2018年全国高中数学联赛加试题另解

１
２

中
等

数

学
２
０

１

８

年

全

国

高

中

数

学

联

赛

加

试

題

另

解
中图
分
类号

〇

２

１
文
献标
识码
Ａ
文
章
编
号

０
０
５

６
４

６

２

０

８

２ ０
０

２

０
６
１
１
（
１
）
１
１
第
一
题 设 为
正
整

数

ｂ
，
ａ
，
…
，
，
ｎ

，
高级
中

学
高
三

（

１
）
班
３

２

０
３

０

伍
蛘 圳
，
１
重
ｂ
，
２
？？ ？

及
Ａ

Ｂ
均
为
正
实数 满
足


ｎ
、
，
：
庆
南

开

中

学

高
一
（
５

班

４
０
００
０
０
）
，
）

＝



且
ａ
１




ａ


证
明












ｔ

＝
证
法
２

Ｈ

由
ａ

〇

知



ｉ
ｎ
ｂ
ａ
，
＾
０
Ｍ
Ｂ
Ａ

＾
０

，

，








＊ ，

ａ


Ａ





２


｛

ｎ


１


） （





－
－
－


６
ｎ

＋

）



１











Ａ



（
ｉ
＝１




，



（
ｂ

＋


６
２

＋
ｌ

）


（

＾
Ｂ
＋





＼
＾
．










Ａ
＋

ｌ



２


，




，
ｎ

）















。


（
ａ
＋
ｌ
） （
ａ
＋
ｌ
２
）
－

－
（
ａ
？

＋

１

）
＋
１



故

证法
１

不妨设

把

斯

＝





多

１
…
￥

ａ

？


＋
１

＝








」

设

则
＝







＝



（
ｉ






先
证
明
引
理

（
ｔ

个
引

理
一




ｆｌ











设
人

多
＝
⑷
＋
ｌ

）

（

ｎ

ａ
？
＋
ｌ

）
Ｓ
（

ａ
＋
ｌ

）

（

ｍ
ａ

？

＋

ｌ

）

１
，




＿
事
实
上

引
理

的
结论
等
价
于
（
喵

Ｋ
ａ
ｎ
〇 ａ
）（
，
１
）

＾
０
－


反复
利
用
引

理
得











僅
Ｊ

：
卜
Ａ
Ｊ
＋

Ａ
ｌ
ｎ
（
从
＋

１
）

＝
＾


ｎ

（
（
？
＋
ｌ

１
）


） （
ｎ
ｎ
＾


ｌ
）

Ａ
＋

ｌ
ｌ
ａ



Ｍ
Ｂ

＋

Ａ
＋


Ａ
＋

＝
ｌ
ｌ

－






（
ｎ
＾

ｏ

（
（

＜
（

＋
）
ｎ
Ｋ

＾
ｆ

＋
１
（
杨

运
新
陕
西
省

西
安铰
中

７

０
０
５
４
一
，
１
）

．
卜
”
）

４

４０００
６


１
谭
舒

月

）
重庆
十

中

学

２０

９

级

０

班

一
１
（
１
）
，
故
只
需
证
明

４


＋ １

Ｄ

１
ｄ
ｎ

＋

