2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】

2016年全国高中数学联赛湖北预赛（高一）
一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分）
1?f
?
x?
1．已知函数
f
?
x
?
满足：
f
?
1
?
?2
，
f
?
x?1
?
?对定义域内任意
x
都成立．那么
1?f
?
x
?
f
?
2016
?
?
__________．
2．不等式< br>3
x?2
?3
x?1
?28
的解集为__________．
3．从五个正整数
a,b,c,d,e
中任取四个求和，得到的和值构成集合
?
44,45,46,47
?
，则
a?b?c?d?e?
_____ _____．
π3π5π7π
4．求值：
cos?cos?cos?cos?
__________．
9999
5．
?ABC
中，角
A,B, C
的边长分别为
a,b,c
，
D
是
BC
的中点，若
a?4
，
AD?c?b
，
则
?ABC
的面积的最大 值为__________．
6．如果存在实数
a
，使得关于
x
的 不等式
acosx?bcos2x?1
无实数解，则实数
b
的最大值
为__________．
7．已知质数
p,q
满足
q?2p?1
，则
p?q?
__________．
8．已知实数
x,y
满足：
2

9．已知
MN是边长为
26
的等边
?ABC
的外接圆的一条动弦，
MN?4< br>，
P
为
?ABC
的
边上动点，则
MP?PN
的最大值为__________．
10．设
?
a
?
表示不大于< br>a
的最大整数，则方程
??
?
??
?1
的最大正整数 解为__________．
78
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）
11．已知
?ABC
得三边长
a,b,c
（
a?b?c
）均 为整数，且满足：
（1）
a,b,c
构成等比数列；（2）
a,b,c中至少有一个等于
100
．
求符合要求的三元数组
?
a,b,c
?
的个数．
12．已 知二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
满足条件：
2
2?3x
52
?2
1?5y
?
1
1
8
x
?32
y
?8
．，
x??3
，那么，
x y?
__________．
y
2
?
x
?
??< br>?
x
?
??
（1）
?4a?b??2a
； （2）当
x?1
时，
f
?
x
?
?1
． < br>证明：当
x?2
时，
f
?
x
?
??
5
．
4
13．已知定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足：
f
?
1
?
?
10
， 且对任意实数
x,y
，恒有
3
f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?
x?y
?
?f
?< br>x?y
?
，若数列
?
a
n
?
满足
a
n
?3f
?
n
?
?f
?
n?1
?
，
n?N
*
．
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）令< br>b
n
?
24a
n
?
3a
n
?8?
2
*
，
n?N
，
S
n
是数列
?
b
n
?
的前
n
项和，求证：
S
n?1
．

2016年全国高中数学联赛湖北预赛（高一）
答案详解
一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分）
1．已知函数
f
?
x
?
满足：
f
?
1
?
?2
，
f
?
x?1
?
?
1?f
?
x
?
对定义域内任意
x
都成立．那么
1?f
?
x
?
f
?
2016
?
?
__________． < br>11
【解析】由于
f
?
1
?
?2,
，则f
?
2
?
??3,f
?
3
?
??,f
?
4
?
?
，
23
1?f
?
x< br>?
1?f
?
x?1
?
11
又
f
?< br>x?1
?
?
，则
f
?
x?2
?
?< br>，所以
f
?
x?4
?
??
??
?f
?
x
?
，
1?f
?
x
?
1?f
?
x?1
?
f
?
x
?
f
?
x?2
?
因此，函数
f
?
x
?
是周期为4的周期函数，因 而
f
?
2016
?
?f
?
503?4?4
?
?f
?
4
?
?
2．不等式
3
x?21
．
3
?3
x?1
?28
的解集为__________．
?
x
3
?1
?
?9
?
?
3?
3x
?
?
在
?
?2,?1
?
上是减函数，在?
?1,1
?
上是增函数
??
x?2x?1
【解析】 当
?2?x?1
时，
x?2?x?1?
?
x?2
?
?
?
x?1
?
?3
，
且
g
?
x
?
?3
x?2
?3
x?1
?3
x?2
?3
1?x
g
?
x
?
?g
?
?2
?< br>?g
?
1
?
?28

当
x?1
时，
f
?
x
?
?x?2?x?1
是增函数，所以当
x? 1
时，
g
?
x
?
?3
且
g
?x
?
?3
x?2
?3
是增函数，
?3
x?1
?g
?
1
?
?28

x?2
当
x??2
时，
f
?
x
?
?x?2 ?x?1
是减函数，所以当
x??2
时，
g
?
x
?
?3
且
g
?
x
?
?3
x?2
?3
x?1
是减函数，
?3
x?2
x?1
?g
??2
?
?28

x?1
所以不等式
3?3?28
的解集为
?
??,?2
?
?
?
1,??
?

