2005年全国高中数学联赛试题及参考答案

学数学用数学
二○○五年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准


说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分 两档，填空题只设9分和0分两档；
其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要 再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时 可参考本评分标准
适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确
答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分 ；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不
论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于
x
的不等式
x?3?6?x?k
有解的实数
k
的最大值是（ ）
A．
6?3
B．
3
C．
6?3
D．
6

解：令
y?x?3? 6?x,3?x?6,
则
y
2
?(x?3)?(6?x)?2(x?3)(6 ?x)?2[(x?3)

?(6?x)]?6.
?0?y?6,?实数k
的 最大值为
6
。选D。
2．空间四点A、B、C、D满足
|AB|?3,|B C|?7,|CD|?11,|DA|?9,
则
AC?BD
的
取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
?
2
2
解：注意到
3?11?1130?7?9,
由于
AB?BC?CD?DA?0,
则
DA?DA
=
22 22
(AB?BC?CD)
2
?AB
2
?BC
2
? CD
2
?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB
2
?

BC
2
?CD
2
?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB )?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(AB?
2
BC)?(BC?CD),
即
2AC?BD?AD
2
?BC< br>2
?AB
2
?CD
2
?0,?AC?BD
只有一个值 得0，故选
A。
3．
?ABC
内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线 延长后分别交此圆
于
A
1
、
B
1
、
C1
。则
AA
1
?cos
ABC
?BB
1
?cos?CC
1
?cos
222
的值为（ ）
sinA?sinB?sinC
AA?B?CBC
)?2sin(??)

2222
A．2 B．4 C．6 D．8
解：如图，连
BA
1
，则
AA
1
?2si n(B?

学数学用数学
?2cos(
BC
?).

22
?AA
1
cos
ABCAA?B?CA?C?B
??< br>?2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)?cos(?B)
22222222
BCA
?sinC?sinB,同理BB
1
cos?sinA?sinC,C C
1
cos?sinA?sinB,?AA
1
cos?BB
1
?
222
BC2(sinA?sinB?sinC)
cos?CC
1
cos?2(sinA?sinB?sinC),?原式??2.选A.
22sinA?sinB?s inC
4．如图，
ABCD?A
?
B
?
C
?D
?
为正方体。任作平面
?
与对角线
AC
?
垂
直，使得
?
与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积
为 S，周长为
l
.则（ ）
A．S为定值，
l
不为定值 B．S不为定值，
l
为定值
C．S与
l
均为定值 D．S与
l
均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥
A?A
?< br>BD与
C
?
?D
?
B
?
C
后，得到 一个以
平行平面
A
?
BD与D
?
B
?
C< br>为上、下底面的几何体V，V的每
个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱
A
?
B
?
剪开，< br>展平在一张平面上，得到一个
A
?
B
?
B
1
A
1
，而多边形W的周界展开后便成为一条与
A
?
A
1< br>平行的线段（如图中
E
?
E
1
），显然
E
?
E
1
?A
?
A
1
，故
l
为定值。
当
E
?
位于
A
?
B
?
中点时， 多边形W为正六边形，而当
E
?
移至
A
?
处时，W为正三角 形，易知周
长为定值
l
的正六边形与正三角形面积分别为
3
2
3
2
l
与
l
，故S不为定值。选B。
2436
5.方程
x
2
sin2?sin3
?
y
2
cos2 ?cos3
?1
表示的曲线是（ ）
A．焦点在
x
轴上的椭圆 B．焦点在
x
轴上的双曲线
C．焦点在
y
轴上的椭圆 D．焦点在
y
轴上的双曲线
解：
?2?3?
?
,?0?< br>?
2
?2?3?
?
2
?
?
,?cos(?2 )?cos(3?),
即
222
??
sin2?sin3.

