关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

最新全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)合集

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 11:52
tags:全国高中数学竞赛

高中数学必修的答案-苗金利高中数学必修一教学视频

2020年9月21日发(作者:刁筠寿)


2012各省数学竞赛汇集
一、填空题(70分)
1、当
x?[?3,3]
时,函数
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
f(x)?|x
3
?3x|
的最大值为__18___.
?12,AC?BA??4,

AC?
___4____. 2、在
?ABC
中,已知
AC?BC
3、从集合
?
3,4,5,6,7,8
?
中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3
_______.
10
2
4、已知
a
是实数,方程x
,则
?(4?i)x?4?ai?0
的一个实根是
b

i
是虚部单位)
|a?bi|
的值为_____
22
___. < br>x
2
y
2
5、在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线< br>C:
??1
的右焦点为
F
,一条过原点
O

124
倾斜角为锐角的直线
l
与双曲线
C
交于
A,B
两点.若
?FAB
的面积为
83
,则直线的斜
1
率为__ _____.
2
6、已知
a
是正实数,
k?a
lga的取值范围是___
[1,??)
_____.
AC?AD?DB?5
,
BC?3
,
CD?4
该四面体的7、在四面体
ABCD
中 ,
AB?
体积为_____
5
8、已知
3
_______.
等差数列
?
a
n
?
和等比数列
?
b
n
?
满足:
a
1
?b
1
?3,a
2?b
2
?7,a
3
?b
3
?15,a
4
?b
4
?35,

a
n
?b
n
?
___
3
n?1
?2n
___.

n?N
) < br>*
71,75

7
个数排成一列,使任意连续
4
个数 的和为
3
的倍数,9、将
27,37,47,48,55,
则这样的排列有_ __144_____种.
10、三角形的周长为
31
,三边
a,b,c< br>均为整数,且
a?b?c
,则满足条件的三元数组
(a,b,c)
的个 数为__24___.


二、解答题(本题80分,每题20分)
11、在< br>?ABC
中,角
A,B,C
对应的边分别为
a,b,c
,证明 :
(1)
bcosC?ccosB?a

(2)
cosA?cos B
?
a?b
2sin
2
c
C
2


12、已知
a,b
为实数,
a?2
,函数
a
f(x )?|lnx?|?b(x?0)
x
.若
f(1)?e?1,f(2)?
(1 )求实数
a,b

(2)求函数
e
?ln2?1
.
2
f(x)
的单调区间;
(3)若实数
c,d
满足
c?d,cd?1
,求证:
f(c)?f(d)






13、如图,半径为
1
的 圆
O
上有一定点
M
为圆
O
上的动点.在射线
OM< br>

上有一动点
B
,
AB?1,OB?1
.线段AB
交圆
O
于另一点
C

D
为线段的
OB
中点.求线段
CD
长的取值范围.




14、设是
a,b,c,d
正整数,
a ,b
是方程
x
长是整数且面积为
ab
的直角三角形.


2
?(d?c)x?cd?0
的两个根.证明:存在边



2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评 阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,
只要思路合理、步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)


1.已知集合
A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?
N,且
A ?B?
N
?{1}
,则
a?b?
1 .
2.已 知正项等比数列
{a
n
}
的公比
q?1
,且
a2
,a
4
,a
5
成等差数列,则
a
1
?a
4
?a
7
?
a
3
?a
6
?a
9
3?5

2
x?1
的值域为
[0,
x
2
?4x?7
3.函数
f(x)?
6
]

6
1

3
cs2(
?
?
?
)?
?
4.已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1
,则
o
3(sin
?
?cos
?
)< br>2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
5.已知数列
{a
n
}
满足:
a
1
为正整数,
a
n?1
?
a
n
?
,a
n< br>为偶数,
?
?
2

?
?
3a
n?1,a
n
为奇数,
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
,则
a
1
?
5 . 6.在△
ABC
中,角
A,B,C
的对边长
a,b,c
满足
a?c?2b
,且
C?2A
,则
sinA?
7

