高中数学新教师的教学计划-2018虹口高中数学一模
第一部分 高中数学联赛考试大纲
一、考试范围
（一）一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教
学大纲》中所规定
的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中
概率
和微积分初步不考.
（二）二试
1、 平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容.
补充要求：面积和面积方法.
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--
费马点.到三角形三顶点距离的平
方和最小的点--重心.三角形内到三边距离之积最大的点--重心.
几何不等式.
简单的等周问题.了解下述定理：
在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大.
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大.
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小.
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小.
几何中的运动：反射、平移、旋转.
复数方法、向量方法.
平面凸集、凸包及应用.
2、 代数
在一试大纲的基础上另
外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像.三倍
角公式，三角形的一些简单的恒等式，三
角不等式.
第二数学归纳法.
递归，一阶、二阶递归，特征方程法.
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程.
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用.
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用.
第 1 页
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式.
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理.
简单
的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，
欧几里得除法，非负最小
完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点
及其性质.
3、
立体几何
多面角，多面角的性质.三面角、直三面角的基本性质；正多面体，欧拉定理；
体积证法；截面，会作截面、表面展开图.
4、 平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用；二元一次不等式表示的区域；
三角形的面积公式；圆锥曲线的切线和法线；圆的幂和根轴.
5、其它
抽屉原理；容斥原理；极端原理；集合的划分；覆盖；梅涅劳斯定理；
托勒密定理；西姆松线的存在性及性质；塞瓦定理及其逆定理.
二、考试时间及题型设置
1、自2009年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：
（1）一试
考试时间为当日上午8：00~9：20，共80分钟.试题分填空题和解答题两部分，满分100
分.
其中填空题8道，每题7分；解答题3道，分别为14分、15分、15分. （旧规则为时间100
分
钟，选择题6分题×6道，填空题9分题×6道，解答题20分道×3道，共计150分.）
（2）二试
考试时间为当日上午9：40~12：10，共150分钟.试题为四道
解答题，每题50分，满分
200分.包括平面几何，代数，数论，组合数学各一道.（旧规则为时间1
20分钟，试题为3道解
答题，每题50分，其中必有一道平面几何，另两道题从其余三项中任意出两道
.）
2、2010年联赛试题模式修改
2010年全国高中数学联赛将在2010年10月17日举行.
考试的题型、题量及时间与2009年联赛相同，分值略有调整.
具体方案为： <
br>全国高中数学联赛（一试）满分由100分调整为120分，含8道填空题（每题8分），3道解
答题（分别为16分、20分、20分）.
全国高中数学联赛加试（二试）满分由200分调整为180分.
试卷包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面.前两道题每题40分，
第
2 页
后两道题每题50分.
第二部分
竞赛考题分类汇编
第一讲、三角函数与平面向量
1、（2012广州预赛）已知
s
in
?
?
?
?
3
?
?
?
?
，则
sin2
?
的值为 .
?
4
?
5
222
2、（2011湖北预赛高一）计算：
sin10??sin20
??sin30???sin
2
90?
＝ ．
3、（2011
浙江预赛）向量
a?(1,sin
?
)
，
b?(cos
?<
br>,3)
，
?
?R
，则
a?b
的取值范围
为
.
4、（2012广州预赛）已知函数
f
?
x
?
?cos
x
?
cosx?asinx
??
a?0
?
的最大值为
(1) 求
a
的值;
(2) 若
f
?
5、（2011江苏预赛）已知函数
f
3
.
2
?
?
?
5
?
?
, 求
2
??
4
?
??
f
?
?
?
?
的值
.
3
??
?
x
?
??acos2x?23asinxco
sx?2a?b
的定义域为
?
?
?
，值域为 [－5，1
]，求常数a、b的值．
?
0，
2
?
??
6、（2011江苏预赛）在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，设向量
OA?(1,2)
，
OB?(2,?1)
，
若<
br>OP?xOA?yOB
且
1?x?y?2
，则点
P
所有可能的位置所构成的区域面积是 .
7、（2011浙江预赛）已知函数
f(x)?sin(2x?
值范围为（ ）
A.
?
?
?
?
?
)?m
在
?<
br>0,
?
上有两个零点，则m的取
6
?
2
?
?
1
??
1
??
1
??
1
?
,
1
?
B
?
, 1
?
C.
?
, 1
?
D.
?
,
1
?
?
2
?
?
2
??
2
??
2
?
第 3 页
8、（201
2江苏预赛）在
?ABC
中，已知
AC?BC?12,AC?BA??4,
则
AC?
______.
9、（2012广州预赛）△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，设向量
m
?
?
a,b
?
，
n
?
?
b?c,a
?
，
则
m
n
是
A?2B
的( )
A.
充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.
既不充分又不必要条件
10、（2011湖北预赛高二）已知P是△ABC所在平面上一点，满足PA?PB?2PC?3AB
，
则△ABP与△ABC的面积之比为
．
11、（2012四川预赛）设函数
f(x)?sinx?3cosx?1
， <
br>（I）求函数
f(x)
在
[0,
?
2
]
上的
最大值与最小值；
bcosc
的值．
a
（II）若实数
a,b,
c
使得
af(x)?bf(x?c)?1
对任意
x?R
恒成立，求<
br>
12（2007全国联赛）在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
CA?33
，若
AB?AE?AC?AF?2
，则
EF
与<
br>BC
的夹角的余弦值等于 .
13、（2010江苏预赛）函数
y?sinx?cosx
(x?
R
)
的单调减区间是 .
14、（2011华约
）若
A?B?
2
?
，则cos
2
A?cos
2B
的最小值和最大值分别为 ( )
3
A1??
331
33312
?,?????B?,??????C1??,1????????D?,1?
22222222
15、（2007全国联赛）已知函数
f(x)?
为
.
sin(
πx
)?cos(
πx
)?215
(?x?)
，则f(x)的最小值
44
x
16、（2008全国联赛）设?ABC
的内角
A,B,C
所对的边
a,b,c
成等比数列，则
sinAcotC?cosA
的取值范围是（ ）
sinBcotC?cosB
第 4 页
A.
(0,??)
B.
(0,
5?15?15?15?1
)
C.
(,)
D.
(,??)
2222
a
3
?b
3
?c
3
17、（2010贵州预赛）已知
a,b,
c
是
Rt?ABC
的三边，
c
为斜边，若
y?
，求
2
c(a?b?c)
y
的取值范围
.
1
18、（2008全国联赛）设
f(x)?cos2x?2a(1?cosx)
的
最小值为
?
，则
a?
．
2
19、（2008全国联赛）已知函数
f(x)?
|sinx|
的图像与直线
y?kx
(k?0)
有且仅有三个交
点，交点的横坐标的最大值为
?
，求证：
cos
?
1?
?
2
．
?
sin
?
?sin3
?
4
?
20、（2012湖北预赛高一）已知
3sin
2
?<
br>?2sin
2
?
?1
，
3(sin
?
?co
s
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)<
br>2
?1
，
则
cos2(
?
?
?
)?
21、（2012湖北预赛高一）在△
ABC
中，角
A,B,C
的对边长<
br>a,b,c
满足
a?c?2b
，且
C?2A
，
则sinA?
