2017年全国高中数学联合竞赛竞赛二试(B卷)试题和参考答案

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设 实数
a,b,c
满足
a?b?c?0
，令
d?max{a,b,c}
，证明：
(1?a)(1?b)(1?c)?1?d
2

二、（本题满分40分）
给定正整数
m
，证明：存在正整数
k，使得可将正整数集
N
?
分拆为
k
个互不相交的子集
， 满足
ab?cd?m
.
A
1
,A
2
,?,Ak
，每个子集
A
i
中均不存在4个数
a,b,c,d
（ 可以相同）
三、（本题满分50分）
如图，点
D
是锐角
?ABC< br>的外接圆
?
上弧
BC
的中点，直线
DA
与圆
?
过点
B,C
的切线分
CP
与
AB
的交点为
Y
，
BQ
与
CP
的交点为
T
，别相交于点
P,Q
，
BQ
与
AC
的交点为
X
，
求证 ：
AT
平分线段
XY
.

四、（本题满分50分） 设
a
1
,a
2
,?,a
20
?{1,2,?, 5}
，
b
1
,b
2
,?,b
20
?{1, 2,?,10}
，集合
X?{(i,j)1?i?j?20,(a
i
?aj
)(b
i
?b
j
)?0}
，求
X
的 元素个数的最大值.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分） < br>设实数
a,b,c
满足
a?b?c?0
，令
d?max{a, b,c}
，证明：
(1?a)(1?b)(1?c)?1?d
2

证明：当
d?1
时，不等式显然成立
以下设
0?d?1
， 不妨设
a,b
不异号，即
ab?0
，那么有
(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0

22
因此
(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c?1?c?1?d
2
二、（本题满分40分）
给定正整数
m
，证明：存在正整 数
k
，使得可将正整数集
N
?
分拆为
k
个互不相交 的子集
，满足
ab?cd?m
.
A
1
,A
2,?,A
k
，每个子集
A
i
中均不存在4个数
a,b, c,d
（可以相同）
证明：取
k?m?1
，令
A
i
?{xx?i(modm?1),x?N
?
}
，
i?1,2,?,m?1
设
a,b,c,d?A
i
，则
ab?cd?i?i?i?i? 0(modm?1)
，
故
m?1ab?cd
，而
m?1m
，所以在
A
i
中不存在4个数
a,b,c,d
，满足
ab? cd?m

三、（本题满分50分）
如图，点
D
是锐角
? ABC
的外接圆
?
上弧
BC
的中点，直线
DA
与圆
?
过点
B,C
的切线分
CP
与
AB
的交点 为
Y
，
BQ
与
CP
的交点为
T
，别相交于 点
P,Q
，
BQ
与
AC
的交点为
X
，求证：
AT
平分线段
XY
.

证明：首先证明
YXBC
，即证
AXAY
?

XC YB
连接
BD,CD
，因为
S
?ACQ
S
?ABC
?
S
?ABC
S
?ACQ
，
?
S
?ABP
S
?ABP
111
AC?CQsin?ACQAC?BCsin? ACBAC?AQsin?CAQ
所以
2
， ①
?
2
?
2
111
AB?BCsin?ABCAB?BPsin?ABPAB?APsin?B AP
222
由题设，
BP,CQ
是圆
?
的切线，所以
?ACQ??ABC
，
?ACB??ABP
，又
?CAQ??DBC??D CB??BAP
（注意
D
是弧
BC
的中点），于是由①知
A B?AQCQ
?
②
AC?APBP
因为
?CAQ??BAP
，所以
?BAQ??CAP
，
1
S
?ABQ
2< br>AB?AQsin?BAQ
AB?AQ
于是 ③
??
S
?ACP
1
AC?APsin?CAP
AC?AP
2
1
S
?BCQ
2
BC?CQsin?BCQ
CQ
而 ④
??
1
S
?BCP
BC?BPsin?CBP
BP2
由②，③，④得
S
?ABQ
S
?ACP
?
S
?CBQ
S
?BCP
，
即
S
?ABQ
S
?CBQ
?
S
?ACP

S
?BCP