又
0?
线是椭圆。
2?
??
22
,?3?
?
,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,
方程表示的曲
? (sin2?sin3)?(cos2?cos3)?22sin
2?32?3
?
si n(?)??(?)
224

学数学用数学
2?32?3
?< br>?0,?sin?0,?
2222
2?3
?
?sin(?)?0,?( ?)式?0.
24
??
?
2?33
?
3
?
?,??
244
2?3
?
??
?
.
24

即
sin2?sin3?cos2?cos3.?
曲线表示焦点在
y
轴上的椭圆，选C。
6.记集合
T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{
a< br>1
a
2
a
3
a
4
?
2
?< br>3
?
4
|a
i
?T,i?1,2,3,4},
将M中 的元素按从
7
777
大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
55635562
?
2
?
3
?
4
B．
?
2
?
3
?
4

7
7
7
77777
11041103
C．
?
2
?
3< br>?
4
D．
?
2
?
3
?
4

7
7
7
77777
A．
解：用
[a
1
a
2
?
a
k
]
p
表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以
7< br>，得
4
M
?
?{a
1
?7
3
?a
2
?7
2
?a
3
?7?a
4
|a
i
?T,i?1,2,3,4}?{[a
1
a
2
a
3
a
4
]
7
|a
i
?T,i?1,2,3,4}.

M
?
中的最大数为
[6666]
7
?[2400]
10
。
在十 进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而
[39 6]
10
?

[1104]
7
将此数除以
7
4
，便得M中的数
1104
?
2
?
3
?
4
.
故选C。
7
777
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于
x
的多项式f(x)?1?x?x?x???x
21920
2319
?x
20
表为关于
y
的多项式
g(y)?

a
0
?a1
y?a
2
y???a
19
y?a
20
y,< br>其中
y?x?4.
则
a
0
?a
1
???a< br>20
5
21
?1
?
.
6
解：由题设知，< br>f(x)
和式中的各项构成首项为1，公比为
?x
的等比数列，由等比数列的求 和
(y?4)
21
?1
(?x)
21
?1x
21< br>?1
,
取
y?1,

?.
令
x?y?4,< br>得
g(y)?
公式，得：
f(x)?
y?5
?x?1x?1< br>有
a
0
?a
1
?a
2
???a
20
5
21
?1
?g(1)?.

6
22
8. 已知
f(x)
是定义在
(0,??)
上的减函数，若
f(2a?a? 1)?f(3a?4a?1)
成立，则
a
的
取值范围是
0?a?1
或1?a?5.

3

学数学用数学
解：?f(x)
在
(0,??)
上定义，又
2a?a?1?2(a?)??
(a?1),
仅当
a?1
或
a?
2
1
4
2
7
?0;3a
2
?4a?1?(3a?1)

8
1
2
时，
3a?4a?1?0.(?)

3?2a
2
?a?1?3a
2
?4a?1,?a
2
?5a ?0,?0?a?5,
结合
?f(x)
在
(0,??)
上是减函数，
（＊）知
0?a?
1
或
1?a?5.

3
9.设
?
、
?
、
?
满足
0?
?
?
?
?
?
?2
?
，若对于任意
x?R,cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?

cos(x?
?)?0,
则
?
?
?
?
4
?
.

3
解：设
f(x)?cos(x?
?
)?cos(x?
?< br>)?cos(x?
?
),
由
x?R
，
f(x)?0< br>知，
f(?
?
)?0,f(?
?
)?0,f(?
?
)?0,
即
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)??1,cos(
?
?
?
)?

cos(
?
?
?
)??1,cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)??1.?cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?
12
?
4
?
?.?0?
?
?
?
?
?
?2
?
,?
?
?
?,
?
?
?
,
?
?
?
?{,},
又
?
?
?
?
?
?
?
,
?
?
?
?

233
2
?
4
?
?< br>?
?
.
只有
?
?
?
?
?
?
?
?.?
?
?
?
?.

33
2
?
2
?
4
?
另一方面，当
?
?
?
?
?
?
?
?,
有
?
?
?
?,
?
?
?
?,?x?R,
记
x?
?
?< br>?
，由于
333
2
?
2
?
4
?4
?
三点
(cos
?
,sin
?
),(cos (
?
?),sin(
?
?)),(cos(
?
?),sin (
?
?))
构成单位圆
3333
x
2
?y
2
?1
上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有
cos
?
? cos(
?
?
2
?
4
?
)?cos(
?< br>?)?0.

