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2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 12:30
tags:全国高中数学竞赛

高中数学必修一同步课程-湖北高中数学人教版教学次序

2020年9月21日发(作者:蒙素芬)


2016年全国高中数学联赛湖北预赛(高一)
一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分)
1?f
?
x?
1.已知函数
f
?
x
?
满足:
f
?
1
?
?2

f
?
x?1
?
?对定义域内任意
x
都成立.那么
1?f
?
x
?
f
?
2016
?
?
__________.
2.不等式< br>3
x?2
?3
x?1
?28
的解集为__________.
3.从五个正整数
a,b,c,d,e
中任取四个求和,得到的和值构成集合
?
44,45,46,47
?
,则
a?b?c?d?e?
_____ _____.
π3π5π7π
4.求值:
cos?cos?cos?cos?
__________.
9999
5.
?ABC
中,角
A,B, C
的边长分别为
a,b,c

D

BC
的中点,若
a?4

AD?c?b


?ABC
的面积的最大 值为__________.
6.如果存在实数
a
,使得关于
x
的 不等式
acosx?bcos2x?1
无实数解,则实数
b
的最大值
为__________.
7.已知质数
p,q
满足
q?2p?1
,则
p?q?
__________.
8.已知实数
x,y
满足:
2

9.已知
MN是边长为
26
的等边
?ABC
的外接圆的一条动弦,
MN?4< br>,
P

?ABC

边上动点,则
MP?PN
的最大值为__________.
10.设
?
a
?
表示不大于< br>a
的最大整数,则方程
??
?
??
?1
的最大正整数 解为__________.
78
二、解答题(本题满分60分,每小题20分)
11.已知
?ABC
得三边长
a,b,c

a?b?c
)均 为整数,且满足:
(1)
a,b,c
构成等比数列;(2)
a,b,c中至少有一个等于
100

求符合要求的三元数组
?
a,b,c
?
的个数.
12.已 知二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
满足条件:
2
2?3x
52
?2
1?5y
?
1
1
8
x
?32
y
?8
.,
x??3
,那么,
x y?
__________.
y
2
?
x
?
??< br>?
x
?
??
(1)
?4a?b??2a
; (2)当
x?1
时,
f
?
x
?
?1
. < br>证明:当
x?2
时,
f
?
x
?
??
5

4
13.已知定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足:
f
?
1
?
?
10
, 且对任意实数
x,y
,恒有
3
f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?
x?y
?
?f
?< br>x?y
?
,若数列
?
a
n
?
满足
a
n
?3f
?
n
?
?f
?
n?1
?

n?N
*

(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)令< br>b
n
?
24a
n
?
3a
n
?8?
2
*

n?N

S
n
是数列
?
b
n
?
的前
n
项和,求证:
S
n?1


2016年全国高中数学联赛湖北预赛(高一)
答案详解
一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分)
1.已知函数
f
?
x
?
满足:
f
?
1
?
?2

f
?
x?1
?
?
1?f
?
x
?
对定义域内任意
x
都成立.那么
1?f
?
x
?
f
?
2016
?
?
__________. < br>11
【解析】由于
f
?
1
?
?2,
,则f
?
2
?
??3,f
?
3
?
??,f
?
4
?
?

23
1?f
?
x< br>?
1?f
?
x?1
?
11

f
?< br>x?1
?
?
,则
f
?
x?2
?
?< br>,所以
f
?
x?4
?
??
??
?f
?
x
?

1?f
?
x
?
1?f
?
x?1
?
f
?
x
?
f
?
x?2
?
因此,函数
f
?
x
?
是周期为4的周期函数,因 而
f
?
2016
?
?f
?
503?4?4
?
?f
?
4
?
?
2.不等式
3
x?21

3
?3
x?1
?28
的解集为__________.
?
x
3
?1
?
?9
?
?
3?
3x
?
?