．
第 5 页
22、（2012湖
北预赛高一）在△
ABC
中，
AB?BC?2
，
AC?3
．
设
O
是△
ABC
的内心，若
p
AO?pAB?qAC
，则的值为 ．
q
23、（2010湖北预赛高二）在△
ABC
中，已知
?B
的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，
BK?
32
，则△
ABC
的面积为
．
2
x
2
?y
2
?1
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
，
M
为椭圆上异24、（2010湖北预赛
高二）设椭圆
4
于长轴端点的一点，
?F
1
MF
2
?2
?
，△
MF
1
F
2
的内心为I，则
|
MI|cos
?
?
25、（2012湖北预赛高一）已知正实数
a,
b
满足
a
2
?b
2
?1
，且
a
3
?b
3
?1?m(a?b?1)
3
，求
m
的最小值
．
第 6 页
第二讲、立体几何
1、（2011华约）在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所<
br>成二面角的正切为
2
.则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
A????????B????????C????????D?
2、（
2012湖北预赛高二）在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知
AC?1,B
1
C?2,AB
1?p
，则
长方体的体积最大时，
p
为 ．
3、（2012广州预赛）如图,在三棱锥
S?ABC
中,
SA?
平面
ABC
,
?ABC?90
,
?
1
3
1
6
1
8
1
12
SA?BC?2,AB?4
,
M
,
N,D
分别是
SC,AB,BC
的中点.
(1) 求证:
MN?AB
;
(2)
求二面角
S?ND?B
的余弦值;
(3)
求点
M
到平面
SND
的距离.
S
M
A
N
B
D
C
4、（2011浙江预赛）直三棱柱
ABC?A
1<
br>B
1
C
1
，底面
?ABC
是正三角形，P，E分别为
BB
1
，
CC
1
上的动点（含端点），D为BC边上的中点
，且
PD?PE
.则直线
AP,PE
的夹角为__.
5、（2010全国联赛）正三棱柱
ABC?A
1
B
1<
br>C
1
的9条棱长都相等，
P
是
CC
1
的中点
，二面
第 7 页
角
B?A
1
P?B<
br>1
?
?
，则
sin
?
?
．
6、（2010贵州预赛）若将半径为
12cm
四个篮球在水平地面上
任意堆放，则你能堆放的最大
高度是
cm
.
7、（2007全国联赛）如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠AP
C=60°，则二面角A?PB?C的平
面角的余弦值为（ ）
A.
1
7
B.
?
1
7
C.
1
2
D.
?
1
2
P
D
M
C
BA
8、（2011全国联赛）
在四面体
ABCD
中，已知?ADB??BDC??CDA?60?
，
AD?BD?3
，
CD?2<
br>，则四面体
ABCD
的外接球的半径为 ．
9、
（2008全国联赛）一个半径为1的小球在
一个内壁棱长为
46
的正四面体容器内可向各
个方向自由运动，则该小球永远不可能接
触到的容器内壁的面积是 ．
10、（2007全国联赛）已知正方体ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
的棱长为1，以顶点A为球心，
半径作一个球，则球面与正方体的
表面相交所得到的曲线的长等于 .
第 8 页
23
为
3
第三讲、数列的通项公式
A、特征根法
设二阶常系数线性齐
次递推式为
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
(n?
1,p,q为常熟，q?0)
，其特
征方程为
x?px?q
，其根为特征根，
则：
nn
（Ⅰ）若特征方程有两个不相等的特征根
?
,
?
，则其通项为
a
n
=A?
?
?B?
?
(n?1)<
br>，
2
其中
A,B
由初始值确定；
n
（Ⅱ）若特征方
程有两个相等的特征根
?
，则其通项为
a
n
=[A?Bn)]
?
(n?1)
，其中
A,B
由初始值确定.
【证明】设特征根为
?
,
?
，则
?
?
?
?p,
??<
br>??q
所以
a
n?2
?
?
a
n?
1
?pa
n?1
?qa
n
?
?
a
n?1<
br>?(p?
?
)a
n?1
?qa
n
?
?
a
n?1
?
??
a
n
?
?
(
a
n?1
?
?
a
n
)
即
{a<
br>n?1
?
?
a
n
}
是以
?
为公比，
首项为
a
2
?
?
a
1
的等比数列，
n?
1
于是
a
n?1
?
?
a
n
?(a
2
?
?
a
1
)
?
,
n?2即
a
n
?
?
a
n?1
?(a
2
?
?
a
1
)
?
,
nn
（Ⅰ）
当
?
?
?
时，
a
n
=A?
?
?B
?
?
(n?1)
；
n
（Ⅱ）当
?
?
?<
br>时，
a
n
=[A?Bn)]
?
(n?1)
.
B、不动点法
若
f(x)?x
，则称
x
是
f(x
)
的不动点，利用不动点可将非线性递推式化为等差、等比
数列或某些易于求解的递推关系，达
到求解的目的.
若
a
n?1
?
a?a
n
?bax?b
(c?0且ad?bc?0)
，设
f(x)?
，
c?
a
n
?d
cx?d
a
n
?p
}
；
a
n
?q
（Ⅰ）若
f(x)
有两个相异不动点
p,q，则可构造等比数列
{
第 9 页
（Ⅱ）若
f(x)
只有唯一不动点
p
，则可构造数列
{
1
}
.
a
n
?p
1、（2010贵州预赛）已知
数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1,a
2?6,4a
n?1
?a
n?1
?4a
n
(n?2).
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）求数
列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
2、已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
<
br>3、（2011安徽预赛）设数列
?
a
n
?
满足
a<
br>1
?0
，
a
n
?
4、（2011浙江预赛）给定两个数列
?
x
n
?
，
?
y
n
?
满足
x
0
?y
0<
br>?1
，
x
n
?
7a
n
?2
，a1
?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式.
2a
n
?3
2
，
n?2
.求
a
n
的通
项公式.
1?a
n?1
x
n?1
(n?1)
，
2?x
n?1
2
y
n?1
y
n
? (
n?1)
.证明对于任意的自然数
n
，都存在自然数
j
n
，
使得
1?2y
n?1
y
n
?x
j
n
.
第 10 页
5、（2012高考全国卷）函数
f(x)?x?2x?3
.定义数列{x
n
}
如下：
x
1
?2
，
x
n?1
是过两点
2
P(4,5)
、
Q(x
n
,f
(x
n
))
的直线
PQ
n
与
x
轴焦点的横
坐标.
（Ⅰ）证明：
2?x
n
?x
n?1
?3
；
（Ⅱ）求数列
{x
n
}
的通项公式.
6、（2009全国联赛）已知p
，
q
?
q?0
?
是实数，方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
，
?
，数
4，
列
?
a
n
?
满足
a
1
?p
，<
br>a
2
?p
2
?q
，
a
n
?pan?1
?qa
n?2
?
n?3，
?
(Ⅰ)求
数列
?
a
n
?
的通项公式（用
?
，
?表示）；
(Ⅱ)若
p?1
，
q?
7、（2011湖北预赛高一）
(1?
＝ ．
第 11 页
1
，求
?
a
n
?
的前
n
项和．
4
11
)(?1)
1?21?2?3
?(1
?1
1
?2?3
)
?2011
8、（2011全国联赛）已知
{a
n
}
是公差不为0
的等差数列，
{b
n
}
是等比数列，其中
a
1
?3,b
1
?1,a
2
?b
2
,3a
5
?b
3
，且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数<
br>n
都有
a
n
?log
?
b
n
??
