2018年全国高中数学联赛湖南预赛试题及详解

绝密★启用前
2018年全国高中数学联赛湖南预赛(B)卷试题及详解
一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分）
2
1.设集合
A?xx?3x?10?0
，
B?xm?1?x?2m?1
，若
A?B?B< br>，则实数
m
??
??
的取值范围为 ．
2.如果函数
y?3cos
?
2x?
?
?
的图像关于点?
?
4
?
?

,0
?
中心对称,那么
?
的最为 ．
?
3
?
3. 如图，
A
与
P
分别是单位 圆
O
上的定点与动点，角
x
的始边为
射线
OA
， 终边为射线
OP
，过点
P
作直线
OA
的垂线，垂足为
M
，
将点
M
到直线
OP
的距离表示为
x
的函数
f
?
x
?
，则
f
?
x
?
?
．
4. 已知二面角
?
?l?
?
为
60
，动点
P
，
Q
分别在面
?
，
?
内，
P
到
?
的距离为
3
，
Q
到
?
的距离为
23
，则
P
，
Q
两 点之间距离的最小值为 ．
5. 如图，将一个边长为
1
的正三 角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小
三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中 间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复
操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫．

设
A
n
是第
n
次挖去的小三角形面积之和（如
A< br>1
是第
1
次挖去的中间小三角形面积，
A
2
是第2
次挖去的三个小三角形面积之和）.则前
n
次挖去的所有小三角形面积之和的值
为 ．
332018
x?cos
2018
x
的值为 ． 6.若
3sinx?cosx?3
，则
sin

< br>7.如图放置的边长为
1
的正方形
ABCD
沿
x
轴正 向滚动，即先以
A
为中心顺时针旋转，当
B
落在
x
轴上时， 再以
B
为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形
ABCD
的某个顶点落在x
轴
上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点
C
滚动时的曲线为y?f
?
x
?
，则
f
?
x
?
在
?
2017,2018
?
上的表达式为 ．

8.四个半径都为
1
的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形 ）.有
一个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为 ．
9.设
a?b?1
，
b?0
，< br>a?0
，则
1
2a
的最小值为 ．
?< br>ab
a?t?b
a?t?b
10.设
a,b?R
，
a ?b
函数
g
?
x
?
?maxx?t
?
x? R
?
（其中
max
表示对于
x?R
，当
，则
g
?
x
?
的最小值为 ．
t?
?< br>a,b
?
时表达式
x?t
的最大值）
三、解答题 （本大题共4小题，共80分.
11. 如图，四棱锥
S?ABCD
中，
SD?
底面
ABCD
，
ABDC
，
AD?DC
，< br>AB?AD?1
，
DC?SD?2
，
E
为棱
SB上的一点，平面
EDC?
平面
SBC
.

（Ⅰ）证明：
SE?2EB
；
（Ⅱ）求二面角
A?DE?C
的大小.

12. 棋盘上标有第
0,1,2,,100
站 ，棋子开始时位于第
0
站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游
戏.若掷出正面，棋子向前跳出 一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第
99
站（胜
利大本营）或第
100
站（失败集中营）时，游戏结束.设棋子跳到第
n
站的概率为
Pn
.
（1）求
P
3
的值；
（2）证明：
P
n?1
?P
n
??
（3）求
P
100
的值 .
99
，
P






13. （1）已知
P
是矩形
ABCD
所在平面上的一点，则有 < br>1
?
P
n
?P
n?1
??
2?n?99?
；
2
PA
2
?PC
2
?PB
2< br>?PD
2
.
试证明该命题；
（2）将上述命题推广到
P< br>为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明；
（3）将矩形
ABCD< br>进一步推广到长方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1< br>，并利用（2）得到的命题建立
并证明一个新命题.

2
14. 设曲线
C:x?16y?256?16y
所围成的封闭区域为
D
.
（1）求区域
D
的面积；
（2）设过点
M
?
0, ?16
?
的直线与曲线
C
交于两点
P
，
Q
，求
PQ
的最大值.

2018年全国高中数学联赛湖南预赛答案
一、填空题
1.
m?3
2.
?
3.
sinxcosx
4.
23

6
3
?
?
3
?
5.
?
1?
??
4
?
?
?
4
?
n
?
6.
1
7.
?
?
?
2
f
?
x
?
?f
?
x?504.4
?
?1?2
?
x?2016
?
?
?
x?2016
?

