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2001年全国高中数学联赛试题及答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 12:31
tags:全国高中数学竞赛

高中数学常问-博尔塔拉博乐高中数学家教

2020年9月21日发(作者:童心言)


2001年全国高中数学联赛试题讲解



与前 三届相同,今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分,但是今年的试题明显比去年难,
陕西赛区 的平均成绩下降了近60分.为了体现本栏目的宗旨,下面仅对今年的联赛试题进行讲解,供参考.










一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x∈R}的子集的个数为( ).
A.1 B.2 C.4 D.不确定
讲解:M表示方程x-3x-a+2=0 在实数范围内的解集.由于Δ=1+4a>0,所以M含有2

222
22
个 元素.故集合M有2=4个子集,选C.
2.命题1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.
命题2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
讲解:由于长方体的中心到各顶点的距离相 等,所以命题1正确.对于命题2和命题3,一般的长方
体(除正方体外)中不存在到各条棱距离相等的 点,也不存在到各个面距离相等的点.因此,本题只有命
题1正确,选B.




3.在四个函数y=sin|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、y= lg|sinx|
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|
讲解:可考虑用排除法.y=s in|x|不是周期函数(可通过作图判断),排除A;y=cos|
中,以π为周期、在(0,π/2 )上单调递增的偶函数是( ).
x|的最小正周期为2π,且在(0,π/2)上是减函数,排除 B;y=|ctgx|在(0,π/2)上
是减函数,排除C.故应选D.











4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( ).
A.k=8 B.0<k≤12
C.k≥12 D.0<k≤ 12或k=8
讲解:这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”这类问题的一个逆向问题,由 课本结论
说明:本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C.
5.若(1+x+x)
A.3
333
21000
知,应选结论D.
的展开式为a

+a

x+a


+…+a
2000

C.3
999
2000
,则a

+a
3
+a
6
+a
9
+…
+a
1998
的值为( ).
B.3
666
D.3
2001

讲解:由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法.
取ω=-(1/2)+(
令x=1,得
3
1000
/2)i,则ω=1,ω+ω+1=0.
32
=a
+a

+a

+a

+…+a
20 00
; ①













令x=ω,得
0=a
+a
1
ω+a
2
ω+…+a
2000
ω; ②
令x=ω,得
0=a

+a

ω+a

ω+a

ω+…+a
2000
ω
①+②+③得
3
1000
2464000

22000
. ③
=3(a

+a

+a

+…+a
1998).
999
∴a

+a

+a

+ …+a
1998
=3,选C.
6.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24, 而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,
A.2枝玫瑰价格高 B.3枝康乃馨价格高
C.价格相同 D.不确定
讲解:这是一个大小比较问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元,则由题设得
则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是( ).

6x+3y>24,

4x+5y<22.







问题转化为在条件①、②的约束下,比较2x与3y的大小.有以下两种解法:
解法1:为了 整体地使用条件①、②,令6x+3y=a,4x+5y=b,联立解得x=(5a-3b)
∴2x-3 y=…=(11a-12b)/9.
∵a>24,b<22,
∴11a-12b>11×24-12×22=0.
∴2x>3y,选A.
/18,y=(3b-2a)/9.

图1
解法2:由不等式①、②及 x>0、y>0组成的平面区域如图1中的阴影部分(不含边界).令2x
-3y=2c,则c表示直线 l:2x-3y=2c在x轴上的截距.显然,当l过点(3,2)时,2c有最小


值为 0.故2x-3y>0,即2x>3у,选A.








说明:(1)本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题:
已知函数M=f(x )=ax-c满足:-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么f(3)应满
A.-7≤f(3 )≤26 B.-4≤f(3)≤15
C.-1≤f(3)≤20 D.-28/3≤f(3)≤35/3
(2)如果由条件①、②先分别求出x、y的范围,再由2x- y的范围得结论,容易出错.上面的解
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.
讲解:若 注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法;若注意到离心率e和焦参数p(焦点到相应

足 ( ).
法1运用了整体的思想,解法2则直观可靠,详见文[1].
准线的距离)的几何意义,本题也可以直接求短半轴的长.
解法1:由

ρ(0)=a+c=1,


a=2/3,
ρ(π)=a-c=1/3,
c=1/3.


从而b=/3,故2b=2/3.
2222
解法2:由e=c/a=1/2,p=b /c=1及b=a-c,得b=/3.从而2b=2/
3.




