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1989年全国高中数学联赛试题及详细解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 12:07
tags:全国高中数学竞赛

高中数学变式教学方法文献综述-高中数学必修五2.4等比数列教案

2020年9月21日发(作者:贡震)





一.选择题(本题满分30分,每小题5分):
1.若
A

B
是锐角△
ABC
的两个内角,则复数

z=
(cos
B
-sin
A
)+
i
(sin
B
-cos
A
)
在复平面内所对应的点位于( )

A
.第一象限
B
.第二象限
C
.第三象限
D
.第四象限
1
2.函数
f
(
x
)
=
arctan
x
+arcsin
x
的值域是( )
2
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333311

A
.(-π,π)
B
.[-π,π]
C
.(-π,π)
D
.[-π,π]
444422
三.填空题(本题满分30分,每小题5分)
1.若log
a
2<1,则
a
的取值范围是 .
2.已知直线
l
:2
x
+
y=
10,过点(- 10,0)作直线
l
?⊥
l
,则
l
?与
l
的交点坐标为 .
3.设函数
f
0
(
x
)
=|x
|,
f
1
(
x
)
=
|< br>f
0
(
x
)-1|,
f
2
(
x)
=
|
f
1
(
x
)-2|,则函数
y=f
2
(
x
)的图象

x
轴所围成图形中的封闭 部分的面积是 .
4.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 .
5.如果从数1,2,3,…,14中,按由小到大的顺序取出
a
1

a
2

a
3
,使同时满足

a
2

a
1
≥3,与
a
3

a
2< br>≥3,
那么,所有符合上述要求的不同取法有 种.
6.当
s

t
取遍所有实数时,则
22
(
s
+5-3|cos
t
|)+(
s
-2|sin
t
|)
所能达到的最小值为 .




三.(本题满分20分)
已知
a
1

a
2
,…,
a
n

n
个正数,满足

a
1
?
a
2
?…?
a
n
=
1.
n
求证:(2+
a
1
)(2+
a
2
)…(2+
a
n
)≥3.


四.(本题满分20分)
已知正三棱锥
S

ABC
的高
SO=
3,底面边长 为6,过点
A
向其所对侧面
SBC
作垂线,垂足为
O
?,在
AO
?上取一点
P
,使
截面的面积.

五.(本题满分20分)
已知:对任意的
n
∈N*,有
a
n
>0,且
Σ< br>a
j
=
(
Σ
a
j
).求证:
an
=n

j=
1
j=
1
S
AP=
8,求经过点
P
且平行于底面的
PO
?
A
O
C
n
3
n
B
2





三.(本题满分35分)

n
×
n

n
≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数
中的一个,现 将表内
n
个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基
本项. 试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即




总能表示成4
k
的形式,其中
k
∈Z).




1989年全国高中数学联赛解答
第一试
一.选择题(本题满分30分,每小题5分):
1.若
A

B
是锐角△
ABC
的两个内角,则复数

z=
(cos
B
-sin
A
)+
i
(sin
B
-cos
A
)
在复平面内所对应的点位于( )

A
.第一象限
B
.第二象限
C
.第三象限
D
.第四象限
【答案】B
【解析】0°<
A

B
<90°<
A
+
B
<180°.故90°>
A< br>>90°-
B
>0°,sin
A
>cos
B
,cos
A
B

故cos
B
-sin
A
<0,sin
B
-cos
A
>0.点
Z
位于第二象 限.选
B

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3.对任意的函数
y=f
(
x
),在同一个直角坐标系中 ,函数
y=f
(
x

l
)与函数
y=f
( -
x
+
l
)
的图象恒( )

A
.关于
x
轴对称
B
.关于直线
x=l
对称
C
.关于直线
x=

l
对称
D
.关于
y
轴对称
【答案】B
【解析】令x
-1
=t
,则得
f
(
t
)
=f(-
t
),即
f
(
t
)关于
t=
0对 称,即此二图象关于
x=
1
对称.选
B


5.若

M=
{
z
|
z=
t
1+
t
+
i

t
∈R,
t
≠-1,
t
≠0},
1+
tt
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N=
{
z
|
z=
2[cos(arcsin
t< br>)+
i
cos(arccos
t
)],
t
∈R,|< br>t
|≤1}.

M

N
中元素的个数为

A
.0
B
.1
C
.2
D
.4
【答案】A
22
【解析】
M
的图象为双曲线
xy=
1(< br>x
≠0,
x
≠1)
N
的图象为
x
+
y=
2(
x
≥0),二者无公共




点.选
A



三.填空题(本题满分30分,每小题5分)
1.若log
a
2<1,则
a
的取值范围是 .
【答案】(0,1)∪(2,+∞)
【解析】若0<
a
<1, 则log
a
2<0,若
a
>1,则得
a
>2.故填(0,1 )∪(2,+∞)

2.已知直线
l
:2
x
+
y =
10,过点(-10,0)作直线
l
?⊥
l
,则
l
?与
l
的交点坐标为 .
【答案】(2,6)
【解析】直线
l
?方程为(
x
+10)-2
y=
0,解得交 点为(2,6).