?
?2,?1
?
上是减函数,在?
?1,1
?
上是增函数
??
x?2x?1
【解析】 当
?2?x?1
时,
x?2?x?1?
?
x?2
?
?
?
x?1
?
?3


g
?
x
?
?3
x?2
?3
x?1
?3
x?2
?3
1?x
g
?
x
?
?g
?
?2
?< br>?g
?
1
?
?28


x?1
时,
f
?
x
?
?x?2?x?1
是增函数,所以当
x? 1
时,
g
?
x
?
?3

g
?x
?
?3
x?2
?3
是增函数,
?3
x?1
?g
?
1
?
?28

x?2

x??2
时,
f
?
x
?
?x?2 ?x?1
是减函数,所以当
x??2
时,
g
?
x
?
?3

g
?
x
?
?3
x?2
?3
x?1
是减函数,
?3
x?2
x?1
?g
??2
?
?28

x?1
所以不等式
3?3?28
的解集为
?
??,?2
?
?
?
1,??
?

3.从五个正整数
a,b,c,d,e
中任取四个求和,得到的和值构成集合?
44,45,46,47
?
,则
a?b?c?d?e?
___ _______.
【解析】从正整数
a,b,c,d,e
中任取四个求和总和为4
?
a?b?c?d?e
?
,得到的和值构成5
个数,如果得到 的和值构成集合
?
44,45,46,47
?
,则44,45,46,47的 四个数之中必有一个数
是相同的,假设相同的数是x,则
4
?
a?b?c? d?e
?
?44?45?46?47?x
?182?x?45?4?2?x

所以,
2?x
能够被4整除,又
x?
?
44,45,46, 47
?
,那么
x?46

4
?
a?b?c?d? e
?
?44?45?46?47?46?228
,则
a?b?c?d?e?5 7

4.求值:
cos
【解析】
cos
?
1
π3π5π7π
?cos?cos?cos?
__________.
9999
?cos
3
?
5
?
7
?

?cos?cos
999
?
9
??
3
??
5
??
7
??
??
sin?2cossin?2cossin
?

?
2cossin?2cos
?
99999999
?
2sin
?
9


?
2
?
4
?
2
?
6
?
4
?
8
?
6
?
?
?sin?sin?sin?sin?sin?sin
?
sin
?
9999999
2sin
?
9
1
8
?
?< br>1
?
?
sin
?
?

?
?
9
?
2
2sin
9
1
?
?

?< br>?
5.
?ABC
中,角
A,B,C
的边长分别为
a, b,c

D

BC
的中点,若
a?4

A D?c?b


?ABC
的面积的最大值为__________.
【解析】如图,由于
D

BC
的中点,
由三角形中线性质得:
4AD?BC?2b?2c


4
?
c?b
?
?4
2
?2b
2
?2c
2
b
2
?c
2
?4bc?8?2bc

2
A
2222
c
B
b
D
a=4
C
于是
bc?4
,在
?ABC
中,由余弦定理得
b
2
?c
2
?a
2
b
2
?c
2
?164bc?24
12
cosA???
?2?

2bc2bc2bc
bc
48144

sin
2
A??3??
bcb
2
c
2

?ABC
的面积为< br>S
,

S
2
?
1
222
132
bcsinA??3b
2
c
2
?48bc?144?12?< br>?
bc?8
?

444
3
2
S
2< br>?12?
?
bc?8
?
?12

S?43
, 当
bc?8
时等号成立,
4
??
6.如果存在实数
a,使得关于
x
的不等式
acosx?bcos2x?1
无实数解,则实数
b
的最大值
为__________.
【解析】使得关于
x
的不等式
acos?bcos2x?1
无实数解,即存在实数
a

使得关于
x
的不等式
acosx?bcos2x?1
有全体实数解,即关于< br>x
的不等式
acosx?bcos2x?1
的解为全体实数,根据二倍角公式,
2bcos
2
x?acosx?b?1?0

换元得:
cosx?t

?1?t?1

b
2< br>当
?1?t?1
时,不等式
2bt?at?b?1?0
恒成立,
f
?
t
?
?2bt
2
?at?b?1?0, ?1?t?1
,则
?
2b?a?b?1?0,
?
a?b?1?0,
只要
?