，则
?
?
?
?
.
*
9、（2010湖北
预赛高二）数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1,a2
?3
，且
a
n?2
?|a
n?1
|?an
(n?N)
．记
{a
n
}
前
n
项的
和为
S
n
，则
S
100
?
．
10、（2008全国联赛）设
数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满
足：
S
n
?a
n
?
项
a
n
=
．
第 12 页
n?1
，
n?1,2,
n(n?1)
，则通
第四讲、数列与放缩
1、（2012广州预赛）
已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
, 对任意
n?
N
*
都有
S
n
?（
a
为常数，
a?0,a??1
）.
(1)
求数列
?
a
n
?
的通项公式;
（2）令
b
n
?
a
?
1?a
n
?
1?a
S
n
?1
，若数列
?
b
n
?
为等比数列，求
a
的值；
a
n
11
?
,设数列
?
cn
?
的前
n
项和为
T
n
,
求
1?a
n
1?a
n?1
(3) 在满足(2)的条件下,
记
c
n
?
证:
T
n
?2n?
1
.
4
n2
2、（2012四川预赛）设函数
f
n
(x)?x(
1?x)
在
[,1]
上的最大值为
a
n
（
n?1,
2,3,
1
2
）．
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）求证：对任
何正整数
n(n?2)
，都有
a
n
?
1
成立； <
br>(n?2)
2
（III）设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求证：对任意正整数
n
，都有
S
n
?
第 13 页
7
成立．
16
*
3、（2011江苏预赛）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1(
n?N).
4、（200
5重庆高考）数列{a
n
}满足
a
1
?1且a
n?1
?(1?
（Ⅰ）用数学归纳法证明：
a
n
?2(n?2)
； 2
（Ⅱ）已知不等式
ln(1?x)?x
对
x?0
成立，证明：
a
n
?e(n?1)
，其中无理数
（I）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（II）证
明：
a
n1
a
1
a
2
n
????...?
n
?(n?N
*
).
23a
2
a
3
a
n?1
2
11
)a?(n?1)
.
n
2n
n?n2
e=2.71828….
第 14 页
5、（2011华约）已知函数
f(x)?
2x121
，f(1)?1，f()?
.令
x
1
?，x
n?1
?f(x
n
).
ax?b232
(I)求数列
{x
n
}
的通项公式；
(II)证明
x
1
x
2
2
a
n
1
*
6
、（2011湖北预赛高二）已知数列
{a
n
}
满足
a
1<
br>?,a
n?1
?a
n
?
2
(n?N)
.证明
：对一切
3n
x
n?1
?
1
.
2e
n?N
*
，有
（1）
a
n
?a
n?1
?1
；
（2）
a
n
?
7、（2009湖北预赛高二）已知数列
{a
n
}
中，<
br>a
1
?1,a
2
?
11
?
．
24n
1
，且
4
a
n?1
?
(n?1)
a
n
n?a
n
(n
?
2,3,4,
?
)<
br>．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）求证：对一切
n?N
，有
第 15 页
*
2
a
?
k
?
k?1
n
7
．
6
第五讲、解析几何
1、（2011华约）AB为过抛物线y
2
= 4x焦
点F的弦，O为坐标原点，且
?OFA?135
，C
为抛物线准线与x轴的交点，则<
br>?ACB
的正切值为 ( )
A?22???????B?
42422
2
???????C????????D?
533
x
2
y
2
2、（2012湖北预赛高二）过原点
O
的直线
l
与椭圆
C
：
2
?
2
?1(a?b?0)
交于
M,
N
两点，
ab
P
是椭圆
C
上异于
M,N
的
任一点．若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
1
，则椭圆
C<
br>的离心率
3
为
．
3、（201
1全国联赛）
直线
x?2y?1?0
与抛物线
y
2
?4x<
br>交于
A,B
两点，
C
为抛物线上
的一点，
?ACB?
90?
，则点
C
的坐标为 ．
4、（2
012广州预赛）已知平面内的动点
P
到点
F
?
小
1
，记动点
P
的轨迹为曲线
C
.
(1)
求曲线
C
的方程;
(2) 若直线
x?y?1?0
与曲线
C
相交于
A
、
B
两点, 问在曲线
C
上是否存在点
Q
,使
△
QAB
为等边三角形? 若存在,
求点
Q
的坐标; 若不存在, 说明理由.
3
?1
?
,0
?
的距离比它到直线
x??
的距离
2
?
2
?
x
2
y
2
5、（2011浙江预赛
）已知椭圆
2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A，B两点，
54
D
(a,0)
为
F
1
右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N.若以MN为直径的圆恰好过
F
1
，求 a的值.
6、（
2007全国联赛）已知过点(0，1)的直线l与曲线C：
y?x?
1
(x?0)<
br>交于两个不同点
x
第 16 页
M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.
7、（2010全国联赛）已知抛物线
y?6x
上的两个动点
A<
br>（
x
1
，
y
1
）和
B
（
x
2
，
y
2
），
其中
x
1
?x2
且
x
1
?x
2
?4
．线段
AB的垂直平分线与
x
轴交于点
C
，求
?ABC
面积的最大
值．
2
8、（2010贵州预赛）若抛
物线
y?2x
的焦点是
F
，准线是
l
，点
M(2,
m)
是抛物线上一点，
2
则经过点
F、M
且与
l
相
切的圆一共有 个.
x
2
y
2
9、（2010贵州预赛）
已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
，过坐标原点
O
的直线
l
交椭圆于
A
、
ab
B
两点，
C
是椭圆上的一点，且满足
OAOC?OBOC
．
（１）求证：
1<
br>OA
2
?
1
OC
2
是定值；
（２）求
?ABC
面积的最小值.
x
2
y
2
10、（2009全国联赛）设直线
l
:y?kx?m
（其中
k
，
m
为整数）与椭圆
??1
交于不同
1612
x
2
y
2
两点
A
，<
br>B
，与双曲线
??1
交于不同两点
C
，
D
，
问是否存在直线
l
，使得向量
412
AC?BD?0
，若存在，指出
这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
第 17 页
11、（2008全国联赛）如图，点
B,C
在
y轴上，圆
(x?1)
2
?y
2
?1
P
是抛物线
y
2
?2x
上的动点，
内切于
?PBC
，求
?PBC
面积的最小值．
12、（2012湖北预
赛高二）已知点
E(m,n)
为抛物线
y
2
?2px(p?0)内一定点，过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两
条直线交抛物线于
A,B,C,D
，且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点．
（1）当
n?0<
br>且
k
1
?k
2
??1
时，求△
EMN
的面积的最小值；
（2）若
k
1
?k
2
?
?<
br>（
?
?0,
?
为常数），证明：直线
MN
过定点．
21
x
2
y
2
,?)
而不过点Q
(2,1)
?1
，过点P
(
13、（2012湖北预赛高二）已知椭圆C：
?
33
42
的动直线
l
交椭圆C于A、B两点.
（1）求∠AQB；
（2）记△QAB的面积为
S
，证明：
S?3
．
第 18 页
1
x
2
y
2
14、（2011全国联赛）作斜率
为的直线
l
与椭圆
C
：
?
