高中数学变式教学方法文献综述-高中数学必修五2.4等比数列教案
一.选择题(本题满分30分,每小题5分):
1.若
A
、
B
是锐角△
ABC
的两个内角,则复数
z=
(cos
B
-sin
A
)+
i
(sin
B
-cos
A
)
在复平面内所对应的点位于( )
A
.第一象限
B
.第二象限
C
.第三象限
D
.第四象限
1
2.函数
f
(
x
)
=
arctan
x
+arcsin
x
的值域是(
)
2
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333311
A
.(-π,π)
B
.[-π,π]
C
.(-π,π)
D
.[-π,π]
444422
三.填空题(本题满分30分,每小题5分)
1.若log
a
2<1,则
a
的取值范围是
.
2.已知直线
l
:2
x
+
y=
10,过点(-
10,0)作直线
l
?⊥
l
,则
l
?与
l
的交点坐标为 .
3.设函数
f
0
(
x
)
=|x
|,
f
1
(
x
)
=
|<
br>f
0
(
x
)-1|,
f
2
(
x)
=
|
f
1
(
x
)-2|,则函数
y=f
2
(
x
)的图象
与
x
轴所围成图形中的封闭
部分的面积是 .
4.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 .
5.如果从数1,2,3,…,14中,按由小到大的顺序取出
a
1
,
a
2
,
a
3
,使同时满足
a
2
-
a
1
≥3,与
a
3
-
a
2<
br>≥3,
那么,所有符合上述要求的不同取法有 种.
6.当
s
和
t
取遍所有实数时,则
22
(
s
+5-3|cos
t
|)+(
s
-2|sin
t
|)
所能达到的最小值为 .
三.(本题满分20分)
已知
a
1
,
a
2
,…,
a
n
是
n
个正数,满足
a
1
?
a
2
?…?
a
n
=
1.
n
求证:(2+
a
1
)(2+
a
2
)…(2+
a
n
)≥3.
四.(本题满分20分)
已知正三棱锥
S
—
ABC
的高
SO=
3,底面边长
为6,过点
A
向其所对侧面
SBC
作垂线,垂足为
O
?,在
AO
?上取一点
P
,使
截面的面积.
五.(本题满分20分)
已知:对任意的
n
∈N*,有
a
n
>0,且
Σ<
br>a
j
=
(
Σ
a
j
).求证:
an
=n
.
j=
1
j=
1
S
AP=
8,求经过点
P
且平行于底面的
PO
?
A
O
C
n
3
n
B
2
三.(本题满分35分)
有
n
×
n
(
n
≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数
中的一个,现
将表内
n
个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基
本项.
试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即
总能表示成4
k
的形式,其中
k
∈Z).
1989年全国高中数学联赛解答
第一试
一.选择题(本题满分30分,每小题5分):
1.若
A
、
B
是锐角△
ABC
的两个内角,则复数
z=
(cos
B
-sin
A
)+
i
(sin
B
-cos
A
)
在复平面内所对应的点位于( )
A
.第一象限
B
.第二象限
C
.第三象限
D
.第四象限
【答案】B
【解析】0°<
A
、
B
<90°<
A
+
B
<180°.故90°>
A<
br>>90°-
B
>0°,sin
A
>cos
B
,cos
A
.
故cos
B
-sin
A
<0,sin
B
-cos
A
>0.点
Z
位于第二象
限.选
B
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3.对任意的函数
y=f
(
x
),在同一个直角坐标系中
,函数
y=f
(
x
-
l
)与函数
y=f
(
-
x
+
l
)
的图象恒( )
A
.关于
x
轴对称
B
.关于直线
x=l
对称
C
.关于直线
x=
-
l
对称
D
.关于
y
轴对称
【答案】B
【解析】令x
-1
=t
,则得
f
(
t
)
=f(-
t
),即
f
(
t
)关于
t=
0对
称,即此二图象关于
x=
1
对称.选
B
5.若
M=
{
z
|
z=
t
1+
t
+
i
,
t
∈R,
t
≠-1,
t
≠0},
1+
tt
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N=
{
z
|
z=
2[cos(arcsin
t<
br>)+
i
cos(arccos
t
)],
t
∈R,|<
br>t
|≤1}.
则
M
∩
N
中元素的个数为
A
.0
B
.1
C
.2
D
.4
【答案】A
22
【解析】
M
的图象为双曲线
xy=
1(<
br>x
≠0,
x
≠1)
N
的图象为
x
+
y=
2(
x
≥0),二者无公共
点.选
A
.
三.填空题(本题满分30分,每小题5分)
1.若log
a
2<1,则
a
的取值范围是
.
【答案】(0,1)∪(2,+∞)
【解析】若0<
a
<1,
则log
a
2<0,若
a
>1,则得
a
>2.故填(0,1
)∪(2,+∞)
2.已知直线
l
:2
x
+
y
=
10,过点(-10,0)作直线
l
?⊥
l
,则
l
?与
l
的交点坐标为 .
【答案】(2,6)
【解析】直线
l
?方程为(
x
+10)-2
y=
0,解得交
点为(2,6).