3.设函数
f
0
(
x
)=|x
|,
f
1
(
x
)
=
|
f
0
(
x
)-1|,
f
2
(
x
)
=
|
f
1
(
x
)-2|,则函数
y=f
2
(
x
)的图象

x
轴所围成图形中的封闭部分的 面积是 .

n
∈N*,故
n=
1,得,α+α-1
=
0,
2




-1±5
∴ ?
=

2
由α>0,知,?
=
-1+5-1+5
.∴ 原数为.
22

5.如果从数1,2,3,…,14中,按由小到大的顺序取出
a1

a
2

a
3
,使同时满足
a< br>2

a
1
≥3,与
a
3

a
2
≥3,
那么,所有符合上述要求的不同取法有 种.
【答案】120
【解析】令
a
1
?
=a
1

a
2
?
=a
2
-2,
a
3
?
=a
3
-4,则得1≤
a
1
?<
a
2?<
a
3
?≤10.所求取法为
C
10
=
12 0.
3

三.(本题满分20分)
已知
a
1

a
2
,…,
a
n

n
个正数,满足

a
1
?
a
2
?…?a
n
=
1.
n
求证:(2+
a
1
) (2+
a
2
)…(2+
a
n
)≥3.

a
1
a
2
+
a
1
a
3
+ …+
a
n
-1
a
n

C
n
n2
C
n
2
(
a
1
a
2
a
n
)
n
-1
=C
n
,……,
n
-1
2
∴ (2+
a
1
)(2+
a2
)…(2+
a
n
)
=
2+(
a
1< br>+
a
2
+…+
a
n
)2
≥2+
C
n
2



n
1
n-1
+(
a
1
a
2
+
a
1
a
3
+…+
a
n
-1
a
n
)2
nn
n
-2
+…+
a
1
a
2

an

+
C
n
2
2
n
-2
+… +
C
n
=
(2+1)
=
3.
1




四.(本题满分20分)
已知正三棱锥
S

ABC
的高
SO=
3,底面边长为6,过点
A
向其所对侧面
SBC
作垂线,垂
足为
O
?,在
AO
?上取一点
P
,使
AP
=
8,求经过点
P
且平行于 底面的截面的面积.
PO
?


五.(本题满分20分)
已知:对任意的
n

N
*,有
a
n
>0,且 < br>Σ
a
j
=
(
Σ
a
j
).求证:a
n
=n

j=
1
j=
1
【解析】 证明:由已知,
a
1
=a
1

a
1
>0, ∴
a
1
=
1.

n

k
(< br>k

N
,且
k
≥1)时,由
Σ
a
j

=
(
Σ
a
j
)成立可证
a
k< br>=k
成立.
j=
1
j=
1
32
n
3
n
2
n
3
n
2
k
+1
3
k
+1
2
kk
2
2

n=k
+1时,< br>Σ
a
j
=
(
Σ
a
j
)
=< br>(
Σ
a
j
)+2
a
k
+1
(
Σ
a
j
)+
a
k
+1

j=
1
j=
1
j=
1
j=
1
1
2
1< br>3
1
2
2
22

k(
k
+1)+
a
k
+1
=k
(
k+1)+2
a
k
+1
·
k
(
k
+1) +
a
k
+1

442
2
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a
k
+1

a
k
+1

k
(
k
+1)
=
0,解此方程,得
a
k< br>+1
=

k

a
k
+1
=k
+1.由
a
n
>0知,只有
a
k
+1
=k
+1
成立.

n=k
+1时命题也成立.由数学归纳原理知对于一切n
∈N*,
a
n
=n
成立.




第二试
一.(本题满分35分)
已知 在Δ
ABC
中,
AB
>
AC
,?
A
的一个 外角的平分线交Δ
ABC
的外接圆于点
E
,过
E

EF

AB
,垂足为
F

求证 2
AF=AB
-
AC

【解析】证明:在
FB
上取
FG=AF
,连
EG

EC

EB

于是Δ
AEG
为等腰三角形,∴
EG=EA

E
又?3
=
180?-?
EGA=
180?-?
EAG=
18 0?-?5
=
?4.
5
A
?1
=
?2.于是Δ< br>EGB
≌Δ
EAC
.∴
BG=AC

4
F
故证
3
G

2

1
二.已知
x
i
∈R(
i=
1,2,…,
n
n
≥2),满足
C
B

Σ
|x
i
|
=
1,
Σ
x
i
=
0,
i=
1
i=
1
nn
?
n
x
i?
11
求证:
?
Σ
?
≤- .
?
i =
1
i
?
22
n
三.有
n
×
n< br>(
n
≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个,现将表内
n
个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个 基
本项.试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即
总 能表示成4
k
的形式,其中
k
∈Z).
【解析】证明 :基本项共 有
n
!个,
n
>3,则基本项的个数为4的倍数,设共有4
m
项.
其中每个数
a
ij
(
=
±1)都要在(
n
-1)!个基本项中出现,故把所有基本项乘起来后,每

a
ij
都 乘了(
n
-1)!次,而
n
>3,故(
n
-1)!为偶数, 于是该乘积等于1.这说明等于-1的











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