4


7.在△
ABC
中,
AB?BC?2

AC?3
.设
O
是△
ABC
的内心,若
AO?p AB?qAC


3
p
的值为.
q
2
5 5
8.设
x
1
,x
2
,x
3
是方程
x
3
?x?1?0
的三个根,则
x
1
5
?x2
的值为 -5 .
?x
3
二、解答题(本大题满分5 6分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
9.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a< br>n?2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1

a
1
?1

2a
2
?8
,求
{a
n
}
的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n?1
,得
1 ?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3

a
n?1
a
n
所以
1?
a
n?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)

a
n?1
a
n
--------------------------- ---------------4分

b
n
?1?
数列
a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1
? 4b
n
,即数列
{b
n
}
是以
b
1
=4为首项,4为公比的等比
a
n
,所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分 < br>所以
1?
a
n?1
?1?4
n
a
n
,即
a
n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]an
.
------------------------------------------12分
于是,当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1
?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a
n?2


???
?
[(4
k?1
n?1
k? 1
?1)?1]a
1
?
?
[(4
k?1
?1)2
?1]

2
k?1
n?1
因此,
n?1 ,
?
1,
?
n?1

a
n
?
?
[(4
k?1
?1)
2
?1], n?2.
?
?
k?1
?
-------------------- ----------------------16分

10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a
3< br>?b
3
?1?m(a?b?1)
3
,求
m
的最小值.
解 令
a?cos
?
,b?sin
?

0?
?
?
33
?
2
,则
cos
?
?sin
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?cos
?
sin
?
?sin
2
?< br>)?1
m??
.-------------------------
3(cos
?
?sin
?
?1)(cos
?
?sin?
?1)
3


---------------5分

x?cos
?
?sin
?
,则
x?2sin(
?
?)?(1,2]
4
?
,且
x
2
?1
c< br>?
so
?
?isn
.---------------------- --------10分
2
于是
x
2
?1
x(1?)? 1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
. -----------------
m??????
2(x?1)2(x?1)2
( x?1)
3
2(x?1)
3
2(x?1)
2
------- ------15分
因为函数
f(x)?

f(2)?
31
?

(1,2]
上单调递减,所以
f(2)?m?f(1)

2(x?1)2
此,
m
的最小值为
32?4
. ------------------------------------------20分
2

11.设
f(x)?log
a
(x?2a)?log< br>a
(x?3a)
,其中
a?0

a?1
.若在区间< br>[a?3,a?4]

f(x)?1
恒成立,求
a
的取值范围 .
?a6?)

f(x)?lo
a
gx(?ax5
2 2
a
5a
2
a
2
lxo?g[(?)

24
]

?
5a3
?
x?2a?0,
3
? (a?2)?0
,得
x?3a
,由题意知
a?3?3a
,故
a?
,从而
(a?3)?
x?3a?0,
2
22
?
数故函
5a
g(x?)x?(
2
2
a
2
?)
在区间
[a?3,a?4]
4
上单调递增.
------------------------------------------5分 < br>(1)若
0?a?1
,则
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上单调递减,所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]

的 最大值为
f(a?3)?log
a
(2a
2
?9a?9)

在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1
恒成立,等价于不 等式
log
a
(2a
2
?9a?9)?1
成立,
从 而
2a
2
?9a?9?a
,解得
a?

5?75? 7

a?

22

0?a?1
0?a?1
. ------------------------------------------10分

(2)若
1?a?
3
,则
f(x)
在区间
[a? 3,a?4]
上单调递增,所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
2
上的最大值为
f(a?4)?log
a
(2a
2
?12a ?16)
.
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1恒成立,等价于不等式
log
a
(2a
2
?12a?16)?1
成立,


从而
2a
2
?12a?16?a
,即
2a
2
?13a?16?0
,解得
易知
13?4113?4 1

?a?
44
13?413
,所以
?
42
合. ------------------------------------------15分
不符
综上可知:
a
的取值范围为
(0,1)
. ------------------------------------------20分
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高二年级)
说明:评阅试卷时 ,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,
只要思路合理、步骤正确,在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)

1.函数
f(x)?
x?1
的值域为________________.
x
2
?4x?7
i
?
n?2s
2
i
?
n?1

3(sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
, 则2.已知
3s
2
co2(
?
s?
?
)?
_______________.
3.已知数列
{a
n
}
满足:
a
1
为正整数,
a
n?1
?
a
n
?
,a
n
为偶数,
?
?
2
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29

?
?
3 a
n
?1,a
n
为奇数,

a
1
?