１
Ａ
＋

ｌ
化
简
得

＼

矣

儿
由
题设
条件

知
上
式
显
然成
立
从
，






证法
３

令

￡
＝
＆
°
ｃ

＋


）
ｃ
＋
引
理

ａ
而

命
题得
证
，
Ａ
郭
家
成



天
津

市

耀

华

中

学

实

验

五

年
这
等
价
于

＾
〇
ａ

多
０

显
然
成
立
下面
（１）
，
（
２
）

班

３

０
０
０
４
０

，
于
心

涛

浙
江

省绍

兴
鲁
迅

证
明

：

２
０
１
年
第

２

期
８
１


Ａ
１
３


②

１
０
＾
Ｄ

＾

Ｃ

１
＋
，
Ｄ
Ａ
＋

１
矣
１
Ｃ

＋

Ａ

Ｚ
７
Ｔ
：


１

＋
Ａ
用数学归
纳
法
加
强
证
明




归纳
证
明
式
②
当
ｎ

２

时

＝
，
式②
句


显
然



ｔ
＋

ｌ
）

（

ｃ
２

ｌ ）

彡
０

，












当
ａｒ

时

｜
＝
１
」
＝
，
ａ
，
假设
当

时 式
②
成
立
，
Ａ

，
由
归
纳
假
设
得
Ｃ
式
①

〇

＜
Ｚ

此
由

Ｃ
）
（
即
得

）

，







ｎ


ｉ

＋

Ａ
成
立
＝
Ａ
４ ＋
１
假
设
命
题
当

ｎ

ｆｃ

６

Ｚ
时
成
立
则

当
“
时
由
归

纳
假
设得
＝ Ａ
（＋）
；
ｉ
＝ｌ
，
ｎ
ｉ




这
里
规定
，










ｌ
１
＋
ａ
＝
１

Ａ
综
上

不
等式
②成
立
，

故
式
①
左边



Ｂ

１
故
＝
Ｂ
１
Ｋ

ｆ
＋
）
＝
ｉ
ｋ


＋
Ｄ

ｃ

〇

＋
ｃ
ｘ
ｋ
＋
４
ａ
ｋ

＋


Ａ
ａ
ｉ

＋

只
要
证




Ｄ
４
＋

１






Ｄ
矣
１
＇
＋
Ｉ Ｊ

Ｂ

＋


＼
Ｉ
Ｔ
Ｔ

，







，

＋
Ａ
即
证



Ｄ
：


ｌ
／


ａ
Ａ
＋ １
＋





１




１

Ａ
＋

ｃ
（
路子

平

天
津
市
第

中

学
高
三

（

２

）
一
１


Ａ
ｋ

Ａ
＋

ｌ
＾
／


Ｄ
Ａ
＋

ｌ

ａ
ａ
ｋ

ｋ ＋

Ｄ

班
３
００
０
５


１
张
锐

陕

西省

西
安
高

新

第

中
一
学
７

０
０
７５

１
）




＾

＼
Ｄ
Ａ
＋
＾
＇

证法
４

令
ｃ
；
１

Ａ
＋

ｌ

／

ａ
ｉ

＋

＋

１

４

＋

１

Ａ

＋

１

１
＾

＝

５

〇

５

〇

（

＝

１

２

）

Ｃ
＝

Ｂ
Ａ
＾

０
５
４
；；
，，
－－－
／１
，，

（
上
式
显
然
成
立
刘
帅


则
问
题转化
为

已
知

Ｕ

＋

１
：


彡

＋

则
１
天
津

市

第

中

学
高
三

２

班

一
（
１）
，
么
ｆ
３
０
０