说明:这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题.
8.若复数z

、z

满足|z

|=2,|z

|=3,3z
-2z

=(3/2)-i,则z

·z


讲解:参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点,用复数的三角形式似乎更符合学生的思维
令z

=2(cosα+isinα),z

=3(cosβ+isinβ),则 由3z

-2z

=(3/2)
______________.
特点,而且也不繁.
-i及复数相等的充要条件,得



6(cosα-cosβ)=3/2,
6(sinα-sinβ)=-1,


-12sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)=3/2,
12cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)=-1.








二式相除,得tg(α+β)/2)=3/2.
由万能公式,得
sin(α+β)=12/13,cos(α+β)=-5/13.
故z

·z

=6[cos(α+β)+isin(α+β)]
=-(30/13)+(72/13)i.
说明:本题也可以利用复数的几何意义解. 9.正方体ABCD-A



C1

的棱长为1,则 直线A



与BD

的距离是____________ __.
讲解:这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种基本的解法.

图2
为了保证所作出的表示距离的线段与A



和B D

都垂直,不妨先将其中一条直线置于另一条直线的
面BDD



.设垂面内.为此,作正方体的对角面BDD



,则 A



⊥面BDD



,且BD




∩B



=0 ,在面BDD



内作OH⊥BD

,垂足为H,则线段 OH的长为异面直线A




BD

的距离.在 Rt△BB



中,OH等于斜边BD

上高的一半,即 OH=





10.不等式|(1/log
1 /2
x)+2|>3/2的解集为______________.
讲解:从外形上看,这是 一个绝对值不等式,先求得log
1/2
x<-2,或-2/7<log
1/2
x<0,
从而x>4,或1<x<2
11.函数y=x+
讲解:先平方去掉根号.
2/7
/6.
或log
1/2
x>0.
,或0<x<1.
的值域为______________.








由题设得(y-x)=x-3x+2,则x=(y-2)/(2y-3).
由y≥x,得y≥(y-2)/(2y-3).
解得1≤y<3/2,或y≥2.
由于能达到下界0,所以函数的值域为[1,3/2)∪[2,+∞).

222< br>说明:(1)参考答案在求得1≤y<3/2或y≥2后,还用了较长的篇幅进行了一番验证,确无必要.
(2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试.

图3




12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图3) ,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块
讲解:为了叙述方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、 B、C、D、E、F.按间隔三块A、
(1)若A、C、E种同一种植物,有4种种法.当A、C、E种 植后,B、D、E可从剩余的三种植
(2)若A、C、E种二种植物,有P

种种法. 当A、C、E种好后,若A、C种同一种,则B有3

2
种不同的植物.现有4种不同 的植物可供选择,则有______________种栽种方案.
C、E种植植物的种数,分以下三类.
物中各选一种植物(允许重复),各有3种方法.此时共有4×3×3×3=108种方法.
种方法,D、F各有2种方法;若C、E或E、A种同一种,相同(只是次序不同).此时共有P
×3
(3×2×2)=432种方法.




< br>(3)若A、C、E种三种植物,有P

种种法.这时B、D、F各有2种种方法.此时 共有P

×2×2×2
根据加法原理,总共有N=108+432+192=732种 栽种方案.
说明:本题是一个环形排列问题.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.设{a

}为等差数 列,{b

}为等比数列,且b

=a

,b
2< br>=a

,b

=a

(a

<a< br>2
).又
(b

+b

+…+b

)=

+1,试求{a

}的首项与公差.
2
222
33
=192种方法.
讲解:这是一个有关等差、等比数 列的基本问题.数列{a

}与{b

}的前三项满足b

=a

(i
(b

+b

+…+b
)==1,2,3),由此可确定数列{a

}的首项a

与公差d的关 系;由
+1便可求出a

和d的值.







设{a

}的公差为d,由a

< a

,得d>0.
由b

=b


3< br>,得a

=a




∴a
2< br>=a



(舍去,否则a

=a

=a

),
或a

=-a




∴(a

+d)=-a

(a

+2d),
即2a

+4a

d+d=0.
解得d=(-2±)a


22
2
2
2
2422




若d=(-2-
若d=(-2+
)a

,则q=a

/a< br>1
=(
)a

,则q=a

/a

=(
22
22
+1)>1,不符合要求.
-1).












由(b

+b

+…+b

)=
+1,
-1))=

+1,得


/(1-q)=
即a

/(1-(


+1.解得a

=2.