33
即
cos(x?
?
)?cos(x ?
?
)?cos(x?
?
)?0.

10.如图，四面体D ABC的体积为
1
，且满足
6
?ACB?45?,AD?BC?
解：
?
AC
2
?3,
则
CD?
3
.
111
AD?(?BC?AC?sin45?)?V
DABC
?,

326
AC
2
?1.
又
3?AD?BC?
即
AD?BC?
AC
2
?
3
AD?BC?
AC
2< br>?3,

学数学用数学
等号当且仅当
AD?BC?< br>AC
2
?1
时成立，这时
AB?1,AD?
面ABC，
?DC?3
.
2
11.若正方形ABCD的一条边在直线
y?2x?17
上，另外两个顶点在抛物线
y?x
上.则该正方
形面积的最小值为 80 .
解：设正方形的边AB在直线
y?2x?17
上，而位于抛物线上的两个顶点坐标 为
C(x
1
,y
1
)
、
D(x
2
,y
2
)
，则CD所在直线
l
的方程
y?2x?b,
将直线
l
的方程与抛物线方程联立，得
x
2
?2x?b?x
1,2
?1?b?1.

令正方形边长为
a,
则
a?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?5(x< br>1
?x
2
)?20(b?1).
①
在
y?2x?1 7
上任取一点（6，,5），它到直线
y?2x?b
的距离为
a,?a?2222
|17?b|
5
②.
①、②联立解得
b
1< br>?3,b
2
?63.?a?80,
或
a?1280.?a
mi n
?80.

12.如果自然数
a
的各位数字之和等于7，那么称< br>a
为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排
成一列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
?
,
若
a
n
?2005,
则
a
5n
?
5200.
解：∵方程
x
1
?x
2
???x
k
?m
的 非负整数解的个数为
C
m?k?1
.而使
x
1
?1,xi
?0(i?2)
的整
数解个数为
C
m?k?2
.现取
m?7
，可知，
k
位“吉祥数”的个数为
P(k)?C
k? 5
.

66
∵2005是形如
2abc
的数中最小的一个“ 吉祥数”，且
P(1)?C
6
?1,P(2)?C
7
?7,

m?16
m
222
P(3)?C
8
6
?28,对于四位“吉祥数”
1abc
，其个数为满足
a?b?c?6
的非负整数 解个数，即
6
C
6?3?1
?28
个。
∵2005是第1 +7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即
a
65
?2005.
从而n?65,5n?325.

又
P(4)?C?84,P(5)?C
6< br>9
6
10
?210,
而
?
P(k)?330.

k?1
5
∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000, 60100,60010,60001,52000.∴第
325个“吉祥数”是52000，即
a
5n
?52000.

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列
{a
n
}
满足：
a
0
?1,a
n?1
?
2
7a
n
?45a
n
?362
,n?N.

学数学用数学
证明：（1）对任意n?N,a
n
为正整数；(2)对任意
n?N,a
n
a
n?1
?1
为完全平方数。
证明：（1）由题设得
a
1
? 5,
且
{a
n
}
严格单调递增.将条件式变形得
2a
n?1
?7a
n
?
22
两边平方整理得
a
n?1
?7a
n
a
n?1
?a
n
?9?0
①
22
?a
n
?7a
n?1
a
n
?a
n?1
?9?0
②
2
45a
n
?36,
①- ②得
(a
n?1
?a
n?1
)(a
n?1
?an?1
?7a
n
)?0,a
n?1
?a
n
,? a
n?1
?a
n?1
?7a
n
?0?

a
n?1
?7a
n
?a
b?1
.
③ < br>由③式及
a
0
?1,a
1
?5
可知，对任意
n?N,a
n
为正整数.…………………………10分
（2）将①两边配方，得(a
n?1
?a
n
)?9(a
n
a
n?1?1),?a
n
a
n?1
?1?(
由③
a
n? 1
?a
n
?9a
n
?(a
n?1
?a
n< br>)
≡
?(a
n
?a
n?1
)
?
mo d3
?