4.设集合
S?{1,2,3,?,12}

A?{a
1
,a
2
,a
3
}

S
的子集,且满足
a
1
?a
2
?a
3

a< br>3
?a
2
?5

那么满足条件的子集
A
的个 数为 .
5.过原点
O
的直线
l
与椭圆C

x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0 )
交于
M,N
两点,
P
是椭圆
C
上异
2< br>ab
1
,则椭圆
C
的离心率为
3

M,N< br>的任一点.若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
___________ ____.
6.在△
ABC
中,
AB?BC?2

AC? 3
.设
O
是△
ABC
的内心,若
AO?pAB?qAC

p
的值为_______________.
q
7.在长 方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知
AC?1,B
1
C?2,AB
1
?p
,则长方体 的体积最大
时,
p
为_______________.
2012?2k
8.设
[x]
表示不超过
x
的最大整数,则
?
[]?

k?1
2
k?0
2012
二 、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
9.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1

a
1
?1< br>,
2


a
2
?8
,求
{a
n< br>}
的通项公式.











10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a
3
?b
3< br>?1?m(a?b?1)
3
,求
m
的取值范围.



















11.已知点
E (m,n)
为抛物线
y
2
?2px(p?0)
内一定点,过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条
直线交抛物线于
A,B,C,D
,且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点.
(1)当
n?0

k
1
?k
2
??1时,求△
EMN
的面积的最小值;
(2)若
k
1
?k
2
?
?

?
?0,
?
为常数),证明:直 线
MN
过定点.










2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评 阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,
只要思路合理、步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)

1.函数
f(x)?
x?1
的值域为
[0,
x
2
?4x?7
6
]

6
1

3
cs2(
?
?
?
)?
?
2.已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1
,则
o
3(sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?)
2
?1

3.已知数列
{a
n
}
满 足:
a
1
为正整数,
a
n?1
?
a
n< br>?
,a
n
为偶数,
?
?
2

??
3a
n
?1,a
n
为奇数,
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
,则
a
1
?
5 .
4.设集合
S?{1,2,3,?,12}

A?{a
1
,a
2
,a
3
}

S
的子集,且满足
a
1
?a
2
?a
3
,< br>a
3
?a
2
?5

那么满足条件的子集
A< br>的个数为 185 .
x
2
y
2
5.过 原点
O
的直线
l
与椭圆
C

2
?
2
?1(a?b?0)
交于
M,N
两点,
P
是椭圆
C
上异
ab
6
1

M,N
的任一点.若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
,则椭圆
C
的离心率为.
3
3
6.在△
ABC
中,
AB?BC?2

AC?3
.设
O
是△
ABC
的内心,若
AO?pAB?qAC


3
p
的值为.
q
2


7.在 长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1中,已知
AC?1,B
1
C?2,AB
1
?p
,则长方 体的体积最大
时,
p

1?
23

3
2 012
2012?2
k
8.设
[x]
表示不超过
x
的最大整数,则
?
[]?
2012 .
k?1
2< br>k?0
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分) < br>9.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
an?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n ?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1

a< br>1
?1

2
a
2
?8
,求
{an
}
的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n?1
,得
1?
a
n?2
a
?41?
n ?1
?3

a
n?1
a
n
所以
1?< br>a
n?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)

a
n?1
a
n
------------------------ ------------------4分

b
n
?1?
数列< br>a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1?4b
n
,即数列
{b
n
}
是以
b
1
=4为首项,4为公比的等比
a
n
,所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分 < br>所以
1?
a
n?1
?1?4
n
a
n
,即
a
n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]an
.
------------------------------------------12分
于是,当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1
?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a
n?2


???
?
[(4
k?1
n?1
k? 1
?1)?1]a
1
?
?
[(4
k?1
?1)2
?1]

2
k?1
n?1
因此,
n?1 ,
?
1,
?
n?1

a
n
?
?
[(4
k?1
?1)
2
?1], n?2.
?
?
k?1
?
-------------------- ----------------------16分

10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a
3< br>?b
3
?1?m(a?b?1)
3
,求
m
的取值范围 .
解 令
a?cos
?
,b?sin
?

