全国高中数学联赛--平面几何赛题精选5

“东方数学”
赛题精选（五）
曾建国
1. 已知直线l与△ABC的边AB、AC分别交于点D、F．
A'
与BC的延长线交于点E．过A、B、C且与l平行的直
A
线与△ABC的外接圆分别交于点A’ B’ C’．
证明：A’E B’F C’D三线交于一点.
F
D



C'



B
B'



2. 已知△ABC的内心为I, ∠B的平分线与AC交于点P.
B
证明: 若
AP?AB?CB
,则△API为等腰三角形。


I


A
P




B
3. 在△ABC中，∠A与∠B的平分线分别交△ABC的外接圆于点A’, C’。
经过△ABC内心且平行于AC的直线交直线A’C’于点P。
证明:直线PB与△ABC的外接圆相切。
C'


P

A






A
4. 在锐角△ABC中，AD是∠A的平分线，BE是边上AC的高，
证明：∠CED>45
0

E





C
D




E
C
C
A'
C
B

“东方数学”
5. 设△ABC为锐角三角形。经过其垂心作三个圆，
B
分别与它的三条边切于该边上高的垂足。
证明：三个圆的其它三个交点所形成的三角形与△ABC相似

H
1


B'

H
3
H

A'C'


A
H
2

6. 在△ABC中，∠A与∠C的平分线交于I且分别交对边于点A
1
,C
1
.
B
C'
交△ABC的外接圆于点A', C '。现知道直线A
1
C
1
与A'C ' 交于P.
证明：IPAC
C
1

A
1

I

A



T


7. 已知四边形ABCD, E, F分别为边AD, BC上的点，
且
C
A'
P
C
AEBF
, 射线FE与BA, CD分别交于点S, T.
?
EDFC
S
证明:△SAE, △SBF, △TCF和△TDE的外接圆交于一点.









8. Rt△ABC的顶点将其外接圆的圆周分为三个弧段.∠A=90
0
在每
个弧段上作一条切线，切点为该切线被AB,AC所截的线段的中点。
证明三个切点组成等边三角形
F

D
E
A
BF''
F
C
E'
A
E
F'
D'
BC
E''
D
D''