∴
a
n?1
?a
n
≡
(?1)
④式成立.
n
2
a
n?1
a
n
2
).
④ < br>3
?
a
1
?a
0
?
≡0（mod3）∴a
n?1
?a
n
为正整数
3
?a
n
a
n?1
?1
是完全平方数.………………………………………………………………2 0分
14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一 个
小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：
如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
解：九个编 号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上
的一个圆形排列，故 共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有
8!
种. …5分
2
下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，
设< br>x
1
,x
2
,
?
,x
k
是依次排列 于这段弧上的小球号码，则
|1?x
1
|?|x
1
?x
2
|???||x
k
?9|?|(1?x
1
)?(x
1
?x
2
)???(x
k
?9)|?|1?9|?8.
上式取
等号当且仅当
1?x
1
?x
2
???x
k
?9< br>，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.
因此
S
最小
?2 ?8?16
.…………………………………………………………………10分
由上知，当每个 弧段上的球号
{1,x
1
,x
2
,?x
k
,9}< br>确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.
在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球 号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的
01236
一个子集共有
C7
?C
7
?C
7
?C
7
?2
种情况， 每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，

学数学用数学
2
6
1
?.
……………20分 即有利事件总数是
2
种，故所求概率
P?
8!
315
2
6
15.过抛物线y?x
上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交
x
轴于D，交
y< br>轴于B.点C在
抛物线上，点E在线段AC上，满足
2
AEBF
??
1
;点F在线段BC上，满足
?
?
2
，且
?
1
?
?
2
?1
，
ECFC
线段CD与EF 交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
解一：过抛物线上点A的切线斜率为：y
?
?2x|
x?1
?2,?
切线AB的方程为
y?2 x?1.?B、D
的坐标为
B(0,?1),D(,0),?D
是线段AB的中点. ………………5分
设
P(x,y)
、
C(x
0
,x
0
)
、
E(x
1
,y
1
)
、
F (x
2
,y
2
)
，则由
2
1
2
A E
?
?
1
知，
EC
22
1?
?
1
x
0
1?
?
1
x
0
?
2
x
0
?1?
?
2
x
0
BE
?
?
2
,
得
x
2
?x
1
?,y
1?;,y
2
?.

1?
?
1
1?
?< br>1
FC
1?
?
2
1?
?
2
2
1?
?
1
x
0
1?
?
1
x
0< br>y?x?
1?
?
1
1?
?
1
∴EF所在直线 方程为：
?,

22
?1?
?
2
x
01?
?
1
x
0
?
2
x
0
1?
?
1
x
0
??
1?
?
2
1??
1
1?
?
2
1?
?
1
22
化简得
[(
?
2
?
?
1
)x
0
? (1?
?
2
)]y?[(
?
2
?
?
1)x
0
?3]x?1?x
0
?
?
2
x
0
.
…
①…………10分
22
2x
0
x?x0
1
当
x
0
?
时，直线CD的方程为：
y?< br>…②
2
2x
0
?1
x
0
?1
?< br>x?
?
1
?
3
x
联立①、②解得
?
，消去，得P点轨迹方程为：
y?(3x?1)
2
.
………15分
0
2
3
?
y?
x
0
?
3
?
当
x
0
?
1311311
时，EF方程为：
?y?(?
2
?
?
1
?3)x??
?
2
,CD
方程为：
x?
，联立解
2244242
1
??
x? ,
?
2
??
2
?
得
??
也在P点轨迹上. 因C与A不能重合，∴
x
0
?1,?x?.

