选修2-2第一章1.2.2导数公式表及数学软件的应用-教案

高中数学-选修2-2教案

1.2 导数的运算
1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
【提出问题】
我们证明了幂函数的求导公式。
即< br>(x)'?
?
x
??
?1
(
?
?R)

那么，其它的基本初等函数的导数是怎样的呢？
【获得新知】
（1）设y=f(x)=sinx，
(sinx)'?lim
f(x??x)?f (x)
?x?0
?x
sin(x??x)?sinx
?lim
?x?0
?x
2x??x?x
2cos()sin
22 ?lim
?x?0
?x
?x

sin
2x??x
2
?limcos()
? x?0
?x
2
2
?x
sin
2x??x
2
?limcos()lim
?x?0?x?0
?x
2
2
?cosx
即(sinx)’=cosx
在证明过程中，用到了微积分中的重要极限：
lim
证明中还用到了和差化积公式：
sinx
?1

x?0
x
x?yx?y

sin
22
sinx?siny?2cos

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（2）函数y=cosx的导数
设y=f(x)= cosx
(cosx)'?lim
f(x??x)?f(x)< br>?x?0
?x
cos(x??x)?cosx
?lim
?x?0
?x
2x??x?x
?2sin()sin
22
?lim
?x?0
?x
?x
sin
2x??x
2
?lim?sin()
?x?0
?x
2
2
?lim[?sin(
?x?0

2x??x
)]lim
?x?0< br>2
sin
?x
2
?x
2
??sinx
即(cosx)’=-sinx
在证明过程中，用到了微积分中的重要极限：
lim
证明中还用到了和差化积公式：
sinx
?1

x?0
x
x?yx?y

sin
22
cosx?cosy??2sin
【解决问题】
为了方 便并减少重复的劳动，数学工作者制作出常用函数的求导公式表，供大家使
用。这里仅列出基本初等函数 的求导公式表。
y?f(x)

y?f
?
(x)

y?C

y?x
n
(n?N
?
)

y
?
?0

y
?
?nx
n?1
,n为正整数

y′＝μx
μ
1
，μ为有理数
－
y?x
?
(x?0,
?
?0且
?
?Q)

y＝a
x
(a>0，a≠1，x>0)
y＝log
a
x(a>0，a≠1，x>0)
y＝sin x
y＝cos x
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y′＝a
x
ln a
1
y′＝

xln a
y′＝cosx
y＝－sinx

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现在，有些函数的导数我们要证明它还有困难，只要求会使用它求函数的导数就可以了。
【经典例题】
例1．求函数
y
＝log
5
x的导数。
解：因为
(
log
x
5
)'?
1

xln5
所以函数
y
＝log
5
x的导数为
f
?
(x)?

1
。
xln5
【规律技巧】求函数的导数，一 般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常
见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简 ，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先
要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
例2.

求曲线
y?sinx
在(1,sin1)处的切线方程．
解：因为
(sinx)'?cosx

所以曲线
y?sinx
在(1,sin1)处的切线斜率为cos1
由点斜 式得，曲线
y?sinx
在点(1,sin1)的切线方程为cos1?x-y+sin1-c os1=0

【规律技巧】利用导数公式求切线方程的步骤:
如果所给点在曲线y=f(x)上
第一步：利用导数公式求f′(x
0
)；
第二步：由点斜式写出切线方程y－y
0
＝f′(x
0
)(x－x< br>0
)，并整理成一般式．
如果所给点不在曲线y=f(x)上，则先设切点坐标，利用 斜率相等建立方程得到切点坐标，
再求切线方程。
例3：过（1,0）作曲线y＝e
x
的切线，求切点的坐标及切线的方程．
解：因为（1,0）不在曲线y＝e
x
上
所以设切点坐标为(x
0
，e
x
0
)，
因为y′＝(e
x
)′＝e
x
，
所以曲线y＝e
x
的切线的斜率为e
x
0
，
所以 所求切线方程为y－e
x
0
＝e
x
0
(x－x
0< br>)．
所以切线过（1,0），
所以－e
x
0
＝（1－x< br>0
）·e
x
0
，x
0
＝2.
所以切点为(2，e
2
)，斜率为e
2
.
切线方程为e
2
x-y- e
2
=0
【规律技巧】过曲线 外一点作曲线的切线不一定都有两条。本题中，过曲线y＝e
x
外一点（1,0）
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就只有一条切 线，实际上，x轴是曲线y＝e
x
的渐近线。这一点我们要特别注意，防止误区。
【 总结提炼】这节内容我们用定义的方法求出y=sinx和y=cosx的导数公式，给出常用函数
导数 公式，这些公式要掌握记忆技巧，熟练应用。
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