０
５
１



王
梅
丽

重
庆

市
铁路
中

学

４
００００
０

，
）
证
法

Ｓ

对

？

用
数学
归
纳法
＝ ｌ
，



ｃ

Ｃ
＜
１


当
ｒｅ

时

令

｜

则
１
，
？
（
Ｘ

｜
Ａ

１
４
中
等

数

学

设
原
不
等
式
在
４

６

Ｚ

时
成
立

＼
ｈ

的
情
况

已
知
对
ｎ

＋

＋
）
２

则
Ｄ
Ｆ

丄

Ｆ
Ｇ

ｂ
＂
Ｄ
Ａ
，
１
＇
＇

ａ ａ
１
－
－
ａ ａ
ｎ ｎ ＋
１
２

不
妨
设
Ｌ

办
ｍ
ｉ
ｎ
１
６
，

；
丨
并设






？
丸
矣矣
ｎ
＋

Ｃ







则
Ａ

ａ
Ｃ
匕
±
ｅｒ

＋

＜

｜

４



＾

１
ｌ
ｉ
匕
±

＜

多
ａ

Ｃ
１
ｎ＋
．
故
对
于
任何
￥

矣

ｎ

均
有
，
ｂ
ｂ
ｘ
ｂ
２

＾
－ － －
ｂ
ｎ
Ｑ
＝















图
１

＊ ＊ ＊
Ｃｌ
〇
２

ｎ
＾
Ｔ



结
合

４

七

及

６

？ ＋
多

１
证
法
１
设
／
为
Ａ

ｉｆ
Ｃ

的

内

心

经
过
４


＾
，
、
的
最
小
性
得
（
Ｚ


Ｓ
，
四
点
的

圆

与
边
４Ｃ

的
第
二
个交点
为

彡
Ｃ

一

６

？

６
？ ＋

１
，
彡
ａ
方
面

对

于

？ ＋


＝

ｌ

２

，，
…
，

ｒａ

）

＆
＆
６
…
１
＝
ｆ
，
应

用
③
联结
辅
助
线
如
图
２


２
＂

Ｄ


ａ

归纳
假设有


ａ
ａ
２
１

ａ
ｎ

Ａ



）




＇

ｌ
（
＆

！



－
＋


）
（

ｂ
２

＋

）
ｌ


？？ ？

（
ｂ

ｎ


＋

ｌ
＾

Ｃ

＋

ｌ

④
咏
（
，

＋
ｌ
）
（

ａ
２

＋

〇

〇
（
〇
？

＋

１
）
＋
１

，
多
结合
式

③
知
ｃ




满
足

ｎ
时
的
情
况
有

另

一
方
面

对
于

，
，


，
ｎ
＋
＝
ｌ
Ｌ
＋
１

＾
Ｊ

⑤






ａ
ｎ
＋
１
＋
ｉ
ｃ
Ｔ
Ｔ

④
ｘ
⑤
得
Ａ
＋

Ｍ

ｈ

＋

＋

ｌ

















／
：

Ｂ
Ｉ
Ｅ

＝

Ｚ

Ａ
Ｂ
Ｉ

＋

Ｚ

Ｂ
Ａ
Ｉ
＝
）
…
（
６
？
ｌ
１
）（
６
？ ＋

＋

１
１
）
（
ａ

＋

ｌ

）

（

ａ
２

＋

）

，
！
？ ？ ？

（

〇
？

＋

） （

ａ

？

＋

＋

）
１




１
Ｚ

Ｃ
Ｂ
Ｉ
Ｉ

＋

Ｚ

Ｃ
Ｂ
Ｅ
＝

Ｚ

Ｉ
ＢＥ
，
Ｚ
Ａ
Ｆ

＝
Ｚ
Ｂ
Ｅ
Ｄ

即
命
题在

＋

时成
立

由
数
学
归
纳

法

知
式
①
得
证
／
对点
与Ａ

ｓ
ｎ

＇
Ｅ
ｍ
／

由

角

元
塞
瓦
定