3
?
y?
1
.
?
?
12
?
??
∴所求轨迹方程 为
y?
12
(3x?1)
2
(x?).
……………………… ………………………20分
33

学数学用数学
解二：由解一知，A B的方程为
y?2x?1,B(0,?1),D(,0),
故D是AB的中点. ……5分 < br>令
?
?
1
2
CDCACB
,t
1
? ?1?
?
1
,t
2
??1?
?
2
,
则
t
1
?t
2
?3.
因为CD为
?ABC
的中线，
CPCECF
?S
?CAB
?2S
?CAD
? 2S
?CBD
.

而
SS
t?t
1CE?CFS
?CEF
11133
???
?CEP
?
?CFP?(?)?
12
?,?
?
?,
?P
t
1
t
2
CA?CBS
?CAB
2S
?CAD
2S
? CBD
2t
1
?
t
2
?
2t
1
t
2
?
2t
1
t
2
?
2
是
?ABC
的重心. ………………………………………………………………………10分
设< br>P(x,y),C(x
0
,x
0
),
因点C异于A，则
x
0
?1,
故重心P的坐标为
22
0?1?x
0
1?x
0
?1?1?x
0
x
0
2
1
x? ?,(x?),y??,
消去
x
0
,
得
y?(3x?1)< br>2
.

33333
3
2
故所求轨迹方程为
y?

12(3x?1)
2
(x?).
………………………………………………20分
33
2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案

一、（本题满分50分）
如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的 切线l，又以A为圆心，AC为半
径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。







（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为
旁心。）
证明：（1）先证DE过△ABC的内心。
如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，
得，AG⊥DC，ID=IC.
又D、C、E在⊙A上，




∴∠IAC=
1
∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E四点共圆，
2
1
∠ABC.
2

∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD，
∴∠ICD=
∴∠A IC=∠IGC+∠ICG=90°+
11
∠ABC，∴∠ACI=∠ACB，∴I为△ABC 的内心。
22

学数学用数学
（2）再证DF过△ABC的一个旁心.
连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I
1
，连II
1
、B I
1
、B I，由（1）知，I为内心，
∴∠IBI
1
=90° =∠EDI
1
，∴D、B、l
1
、I四点共圆，
∵∠BI l
1
=∠BDI
1
=90°－∠ADI
1

= （
11
∠BAC+∠ADG）－∠ADI=∠BAC+∠IDG，∴A、I、I
1共线.
22
I
1
是△ABC的BC边外的旁心
二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足
cy?bz?a,az?cx?b;bx?ay?c.


x
2
y
2
z
2
??
求函数f(x,y,z)?
的最小值.
1?x1?y1?z
解：由条件得，
b (az?cx?b)?c(bx?ay?c)?a(cy?bz?a)?0
，
即
2bcx?a?b?c?0
，
222

a
2
? c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2< br>b
2
?c
2
?a
2
?x?
,z?.
，同理，得
y?
2ac2ab
2bc

?
a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，



b
2?c
2
?a
2
,a
2
?c
2
?b2
,a
2
?b
2
?c
2
，
故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，

?x?cosA,y?cosB,z?cosC
，问题转化为：在锐角△ABC中，

cos
2
Acos
2
Bcos
2
C
??< br>求函数
f(cosA
、
cosB
、
cosC
）=的最 小值.
1?cosA1?cosB1?cosC
令
u?cotA,v?cotB,w ?cotC,
则
u,v,w?R,uv?vw?wu?1,

且
u? 1?(u?v)(u?w),v?1?(u?v)(v?w),w?1?(u?w)(v?w).

222
?



cos
2
A
??
1?cosA
1?
u
2
u
2
?1
u
u
2
?1
?
u
2
u?1(u?1?u)
22?
u
2
(u
2
?1?u)
u?1
2

u
3
11
?u?u??u?(?),

2
2u?v u?w
(u?v)(u?w)
u?1
222
u
3
u
3

cos
2
Bv
3
11cos
2
Cw< br>3
11
22
?v?(?),?w?(?).
同理，
1?cosB2u?vu?w1?cosC2u?wv?w

学数学用数学

1u
3
?v
3
v
3
?w
3u
3
?w
3
1
?f?u?v?w?(??)?u
2?v
2
?w
2
?[(u
2
?uv?v
2
)

2u?vv?wu?w2
222
+
(v?vw?w)?(u? uw?w)]?
11
(uv?vw?uw)?.
（取等号当且仅当
u?v?w
，此时，
22
11
a?b?c,x?y?z?),[f(x,y,z)]min
?.