0?< br>?
?
?
2
,则


cos
3
?
?sin
3
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?cos
?
sin
?
?s in
2
?
)?1
m??
.------------------- ------
(cos
?
?sin
?
?1)
3
(c os
?
?sin
?
?1)
3
-------------- -5分

x?cos
?
?sin
?
,则
x? 2sin(
?
?)?(1,2]
4
?
,且
x
2?1
c
?
so
?
?isn
.------------ ------------------10分
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31< br>2
. -----------------
m??????
2(x ?1)2(x?1)2
(x?1)
3
2(x?1)
3
2(x?1)< br>2
-------------15分
因为函数
f(x)?

m?[
31
?

(1,2]
上单调递减,所以
f(2)? m?f(1)

2(x?1)2
f(1)?
132?4
,f(2) ?
42
,所以
32?41
,)
. --------------------------------------20分
24

11.已知点
E(m,n)
为抛物线
y
2< br>?2px(p?0)
内一定点,过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条
直线交抛物线于
A,B,C,D
,且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点.
(1)当
n?0

k
1
?k
2
??1
时,求△
EMN
的面积的最小 值;
(2)若
k
1
?k
2
?
?

?
?0,
?
为常数),证明:直线
MN
过定点.
解 < br>AB
所在直线的方程为
x?t
1
(y?n)?m
,其中
t
1
?
1
,代入
y
2
?2px
中,得
k
1
y
2
?2pt
1
y?2pt
1
n?2pm?0


A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
,则有
y
1
?y
2
?2pt
1
,从而
x
1
?x
2
?t1
(y
1
?y
2
?2n)?2m?t
1
(2p t
1
?2n)?2m

2

M(pt
1
?nt
1
?m,pt
1
)

其中
t
2< br>?
CD
所在直线的方程为
x?t
2
(y?n)?m

1
2
,同理可得
N(pt
2
k
2

?nt
2
?m,pt
2
)

------------- ----------------------
-------5分
2
(1)当< br>n?0
时,
E(m,0)

M(pt
1
2
? m,pt
1
)

N(pt
2
?m,pt
2
)

|EM|?|pt
1
|1?t
1
2

2
|EN|?|pt
2
|1?t
2


k
1
?k
2
??1
,故
t
1
?t
2
??1
,于是△
EMN
的面积


11
2
p
2
22
S?|EM|?|EN|?|pt
1
t
2
| (1?t
1
)(1?t
2
)??2?t
1
2
?t< br>2
2

222
p
2
??4?p
2

2
当且仅当
|t
1
|?|t
2
|?1
时等 号成立.
所以,△
EMN
的面积的最小值为
p
2
.
------------------------------------------10分
(2)
k
MN
?
p(t
1
?t
2
)
p(t
1
?t
2
)?n(t
1
?t
2< br>)
22
?
1
n
(t
1
?t
2
)?
p
1
n
p

MN
所在直线的方程为
y?pt
1
??[x?(pt
1
?nt
1
?m]

2
(t
1
?t
2
)?

y(t
1
?t
2
?
n
)?pt
1
t
2
?x?m
. ------------------------------------------15分
p

k
1
?k
2
?
t?t
11
? ?
?
,即
t
1
t
2
?
12
,代入 上式,得
y(t
1
?t
2
t
1
t
2
?
pny
t?t
n
?)?p?
12
?x?m

p
?

(t
1
?t
2
)(y?)?x??m

?
p
p
?
y?
?
ny
p
?

y? ?0
时,有
x??m?0
,即
?
为方程的一组解,
np
?
?
x?m?
?
?

(m?
以直线
MN
恒过定点
??
n
p
,)
. ------------------------------------------20分



2012年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)
1.如图,正六 边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的边长为1,它的6条对角线又
围成一个正六边形
A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
,如此继续下去,则所有这些
六边形的面积和是 .

