浅析高中数学超几何分布与二项分布

龙源期刊网 http:
浅析高中数学超几何分布与二项分布

作者：马少龙

来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第17期

超几何分布与二项分布模型是人教版选修2—3概率问题的重要模型，教材通过实例， 要
让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点，并能运用两个模型解决一些实际问题。然而在
教学过程中却经常发现学生不能准确辨别是何种概率模型，根源在于学生不能准确地理解概
念，超几何分 布和二项分布虽然有着密切的联系，但也有明显的区别，事实上，在超几何分布
模型上只要稍作改变，超 几何分布就可能变为二项分布。其中超几何分布必须同时满足两个条
件：一是抽取的产品不再放回；二是 产品数目为有限个，当这两个条件中任何一个发生改变，
则不再是超几何分布，下面结合例题对这类问题 作阐述。
一、准确理解概念
超几何分布的概念是：一般 的，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X
件次品，则P（X=k）=，k=0，1，2 ，…，m，其中m=minM，n，且n≤N，M≤N，n，M，
N∈N？鄢，如果随机变量X的分布列 具有上述形式，则称随机变量X服从超几何分布。而二
项分布的概念为：一般的，在n次独立重复试验中 ，设每次试验中事件A发生的概率为p，用
X表示事件A发生的次数，则P（X=k）=Cknpk（1 -p）n-k，k=0，1，2，…，n，如果随机变
量X的分布列具有上述形式，则称随机变量X服从 二项分布。
由以上概念可知，超几何分布与二项分布模型的最主要区别是有放回抽样 还是无放回抽
样，一般来说，有放回抽样与无放回抽样计算的概率是不一样的，学生在解题时要仔细阅读 题
意，不要滥用公式。
二、注意超几何分布和二项分布的区别
例1：（1）袋中有大小相同的8个白球、2个黑球，有放回的从中随机地连续抽取3次，
每次取1个球 。求取到黑球的次数X的分布列；
（2）袋中有大小相同的8个白球、2个黑球，从中随机地取3个球。求取到黑球的个数Y
的分布列。
分析：（1）有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都 是
相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型，取到的黑球次数X可能的取
值 为0，1，2，3。又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则
X～B3 。
例2：某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲 和品种
乙）进行田间试验。现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块种植品