3.设函数
f
0
(
x
)=|x
|,
f
1
(
x
)
=
|
f
0
(
x
)-1|,
f
2
(
x
)
=
|
f
1
(
x
)-2|,则函数
y=f
2
(
x
)的图象
与
x
轴所围成图形中的封闭部分的
面积是 .
但
n
∈N*,故
n=
1,得,α+α-1
=
0,
2
-1±5
∴
?
=
,
2
由α>0,知,?
=
-1+5-1+5
.∴ 原数为.
22
5.如果从数1,2,3,…,14中,按由小到大的顺序取出
a1
,
a
2
,
a
3
,使同时满足
a<
br>2
-
a
1
≥3,与
a
3
-
a
2
≥3,
那么,所有符合上述要求的不同取法有 种.
【答案】120
【解析】令
a
1
?
=a
1
,
a
2
?
=a
2
-2,
a
3
?
=a
3
-4,则得1≤
a
1
?<
a
2?<
a
3
?≤10.所求取法为
C
10
=
12
0.
3
三.(本题满分20分)
已知
a
1
,
a
2
,…,
a
n
是
n
个正数,满足
a
1
?
a
2
?…?a
n
=
1.
n
求证:(2+
a
1
)
(2+
a
2
)…(2+
a
n
)≥3.
a
1
a
2
+
a
1
a
3
+
…+
a
n
-1
a
n
≥
C
n
n2
C
n
2
(
a
1
a
2
…a
n
)
n
-1
=C
n
,……,
n
-1
2
∴ (2+
a
1
)(2+
a2
)…(2+
a
n
)
=
2+(
a
1<
br>+
a
2
+…+
a
n
)2
≥2+
C
n
2
n
1
n-1
+(
a
1
a
2
+
a
1
a
3
+…+
a
n
-1
a
n
)2
nn
n
-2
+…+
a
1
a
2
…
an
+
C
n
2
2
n
-2
+…
+
C
n
=
(2+1)
=
3.
1
四.(本题满分20分)
已知正三棱锥
S
—
ABC
的高
SO=
3,底面边长为6,过点
A
向其所对侧面
SBC
作垂线,垂
足为
O
?,在
AO
?上取一点
P
,使
AP
=
8,求经过点
P
且平行于
底面的截面的面积.
PO
?
五.(本题满分20分)
已知:对任意的
n
∈
N
*,有
a
n
>0,且 <
br>Σ
a
j
=
(
Σ
a
j
).求证:a
n
=n
.
j=
1
j=
1
【解析】
证明:由已知,
a
1
=a
1
,
a
1
>0,
∴
a
1
=
1.
设
n
≤
k
(<
br>k
∈
N
,且
k
≥1)时,由
Σ
a
j
=
(
Σ
a
j
)成立可证
a
k<
br>=k
成立.
j=
1
j=
1
32
n
3
n
2
n
3
n
2
k
+1
3
k
+1
2
kk
2
2
当
n=k
+1时,<
br>Σ
a
j
=
(
Σ
a
j
)
=<
br>(
Σ
a
j
)+2
a
k
+1
(
Σ
a
j
)+
a
k
+1
.
j=
1
j=
1
j=
1
j=
1
1
2
1<
br>3
1
2
2
22
即
k(
k
+1)+
a
k
+1
=k
(
k+1)+2
a
k
+1
·
k
(
k
+1)
+
a
k
+1
.
442
2
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∴
a
k
+1
-
a
k
+1
-
k
(
k
+1)
=
0,解此方程,得
a
k<
br>+1
=
-
k
或
a
k
+1
=k
+1.由
a
n
>0知,只有
a
k
+1
=k
+1
成立.
即
n=k
+1时命题也成立.由数学归纳原理知对于一切n
∈N*,
a
n
=n
成立.
第二试
一.(本题满分35分)
已知
在Δ
ABC
中,
AB
>
AC
,?
A
的一个
外角的平分线交Δ
ABC
的外接圆于点
E
,过
E
作
EF
⊥
AB
,垂足为
F
.
求证
2
AF=AB
-
AC
.
【解析】证明:在
FB
上取
FG=AF
,连
EG
、
EC
、
EB
,
于是Δ
AEG
为等腰三角形,∴
EG=EA
.
E
又?3
=
180?-?
EGA=
180?-?
EAG=
18
0?-?5
=
?4.
5
A
?1
=
?2.于是Δ<
br>EGB
≌Δ
EAC
.∴
BG=AC
,
4
F
故证
3
G
2
1
二.已知
x
i
∈R(
i=
1,2,…,
n
;n
≥2),满足
C
B
Σ
|x
i
|
=
1,
Σ
x
i
=
0,
i=
1
i=
1
nn
?
n
x
i?
11
求证:
?
Σ
?
≤- .
?
i
=
1
i
?
22
n
三.有
n
×
n<
br>(
n
≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个,现将表内
n
个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个
基
本项.试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即
总
能表示成4
k
的形式,其中
k
∈Z).
【解析】证明 :基本项共
有
n
!个,
n
>3,则基本项的个数为4的倍数,设共有4
m
项.
其中每个数
a
ij
(
=
±1)都要在(
n
-1)!个基本项中出现,故把所有基本项乘起来后,每
个
a
ij
都
乘了(
n
-1)!次,而
n
>3,故(
n
-1)!为偶数,
于是该乘积等于1.这说明等于-1的
基