理
得
，
ｉ１
Ｘ

Ｅ
ＦＢ

ｎ

Ｘ
Ｅ
Ｉ
Ｆ

ｎ
Ｘ
ＥＢ
Ｉ

＝
ｓ
ｎ

Ｚ

ＥＦ
Ｉ
ｓ
ｎ

Ｚ

Ｅ
Ｉ
ｓ
＇
ｓ
，
Ｂ
ｓ
ｎ

Ｚ

ＥＢ
Ｆ
（
张逸

尘

１

班
３

０
００
５


，
天
津

市

第

中

学
高
二

（

）
一
１１









ｓ
ｎ

ｓ
ｉ
ｎ

Ｚ
Ｅ
Ｆ
Ｂ

ｓ
ｎ

／
Ｅ
Ｂ
Ｆ

）
ｓ

ｎ

Ｅ
Ｆ
Ｉ

ｓ
ｎ

Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｉ
Ｆ

，
第
题 如
图

Ａ
仙
Ｃ
为锐
角

三
角
形
１
，
二
，
Ｚ
Ｅ
Ｄ
Ａ


＜
札

财

为
边
ｆｉＣ

的

中
点

，
／
）

、

￡

：
分别
为△
仙
Ｃ

的
ｓ
ｎ

＾
Ｂ
Ｅ
Ｄ


＝


ＲＶ
／
ｓ
ｎ

Ｚ
Ｅ
ＦＢ

＝

Ｅ
Ａ
ＢＤ
外接
圆
弧

的

中
点

Ｆ

为
△
Ａ
ｉｆ
Ｃ

内
切

圆
在
边
上的
切
，
Ｚ
①

＝
点

Ｇ

为

处

与

执

的
交
点 点
Ｖ
在线
段

现

上
满
■
足
Ａ
？
丄
他

证
明

若

册


，
：
：
，
／
，
由
切

割
线定
理
得
Ｃ
Ｓ
Ｃ
Ａ

＝
Ｃ
Ｍ
ＣＧ
．．
：
＝
，

２
０

１

８

年第
２
期
１


＇
１
５

Ｍ
Ｅ

＝
Ｍ
Ｅ

ＣＡ
＿
Ｃ
Ｓ


－
Ｃ
Ｍ

ＣＧ
－


由
Ｂ
Ｎ

＝
Ｍ
Ｅ

及Ｚ

ＰＢ
Ｎ
ｔ

Ｚ

Ｍ
ＢＥ

＝

９０

。
＝
＞








Ａ
Ｐ
Ｂ
Ｎ
＾
Ａ
Ｂ
Ｍ
Ｅ

由
Ａ

薦

Ａ

濃

＝
？

故
Ｃ
Ｓ

．
…
篕

篕

＝
？

＝
＞
Ｚ
ＢＰ
Ｎ

Ｚ

Ｍ
ＢＥ

Ｚ

Ｂ
Ａ
Ｅ
＝＝
Ｍ
Ｅ
．

＝
Ｍ
Ｅ

．
Ａ
Ｅ

⑨？


Ｐ
Ｎ／
／
Ａ
Ｅ
＝
．
Ｃ
Ｍ

￡
Ｃ
①
＋
②
得
Ｂ
Ｎ

Ｃ
Ｓ
，
Ｃ
Ｍ

Ｅ
Ｃ Ｃ
Ｍ

Ｅ
Ｃ
．．
＝
－
＝ ＝
Ｂ
Ｆ

Ｍ
Ｅ
Ｂ
Ｄ

Ｍ
Ｅ
Ｂ
Ｎ

＝
Ｃ
Ｄ

Ｍ
Ｅ
－

Ｍ
Ｅ
又
Ｐ
Ｎ

ＢＥ

Ｅ
ｌ

故
四
边形

Ｐ
Ｎ
Ｅ
Ｉ

为
平行


四
边形
因
此

Ｐ
／
／
／
Ａ
？

由
Ｐ
Ｂ

丄

丄

＝
，
，

＇
Ｂ
Ｆ
Ｃ
Ｓ



＝
，
Ｚ
ＢＰ
Ｎ
Ｚ
Ｂ
Ｄ
Ｅ

＝
，






又
Ｂ
Ｎ

Ｍ
Ｅ
则
ＢＦ
＝

Ｃ
Ｓ

．




六
点
共
圆

知 Ａ
ＰＢ
Ｎ

〇〇
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
故
Ａ

Ｄ
Ｓ
Ｃ

＾
Ａ

ＤＦ
Ｂ
Ｚ
Ｄ
ＳＡ
Ｚ
Ｄ
Ｆ
Ａ
＝
易
得Ａ

ＢＰ
Ｄ

⑦
Ａ
Ｂ
Ｎ
Ｅ
，
．
由
对应边垂
直

有

＾

丄

Ｐ
Ｚ
）
．
＝＞
Ｄ

、
人

Ｆ
、

Ｓ

四

点
共