2.已知正整数
a
1
,a
2
,
B1A2
F 2
A1
F1
B2
E2
,a
10
满足:
a
j
3
?,1?i?j?10
,则
a
10
a
i
2
C2
C1
D2
E1
的最小可能值是 .


174
3.若
tan
?
?tan
?
?tan
?
?

cot
?
?cot
?< br>?cot
?
??
,
cot
?
cot
?

65
17
?cot
?
cot
?
?cot
?
cot
?
??
,则
tan
?
?
??
?
?
?
?
.
5
4.已知关于
x
的方程
lg
?
kx
?
?2lg?
x?1
?
仅有一个实数解,则实数
k

取值范围是 .


5.如图,
?AEF
是边长为
x
的正方形
ABCD
的内接三角形,已知
B
A
D1
D
F
E
C
?AEF?90?

AE?a,EF?b,a?b
,则
x?
.

6.方程
2
m
?3
n
?3
n?1
?2
m
?13
的非负整数解
?
m,n
?
?
.


7.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一
个是黑色的,依次从中摸 出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率
是 .(用数字作答) 2
?
n?1
?
n
a
n?1
?a
n,n?1,2,
8.数列
?
a
n
?
定义如下:
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
?
n?2n?2< br>a
m
?2?
2011
,则正整数
m
的最小值为 .
2012
.若






二、解答题
9.(本题满分14分)如图,在平行四边形ABCD中,
A B?x

BC?1
,对角线
AC与BD的夹角
?BOC?45?,记直线AB与CD的距离为
h(x)


h(x)
的表达式,并写出x的取值范围.









10.(本题满分14分)给定实数
a?1
,求函数
f(x)?
值.












11.(本题满分16分)正实数
x,y,z
满足
9x yz?xy?yz?zx?4
,求证:
(1)
xy?yz?zx?
4

3
A
D
C
O
B
(a?sinx)(4?sinx)
的最小
1?sinx(2)
x?y?z?2







12.(本题满分16分)给定整数
n(?3)
,记
f(n)
为集合
?
1,2,
两个条件的子集A的元素个数的最小 值:
(a)
1?A,2
n
?1?A

,2
n
?1
?
的满足如下
(b) A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和.
(1)求
f(3)
的值;
(2)求证:
f(100)?108


































2012年上海市高中数学竞赛答案
1、
93
2、92
4
3、11 4、?
??,0
?
5、
a
2
a?(a?b)
22< br>?
4
?

6、
?
3,0
?
,
?
2,2
?

2
7、 8、4025
5
9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
11
OB2
?OC
2
?(AB
2
?BC
2
)?(x2
?1)
. ①
22
…………………(2分)
在△OBC中,由余弦定理
BC
2
?OB
2
?OC
2
?2OB?OCcos?BOC

所以
OB
2
?OC
2
?2OB?OC?1
, ②
x
2
?1
由①,②得
OB?OC?
. ③
22
…………………(5分)
?4S
所以
S
ABCD?
1
?4OB?OCsin?B

OC
OBC
?
2
x
2
?1

?2OB?OC
?
2
x
2
?1

AB?h(x)
?

2
x
2
?1
所以
h(x)?
. …………………(10分)
2x
由 ③可得,
x
2
?1?0
,故
x?1

因为
OB
2
?OC
2
?2OB?OC
,结合②,③可得


1
2
x
2
?1

(x?1)?2?

2
22
解得(结合
x?1

1?x?2?1

x
2
?1
综上所述,
h(x)?

1?x?2?1
. …………………(14分)
2x
10.解
f(x)?

1?a?
(a?sinx)(4?sinx)3(a?1)
?1?sinx??a?2

1?sinx1?sinx
7
时,
0?3(a?1)?2
,此时
3
3(a?1)
f(x)?1?sinx??a?2?23(a?1)?a?2

1?sinx
且当
sinx?3(a?1)?1
?
?
?
?1,1
?
?
时不等式等号成立,故
f
min
( x)?23(a?1)?a?2

…………………(6分)
73(a?1)

a?
时,
3( a?1)?2
,此时“耐克”函数
y?t?