3．从五个正整数
a,b,c,d,e
中任取四个求和，得到的和值构成集合?
44,45,46,47
?
，则
a?b?c?d?e?
___ _______．
【解析】从正整数
a,b,c,d,e
中任取四个求和总和为4
?
a?b?c?d?e
?
，得到的和值构成5
个数，如果得到 的和值构成集合
?
44,45,46,47
?
，则44,45,46,47的 四个数之中必有一个数
是相同的，假设相同的数是x，则
4
?
a?b?c? d?e
?
?44?45?46?47?x
?182?x?45?4?2?x
，
所以，
2?x
能够被4整除，又
x?
?
44,45,46, 47
?
，那么
x?46
，
4
?
a?b?c?d? e
?
?44?45?46?47?46?228
，则
a?b?c?d?e?5 7

4．求值：
cos
【解析】
cos
?
1
π3π5π7π
?cos?cos?cos?
__________．
9999
?cos
3
?
5
?
7
?

?cos?cos
999
?
9
??
3
??
5
??
7
??
??
sin?2cossin?2cossin
?

?
2cossin?2cos
?
99999999
?
2sin
?
9

?
2
?
4
?
2
?
6
?
4
?
8
?
6
?
?
?sin?sin?sin?sin?sin?sin
?
sin
?
9999999
2sin
?
9
1
8
?
?< br>1
?
?
sin
?
?

?
?
9
?
2
2sin
9
1
?
?

?< br>?
5．
?ABC
中，角
A,B,C
的边长分别为
a, b,c
，
D
是
BC
的中点，若
a?4
，
A D?c?b
，
则
?ABC
的面积的最大值为__________．
【解析】如图，由于
D
是
BC
的中点，
由三角形中线性质得：
4AD?BC?2b?2c
，
即
4
?
c?b
?
?4
2
?2b
2
?2c
2，
b
2
?c
2
?4bc?8?2bc
，
2
A
2222
c
B
b
D
a=4
C
于是
bc?4
，在
?ABC
中，由余弦定理得
b
2
?c
2
?a
2
b
2
?c
2
?164bc?24
12
cosA???
?2?

2bc2bc2bc
bc
48144
，
sin
2
A??3??
bcb
2
c
2
设
?ABC
的面积为< br>S
,
则
S
2
?
1
222
132
bcsinA??3b
2
c
2
?48bc?144?12?< br>?
bc?8
?

444
3
2
S
2< br>?12?
?
bc?8
?
?12
，
S?43
， 当
bc?8
时等号成立，
4
??
6．如果存在实数
a，使得关于
x
的不等式
acosx?bcos2x?1
无实数解，则实数
b
的最大值
为__________．
【解析】使得关于
x
的不等式
acos?bcos2x?1
无实数解，即存在实数
a

使得关于
x
的不等式
acosx?bcos2x?1
有全体实数解，即关于< br>x
的不等式
acosx?bcos2x?1
的解为全体实数，根据二倍角公式，
2bcos
2
x?acosx?b?1?0
，
换元得：
cosx?t
，
?1?t?1

b
2< br>当
?1?t?1
时，不等式
2bt?at?b?1?0
恒成立， 令
f
?
t
?
?2bt
2
?at?b?1?0, ?1?t?1
，则
?
2b?a?b?1?0,
?
a?b?1?0,
只要
?
即
?
时不等式恒成立
2b?a?b?1?0.a?b?1?0.
??
1
-1
O
1
a
建立关于
aOb
的直角坐标系，
满足不等式组的点集如图所示，
由图可知，b的最大值为1

7．已知质 数
p,q
满足
q?2p?1
，则
p?q?
________ __．
52
q
5
?1
【解析】根据
1?q?q?q?q?
，得
?
q?1
?
q
4
?q
3
?q
2
?q?1?q
5
?1

q?1
234
? ?
由
q
5
?2p
2
?1
得，
q
5
?1?2p
2
，即
?
q?1
?
q
4
?q
3
?q
2
?q?1?2p
2
，
因为
p,q
都是质数，
q
4
?q
3
?q
2
? q?1
是奇数，
p
2
是奇数，则
当
q?1?2
时
q?3
，由
3
5
?1?2p
2
可得
p?1 1
，所以
p?q?14
；
??