22
2222
三、（本题满分50分）

当n为平方数,
?
0
?
对每个正整数n，定义函数
f(n) ?
?
1

[]当n不为平方数.
?
{n}
?
（其中[x]表示不超过x的最大整数，
{x}?x?[x]).
试求：
*

?
f(k)
的值.
k?1
2402
解：对任意
a,k?N
，若
k?a?(k?1)
，则
1?a?k?2k
，设
a?k?
?
,0?
?
?1,

22
则
1
{a}
?
?
1
?
1< br>a?k
2
?
a?k2k?
?
2k12k
???1,? []?[].

2222
a?ka?ka?ka?k
{a}
2

2k
12k
让a跑遍区间
(k,(k?1)
）中的所有整数，则
?
[] ?
?
[],

i
i?1
k
2
?a?(k? 1)
2
{a}
(n?1)
2
于是
?
a?1
f(a)?
??
[
i?1i?1
n2k
2k
……①
]
i
下面计算
?
[
i?1
2k
2k],
画一张2k×2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的
i< br>2k
2k
2k
“*”号共
[]
个，全表的“*”号共
?
[]
个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j
i
i
i ?1
有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共
2k< br>2k
T(j)
个，因此
?
[]
=
?
T(j)
.
?
i
j?1j?1
i?1
2k
2k
示例如下：
j
i
1
2
3
4
5
6
1
*





2
*
*




3
*

*



4
*
*

*


5
*





6
*
*
*


*

学数学用数学
则
?
f(a)?
??
T( j)?n[T(1)?T(2)]?(n?1)[T(3)?T(4)]?
?
?[T(2n?1 )?T(2n)]

i?1i?1j?1
nn2k
……②
由此，
?
f(k)?
?
(16?k)[T(2k?1)?T(k)]
……③
k?1k?1
25615

k
记
a
k
? T(2k?1)?T(2k),k?1,2,?,15,
易得
a
k
的取值情况 如下：
1
3
2
5
16
n
3
6
4
6
5
7
6
8
7
6
8
9
9
8
10
8
11
8
12
10
13
7
14
10
15
10
a
k

因此，
?
f(k)?
?< br>(16?k)a
k?1k?1
2
15
k
?783
…… ④



据定义
f(256)?f(16)?0
， 又当
k?{241,242,?,255},设k?15?r
2
(16?r?30 )
，
k?15?15
2
?r?15?
rrr
??
，
2 2
15?r?15
31
15?r?15
30
?
r

1?
1
30131
]?1,k?{241,242,?,255}
… …⑤
???2
，则
[
2
r
{15?r}
r
{k}


从则
?
f(k)?783?
?
f(k )?783?15?768.

i?1i?1
240256
2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨


本文对2005年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。
题目：设正数a、b、c、x、y、z满足
cy?bz?a
；
az?cx?b; bx?ay?c
，求函数x
2
y
2
z
2
f(x,y,z)???
的最小 值。
1?x1?y1?z
一．几种迷茫思路的分析
这道题目初看起来比较平易，给 人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的惊喜，
殊不知，这是一个极大的误区，本题的 难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。
思路一：

学数学用数学
x
2
y
2
z
2
???
由Cauchy不 等式知
f(x,y,z)?
1?x1?y1?z
(x?y?z)
2
u
2
9
??(记u?x?y?z)?u?3??6

3?x?y?z3 ?uu?3
到此，在u＞0的情况下，力图使用函数
f(x)?x?
1
的性质 无法得到最小值。
x
思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三 个条件等式容易求出
x、y、z用a、b、c表达的式子：
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
-b
2
a
2
?b
2
-c
2
x?; y?; z?