0,3(a?1)
?< br>?
3t
内是递减,故此时
3(a?1)5(a?1)
f
mi n
(x)?f(1)?2??a?2?

22
?
7
?23(a?1)?a?2,1?a?;
?
?
3
………………… 综上所述,
f
min
(x)?
?
(14分)
7
?
5(a?1)
,a?.
?
3
?
2
11.证 (1)记
t?
xy?yz?zx
,由平均不等式
3
xyz?
?
3
(xy)(yz)(zx)
?
3
2
?
xy? yz?zx
?
?
??

3
??
32
3
2

…………………(4分)

于是
4?9xyz?xy?yz?zx?9t?3t


2
所以
?
3t?2
?
3t?3t?2?0

??
2
,从而
3
4
?z?x
. …………………(10分)


xy?yz
3
(2)又因为
2

3t?3t?2 ?0
,所以
3t?2?0
,即
t?
(x?y?z)
2
?3(xy?yz?zx)


所以
(x?y?z)
2
?4


x?y?z?2
. …………………(16分)
12.解 (1) 设集合
A?
?
1,2,

?
1,m,7
??
m?2,3,
,2
3
?1
?
,且A满足(a),(b).则
1?A,7?A
.由
,故
A?3

,6
?
不满足(b)

?
1,2,3,7
?,
?
1,2,4,7
?
,
?
1,2,5,7
?
,
?
1,2,6,7
?
,
?
1,3,4,7
?
,
?
1,3,5,7
?
,
?
1,3,6,7< br>?
,

,故
A?4

?
1,4,5,7< br>?
,
?
1,4,6,7
?
,
?
1,5,6, 7
?
都不满足
(b)
而集合
?
1,2,4,6,7
?
满足(a),(b),所以
f(3)?5

…………………(6分)

(2)首先证明
f(n?1)?f(n)?2,n?3,4,
. ①
事实上,若
A?
?
1,2,

B?A
,2n
?1
?
,满足(a),(b),且A的元素个数为
f(n)

?
2
n?1
?2,2
n?1
?1
?
,由于
2
n?1
?2?2
n
?1
,故
B?f(n)?2< br>.
,2
n?1
?1
?
,又
2
n?1
?2?2(2
n
?1),2
n?1
?1?1?(2
n?1
?2)
,所以,集合
B?
?
1,2,
且B满足(a),(b).从而

f(n?1)?B?f(n)?2

…………………(10分)

其次证明:
f(2n)?f(n)?n?1,n?3,4,
. ②
事实上,设
A?
?
1,2,
B?A
,2
n?1
?
满足(a),(b),且A的元素个数为
f(n)
.令
n
?
2(2?1),2
2
(2
n
?1),,2
n< br>(2
n
?1),2
2n
?1
?

由于
2(2
n
?1)?2
2
(2
n
?1)?
所 以
B?
?
1,2,
?2
n
(2
n
?1)? 2
2n
?1

,2
2n
?1
?
,且
B?f(n)?n?1
.而
2
k?1
(2
n
?1)?2
k
(2
n?1)?2
k
(2
n
?1),k?0,1,
2
2n?1?2
n
(2
n
?1)?(2
n
?1)

从而B满足(a),(b),于是
,n?1



f(2n)?B?f(n)?n?1

…………………(14分)

由①,②得
f(2n?1)?f(n)?n?3
. ③
反复利用②,③可得
f(100)?f(50)?50?1?f(25)?25?1?51


?f(12)?12?3?77?f(6)?6?1?92

?f(3)?3?1?99?108

…………………(16分)

2012年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
2
1、设集合
S?x|x?5x?6?0

T?x|x?2|?3
,则
S?T
= ( )
??
??
A、
{x|?5?x??1}
B、
{x|?5?x?5}
C、
{x|?1?x?1}
D 、
{x|1?x?5}

2、正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1

BC
1
与截面
BB
1
D
1
D
所成的角是( )
A、
??
??
B、 C、 D、
6432
2
3、已知f(x)?x?2x?3

g(x)?kx?1

则“
|k| ?2
”是“
f(x)?g(x)