圆
由
￡
Ｆ

丄

Ｐ
Ｚ

７

丄

；
）
，
ｉ
？
，
￡
７

丄
Ａ
Ｚ

）
＝＞

Ａ
Ａ
Ｐ
Ｄ

＾
／
＼

Ｉ
ＦＥ
ｃ
Ｚ
Ｄ
Ｆ
Ｇ
Ｚ
Ｄ
Ａ

Ｇ

９０
＝
＝
＝
＞

°
．
Ｚ

ｐ
ａ
ｄ
＝

ｚ

Ｆ
Ｉ
Ｅ
．

，
李
晕

天

津

外

国

语

大

学

附
属

外

国

语
学校
３
００２
３

０

沈
毅
四

川
省
成
都
七

中
初
中
学

０
校
６

０４


证
法

２

由

题
意
知
Ｍ

五

三
点
共
线
且

为
圆的
直径
（
，

故
Ａ
Ａ
ＧＣ

ｍ
Ａ
Ａ
ＢＥ

４

由
角
平
分
线
定
理
得
＾
§

＝

．
１
１
ｇ
）






由
窜

，
Ｚ）
、、
，
又
Ｂ
Ｅ

＝

Ｉ
Ｅ

于
是

，，
Ａ
Ｉ
Ａ
Ｅ

＿
Ａ
Ｉ

＝
Ｉ
Ｇ


























如
图
联
结

，
３
洲
见枞
、
、
１
ｇ


１ｅ

Ａ
Ｅ

＝
ｌ
Ｅ

＂
Ｄ
ｎ
研
从
而

，

Ａ
Ｐ

Ｉ
Ｇ
沄
＝
－
③
＾
Ａ
Ｐ

Ｉ
Ｆ

④

＞

＝

＇


Ａ
Ｄ
Ｉ
Ｅ





④
＋
③
得
结
合

＝
ｍ
得
．
Ａ
Ｆ
Ａ
Ｄ

ｗ
厶
Ｆ
Ｉ
Ｅ
故
Ｚ

Ｄ
ＢＥ

９
０

＝
。
由
Ｚ
Ｉ
ＢＥ

＝
＝
Ｚ
Ｉ
Ｂ
Ｃ

＋
Ｚ
ＣＢ
Ｅ

＝

再
由
对应边
垂
直 有
ｉ
Ｆ
丄
Ｆ
Ｇ
，
）
（
张
晟
俊

安徽
省

准
北

市

第

中

学

高

三
一
（
１
）

班

２
３

５
０００

，

Ｚ
Ａ
Ｂ
Ｉ

＋
Ｚ
Ｂ
Ａ
Ｉ

＝
．
Ｚ
Ｂ
Ｉ
Ｅ


，
于
是

ＢＥ

Ｅ
ｌ
，
一
在
Ｍ

上
取
点

Ｐ

使得

５Ｐ

Ｂ
Ｍ
＝
，
何
启煊

西

北

工

业

大学

附

属
中

学

高
二

沿

班

７

０
０
７
２

王

子路

河
北


省
邯郸

市
第

中

学

高

三
Ｍ
班
０
５
６００２

（
）
，
１
一
ｌ
）
，
）

１
６

中
等

数 学


＝
证法
ｔ
３
如
图

４

Ｘ

Ｚ

Ｄ
ＦＧ

＝

Ｚ

Ｄ
Ａ

Ｇ

＝

９
０
°

＾

Ｄ
Ｆ
±
Ｆ
Ｇ
，
延
长

至

旁
心

上
记
的
内
心
为



／
（
王

永

中

四
川

省绵

阳

中

学

，

６２

１

０
００

余



梦
浩
河
北

省

石

家
庄
二

中

实

验

学校

高

三
（
３
４

）

班

，

０
５

１

Ｄ

４
３

０

李
耀

文

山 东

省

奉
庄

市



第

十

八

中
学
，

２
７７
２０
０

）



第
三
题 设
？

为
正
整数
，

满
足

＆

多

２

，
９
Ａ

１

＊

Ｋ
ｎ

＾

ｍ

＜
ｎ
４
１