?
时不等式恒成立
2b?a?b?1?0.a?b?1?0.
??
1
-1
O
1
a
建立关于
aOb
的直角坐标系,
满足不等式组的点集如图所示,
由图可知,b的最大值为1

7.已知质 数
p,q
满足
q?2p?1
,则
p?q?
________ __.
52
q
5
?1
【解析】根据
1?q?q?q?q?
,得
?
q?1
?
q
4
?q
3
?q
2
?q?1?q
5
?1

q?1
234
? ?

q
5
?2p
2
?1
得,
q
5
?1?2p
2
,即
?
q?1
?
q
4
?q
3
?q
2
?q?1?2p
2

因为
p,q
都是质数,
q
4
?q
3
?q
2
? q?1
是奇数,
p
2
是奇数,则

q?1?2

q?3
,由
3
5
?1?2p
2
可得
p?1 1
,所以
p?q?14

??



q?1? 2p

q
4
?q
3
?q
2
?q?1?p< br>,
2q
4
?2q
3
?2q
2
?2q?2?q ?1
,得
2q
4
?2q
3
?2q
2
?q ?3?0
矛盾,同理
q?1?2p
2
也不成立,所以
p?q?14< br>


8.已知实数
x,y
满足:
2
【解析 】由
2
2?3x
2?3x
?2
1?5y
?
1
1

x??3
,那么,
xy?
__________.
8
x
?32
y
?8

y
2
2?3x??1 ?5y
2
?2
1?5y
1
1
?
,得
?2< br>2?3x
?2
1?5y
?2?2
2
2
所以
3 x?5y?7?0

8
x
?32
y
?8

2
3x
?2
5y
?2
3

所以
6x?5y?5?0


2
2?3x
?2
1?5y
?

y
x?
1
?3

y
1
?2
2?3x
,
x?1

2
1
-1
O
6x-5y-5=0
?
43< br>?
A
?
,
?
?
35
?
2
2 ?3x
?2
1?5y
?
联立得
1
2
?2
1?5y

y?

2
5
x
3x+5y-7=0
?
?
3x?5y? 7?0,
?
?
6x?5y?5?0,
?
1
?
画出满 足上面不等式组图象如下,
?
x??3,
y
?
?
x?1,
?
?
y?
2
?
5
?
4
?
43
?
故只有点
A
?
,
?
满足条件,所以
xy?

5
?
35
?

9.已知
MN是边长为
26
的等边
?ABC
的外接圆的一条动弦,
MN?4< br>,
P

?ABC

边上动点,则
MP?PN
的最大值为__________.
【解析】如图,设
Q
是线段
MN
的中点,
由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和得:
2PM
2
?PN
2
?4PQ
2
?4
2

A
??
P
N
B
2
PM
2
?PN
2
?2PQ2
?8


MP?PN?MN
,得
Q
M
C
MP?PN?2MP?PN?MN

22
MP?PN?4?PQ?4?PQ?4


PQ?0
时,即点
P

Q
重合时,
MP?PN
取得最大值4.

10.设
?
a
?
表示不大于
a
的最大整 数,则方程
??
?
??
?1
的最大正整数解为__________ .
78
2
2
2
?
x
?
??
?< br>x
?
??


?
x
??
x
??< br>x
?
【解析】设
??
?
??
?1?m?1
, 则
x?7m?r

0?r?7

??
?m?1
,所 以
?
7
??
8
??
8
?
x
?m

8m?8?x?8m
,所以,
8m?8?7m?r?8m

8
r?m?8?r

0?r?7

1?m?15


1?m?7
时,解为
x?7m?r

r?0,1,2,? ,m?1

m?1?

8?m?14
时,解为
x?7m?r

r?m?8,m?7,?,6


m?14

r ?m?8?6
成立,所以
x?7?14?6?104

二、解答题(本题满分60分,每小题20分)
11.已知
?ABC
得三边 长
a,b,c

a?b?c
)均为整数,且满足:
(1)
a,b,c
构成等比数列;(2)
a,b,c
中至少有一个等于
100

求符合要求的三元数组
?
a,b,c
?
的个数.

12.已知二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
满 足条件:
2
(1)
?4a?b??2a
; (2)当
x?1
时,
f
?
x
?
?1
. < br>证明:当
x?2
时,
f
?
x
?
??
5

4
13.已知定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足:
f
?
1
?
?
10
, 且对任意实数
x,y
,恒有
3
f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?
x?y
?
?f
?< br>x?y
?
,若数列
?
a
n
?
满足
a
n
?3f
?
n
?
?f
?
n?1
?

n?N
*

(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)令
b
n
?



24a
n
?
3a
n
?8
?
2
*

n?N< br>,
S
n
是数列
?
b
n
?
的前
n
项和,求证:
S
n
?1







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