（如图所示），
?1交于
A,B
两点
3
364
且
P(32,2)
在
直线
l
的左上方．
（1）证明：△
PAB
的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若
?APB?60?
，求△
PAB
的面积．
x
2
y
2
??1
交于
A,B
两点，过椭圆
1
5、
（2010湖北预赛高二）已知直线
y?x
与椭圆C：
1611
C的右焦点
F
、倾斜角为
?
的直线
l
交弦
AB于点
P
，交椭圆
C
于点
M,N
．
（1）用
?
表示四边形
MANB
的面积；
（2）求四边形
MANB
的面积取到最大值时直线
l
的方程．
第 19 页
第六讲、不等式
1、（2012广州预赛）已知函数
f
?
x
?
?lg
?
x?1
?
，若
1?a?b
，且
f
?
a
?
?fb
?
取值范围是 .
2、（2009全国联赛）使不等式
最小正整数
a
的值为 ．
3、（2011全国联赛）
设
a,b为正实数，
lo
a
gb?
．
?
，则
ab
的
11
??
n?1n?2
?
11
?a?2007
对一切正整数
n
都成立的
2n?13
1
1
??22
，
(a?b)
2
?4(ab)
3
，则<
br>ab
4、（2007全国联赛）在平面直角坐标系内
，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，
D(?1，3)及一个动点P，则|P
A|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为 .
5、（2008全国联赛）设
f(x)
是定义在R
上的函数，若
f(0)?2008
，且对任意
x?R
，满
足
f(x?2)?f(x)?3?2
x
，
f(x?6)?f(x)?
63?2
x
，则
f(2008)
= ．
第 20 页
6、（2012四川预赛）已知
a,b,c?R
，满足
abc(a?b?c)?1
，
（I）求
S?(a?c)(b?c)
的最小值；
（II）当
S
取最小值时，求
c
的最大值．
7、（2010全国联赛）已知函数
f
(x)?ax?bx?cx?d(a?0)
，当
0?x?1
时，
32
?
f
?
(x)?1
，试求
a
的最大值.
8、（2008全国联赛）解不等式
log
2
(x
12
?3x
10
?5x
8
?
3x
6
?1)?1?log
2
(x
4
?1)
．
第 21 页
第七讲、柯西不等式
柯西不等式是指下面的定理：
定理 设
a
i
,b
i?
R(i
?
1,2,
?
,n),
则
(
当数组
a
1
,a
2
,
?
ab
)
i
i
i?1
n
2
?
(
?
a
i
)(<
br>?
b
i
)
i?1i?1
n
2
n<
br>2
,a
n
,b
1
,b
2
,,b
n<
br>不全为0时，等号成立当且仅当
b
i
?
?
a
i
(1?i?n)
.
柯西不等式的两个重要变式：
2
(
?
a
i
)
2
a
i
?
变式1： 设
a
i
?
R,bi
?
0(i
?
1,2,
?
,
n),
?
,
i?1
b
i
?
b
i
n
等号成立当且仅当
b
i
?
?
a
i
(1
?i?n)
变式2 ：设
a
i
,b
i
同号且不为
0
(i?1,2,3,
等号成立当且仅当
b
1
?b
2
???b
n
【基础训练】
1、设
x,y,z?R
且满
足
x?y?z?5
，则
x?2y?3z
的最大值为
2、设
a,b,c
为正数，求
(a?b?c)(?
3、设
2x?3y?5z?29
，求函数
y?2x?1?3y?4
?5z?6
的最大值．
【竞赛真题】
1、（2008四川预
赛）已知
1?a
i
?7
，
i?1,2,?,n
，其中正整数
n?2
．
（1）求证：对于一切的正整数
i
，都有
222
2
a
i
(
?
a
i
)
,n)
，则
?
?
,
bab
i?1
i
?
ii<
br>n
4
a
936
?)
的最小值.
bc
112
??
；
a
i
2
?17?a
i
2
3
第 22 页
n
（2）求
S?
?
i?1
1（a?1)(7?a)
2
i
2
i?1
的最小值，其中约定
a
n?1
?a
1
．
2、（2009全国联赛）求函数
y?x?27?13?x?x
的最大值和最小值．
3、（2011湖北预赛
）设
a,b,c,d
为正实数，且
a?b?c?d?4
．证明：
a
2
b
2
c
2
d
2
????4?(a?b)
2
．
bcda
第
23 页
第八讲、函数
1、（2010全国联赛）函数
f
?
x
?<
br>?x?5?24?3x
的值域是 ．
22
2、（2010
贵州预赛）已知函数
f(x)?x?2ax?3a,
且方程
f(x)?8
有三
个不同的实根，
则实数
a
= .
5?4x?
x
2
3、（2008全国联赛）函数
f(x)?
在
(??,2)上的最小值是 （ ）
2?x
A．0 B．1
C．2 D．3
4、（2012湖北预赛高二）函数
f(x)?
5、（2011
全国联赛）
函数
f(x)?
x
2
?1
x?1
x?1
的值域为 ．
x
2
?4x?7
的值域为
．
6、（2010贵州预赛）若
e
范围是
.
7、（2011全国联赛）如果
cos
5
?
?sin
5
?
?7(sin
3
?
?cos
3?
)
，
?
?[0,2
?
)
，那么
?<
br>的取值范围
是 ．
sin
?
?lncos
?
?e
cos
?
?lnsin
?
，且
?
?
?
0,2
?
?
，则角
?
的取值
8、（2009全国联赛）设
f(x)?ax?b
，其中
a,b<
br>为实数，
f
1
(x)?f(x)
，
f
n?1
(x)?f(f
n
(x))
，
n?1,2,3,
，若
f7
(x)?128x?381
，则
a?b?
.
第 24 页
9、（2011浙
江预赛）设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a,
2]
上的最大值和最小值.
10、（2009全国联赛）设
f
(x)
是定义在
R
上的函数，若
f(0)?2008
，且对任意
x?R
，满
足
f(x?2)?f(x)?3?2
x，
f(x?6)?f(x)?63?2
x
，则
f(2008)
=
．
11、（2011湖北预赛高一）已知函数
f(x)?x
?2|x|?2
的定义域为
[a,b]
（其中
a?b
），
值
域为
[2a,2b]
，则符合条件的数组
(a,b)
为 ．
12、(2011湖北预赛高一) 已知关于
x
的方程
|x?k|?
不相等的实根，则实数
k
的取值范围是 ．
13、（2012湖北预赛高一）已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
，且
a
3
?b
3
?1?m(a?b?1)
3
，求
m
的最小值．
14、（2012广州预赛）已知函数
f
?
x
?
?lnx,g
?
x
?
?
2
2
kx
在区间<
br>[k?1,k?1]
上有两个
2
1
2
ax?bx(a,b?<
br>R
)
.
2
（1）当
b?2
时，求函数
h<
br>?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
的单调区间；
（2）设函数
f
?
x
?
的图象
C
1
与函数
g
?
x
?
的图象C
2
交于不同两点
P
、
Q
，过线段
PQ
的中
C
2
于点
M
、
N
，点作
x
轴的垂线分别交
C
1
、试判断
C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的切线是否平行，并说明理由.
