高中数学的实际生活运用-德国高中数学和物理化学好
全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明： <
br>1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题
5
分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果
考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤准确，在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次评分
．
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．设集
合
E?
?
x|sinx|?
2．已知函数
f(x)?
??
1
?
4
?
?
,x?(?,)
?
，则
E的真子集的个数为 ．
233
?
6x?b
9
的最大值为，则实数
b?
．
2
4
x?4
3．若
|lg
?
|?1
，
则使函数
f(x)?sin(x?
?
)?cos(x?
?
)
为奇函数的
?
的个数为 ．
4．在△
ABC
中，已知
?B
的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，
BK?
．
32
，则△
ABC
的面积为
2
*
5．数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1,a
2
?3<
br>，且
a
n?2
?|a
n?1
|?a
n
(n?
N)
．记
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，则
S
100
?
．
6．已知
OA?a
，
OB?b
，过
O
作直线
AB
的垂线，
垂足为
P
．若
|a|?3,|b|?3
，
?AOB?
?6
，
OP?xa?yb
，则
x?y?
． 7．已知实数
x,y,z
满足
xyz?32
，
x?y?z?4<
br>，则
|x|?|y|?|z|
的最小值为 ．
8．将总和
为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上
述要求
的10个数中最大数的最大值为 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已
知二次函数
f(x)?ax?bx?c
的图象经过点
(?2,0)
，且不等式
2x?f(x)?
都成立．
（1）求函数
f(x)
的解析式； <
br>（2）若对一切
x?[?1,1]
，不等式
f(x?t)?f()
恒成
立，求实数
t
的取值范围．
2
1
2
x?2
对一切实数
x
2
x
2
10．已知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
2
?
(n?1)a
n
1
，且
a
n?1
?
n?a
n
4
(n
?
2,3,4,
?
)
．
n
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）求证：对一切
n?N
，有
*
?
a
k
2
?
k?1
7
． 6
11．设
P?x?6x?11x?3x?31
，求使
P
为完全
平方数的整数
x
的值．
432
全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
1． 15 ． 2． 5 ．3． 3
．4．
157
16
．
5． 89 ．6． -2 ．7．
12 ．8． 26 ．
9．
解：（1）由题设知，
4a?2b?c?0
． ① 令
2x?
1
2
x?2
，解得
x?2
，由题意可得
2
2?2?f
(2)?
1
?2
2
?2
，即
4?f(2)?4
，所
以
f(2)?4
，即
4a?2b?c?4
． ②
2
由①、②可得
c?2?4a,b?1
．
……………………4分
又
f(x)?2x
恒成立，即
ax?(b?2)x?
c?0
恒成立，所以
a?0
，且
??(b?2)?4ac?0
，即<
br>22
1
，从而
c?2?4a?1
．
4
1
2
所以函数
f(x)
的解析式为
f(x)?x?x?1
．…8分
4
(1?2)
2
?4a(
2?4a)?0
，所以
a?
x2t?8
11
?
x
?
x
（2）由
f(x?t)?f()
得
(x?t)
2
?(x?t)?1?
??
??1
，故
(x?2t)(x?)?0
．
23
44
?
2
?
2
当
?2t??
2
2t?82t?8
即
t?2
时，
?2t?x??
，此不等
式对一切
x?[?1,1]
都成立的充要条件是
33
t??1
?2t?8
?
?2
2
即
t?2
时，
(x?2t)
?0
，矛盾． …12分
?
?
2t?8
?1
，此
不等式组无解．当
?2t??
3
?
3
?
2t?82t?8<
br>当
?2t??
即
t?2
时，
??x??2t
，此不等
式对一切
x?[?1,1]
都成立的充要条件是
33
?
2t?81
?
51
?
?
?
5
??1
t
?,?
，解得．综合可知，实数的取值范围是
??t??
??
． 16分 <
br>?
3
22
22
??
?
?
?2t?1
10．解： （1）由已知，对
n?2
有
1
a
n?1
?<
br>n?a
n
n1
??
，
(n?1)a
n
(n?1)a
n
n?1
两边同除以n，得
1111111
?????(?)
， 5分 ，即
na
n?1
(n?1)a
n
n(n?1)na
n?1
(n?1)a
n
n?1n
n?1
?
1
?
11
?
1
?
1
??????(1?)
， 于是，
?
?
??
??
(k?1)a
k
?
k
?
n?1
k?2
?
ka
k?1
k?2
?
k?1
n?1
即
1111113n?2
???(1?),n?2
，所以
??(1?)?
，
(n?1)a
n
a
2
n?1(
n?1)a
n
a
2
n?1n?1
a
n
?
1
1
,n?2
．又
n?1
时也成立，故
a
n
?,n?
N
*
． ……………………10分
3n?23n?2
（2）当
k?2
，有
a
k
?
n
2
111
11
??(?)
,……15分
2
(3k?4)(3k?1)33k?43k
?1
(3k?2)
n
所以
n?2
时，有
1
?
111111
?
2
a?1?a?1?(?)?(?)?
?
?(?)
?
??
k
?
3
?
25583n?43n
?1
?
k?1k?2
2
k
1
?
11
?17
7
2
?1?
?
?
?
?1??.
又
n?1
时，
a
1
?1?.
3
?
23n?1
?
66
6
故对一切
n?N
，有
11．设
P?x?6x?11x?3x?31
，求使
P
为完全平方数的整数
x
的值．
2
解：
P?(x?3x?1)?3(x?10)
．所以，当
x?10
时，
P?131
是完全平方数． ……5分
22
*
?
a
k
2
?
k?1
n
7
． ……………………20分
6
432
下证没有其它整数
x
满足要求．
（1） 当x?10
时，有
P?(x?3x?1)
，又
P?(x?3x)?2x?3
x?31?0
，
∴
P?(x?3x)
，∴
(x?3x)?P?(x
?3x?1)
．
x?Z
，所以此时
P
不是完全平方数．…10分 <
br>（2）当
x?10
时，有
P?(x?3x?1)
．令
P?y,
y?Z
，
2
则
|y|?|x?3x?1|
，即
|y|?1
?|x?3x?1|
，所以
y?2|y|?1?(x?3x?1)
，
22
22
222
222222
22222
即
?3(x?10)?2|x?
3x?1|?1?0
．解此不等式，得
x
的整数值为
?2,?1,0,?3,
?4,?5,?6
，但它们对
应的
P
均不是完全平方数．
综上所述，使
P
为完全平方数的整数
x
的值为10.
……………………20分
2