2bc2ca2ab
因为a、b、c；x、y、z都是正数，所以，

a?b?c?0; b?c-a?0; c?a-b?0

即以a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC，令
x?cosA,y?cosB,z?cosC,
从而， 结
合Cauchy不等式有
222222222
cos
2
Acos
2
Bcos
2
C(cosA?cosB?cosC)
2
f( x,y,z)????

1?cosA1?cosB1?cosC3?cosA?cosB?cosC
令
u?cosA?cosB?coCs
,则
cos
2
Acos
2
Bcos
2
Cu
2
9
f(x,y,z)?????u? 3??6

1?cosA1?cosB1?cosC3?uu?3
因为
u?cosA?cosB?cosC?1?4sin
ABC
sinsin?1

222
33
u?cosA?cosB?cosC?
，∴
4?u?3?3?

22
?
9
?
到此，似乎胜利的 曙光就在眼前，立刻想到在区间
?
4,
?
内使用函数
f(x)?x?
的性质，但
x
?
2
?
也无法得到最小值，而此时的最大值正 好与题目的最小值
1
1
（由于函数
2
cos
2
Ac os
2
Bcos
2
C
1
0
f(x,y,z)???
的对称性，可以猜测其最小值在A=B=C=60时达到）
1?cosA1?cosB1?co sC
2
吻合，实际上，这是一条无用的信息（表明使用Cauchy不等式过当！），它是答题 人再次陷入不能自
拔的困境。
俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式 不能直接使用Cauchy不等式，
需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。
二．赛题的解答
为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。

学数学用数学
引理：在△ABC 中，求证：
tan
2< br>ABCABC
?tan
2
?tan
2
?2?8sinsins in
①
222222

等号成立的条件是△ABC为等边三角形。
证明：用向量方法证明如下
?
?
??
??
?
?
?
设
i,j,k
是平面上 的单位向量，且
j与k
成角为π-A,
k与i
成角为π-B,
i与 j
成角为π-C,
?
A
?
B
?
C< br>2
那么，
(itan?jtan?ktan)?0
,所以
222
ABC
?tan
2
?tan
2
222
ABBCCA
?2tantancosC?2tantancosA?2tantancosB
222222

ABCBCA
?2tantan(1?2sin
2
)?2tant an(1?2sin
2
)?
222222
CAB
?2tantan( 1?2sin
2
)
222
tan
2
ABBCCA
? ?
?2
?
tantan?tantan?tantan
?
?
222222
??
ABC
sinsinsin
ABC
222
?4sinsinsin(??)
BCCAAB
222
coscoscoscosco scos

222222

ABCsinA?sinB?sinC
?2?4sinsinsin?
ABC
222
2?coscoscos
222
ABC
?2?8sinsinsin.
222
注意到，在△ABC 中有熟知 的等式：
tan
ABBCCA
tan?tantan?tantan?1
.
222222
从而①得证。
有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。
解：同思路二得到，以a、b、c为对应边可以构成一个锐角△ABC，
令
x?cosA,y?cosB,z?cosC,
从而

学数学用数学
cos
2
Acos
2
Bco s
2
C1?sin
2
A1?sin
2
B1?sin
2
C
f(x,y,z)??????
ABC
1?cosA1?cosB1?c osC
2cos
2
2cos
2
2cos
2
222< br>AABBCC
1?4sin
2
cos
2
1?4sin
2
cos
2
1?4sin
2
cos
2
22
?
22
?
22

?
ABC
2cos
22cos
2
2cos
2
222
AAAABBBB
sin
2
?cos
2
?4sin
2
cos
2
si n
2
?cos
2
?4sin
2
cos
2
2 222
?
2222
?
AB
2cos
2
2cos2
22
sin
2
?
CCCC
?cos
2
?4sin
2
cos
2
2222
C
2cos
2< br>2
BCABC
?tan
2
)?2(sin
2
?sin
2
?sin
2
)
22222
BCABC
?tan< br>2
)?2(1?2sinsinsin)
22222