第 25 页
15、（2012湖北预赛高一）设
f(x)?log
a
(x?2
a)?log
a
(x?3a)
，其中
a?0
且
a?1
．若在区间
[a?3,a?4]
上
f(x)?1
恒成立，求
a的取值范围．
16、(2011湖北预赛高一)已
知二次函数
y?f(x)?x?bx?c
的图象过点（1，13），且函
数
y
?
f(x?)
是偶函数.
（1）求
f(x)
的解析式；
（2）函数
y?f(x)
的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
第 26 页
2
1
2
17、（2011全国联赛）
设函数
f(x)?|l
g(x?1)|
，实数
a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?
f(
10a?6b?21)?4lg2
，求
a,b
的值．
b?1
)
，
b?2
18、（2010全国联赛）已知函数
y?aco
s
2
x?3sinx
的最小值为
?3
，则实数
a
的
取值范
围是 ．
19、（2010全国联赛）已知函数
f
?
x
?
?ax?bx?cx?d
（
a?0
），当
0?x?1
时，
32
??
f'
?
x
?
?1
，试求
a
的最大值．
第 27 页
第九讲、排列组合与概率
1、（2007全国联
赛）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号
码不同，其余完全相同.甲从
袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个
球，其号码为b.则使不等式a?2b+
10>0成立的事件发生的概率等于（ ）
A.
52
81
B.
59
81
C.
60
81
D.
61
81
2、（2007全国联赛）将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小
方格内，每个小
方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有
种（用
数字作答）.
3、（2008
全国联赛）将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名
额互不相同的分配方法
共有 种．
4、（2008全国联赛
）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛
进行到有一人比对方多2分或打满
6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
局中获胜的概率为
（ ）
第 28 页
2
，乙在每
3
1
，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数?
的期望
E
?
为
3
A.
5、
（2009全国联赛）某车站每天
8∶00~9∶00
，
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站，但到站
的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
8∶10
8∶30
8∶50
到站时刻
9∶10
9∶30
9∶50
11
1
概率
62
3
一旅客
8
．
∶20
到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）
6、（2010全国联赛）两人轮流投掷骰子，
每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大
于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率
是
.
7、（2011全国联赛）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同
一个
项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数
为
．（用数字作答）
8、（2012江苏预赛）从集合
241670
266274
B. C. D.
81243
8181?
3,4,5,6,7,8
?
中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成
等差数列的概率为____________.
9、（2012四川预赛）从1,2,3,4,5组
成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数
abcde
，
满足条件“
a?b?c?d?e
”的概率是 ．
第 29 页
第三部分 参考答案
第一讲、三角函数与平面向量
1、【答案】
?
2、【答案】5
3、解答：
a?b?
7
25
(1?cos
?)
2
?(sin
?
?3)
2
?5?2(cos
?
?3sin
?
)
=
5?4sin(
?
6
?
?
)
，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3].
2
4、(1) 解:
f<
br>?
x
?
?cosx
?
cosx?asinx
?
?cosx?asinxcosx
?
1a
?
1?cos2x
?
?sin2x
22
11
?
?
asin2x?cos2x
?
?
22
a
2
?11
1
sin
?
2x?
?
?
?
(其中
tan
?
?
).
22
a
?
a
2
?113
3
??
,
解得
a?3
.
∵函数
f
?
x
?
的最大值为 ∴
222
2
(2)解:由(1)知
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
?
?
?
1
?
?
.
6
?
2
∵
f
?
?
?
15
?
?
3
?
?
?
5
??
?si
n
?
?
sin
?
???
,
∴,得
?????
?
.
246
624
????
4
??
?
?
∴
f
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1
?sin2
?
??
?
?
?
??
?
3
?
3
?
6
?
2
?
?
第 30 页
?
?
?<
br>?
?
?1
?sin
?
?
?
2
??
?
?
?
3
?
?
2
?
2
?
?cos
?
2
?
?
?
?
?
?1
?
?
3
?
2
?1?2sin
?
?
?
2
2
?
?
?
?
1
?
?
6
?
2
?
3
?
1
3
?1?2?
??
?
?
.
?
4
?
2
8
5、解：∵
f
?
x
?
??acos2x?3asin2x?2a?b
，
?
??
??2acos
?
2x?
?
?2a?b ．
3
??
1
?
?
?
??
2
?
?
∵
0?x?
，∴
??2x??
，∴
?
?cos
?
2x?
?
?1
．
23
?
2333
?
当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤
3a + b，
?
3a?b?1，
?
a?2，
∴
?
解得
?
b??5.
b??5.
?
?
当a < 0时，3a + b ≤ f
( x ) ≤ b ．
?
3a?b??5，
?
a??2，
∴
?
解得
?
b?1.b?1.
??
故a、b的值为
?
?
a?2
或
?
b??5
?
a??2
?
?
b?16、解：作
OG?2OA
，
OE?2OB
OF?2OA?2OB
M,N
为
OF,EF
中点，则P
在
?MNF
内，
5
面积为
2
7、解答：
问题等价于函数
f(x)?sin(2x?
m的取值范围为
?
,
1
?
.正确答案为C.
com
?
?
?
?
)
与直线
y?m
在
?
0,
?
上有两个交点，所以<
br>6
?
2
?
?
1
?
2
?
?<
br>8、【答案】4
9、【答案】C
10、【答案】
1:2
11、解：（I）由条件知
f(x)?2sin(x?
由
0?x?
?
3
)?1
，
?
2
知，
?
3
?x?
?
3
?5
?
1
?
，于是
?sin(x?)?1
623
第 31 页
所以
x?
当
x?
?
2
时，
f(x)
有最小值
2?
1
?1?2
；
2
?
6
时，
f(x)
有最大值
2?1?1?3
．
（II）由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b?1
对任意的<
br>x?R
恒成立，
33
∴
2asin(x?
??
?<
br>)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b?1)?0
<
br>333
??
∴
2(a?bcosc)?sin(x?
?
)?2
bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0
33
?
?
a?bcosc?0
?
∴
?
bsinc?0
,
?
a?b?1?0
?
由
bsinc?0
知
b?0<
br>或
sinc?0
.
若
b?0
时，则由
a?bcos
c?0
知
a?0
，这与
a?b?1?0
矛盾！
若
sinc?0
，则
cosc?1
（舍去），
cosc??1
， 解得
a?b?
1bcosc
,c?(2k?1)
?
，所以，??1
．
2a
2
12、解：
因为
AB?AE?AC?AF?2
，所以
AB?(AB?BE)?AC?(AB?BF
)?2
，即
AB?AB?BE?AC?AB?AC?BF?2
.因为
AB?1
，
33?1?36
AC?AB?33?1???1
，
BE??BF
，所以
1?BF?(AC?AB)?1?2
，即
2?33?1
BF?
BC?2
.设
EF
与
BC
的夹角为θ，则有
|BF|?|B
C|?cosθ?2
，即3cosθ=2，所以
2
cosθ?
.
3
13、提示与答案：与f(x)=y
2
=1+|sin2x|的单调减区间相同，
[
2
k
??
k
??
?,?],k?
Z．
2422
14、[分析]首先尽可能化简结论中的表达式
cos
2
A
?cos
2
B
，沿着两个方向：①降次：把三
角函数的平方去掉；②去角：原
来含两个角，去掉一个.
解：
cos
2
A?cos
2
B?
