全国高中数学联赛B卷试题及答案

2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案
一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）

1.等比数列
?
a
n
?
的各项均为正数，且
a
1
a
3
?a
2
a
6
?2a
3
2
?36,
则
a
2
?a
4
的值
为 ．

答案：6．

解：由于
36?a
1
a
3
?a
2
a
6
?2a
3
2
?a
2
2
?a
4
2
?2a
2
a
4
?
?
a
2
?a< br>4
?
,
且
a
2
?a
4
?6.

2
a
2
?a
4
?0,
故
另解：设等比 数列的公比为
q
，则
a
2
?a
6
?a
1< br>q?a
1
q
5
.
又因

36?a
1
a
3
?a
2
a
6
?2a
3
2?a
1
?a
1
q
2
?a
1
q?a1
q
5
?2a
1
q
2
?
?
a
1
q
?
?2?a
1
q?a
1
q
2
33
2
3
2
111
??
?
?
aq
?
?
?
aq?aq
?
?
?
a
2< br>2
?a
4
?
,
2

而
a
2
?a
4
?0
，从而
a
2
?a
4
? 6.

2.设
A?
?
a|?1?a?2
?
，则平面 点集
B?
?
?
x,y
?
|x,y?A,x?y?0
?
的面积
为 ．

答案：7．

解：点集
B
如图中阴影部分所示，其面积为

1
?3?3??2?2?7.

2
S
正方形MNPQ
?S
MRS

3.已知复数
z
满足
z
2
?2z?z?z
（
z表示
z
的共轭复数），则
z
的所有可能
值的积为 ．

答案：3．

解：设
z?a?bi
?
a,b? R
?
.
由
z
2
?2z?z
知，

a
2
?b
2
?2abi?2a?2bi?a?bi,
比较虚、实部得
a
2
?b
2
?a?0,2ab?3b?0.又由
z?z
知
b?0
，从而有

2a?3?0,
即
a??
，进而
b??a
2
?a??
3
2
3
.

2
3
??
33
?
i
??
??i
?
?3.

?
2
??
22
???
??
于是，满足条件的复数
z
的积为
?
?
?
3
?
2
4.已知
f
?
x
?
,g< br>?
x
?
均为定义在
R
上的函数，
f
?
x
?
的图像关于直线
x?1
对称，
g
?
x
?
的图像关于点
?
1,?2
?
中心对称，且
f
?
x
?
?g
?
x
?
?9
x
?x3
?1
，则
f
?
2
?
g
?
2
?
的值
为 ．

答案：2016.

解：由条件知

f
?
0
?
?g
?
0
?
?2,
①

f
?
2< br>?
?g
?
2
?
?81?8?1?90.
②

由
f
?
x
?
,g
?
x
?
图像的对称性，可得
f
?
0
?
?f
?
2
?
,g
?
0
?
?g
?
2
???4,
结合①知，

f
?
2
?
?g
?
2
?
?4?f
?
0
?
?g
?
0
?
?2.
③

由②、③解得
f
?
2
?
?48,g
?
2
?
?42,
从而
f< br>?
2
?
g
?
2
?
?48?42?2016.

另解：因为

f
?
x
?
?g
?
x
?
?9
x
?x
3
?1
， ①

所以

f
?
2
?
?g
?2
?
?90.
②

因为
f
?
x
?
的图像关于直线
x?1
对称，所以

f
?
x
?
?f
?
2?x
?
.
③

又因为
g
?
x
?
的图像关于点
?
1,?2
?
中心对称，所以函数
h
?
x
?
?g
?
x?1
?
?2
是奇
函数，
h
?
?x
???h
?
x
?
，
g
?
?x?1
??2??
?
?
g
?
x?1
?
?2
?< br>?
，从而

g
?
x
?
??g
?2?x
?
?4.
④

将③、④代入①，再移项，得

f
?
2?x
?
?g
?
2?x
?
?9
x
?x
3
?5.
⑤

在⑤式中令
x?0
，得

f
?
2
?
?g
?
2
?
?6.
⑥

由②、⑥解得
f
?
2
?
?48,g
?
2< br>?
?46.
于是
f
?
2
?
g
?2
?
?2016.