BCABC
sin)?2(1?2sinsinsin)
22222

31A
?(tan
2
?tan
2
222
31A
? ?(tan
2
?tan
2
222
31A
??(2?8sin sin
222
1
?
2
?
等号成立的条件显然是A=B=C= 60
0
时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。
x
2
y2
z
2
1
??
所以，
f(x,y,z)?
的最 小值为.
1?x1?y1?z
2
显然，在
?A??B??C?60
时，等号成立，所以
f(x,y,z)
的最小值为
三．背景探索
早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题：
0
1
. 2
cos
2
Acos
2
Bcos
2
C1
???
在△ABC中，是否有： ②
sin
2
B?sin
2Csin
2
C?sin
2
Asin
2
A?sin
2
B
2
后来，湖南师大附中黄军华（现为深圳中学教师）先生在文[1]曾证明了这 一猜想。
请看证明：分两种情况
（1）当△ABC为钝角三角形时，此时不妨设A＞90， 于是
a?b?c
，
0
222
所以
sinA?sinB?sinC?2?cosB?cosC
,∴
cosB?cosC?1?cosA

22222222
sinA
＞
sinC
，所以， 再据
sinA
＞
sinB ,

学数学用数学
cos
2
Acos
2
Bcos
2
C
??< br>sin
2
B?sin
2
Csin
2
C?sin
2
Asin
2
A?sin
2
B
cos
2
Acos
2
C
??
sin
2
B?sin
2
Csin
2
A?sin
2
B
cos
2
Acos2
C
??
sin
2
A?sin
2
Csin2
A?sin
2
B
cos
2
B?cos
2C1
??
2
2sinA2

即此种情况②得证。
（2）当△ABC为非钝角三角形时，

sin
2
B?sin2
C?1?cos(B?C)cos(B?C)
A

?1?cosAcos(B?C)?1?cosA?2cos
2
2
所以， < br>cos
2
Acos
2
A1?sin
2
A
?? ?
22
AA
sinB?sinC
2cos
2
2cos
2

22
11AA
??tan
2
?2sin
2
2222
cos
2
AAAA
?sin
2
?4sin
2
cos
2
2222
A
2cos
2

2
222
cosAcosBcosC
??
从而
222 222
sinB?sinCsinC?sinAsinA?sinB
cos
2
Acos
2
Bcos
2
C
??? ③
2
A
2
B
2
C
2cos2cos2cos

222
31ABCABC
??(tan
2
?tan
2< br>?tan
2
)?2(sin
2
?sin
2
?sin< br>2
)
22222222

?
31ABCABC1
?( 2?8sinsinsin)?2(1?2sinsinsin)?

222222222
即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。
对比③ 之后的叙述与今年的这道竞赛加试第2题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在
②的第2种情况的 基础上增加了一个解方程组的程序（并由此判断△ABC为锐角三角形）罢了，即
今年的这道加试题可以 看作是由解方程组（初中知识的要求），判断三角形种类、与求最值（高中知
识的要求）三个问题的简单 合成（串联）。
顺便指出，①的证明曾经是上世纪1990年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结论。
四．条件等式的几何解释
对比条件等式
cy?bz?a
；
az?cx?b; bx?ay?c
（注意a、b、c、x、y、z为正数）
与△ABC中的斜射影定理
ccosB?bcosC?a

学数学用数学
acosC?ccosA?b

bcosA?acosB?c

b
2
?c2
?a
2
c
2
?a
2
-b
2
, y?cosB ? ,
以及余弦定理，可知，应有
x?co sA?
2bc2ca
a
2
?b
2
-c
2
z?cosC? ,
从而，求解本题中的解方程组的环节就可以看作是余弦定理的默认结
2ab
果。另外，有了上边的余弦定理结构，解答中的构造三角形法已经水到渠成了。
[1]

黄军华
[2] 黄汉生
P2


参考文献
两个猜想的证明 《湖南数学通讯》2（1996）P34。
简证 < br>tan
2
ABCA
2
?tan
2
2
?tan
2
2
?2?8sin
BC
2
sin
2
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2
6（1991）

《数学通讯》