1?cos2A1?cos2B1
??1?(cos2A?cos2B)
2
22
1
?1?cos(A?B)cos(A?B)?1?cos(A?B)
，可见答案
是B
2
π
2sin(
πx
?)?2
15
4
(?x?)
， 15、解：实际上
f(x)?
44
x
π
1
5
1335
设
g
(
x
)?2sin(
πx
?)(?x?)
，则g(x)≥0，g(x)在
[,
]
上是增函数，在
[,]
上是
444
4444
第 32 页
减函数，且y=g(x)的图像关于直线
x?
g(x
2
)=g(x
1
).于是
31335
对称，则对任意
x
1
?[,]<
br>，存在
x
2
?[,]
，使
44444
f(x
1
)?
35
g(x
1
)?2g(x
2
)?2g(x
2
)?2
???f(x
2
)
，而f(x)在
[,]
上是减函数，所以
44
x
1
x
1
x
2545
45
15
f(x)?f()?
，即f(x)在
[,]上的最小值是.
45
5
44
16、[解] 设
a,b,c的公比为
q
，则
b?aq,c?aq
2
，而
sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC
?
sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinC
?
sinA(?C)
?
sinB(?C)
?
s?inB(<
br>?
?
s?inA(
)Bsibn
??q
．
)Asian
因此，只需求
q
的取值范围
．
因<
br>a,b,c
成等比数列，最大边只能是
a
或
c
，因此
a,b,c
要构成三角形的三边，必需且
只需
a?b?c
且
b?c?
a
．即有不等式组
22
?
?
a?aq?aq,
?
?
q?q?1?0,
即
?
2
?
2
??<
br>?
aq?aq?a
?
q?q?1?0.
?
1?55?1
?q?,
?
?
22
解得
?
?
q?5?1
或q??
5?1
.
?
?22
从而
5?1
5?1
5?15?1
?q?
，因此所求的取值范围是
(,)
． 22
22
222
17、解：因为
a,b,c
是
Rt?A
BC
的三边，
c
为斜边，所以
a?b?c
.
令<
br>?
?
a?ccos
?
?
(0?
?
?)
,所以
2
?
b?csin
?
c
3
cos
3
?
?c
3
sin
3
?
?c
3
cos
3
?
?sin
3
?
?1
y??
2<
br>c(ccos
?
?csin
?
?c)(cos
?
?s
in
?
?1)
2
(cos
?
?sin
?
)
(cos
2
?
?cos
?
?sin
?
?sin2
?
)?1
?
(cos
?
?sin
?
?1)
2
(cos
?
?sin
?
)(1?cos
?
?sin
?
)?1
?
(cos
?
?si
n
?
?1)
2
又令
x?cos
?
?sin
?
，因为
0?
?
?
?
2
,所以
?
x?cos
?
?sin
?
?2sin(
?
?)?1,2<
br>?
?
,
4
?
第 33 页
x
2
?1
cos
?
?sin
?
?
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x<
br>3
2
y??
(x?1)
2
2(x?1)
2
(
2?x?x
2
)(x?1)2?x?x
2
??
2
2(x?1)2(x?1)
(2?x)(x?1)1
??1??x
2(x?1)2?
21
?
1
?
,
?
显然
y?1??x
在
x?1,2
上是减函数,所以
y?
?
1?
?，此即为
y
的取值范
?
22
2
??
?
围.
18、 [解]
f(x)?2cos
2
x?1?2a?2acosx
a1
?2(cosx?)
2
?a
2
?2a?1
，
22
(1)
a?2
时，
f(x)
当
cosx?1
时取最小值
1?4a
；
(2)
a??2
时，
f(x)
当
cosx??1
时取最小值1；
(3)
?2?a?2
时，
f(x)
当
cosx?
a
1
时取最小值
?a
2
?2a?1
．
2
2
1
又
a?2
或
a??2
时，
f(x)
的
最小值不能为
?
，
2
11
故
?a
2
?2
a?1??
，解得
a??2?3
，
a??2?3
(舍去)．
22
19、[证]
f(x)
的图象与直线
y?kx
<
br>(k?0)
的三个交点如答13
图所示，且在
(
?
,
3
?
)
内相切，其切
2
点为
A(
?
,?s
in
?
)
，
?
?(
?
,
3
?)
．
2
…5分
3
sin
?
答13图
由于
f
?
(x)?
?cosx
，
x?(
?
,
?
)
，所以
?c
os
?
??
，即
?
?tan
?
． 因此
2
?
cos
?
cos
?
?
si
n
?
?sin3
?
2sin2
?
cos
?
?
1
4sin
?
cos
?
第 34 页
cos
2
?
?sin
2
?
?
4sin
?
cos
?
1?tan
2
?
?
4tan
?
1?
?
2
．
?
4
?
20、【答案】
?
1
3
21、【答案】
22、【答案】
7
4
3
2
157
16
23、
【答案】
24、【答案】
2?3
．
25、解 ：令
a?cos?
,b?sin
?
，
0?
?
?
?
2<
br>，则
cos
3
?
?sin
3
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?cos
?
sin
?
?sin
2
?
)?1
．令 <
br>x?cos
?
?sin
?
，
m??
(cos
?
?sin
?
?1)
3
(cos
?
?sin
?
?1)
3
x
2
?1
则
x?2sin(
?
?)?(1,2]
，且
cos
?
sin
?
?<
br>．
4
2
于是
?
x
2
?1
x(1
?)?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
．
m??????
2(x?1)2(x?1)2
(x?1)
3
2(x?1)
3
2(x?1)
2
因为函数
f(x)?
31
?
在
(1,2]
上单调递减，所以
f(2)?m?f(1)<
br>．
2(x?1)2
因此，
m
的最小值为
f(2)?
32?4
．
2
第二讲、立体几何
1、[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些
条件来确
定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成
二面角可确定其他要
素，如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另
一种是平移其中一条线段与另一条
在一起.
第 35 页
z
P
M
D
O
N
C
y
B
A
x 解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为
2
得高为
2
.
如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-
1，-1，0)，P(0，0，
2
)，
则
M(,?
1
2
,),N(,,)
，
DM?(,?,),AN?(?,,)
.设所成的角
22222222222
为θ，则
cos
?
?
DMANDMAN
?
1
.
6
解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面
与底面所成二面角的正切为
2
得高为
2
.
P
M
D
N
Q
C
A
B
平移DM与AN在一起.即M移到N，D移到CD的中点Q.于是QN = DM = AN.而PA
= PB =
AB = 2，所以QN = AN =
3
，而AQ =
5
，容易算出等腰ΔAQN的顶角
cos?ANQ?
1
.
6
解法三：也可以平移AN与DM在一起.即A移到M，N移到PN的中点Q.以下略.
第 36 页
2、【答案】
1?
23
3
3、解：(1) 证明:取AC
的中点
E
,连接
ME,NE
.则
MESA
,
又
SA?
平面
ABC
,
∴
ME?
平面
ABC
.
∵
AB?
平面
ABC
,∴
ME?AB
.
∵
N,E
分别为
AB,AC
的中点,
∴
NEBC
.
∵
?ABC?90
,即
AB?BC
,
∴
NE?AB
.
∵
M
E
?
S
M
H
A
F
N
B
E
D
C
NE?E,ME?
平面
MNE,NE?