R
上恒成立”的( )
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形
?
1
的面积为
S
1
,作
?
1
的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为
?
2
,面
积为S
2
,如此下去作一系列的正三角形
?
3
,?
4
,

S
1
?1
,
T
n
?S
1< br>?S
2
?
A 、
n???
,其面积相应为
S
3
,S
4
,

?S
n
,则
limT
n
=( )
643
B 、 C、 D 、2
532
2
5、设抛物线
y?4x
的焦点为
F< br>,顶点为
O

M
是抛物线上的动点,则
为( )
A 、
|MO|
的最大值
|MF|
4
323
B 、 C、 D 、
3

3
33
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半 径为
r
的一


个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后 水面高为( )
A、
r
B、
2r
C、
3
12r
D、
3
15r

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)

A



B

7、如图,正方形
ABCD
的边长为3,
E

DC

D
F
E
C

中点,< br>AE

BD
相交于
F
,则
FD?DE
的值是 .
8、
(x?x?)
的展开式中的常数项是 .(用具体数字作答)
2
1
x
6
(a
n
?1)< br>2
9、设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为< br>S
n
,满足
S
n
?
,则
S
20的值为 .
4
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 .
11、已知锐角
A,B
满足
tan(A?B)?2tanA
,则
tanB
的最大值是 .
12、从1,2, 3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数
abcde

满足条件“
a?b?c?d?e
”的概率是 .

三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13、设函数
f(x)?sinx?3cosx?1

(I)求函数
f(x)

[0,
?
2
]
上的最大值与最小值;
bcosc
的值.
a
(II)若实数
a,b,c
使得af(x)?bf(x?c)?1
对任意
x?R
恒成立,求













14、已知
a,b,c?R
?
,满足
ab c(a?b?c)?1

(I)求
S?(a?c)(b?c)
的最小值;
(II)当
S
取最小值时,求
c
的最大值.











B
两点,15、直线
y?kx?1
与双曲线
x
2
?y
2
?1
的左支交于
A
、直线
l
经过点
(?2,0)

AB

的中点,求直线
l

y
轴的截距
b
的取值范围.




















n2
16、设函数
f
n
(x)?x(1?x)

[ ,1]
上的最大值为
a
n

n?1,2,3,
1
2
).
(I)求数列
{a
n
}
的通项公式;


(II)求证:对任何正整数
n(n?2)
,都有
a
n
?
1
成立;
2
(n?2)
7
成立.
16
(III)设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,求证:对任意正整数
n
,都有
S
n
?














2012年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
参考解答
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7、
?
32
2
8、
?5
9、0 10、14 11、 12、
215
4
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13 、解:(I)由条件知
f(x)?2sin(x?

0?x?
?
3< br>)?1
, (5分)
5
?
1
?
,于是
?sin(x?)?1

233623
?
1
所以
x?
时,
f(x)
有最小值
2??1?2

22
?
知,
?
?x?
?
?

x?
?
6
时,
f(x)
有最大值2?1?1?3
. (10分)
(II)由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b?1
对 任意的
x?R
恒成立,
33

2asin(x?
???
)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b?1)?0
333
??

2(a?bcosc)?sin(x?
?
)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0

33
?


?
a?bcosc?0
?

?
bsinc?0
, (15分)
?
a?b?1?0
?

bsinc?0
b?0

sinc?0


b?0
时,则由
a?bcosc?0

a?0
,这与
a?b?1?0
矛盾!

sinc?0
,则
cosc?1
(舍去),
cosc??1
1bcosc
,c?(2k?1)
?
,所以,
??1
. (20分)
2a
1
14、解:(I)因为
(a?c)(b?c)?ab?a c?bc?c
2
?ab?(a?b?c)c?ab?
(5分)
ab
解得
a?b?

