
过来说.事实 上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科
学习能力和努力程度.所以说,函数关系存 在着一种确定性关系,但还
存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们
接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.
思路2
某小卖部为了了解 热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制
作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温℃
杯数
26
20
18
24
13
34
10
38
4
50
-1
64
如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出
热茶的杯数吗？为 解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关
——回归直线及其方程.
提出问题
（1）作散点图的步骤和方法？
（2）正、负相关的概念？
（3）什么是线性相关？

（4）看人体的脂肪百 分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂
肪含量到底是以什么方式增加的呢？
（5）什么叫做回归直线？
（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思
想？
（7）利用计算机如何求回归直线的方程？
（8）利用计算器如何求回归直线的方程？
活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.
讨论结果：（1）建立相应的平面直角 坐标系,将各数据在平面直角坐
标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图< br>形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该
函数来描述变量之间的关 系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的
样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系 .c.如果所有
的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）
（2）如果散点 图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相
关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的 区域内,称为负相
关.
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关
的关系.
（4 ）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈
正相关的趋势,我们可以从散点图上 来进一步分析.
（5）如右图：
从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条

直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我
们就称这两个变量之间具 有线性相关关系,这条直线叫做回归直线
(regression line).如果能够求出这条回归 直线的方程(简称回归方程),
那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个
变量具有线性相关关系的代表.
（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分
布在通过散点图中心的 一条直线.
那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?
有的同学可能 会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测
量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距 离的和最小的位置,
测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?
有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两
侧的点的个数基本相同.同样地,这样 做能保证各点与此直线在整体上
是最接近的吗?
还有的同学会想,在散点图中多取几 组点,确定出几条直线的方程,
再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.
同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?
（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,
使得上面和下面点的个数 相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条
直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平 均值,作为所
求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.
实际上,求回归方程的关键是如 何用数学的方法来刻画“从整体
上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得
出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式
错误!未找到引用源。
其中，b是回归方程的斜率，a是截距.
推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下
得出它的原理.
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据
(x
1
,y
1< br>),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n< br>)，
且所求回归方程是错误!未找到引用源。=bx+a,
其中a、b是待定参数. 当变量x取x
i
(i=1,2,…,n)时可以得到错误!未找
到引用源。=bxi
+a(i=1,2,…,n),
它与实际收集到的y
i
之间的偏差是 y
i
-错误!未找到引用源。
=y
i
-(bx
i
+ a)(i=1,2,…,n).
这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合
适的.由于（y
i
-错误!未找到引用源。）可正可负，为了避免相互抵消，
可以考虑用错误!未找到引用源。来代替，但由于它含有绝对值，运
算不太方便，所以改用

Q=(y
1
-bx
1
- a)
2
+(y
2
-bx
2
-a)
2
+…+ (y
n
-bx
n
-a)
2
②
来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.
这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小 ，即总体偏差最小.经
过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出.
通过求②式的最 小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样
本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做 最小二乘法
（method of least square）.
（7）利用计算机求回归直线的方程.
根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方
便地求出回归方程.
以Excel软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄
的相关关系的线性回归方程,具体步 骤如下：
①在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图
（如下图）, 在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋
势线”对话框.
②单击“类型 ”标签,选定“趋势预测回归分析类型”中的“线性”选项,单
击“确定”按钮,得到回归直线. ③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显
示公式”,最后单击“ 确定”按钮,得到回归直线的回归方程错误!未找到
引用源。=0.577x-0.448.

（8）利用计算器求回归直线的方程.
用计算器求这个回归方程的过程如上：
所以回归方程为错误!未找到引用源。=0.577x-0.448.

正像本节开 头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组
随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规 律，这个规律是由回
归直线来反映的.
直线回归方程的应用:
①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个
变量间依存的数量关系.
②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程
对预报量（即因变量Y）进 行估计,即可得到个体Y值的容许区间.
③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的 范围来
实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间
的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO
2
的浓度.
应用示例
思路1
例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的

影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度
℃
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89
（1）画出散点图；
（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
（3）求回归方程；
（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.
解：（1）散点图如下图所示：

（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角 的区域里，因此，
气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数
越少.
（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，
可用公式①求出回归方程 的系数.
利用计算器容易求得回归方程
错误!未找到引用源。=-2.352x+147.767.
(4)当x=2时，错误!未找到引用源。=143.063.因此，某天的气温为2 ℃
时，这天大约可以卖出143杯热饮.
思考
气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什
么？
这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如
93 76 54
-5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36

下：
1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机
误差，这 种误差可以导致预测结果的偏差.
2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应 于
x的预报值，能够与实际值y很接近.我们不能保证点（x,y）落在回
归直线上，甚至不能 百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，
y=bx+a+e=错误!未找到引用源。+e.
这里e是随机变量，预报值错误!未找到引用源。与实际值y的
接近程度由随机变量e的标准差所决定.
一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热
饮，那么为什么我们还 以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论
呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假 如我们规定
可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，
143和1 44能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）
的概率最大.
例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.
机动车辆数x
／千台
交通事故数y
／千件
(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系 ,如果不
具有线性相关关系,说明理由；
(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.


95 110 112 120 129 135 150 180
6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13