平面
MNE,<
br>
∴
AB?
平面
MNE
.
∵
MN?
平面
MNE
,
∴
MN?AB
.
解:过
A
作
AF?DN
且与
DN
的延长线相交于点
F
, 连接
SF
.由三垂线定理知,
?SFA
是二面角
S?ND?A
的平面角,也是二面角
S?ND?B
的平面角的补角, 在Rt△
DBN
中，
ND?DB
2
?NB
2
?
5
，
sin?DNB?
DB5
?
.
ND5在Rt△
AFN
中，
AF?AN
sin?ANF?2?
525<
br>?
.
55
在Rt△
SAF
中，
SF?SA
2
?AF
2
?
AF6
230?
，
cos?AFS?
.
SF6
5
∴二面角<
br>S?ND?B
的余弦值为
?
6
.
6
平面(2)
解:过点
A
作
AH?SF
于
H
, 由(2)知平面
SAF?
平面
SND
,且平面
SAF
SND?SF
,
∴
AH?
平面
SND
.
∴
AH
的长为点
A
到平面
SND
的距离.
在Rt△
AFN
中，
AH?
6
SAAF
?
.
3
SF
∵点
M
是
SC
的中点, ∴点
M<
br>到平面
SND
的距离是点
C
到平面
SND
的距离的<
br>1
倍.
2
∵
ACND
,∴
AC
平面
SND
. <
br>∴点
C
到平面
SND
的距离等于点
A
到平面
SND
的距离.
第 37 页
∴点
M
到平面
SND
的距离是
6
.
6
4、解答：因为平面ABC⊥平面
BCC
1
B
1
，AD⊥BC，所以AD⊥平面
BCC
1
B
1
，所以
AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD.即夹角为
90
.
5、解一：如图，以
AB
所在直线为
x
轴，线段
AB
中点
O
为原点，
OC
所在直线为
y
轴，
建立空间
直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2),A
1
(?1,0,2),P(0,3,1)
，
从而，
BA
1
?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2
,0,0),B
1
P?(?1,3,?1)
.
设分别与平面
BA<
br>1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量
是
m?(x
1
,y
1
,z
1
)
、
n?(x
2
,y
2
,z
2
)
，
则
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z
1
?
0,
?
?
?
m?BP??x
1
?3y
1
?z
1
?0,
?
?
n?B
1
A
1
??2x
2
?0,
?
?
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
由
此可设
m?(1,0,1),n?(0,1,3)
，
所以
m?n?m?ncos
?
，
x
B
B
1
z
A
1
C
1
P
A
O
C
y
即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
10
.
4
6
.
4
A
1
所以
sin?
?
C
1
E
B
1
O
A
P解二：如图，
PC?PC
1
,PA
1
?PB
. 设
A
1
B
与
AB
1
交于点
O,
则
OA
1
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?
AB
1
.
B
C
因为 PA?PB
1
,所以
PO?AB
1
,
从而
AB
1
?
平面
PA
1
B
.
过
O
在平面
PA
1
B
上作
OE?A
1
P
,垂足为
E
.
第 38 页
<
br>连结
B
1
E
,则
?B
1
EO
为二面
角
B?A
1
P?B
1
的平面角.
设
AA
1
?2
,则易求得
PB?PA
1
?5,A
1
O?B
1
O?2,PO?3
.
在直角
?PA
1
O
中，
A
1
O?PO?A
1
P?
OE
,
即
2?3?5?OE,?OE?
6
5
.
又
B
1
O?2,?B
1
E?B
1
O2
?OE
2
?2?
645
?
.
55
sin
?
?sin?B
1
EO?
B
1
O
2
10
.
??
B
1
E
45
4
5
6
、解：四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的堆放在地面上，
其中球心相连
形成棱长为
24cm
的四面体，此四面体的高为
86cm
，所以能堆放的最大
高
度应是
24?86cm
.
7、解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB
，垂足为M.连结CM、AC，则∠AMC为二面角
A?PB?C的平面角.不妨设AB=2，则
PA?AC?22
，斜高为
7
7
，故
2?7?AM?22
，由此得
CM?AM?
.在△AMC
2
AM
2
?CM
2
?AC
2
1
??
.
中，由余弦定理得
cos?AMC?
2?AM?CM7
8、
P
D
M
C
BA
第 39 页
9、
[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为
r
，作平面
A
1
B
1
C
1
平
面<
br>ABC
，与小球相切于点
D
，则小球球心
O
为正四面体
P?A
1
B
1
C
1
的中心，
PO?面A
1
B
1
C
1
，垂足
D
为
A
1B
1
C
1
的中心．
1
因
V
P?ABC
?S
?ABC
?PD
111
3
111
?4?V
O?A
1
B
1
C
1
1
?4??S
?A
1
B
1
C
1
?OD
，
3
故
PD?4OD?4r
，从而
PO?PD?OD?4r?r
?3r
．
记此时小球与面
PAB
的切点为
P
1
，
连接
OP
1
，则
答12图1
2222
．
PP
1
?PO?OP
1
?(3r)?r?22r
考虑小球与正四面体的一
个面(不妨取为
PAB
)相切时的情
况，易知小球在面
PAB
上最靠
近边的切点的轨迹仍为正三角形，
记为
P
，如答12图2．记正四面体
1<
br>EF
的棱长为
a
，过
P
1
作
PM?PA于
M
．
1
答12图2
第 40 页
因
?MPP
1
?
3
?，有
PM?PP?cosMPP?22r??6r
，故小三角形的边长
11
6
2
P?2PM?
1
E?PA?a26
．
r
小球与面
PAB
不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
S
?PAB
?S
?P
1
EF
?
3
2
2
(a?(a?26r)
2
)
?32ar?63r
．
4
又
r?1
，
a?46
，所以
S
?PAB
?S
?PEF
?243?63?183
． 1
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
723．
10、解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA
1
B
1
B、面ABCD和面AA
1
D
1
D上；另一类在不过顶点A的三个面上，
即面BB
1
C
1
C、面CC
1
D
1
D和面A
1
B
1<
br>C
1
D
1
上.在面AA
1
B
1
B上
，交线为弧EF且在过球心A的
23
πππ
，AA
1
=1，则
?A
1
AE?
.同理
?BAF?
，所以
?EAF?
，
3
666
23
π
3
??π
，而这样的弧共有三
条.在面BB
1
C
1
C上，交线为弧FG且在故弧EF的长为
369
3
距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，
3<
br>3
π
3
π
??π
.这样的弧也有三条.
?FBG?
，所以弧FG的长为
326
2
3353
π
π?
3<
br>?π?
于是，所得的曲线长为
3
?
.
966
大圆上，因为
AE?
第三讲、数列的通项公式
1、（1）因
为
a
1
?1,a
2
?6,4a
n?1
?a
n?1
?4a
n
(n?2)
，所以
a
n?1
?2
a
n
?2(a
n
?2a
n?1
),a
2
?
2a
1
?4?a
n?1
?2a
n
?4?2
n?1<
br>a
n?1
a
n
a
n
111
n
??1
???(n?1)?1?n??a?(n?)?2
n
2
n?1
2<
br>n
2
n
222
?a
n
?(2n?1)?2
n
?1
?