?2ab?
1
?2
,等号成立的条件是
ab?1

ab

a?b?1,c?2?1
时,
S
可取最小值2. (10分)
(II)当
S
取最小值时,
ab?1
,从而
c (a?b?c)?1


c
2
?(a?b)c?1?0
, 令
t?a?b
,则
t?2ab?2
(15分)
?t?t
2
?4?t?t
2
?4
从而
c?
或者
c??0
(舍去)
22
?t?t
2
?42

c?

t?[2,??)
单减,
?
2
2
t?4?t
所以在
t?2
时,
c
有最大值
2?1
. (20分)

15、解:将直线
y?kx?1
与双曲线
x
2
?y
2
?1
方程联立得
?
22
?
y?k x?1
?
x?y?1
22

化简得
(k?1)x?2kx?2?0
① (5分)
?
?
??4k
2
?8(k
2
?1)?0
?
2k
?
由题设知方程①有两负根,因此
?
x
1< br>?x
2
??
2
(10分)
?0
,解得
1? k?2

k?1
?
2
?
x?x??0
12
2
?
k?1
?

A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则有
x
1
?x< br>2
??
2k

k
2
?1


2 k
2
2
y
1
?y
2
?k(x
1
? x
2
)?2??
2
?2??
2

k?1k?1
k1
,?)

22
k?1k?1
? 1?2
y
b
(x?2)?
所以直线
l
方程为
y?< br>,其在轴的截距,(15分)
2k
2
?k?22k
2
?k? 2
1
2
17
2

1?k?2
时,
2k?k ?2?2(k?)?
,其取值范围是
(?1,2?2)

48
?2< br>所以
b
?
的取值范围是
(??,?2?2)(2,??)
. (20
2
2k?k?2

AB
的中点为
(?
分)

16、解:(I)
f
n
'
(x)?nx
n?1< br>(1?x)
2
?2x
n
(1?x)?x
n?1
(1? x)[n(1?x)?2x]

n
, (5分)
n?2
n11111
??[,1]
,又
f
1()?

f
n
(1)?0
,故
a
1
?
; 当
n?1
时,
n?232288
n11111
??[, 1]
,又
f
2
()?

n?2
时,,
f< br>n
(1)?0
,故
a
2
?

n?22221616
n1
?[,1]
, 当
n?3
时,< br>n?22
1nn
)
时,
f
n
'
(x)?0< br>;
x?(,1)
时,
f
n
'
(x)?0
; ∵
x?[,
2n?2n?2

x?[,1]
时,由
f
n
'
(x)?0

x?1
或者
x?
1
2
n
n
n
2
2
4n
n

f
n
(x)

x?
处取得最大值,即
a
n
?(

)()?
n?2
n?2n?2(n?2)
n?2
?
1< br>?
8
,(n?1)
?
综上所述,
a
n
??
. (10分)
n
?
4n
,(n?2)
n?2
?
(n?2)
?< br>2
n
4n
n
1
(1?)?4
(II)当
n?2
时,欲证 ,只需证明
?
n
(n?2)
n ?2
(n?2)
2
2
1
2
2
2
2n
?C
n
?()
n

nnn
n(n?1)4
?
2
?1?2?1?4

?1?2?
2n

(1?)?C
n
?C
n
?()?C
n
?()?
n01
2
n
所以,当
n?2
时,都有
a
n
?
1
成立. (15分)
2
(n?2)
(III)当
n?1,2
时,结论显然成立;



n?3
时,由(II)知
S
n
?

?
11
??a
3
?a
4
?
816
?a
n

1111
????
8165
2
6
2
?
1

(n?2)
2
11111111
??(?)?(?)??(?)

8164556n?1n?2
1117
??

??
816416
7
所以,对任意正整数
n
,都有
S
n
?
成立. (20分)
16

?








高中数学立体几何求外接球-高中数学竞赛裸考


高中数学这七十个-高中数学极坐


高中数学学的程序-高中数学立体几何典型题及答案


高中数学帆哥-高中数学人教版选修11习题答案


2017年海淀二模高中数学-山东高中数学教材电子版


高中数学必修一各函数的图像-高中数学老师工资怎么样


北师大高中数学选修1 1课后答案-高中数学命题及其关系知识点


高中数学必修一 试卷-高中数学圆锥曲线突破



本文更新与2020-09-21 11:52,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/406929.html

最新全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)合集的相关文章

最新全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)合集随机文章