，
＾
１
？
设 是
２

，

＂

，

肌

的


ｋ



元子
集

证
明

：
区间
中
的
每个
整

数均




可
表
示为
ａ ａ

＇

（

ａ

、

ａ

ｆ

／

！

）





证
法

１

设

Ｍ

为
区间

中的
最



大
整
数
记

ｙ

＝

ｕ

，

２

，

…



，

则
４
为
集合

Ｆ

的

ｎ

元子集




则
Ｄ
只
要

证

：

任

给

ｘ

Ｄ Ｎ
，

存

在
４

、

／

＇

、

＾
；

、

／

五
点
共
线
，

、

Ｍ

、

￡

三
点 共

线

，

且

为Ａ
４
Ｂ
Ｃ
外接
圆

的
直径
＝
ａ
＊


仙

、
ａ
＇

６

ｙ
４

，

使得

（
１
〇
＇

＋
％
作
印丄

于
点


＝

ａ

＋

％ ａ

Ｇ

，

（
？

，

介

丄

／
Ｉ

ｆｉ

于
点

／
＾

记
４
ｙ
＊

＝

＋
ｘ

．

又
Ｆ

丄

仙

则

／
／
，
Ｆ
／
／
叫
？

＼

再
由

瓦

为

／

／

的

中
点
，
知
即

？
＜
？
为
的

中
点
显
然

３

Ｔ广
ｖ

均
为 的
／

Ｉ
元
子集
？
故印

士
ｆ
Ｐ

｜

４
Ｐ
＝
＝（
則

若
ｘ

６

〇

，

｜

ｒ

Ｎ

，

则

１
１
ａ

＋

ｂ

＋

ｃ
ｂ
＋

ｃ
ａ
＼

ａ



ｋ
ｌ
）

ｎ


＝

＝
舰
Ｙ
＊

＾
＝
Ｍ

＋

，

ｘ
＜

＋
＝
２

Ｌ

＾

ｎ
，
２
＼
２２

ＫＫ

）
２


ｔ
ａｎ


Ｚ

即

ｍ
＋

ｍ

＞

ｒ

Ｎ
ＦＢ

＝

ｔ
ａｎ

Ｚ

ＱＦ
Ｅ

＝

＾

＝

＾

据
容
斥

原
理
得
４

ｎ

／
Ｔ
＝

０



Ａ
Ｅ


因
此

，

ｓ

Ａ
存
在

ａ

、

ａ

＇

６

ｙ

４

，

满足

ａ

＝

ａ

＇

＋

ｘ

，

命
ｎ

Ａ
Ｅ

Ｂ
Ｍ

ＡＥ
＝
Ｗ
，

＝
题成

Ｂ
Ｍ

Ｂ
Ｄ

立
Ｂ
Ｄ

Ｂ
Ｎ
Ｅ
Ｍ
￥

此时
，
则
Ｅ
Ｍ
下面
考虑


又

ａ

ｎ

／

Ｎ
Ｂ
Ｆ

＝
ｔ
ＦＢ
ＢＦ
ｉ
，
Ｂ
Ｆ

＇
（
ｋ

ｌ
）

ｘ

＜

ｎ

＜

ｋｘ

结合

得


ｔ
Ｘ

Ｍ


ｎ

１

ｌ
＼

Ａ
Ｅ
Ｍ
＾

ｃ
＾／
＼

ＤＢ
Ｆ

＝

＞
ｚ
ＤＦＢ
＝

ｚ

Ａ
Ｍ
Ｅ



ｋ
＝
＞
Ｚ
Ａ
Ｆ
Ｄ

＝
Ｚ
Ａ
Ｍ
Ｄ

＝
（

２
＾

３

ｘ
＋

ｆ

＋
＝

２
、

）

、

似
，四

点共
圆
）

＾


＾
ｋ
ｋ

又显
然

穴

、

／
）
澤
、

四
点共
圆
于
是

４

／

（
；
，，
＾
、
）

、

＞
（

２
ｋ

３
）

ｘ

９

Ｍ
、

Ｃ

、

Ｆ

五