8.
2b?a
9.
22?1
10.
32
二、解答题
11.解：以
D
为坐标原点，射线
DA
，
DC
，
DS
分别为
x
轴，
y轴，
z
轴，建立直角坐标
系
Dxyz
，
设
A ?
?
1,0,0
?
，则
B
?
1,1,0
?
，
C
?
0,2,0
?
，
S
?
0, 0,2
?
.
（1）证明：
SC?
?
0,2,?2
?
，
BC?
?
?1,1,0
?
，设平面
SBC的法向量为
n?
?
a,b,c
?
，由
n?SC
，
n?BC
，
得到
n?SC?0
，
n?BC?0
，故
b?c?0
，
?a?b?0
，取
a?b?c?1
，则< br>n?
?
1,1,1
?
，
又设
SE?
?
EB
?
?
?0
?
，则
?
2
?
?
2
??
?
?
?
，
E
?
,,DE?,,
???
,
DC?
?
0,2, 0
?

1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
????
设平面
CDE< br>的法向量为
m?
?
x,y,z
?
，由
m?DE
，
m?DC
，得到
m?DE?0
，
m?DC?0
，故 < br>?
x
?
y2z
???0
，令
x?2
，则m?
?
2,0,?
?
?
，由平面
DEC?
平面
SBC
，
2y?0
，
1?
?
1?
?
1?
?
得到
m?n
，
所以
m?n?0
，
2?
?
?0
，
?
?2
，故
SE?2EB
.

（2）解：由（1）知
DE?
?
?
222
??
111
?
,,
?
，取
DE
的中点
F
，则
F?
?
,,
?
，
?
333
? ?
333
?
?
211
??
242
?
故FA?DE?0
，
FA?DE
，又
EC?
?
?,,?< br>?
，故
EC?DE
，
FA?
?
,?,?
?< br>，
333333
????
因此向量
FA
与
EC
的夹角等于二面角
A?DE?C
的平面角，于是
cosFA,EC?
??
FA?EC1
??
，所以二面角
A?DE?C
的大小为
12 0
.
2
FAEC
1
；第一次掷
8
11
出 反面，第二次掷出正面，其概率为；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，
44
5因此
P
3
?
.
8
1
（2）易知棋子先跳到第
n?2
站，再掷出反面，其概率为
P
n?2
；棋子先跳到第
n?1
站，
2
11
再掷出正面，其概率为
P
n?1
，因此有
P
n
?
?
P
n?1
?P
n?2< br>?
，即
22
1
P
n
?P
n?1
? ?
?
P
n?1
?P
n?2
?
，
2
1
或即
P
n?1
?P
n
??
?
P
n
?P
n?1
??
2?n?99
?
.
2
111
P?P??1???
（3）由（2）知数列
?
P
为首项为， 公比为的等比
?Pn?1
???
10
nn?1
222
12. 解：（1）棋子跳到第
3
站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率为
数列，因此 有
?
1
?
P
n
?P
n?1
?
?
?
?
?
2
?
99
n?1
?
P1
?P
0
?
98
?
?1
?
?
2
n
n
.由此得到
?
1
??
1
?
P???
99
???
?
?
?
?
2
??< br>2
?
2
?
1
??
1
?
?
?
?
?
?1=
?
1?
100
?
.
3
?
2
??
2
?
11
?
1
?P
98
?
?
1?
99
?
.
23?
2
?
由于若跳到第
99
站时，自动停止游戏，故有
P
100
?
13. （1）证明：如图
1
，设在直角坐标平面中，矩形
ABCD
的顶点坐标为 < br>A
?
?a,?b
?
，
B
?
a,?b
?
，
C
?
a,b
?
，
D
?
?a, b
?
，点
P
?
x,y
?
是直角坐标平面上的任意一 点，
则
PA
2
?PC
2
?
?
x?a?
?
?
y?b
?
?
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?2
?
x
2
?y
2
?a
2
?b
2
?
，
2222