当
q?1? 2p
则
q
4
?q
3
?q
2
?q?1?p< br>，
2q
4
?2q
3
?2q
2
?2q?2?q ?1
，得
2q
4
?2q
3
?2q
2
?q ?3?0
矛盾，同理
q?1?2p
2
也不成立，所以
p?q?14< br>


8．已知实数
x,y
满足：
2
【解析 】由
2
2?3x
2?3x
?2
1?5y
?
1
1
，
x??3
，那么，
xy?
__________．
8
x
?32
y
?8
．
y
2
2?3x??1 ?5y
2
?2
1?5y
1
1
?
，得
?2< br>2?3x
?2
1?5y
?2?2
2
2
所以
3 x?5y?7?0
，
8
x
?32
y
?8
，
2
3x
?2
5y
?2
3
，
所以
6x?5y?5?0
，
又
2
2?3x
?2
1?5y
?
，
y
x?
1
?3

y
1
?2
2?3x
,
x?1
，
2
1
-1
O
6x-5y-5=0
?
43< br>?
A
?
,
?
?
35
?
2
2 ?3x
?2
1?5y
?
联立得
1
2
?2
1?5y
，
y?

2
5
x
3x+5y-7=0
?
?
3x?5y? 7?0,
?
?
6x?5y?5?0,
?
1
?
画出满 足上面不等式组图象如下，
?
x??3,
y
?
?
x?1,
?
?
y?
2
?
5
?
4
?
43
?
故只有点
A
?
,
?
满足条件，所以
xy?

5
?
35
?

9．已知
MN是边长为
26
的等边
?ABC
的外接圆的一条动弦，
MN?4< br>，
P
为
?ABC
的
边上动点，则
MP?PN
的最大值为__________．
【解析】如图，设
Q
是线段
MN
的中点，
由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和得：
2PM
2
?PN
2
?4PQ
2
?4
2

A
??
P
N
B
2
PM
2
?PN
2
?2PQ2
?8

由
MP?PN?MN
，得
Q
M
C
MP?PN?2MP?PN?MN
，
22
MP?PN?4?PQ?4?PQ?4
，
当
PQ?0
时，即点
P
与
Q
重合时，
MP?PN
取得最大值4．

10．设
?
a
?
表示不大于
a
的最大整 数，则方程
??
?
??
?1
的最大正整数解为__________ ．
78
2
2
2
?
x
?
??
?< br>x
?
??

?
x
??
x
??< br>x
?
【解析】设
??
?
??
?1?m?1
， 则
x?7m?r
，
0?r?7
，
??
?m?1
，所 以
?
7
??
8
??
8
?
x
?m
，
8m?8?x?8m
，所以，
8m?8?7m?r?8m

8
r?m?8?r
，
0?r?7
，
1?m?15

当
1?m?7
时，解为
x?7m?r
，
r?0,1,2,? ,m?1

m?1?
当
8?m?14
时，解为
x?7m?r
，
r?m?8,m?7,?,6

当
m?14
，
r ?m?8?6
成立，所以
x?7?14?6?104
．
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）
11．已知
?ABC
得三边 长
a,b,c
（
a?b?c
）均为整数，且满足：
（1）
a,b,c
构成等比数列；（2）
a,b,c
中至少有一个等于
100
．
求符合要求的三元数组
?
a,b,c
?
的个数．

12．已知二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
满 足条件：
2
（1）
?4a?b??2a
； （2）当
x?1
时，
f
?
x
?
?1
． < br>证明：当
x?2
时，
f
?
x
?
??
5
．
4
13．已知定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足：
f
?
1
?
?
10
， 且对任意实数
x,y
，恒有
3
f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?
x?y
?
?f
?< br>x?y
?
，若数列
?
a
n
?
满足
a
n
?3f
?
n
?
?f
?
n?1
?
，
n?N
*
．
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）令
b
n
?



24a
n
?
3a
n
?8
?
2
*
，
n?N< br>，
S
n
是数列
?
b
n
?
的前
n
项和，求证：
S
n
?1
．