点
共
圆

２０
１
８
年第
２
期
１


２
ｋ

ｌ

ｎ
￣
１
７

且


Ｍ

＜


＾＾

ｋ

＝

ｋ
－
＝
（

２
ｋ

ｌ
）

ｘ


＼
（
２


ｑ
２


）
Ｓ
＋

２

，
（

，
｝
２


ｑ
ｌ

）
ｓ
＋

２
｝

，
－
，


（
２
９

１
５
）

２
９
５




１
Ｔ
＾
Ｍ
＝
ｑ
ｘ
＋
ｒ
（

ｑ

２ｋ

３

＾
ｑ
３

＝

２ｋ

２

）

．
－
（
１
）

当

９

＝

２

Ａ

时

矣

ｒ

矣

１
，
ａ
ｃ
－
１




（
１
）

ｓ
若

０

々

Ｑ

则
再增
加

个集合

－
１
，
／
？
：
＼

２ｑ
＋

＼
２
ｑ
ｓ
＋ ２ ２
ｑ
ｓ
＋
ｒ

＼
，
＼
］
，
＇
－
－
，
｛］
，
丨
＃
＋

１
丨
假
设

４

中
任
意
两
个
元素
的

差
不
为

则
中
至
多有
个元素属
于
１
２ｘ
＋
２
一
共
得
到

炉

＋
个
集
合
／
？
．

丨

，


中
至
多
有个
元
素< br>属于
１
中至
多
有

个
元
素
属于

４

一
… …
丨一
若
ｎ

＞

ｇ

＋

由

抽屉
原
理

知
集
合
４

中
必
ｓ
／
？
，，
，
丨
ｋ

＋

３＊

＋

中
至
１
，
１
多有
一
一
个
元
素属

于

４

２＊

＋

２

３ｘ

＋

２

中

至
，
存
在
两
个
数
同

属

于上
述
集
合
的
同

个

它们
的
差
为
６

命
题
成
立
一
，
，丨


若
矣

识

＋

由

题设知
／
１
？
＂
，
多有 个
元

素属

于

（
２灸

－

３

）

＊
＋
中
／
丨
至
多
有

个
元素属于

？
｜
／
（
２

４

ａ

＋

ｒ

）
，
／

一



ｋｍ
＜

（
２ｋ

ｓ
ｌ
）

ｎ
故
ｋ

２

ｑ

＋

ｒ

＜

２
ｋ

１

ｑ

＋

ｓｒ
（）（
—
） （）




于
是

灸
，
Ｕ
矣
（


２
，
１
）

＊
．

这与
４

１

＝

ａｒ

矛
盾

？





化简
得

妒

＜

①
（
Ａ
－
ｌ
）
ｒ
（
Ｍ
＋
１
丨

时

０

矣

矣
＊

假
设

４

中
任意
两
个
元素
的

差不为

ｔ

则
个
元素属
于

４

２

＊

＋

２
中
至
多有
２
）
当
９
＝

２
Ａ

厂
．
又＜
（
ｋ
〇
于
是
，
，
（

中
至
多有
个
元素属
于 １ Ｕ
２＊

中
至

多有
个
元
素属
于

４

２
＊

＋

３

＊

＋

中
至
多

有 个
元
素属

于

Ｈ

２
＊

＋

２

３＊

＋

２

中至

多
有

个
元
素
属于
七
２

３

＊

２Ａ ２

＊


一
一
，
，
ｌ
）
ｓ
＜

ｎ

＾

ｑ
ｓ
＋
ｒ
＾

ｋ