< br>PB
2
?PD
2
?
?
x?a
?
?< br>?
y?b
?
?
?
x?a
?
?
?y?b
?
?2
?
x
2
?y
2
?a2
?b
2
?
，
2222
故
PA
2< br>?PC
2
?PB
2
?PD
2
.
（2）推广命题：若棱锥
P?ABCD
的底面
ABCD
是矩形，则有
PA
2
?PC
2
?PB
2
?PD
2
.
证明：如图
2
，设棱锥
P?ABCD
的底面
ABCD
在空间直角坐标系的
xOy
平面上,矩形
ABCD
的顶点坐标为A
?
?a,?b,0
?
，
B
?
a,?b,0< br>?
，
C
?
a,b,0
?
，
D
??a,b,0
?
，设
P
点坐标
为
P
?
x,y,z
?
，则
PA
2
?PC
2
?
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?
?
z? 0
?
?
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?
?
z?0
?

?2
?
x
2?y
2
?a
2
?b
2
?z
2
?

PB
2
?PD
2
?
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?
?
z?0
?
?
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?
?
z ?0
?

?2
?
x
2
?y
2
?a
2
?b
2
?z
2
?
，
故
PA< br>2
?PC
2
?PB
2
?PD
2
.
222222
222222
P
是空间上任意一点，则 （3）再推广命题：设
ABCD?A
1
BC
11
D
1
是长方体，
PA
2
?PC
2
?PB
1
2
?PD
12
?PB
2
?PD
2
?PA
1
2
?P C
1
2
.
证明：如图
3
，由（2）中定理可得
PA
2
?PC
2
?PB
2
?PD
2
和PA
1
2
?PC
1
2
?PB
1
2?PD
1
2
，
22
所以
PA
2
?P C
2
?PB
1
2
?PD
1
2
?PB
2
?PD
2
?PA
1
?PC
1
.

14. 解：（1）由题设，有
256?16y?0
，因此
?16?y?16
.

2222
若
x?16y?x?16y
，则当
0?y?16
时，
x?16y?x?16y?256?16y
，
x
2
?2 56
，
此时
x??16
?
0?y?16
?
，图像是两条直线段；
x< br>2
?8
?
y??8
?
，对应于一段二当
?16?y? 0
，
x?16y?x?16y?256?16y
，
y?
32
22
次函数的图像；
x
2
?8
，对应于二若
x?16y? 16y?x
，则当
0?y?16
时，类似于前面的推导得
y?
32< br>22
x
2
?8
?
y?8
?
； 次函数图像的 一段：
y?
32
22
2
当
?16?y?0
，
x?16y?16y?x?256?16y
，得到
x??256
，无解.
??
x
2
x
2
??
综上所述，区域
D
的集 合为：
D?
?
?
x,y
?
?16?x?16,
由区 域
D
上
?8?y??8
?
，
3232
??
??
函数图像性质，知区域
D
的面积为
S?32?16?512
.
（2）设过点
M
?
0,?16
?
的直线为
l
，为了求
PQ
的最大值，由区域
D
的对称性，只需考虑
直线
l
与
D
在
y
轴右侧图像相交部分即可.设过点
M
?
0,?16
?
的直线
l
方程为
y?kx?16
，
易知此时
l
与
D
相交时有
1?k??
.
x
2
x
2
?8
以及
y??8
，两个交点分别①当< br>2?k??
时，
l
与
D
分别相交于二次函数
y?3232
为
P16k?k
2
?1,16k
2
?kk< br>2
?1?1
，
Q16k?k
2
?3,16k
2
?kk
2
?3?1

因此，
PQ?16
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
k
2
?1?k
2
?3
?
1?k
2< br>，为关于
k
的递减函数.
x
2
?8
以及直线
y?16
，②当
1?k?2
时，直线
l
与
D
分别 相交于二次函数
y?
从图形性质
32
容易看出，随着
k
从< br>2
变到
1
，
PQ
的值逐步减少.
x
2?8
曲线交点
Q
?
16,16
?
时，
PQ的值最大，综上，当
l
经过直线
x?16
与二次函数
y?
32

此时直线
l
方程为：
y?2x?16
,
P162?3,163?23
?
?
?
???
?
，
PQ
的值为
?
163?23?16
?
?
?
162 ?3?16
?
?1620?103
.当
PQ
落在
y
轴上时，
????
PQ?24?1620?103
，因此
PQ
的最 大值为
1620?103
.

??
2
?
2