5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同 的盒子
A,B,C,D,E
中，恰有两
个球放在同一盒子的概率为 ．

解：样本空间中有
5
3
?125
个元素．而满足恰有两 个球放在同一盒子的
元素个数为

C
3
2
?P
5< br>2
?60.
过所求的概率为
p?
6012
?.
12525
6.在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
1
: x
2
?y
2
?a?0
关于直线
l
对称的圆为
C
2
:x
2
?y
2
?2x?2ay?3?0,
则 直线
l
的方程
为 ．

答案：
2x?4y?5?0.

解：
C
1
,C
2
的标准方程分别为

C< br>1
:x
2
?y
2
?1,C
2
:
?< br>x?1
?
?
?
y?a
?
?a
2
?2 .

22
由于两圆关于直线
l
对称，所以它们的半径相等．因此a?a
2
?2?0,
解得
a?2.
故
C
1,C
2
的圆心分别是
O
1
?
0,0
?
,O
2
?
?1,2
?
.
直线
l
就是线段< br>O
1
O
2
的垂直平分线，
?
它通过
O
1
O
2
的中点
M
?
?
?
2
,1
?
，由此可得直线
l
的方程是
2x?4y?5?0.
??
1
7.已知正四棱锥
V
-
ABCD
的高等于
AB
长度的一半，
M
是侧棱
VB
的中点，
N
是侧 棱
VD
上点，满足
DN?2VN
，则异面直线
AM,BN
所 成角的余弦值

为 ．

uuuruuuruuur
解：如图，以底面
ABCD
的中心
O
为坐标原点，
AB,BC,O V
的方向为
x,y,z
轴的正向，


z
V
N
D
O
A
B

y
M
C
x
建立空间直角坐标系．不妨设
AB?2,
此时高
VO? 1,
从而

A
?
?1,?1,0
?
,B
?
1,?1,0
?
,D
?
?1,1,0
?
,V
?
0,0,1
?
.

???
由条件知
M
?
?
2
,?
2
,
2
?
,N
??
3
,
3
,
3
?
，因此

? ???
111112
uuuur
?
311
?
uuur
?
442
?
AM?
?
,,
?
,BN?
?
?,,
?
.

?
222
??
333
?
设异面直线
AM,BN
所成的角为
?
，则

u uuuruuur
AM?BN
?1
11
cos
?
?
uuuu
?.

ruuur
?
11
11
AM?BN
?2
2

n
??
n
??
n
? ?
n
?
8.设正整数
n
满足
n?2016
，且?
??
?
??
?
??
?
??
?3．这样的
n
的个数
?
2
??
4
??
6
??
12
?
为 ．这里
?
x
??x?
?
x
?
，其中
?
x
?
表示不超 过
x
的最大整数．

解：由于对任意整数
n
，有

?
n
??
n
??
n
??
n
?13511
??
?
??
?
??
?
??
?????3,

?
2
??
4
??
6
??
12
?
24612
等号成立的充分必要条件是
n??1
?< br>mod12
?
，结合
1?n?2016
知，满足条件的
所有正 整数为
n?12k?1
?
k?1,2,L,168
?
,
共有
168
个．

另解：首先注意到，若
m
为正整数，则对任意 整数
x,y
，若
x?y
?
modm
?
，
x
??
y
?
则
?
??
?
??
.这是因为，当
x?y
?
modm
?
时，
x?y?mt< br>，这里
t
是一个整数，故

?
m
??
m?
y
?
y
?
y
??
y
??
x
?
x
?
x
?
y?mt
?
y?mt
?
y
?
?
?
??t?t?
??
??
??< br>?
?
m
?
m
?
?
m
?
?< br>m
?
?
?
m
?
.

mmmmm????????????
因此，当整数
n
1
,n
2
满 足
n
1
?n
2
?
mod12
?
时，

?
n
1
??
n
1
??
n
1< br>??
n
1
??
n
2
??
n
2
??
n
2
??
n
2
?
??
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
.

?
2
??
4??
6
??
12
??
2
??
4
??< br>6
??
12
?
容易验证，当正整数满足
1?n?12
时，只有当
n?11
时，等式
?
n
??
n
??n
??
n
?
??
?
??
?
??
?
??
?3
才成立．而
2016?12?168
，故当
1 ?n?2016
时，满足
?
2
??
4
??
6
??
12
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
??
?
??
?
??
?
? ?
?3
正整数
n
的个数为
168.

?
2
??
4
??
6
??
12
?
二、解答题：（ 共3小题，共56分）

9.（16分）已知
?
a
n
?是各项均为正数的等比数列，且
a
50
,a
51
是方程


100lg
2
x?lg
?
100x
?