由a

=-a



及a

<a

知a

<0.
∴a

=-,d=(-2+
22
)a

=2

-2.

14.设曲 线C

:(x/a)+y=1(a为正常数)与C
2
:y=2(x+m)在x 轴上方仅有一
(1)求实数m的取值范围(用a表示);
(2)O为原点,若C
1< br>与x轴的负半轴交于点A,当0<a<1/2时,试求△OAP的面积的最大值
讲解:(1)可将 曲线C

与C

的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的 个数问题.
个公共点P.
(用a表示).

(x/a)+y=1,
消去y,得
y=2(x+m)




222
x+2ax+2am-a=0. ①
问题转化为方程 ①在区间(-a,a)上有惟一解或两个相等的实根.设f(x)=x+2ax+2

222222
am-a.



当Δ=0,即m=(a+1)/2 时,x

=-a.由-a<-a<a,得0<a<1.这时方程①有
当f(-a)·f (a)<0,即-a<m<a时,方程①在区间(-a,a)内有一个根(另一根在
当f(-a)=0, 即m=a时,x

=a-2a.由-a<a-2a<a,得0<a<1.这时方程①

22
222
等根.
区间外).
在区间(-a,a)内有惟一解; 当f(a)=0,即m=-a时,x

=-a-2a.由-a<-a-2
a<a,得a ∈



.故m≠-a.

综上所述,当0<a<1时, m=(a+1)/2,或-a<m≤a;当a≥1时,-a<m<a.
(2)∵A(-a,0),∴S
△OAP
=(1/2)ay


当0<a<1/2时,由(1)知-a<m≤a.由方程①得x

= -a+a




显然,x

>0,从而y

=.

要使y

最大,则x

应最小.易知,当m=a时,(x

)从而(y< br>P

min
=a-2a.
max
=2


.故
(S
△OAP

max
=a







当m=(a+1)/2时,x

=-a.从而y


下面比较a
∵(

,故S
△OAP
=(1/2)a.
与(1/2)a
)-((1/2)
的大小.


=…=-(1/4)(3a-1)(a-1).
∴当0<a≤1/3时,a
当1/3<a<1/2时,a
≤(1/2)a
>(1/2)a


故(S
△OAP

max


(1/2)a
(0<a≤1/3),

(1/3<a<1/2).
说明:本题考查学生思维的严谨性.


图4
15.用电阻值分别 为a

、a

、a

、a

、a

、a

(a

>a

>a

> a

>a

>a

)的电阻组装
成一个如图4的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.


、a

的任意排列时,R
FG
最小.
用逐步调整法证明如下:
讲解:设6个电阻的组件(如图5)的总电阻为R
F G
.当R

=a

(i=3,4,5,6),R

、R



图5




(1 )当R

、R

并联时,所得组件阻值R满足1/R=(1/R
1< br>)+(1/R

).若交换R

、R


( 2)设三个电阻的组件(如图6)的总电阻为R
AB
,则

AB
= (R



/(R

+R

))+R
=(R



+R



+R



)/(R

+R

). 显然,R

+R

越大,则R
AB
越小,所以为使R< br>AB
最小,必须取R

为所取三个电阻中阻值最小的一个.
R不变, 且当R

或R

变小时,R也减小,因此不妨取R

>R< br>2



图6
图7



(3)设四个电阻的组件(如图7)的总电阻为R
CD
,则
1/R
CD
=(1/R
AB
)+(1/R

) < br>=(R



+R



+R


+R



+R



)/(R





+R
1< br>R



+R





).



记S

=,S
2
= ,则S

、S

为定值.于是R
CD
=(S
-R





)/
(S

-R



).
显然,当R


最小,且R





最大时,R
CD
最小.故应取R

<R

,R

<R

,R

<R

,才能
(4)回到图5,把由R

、 R

、R

组成的组件用等效电阻R
AB
代替.要使RFG
最小,由(3)知必须
使总电阻的阻值最小.
使R

<R

;且由(1)知应使R
CE
最小.由(2)知,要使R
CE
最小,必须使R

<R

,且应使R
CD
最小.而


由(3)知,要使R
CD
最小,应使R

<R
3< br><R

且R

<R

<R






综上所述,按照图5选取电阻,才能使该组件的总电阻值最小.
说明:根据电学知识,两个电 阻并联,其组件的阻值小于这两个电阻中阻值最小的一个,所以,本题
参考文献
1 刘康宁.平面区域问题.中学数学教学参考,2001,11
也可以倒过来思考.

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