Ａ
＜

＋
－
ｑ
．
ｓ

… …
，
丨
因
为

是整
数

且

ｒ

所
以

Ａ
ｏ
レ
ミ
９
，
，
，
ｌ
？
上
一
，
１
，
１
一
，
丨




式代
人
式
①
得

炉

＜

Ｆ

矛盾
，
？
（
２

）

若
矣
＜
２
则再
增加个
集
合
ｓ
ｒ

ｓ

，
ｓ
：
—
… …
｜
（
ｆｃ
－
）
，
（）
＇








中
至
多有

个
元
素属于

一
Ａ

２
｜
ｇ
ｓ
＋

，
（
２
＋
ｌ
ｓ
＋
）
＝
＾

ｄ
（
ｌ
ｓ
?
ｌ
２
，

，
．．
ｒ
，

ｓ
）

，
于
是
３
中
至
多含
有
Ｕ
个
元素
－
＊
＋
２ｑ
ｓ

＋

ｒ

ｓ

＋

１

，

２

ｑ
ｓ

＋

ｒ

ｓ

＋

２

，

？？？

，
（

２

？

＋

）

｝｛
－
＼

｜

，
１
）
／
？
注意
到

（
ｋ
，

２
ｌ
）

ｘ

＋

ｒ
＝

Ｍ

（

ｋ

ｌ

）

ｘ
－－
共
得
到

识

＋
个
集
合


ｓ
，
＜
（
＾
ｎ
＝
；
，
类似
地

若

＞

识

＋

由
抽
屉原
理

知
集
ｓ
，，
ｉ
Ｌ

（

ｋ

１

）

ｘ
＜
ｎ

＿＿
ｆ
这
与

矛
盾
合
４

中
必
存
在
两
个数 其
差为
命
题
成
立
若
＾

炉

＋
类
似
地

，
ｓ
，
．
７
＾
４
ｉ
．


５
，，
ｋ
（

２
ｑ
ｓ

＋

ｒ

）

＜

（

２

ｋ

１
） （
ｓ
ｑ
＋
５
）
Ａ
综
上

原
命
题
成
立
（
＝
＞
邓蕊
天
津师

范

大

学数

学

科

学

学
院
，




（
９

＋

ｌ

）

ｓ

＜

（

２
ｓ

ｒ
）

②
２
０

１

７

级
硕

士
研究

生

３
００
３８
７

）

证法
２




又＜
０

１

于
是
（）
，
＾
，
对任意
的正
整

５
／

＝
卜
．



（
ｋ
ｌ
）
ｓ

＜

ｎ
＾
ｑ
ｓ

＋

ｓ
结合
＆

为
整
数
得

Ａ

专
９
，
记
ｍ

２
叫

＋

０

￥

＜

２

（
／
）
将
Ａ

矣

９
代
入
式
②
得
（
ｑ
先
构造如下

识
个
集
合

１
：

１
，
Ｓ
＋
１
，

２

，

丨
Ｓ

ｓ
＋２
…

，

ｓ

，
２
丨
ｓ

）

＼ ｓ
）

＞
ｒ

ｑ
＾
ｑ
ｓ

，
，
｝
，
矛
盾

３
４

ｓ
ｓ
，
［




２
＋
３
＋

２

＋２
３
＋
２


ｓ
ｌ
，
ｓ
１
ｓ

，
．
｝，
）
，
｜

＼
综
上

由

的
任
意
性 知
原
命
题得
证
，
ｓ
，

（
２
ｑ

２

）

ｓ

＋

ｌ

Ａ

２ｑ

ｌ

）

ｓ

＋

ｌ

－－
＼
，
谭
令其


院
５

０
０
８

０

（
，
广
东

电

网

公

司

电

力

科
学 研究
１
）