（2）由（1）知：
S
n
?1?3?2?5?2
2
?????(2n?3)?2
n?2
?(2n?1)?2
n?1
①
①
?2
：
2S
n
?2?3?2
2
?
5?2
3
?????(2n?3)?2
n?1
?(2n?1)?2
n
②
①
?
②:
第 41 页
?S
n
?1?2?2?2?2
2
?2?2
3
?????2?2
n?1
?(2n?1)?2
n
2
2
(1?2
n?1
)
?1??(2n?1)?2
n
?(3
?2n)?2
n
?3
1?2
?S
n
?(2n?3)?2n
?3
n?
即
S
n
?(2n?3)?2?3(n?N)
.
2、【解】令
x?
7x?2
3x?1
2，得
2x?4x?2?0
，则
x?1
是函数
f(x)
?
的不动点.
4x?7
2x?3
7a
n
?25a?5
?1?
n
，所以
2a
n
?32a
n
?3
因为
a
n?1
?1?
35
2a
n
?3
2
1
2
?
2
(1?
2
)?
1
?2
，所以数列
{
1
}
是以
?
??
a<
br>n
?1
a
n?1
?1
5a
n
?55a
n
?15a
n
?1a
n
?15
a
n
?<
br>1112
2n?8
2
??1
为首项，
?1?(n?1)?，以为公差的等差数列，则故
a
n
?
.
5
a
1
?12?1a
n
?15
2n?3
3、解：特征根法. 又
a
n
?2?
4?2a
n?1
1?a
n?1
，
a
n
?1?
，
1?a
n?1
1?a
n?1
?(?2)
n
， 得<
br>a
n
?2a?2a?2
?(?2)?
n?1
?(?2)
2
n?2
?
a
n
?1a
n?1
?1a
n
?2
?1
(?2)
n
?2
于是
a
n
?.
n
(?2)?1
4、解答：由已知得到：
12111
?1???1?2(1?)?{?1}
为等比数列，首项为2，公比为2，
x
n
x
n?1
x
n
x
n?1
x<
br>n
所以
11
?1?2
n?1
?x
n
?
n?1
.
x
n<
br>2?1
(y
n?1
?1)
2
y?1y
n?1
?1
2
11
2
又由已知，
y
n
?1??
n
?()?1??(1?)
1?2y
n?1
y
n
y
n?1
y
n
y
n?1
n
111
2
由
1?
，
?2?1??2?y
n
?
n
y
0
y
n
2
2
?
1
第 42 页
所以取
j
n
?2?1
即可.
5、【解析】（Ⅰ）
k
PQ
n
n
f(x
n
)?5x
n
2
?2x
n
?8
??
xn
?4x
n
?4
x
n
2
?2x
n?8
所以直线
PQ
n
的方程为
y?5?(x?4)
<
br>x
n
?4
另
y?0
得
x
n?1
??
5?
x
n
?4
5
?4???4
x
n2
?2x
n
?8x
n
?2
下面用数学归纳法进行证明：
①当
n?1
时，计算
x
2
?
11
，明显<
br>2?x
1
?x
2
?3
4
②假设当
n?k?1(k?2)
时，命题成立，即
2?x
k?1
?x
k
?3
成立
则当
n?k
时，利用
x
k
?[2,3)
得
x
k?1
?
?5?5
?4??4?3
x
k
?23?2
(3?x
k
)(x
k
?1)
5
?4)?x
k
??0
x
k
?2x
k
?
2
另一方面
x
k?1
?x
k
?(?
于是
2
?x
k
?x
k?1
?3
这说明
n?k
时命题也成立
由①②可知，命题对任意
n?N*
都成立
（Ⅱ）令
x??
5
?4
得不动点
x??1
或
x?3
x?2
5
?4)?1
x
n?1
?1x
n
?2x?1
??
5?
n
x
n?1
?3
(?
5
?4)?3
x
n
?3
x
n
?2
(?
这说明
{
x
n
?1
2?1
}
是以
??3
为首项，<
br>5
为公比的等比数列
x
n
?3
2?3
x
n
?1
9?5
n?1
?1
n?1
??3?5
，于是<
br>x
n
?
所以
x
n
?3
3?5
n?1
?1
解题反思：
9?5
n?1
?1(9?5
n?1
?3)?44
??3?
先
求得
x
n
?
3?5
n?1
?13?5
n
?1
?13?5
n?1
?1
第 43 页
明显
{x
n
}
是一个递增数列，且
x
n
?3?<
br>所以
2?x
1
?x
n
?x
n?1
?3
4
3?5
n?1
?1
?3
5、
解：方法一：
(Ⅰ)由韦达定理知
?
?
?
?q?0
，又<
br>?
?
?
?p
，所以
a
n
?px
n
?1
?qx
n?2
?
?
?
?
?
?
a
n?1
?
??
a
n?2
，
?
n?3，4
，5，
?
整理得
a
n
?
?
a
n
?1
?
?
?
a
n?1
?
?
a
n?
2
?
2，
令
b
n
?a
n?1
?
?
a
n
，则
b
n?1
?
?
bn
?
n?1，
所以
?
b
n
?
是公比为
?
的等比数列．
?
．
数列
?
b
n
?
的首项为：
b
1
?a
2
?
?
a
1
?p
2?q?
?
p?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
．
1
?
n?
所以
b
n
?
?
2
?
?
n?
?
2
，即
a
n?1<
br>?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，2
，
?
．所以
，
2，
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，
?
．
时，①当
??p
2
?4q?0
?
?
?
?0
，
a
1
?p?
?
?
?
?2
?
2
，
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，
?
变为
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，2，
?
．整理
得，
?
．所以，数列
?
?
a
n
?
成公差为
1
的等差数列，其
n
?
?
?
?
a
n?1
?
?
n?1
a
n
?
n
a
1
2，
?1
，
?
n?1，
首项为
?
?
2
?
?
?2
．所以
a
n
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?
n?1
?
?
n
；
?
n
?2?1
?
n?1
?
?n?1
． <
br>②当
??p
2
?4q?0
时，
?
?
?
，
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?
a
n
?
?
?
?
?
?
?
a
n
?
?
?
?
?
?
n?1
?
?
?
?
?
2，
?
n?1
?
n?1，?
．
整理得
?
?
n?2
?
n?1
?
2，
?
．
a
n?1
??
?
?
a
n
?
?，
?
n?1，
?
?
??
?
?
???
?
n?1
?
所以，数列
?
a
n
?<
br>?
成公比为
?
的等比数列，其首项为
?
?
?
??
?
2
?
2
?
2
?
n?1
?<
br>2
n?1
a
1
??
?
?
?
???<
br>?
． ．所以
a
n
?
?
?
??
?<
br>??
?
?
?
?
??
?
?
?
n?1
?
?
n?1
于是数列
?
a
n
?的通项公式为
a
n
?
．
?
?
?
11
(Ⅱ)若
p?1
，
q?
，则
??p
2
?4
q?0
，此时
?
?
?
?
．由第(Ⅰ)步的结果得，数
42
?
1
?
n?1
列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?
n?1
?
???
n
，所以，
?
a
n
?
的前
n
项和为
2
?
2
?
n
第 44 页
234nn?1
?
2
?
3
??<
br>n?1
?
n
22222
1234nn?1
s
n
?
2
?
3
?
4
???
n?1
22222n2
13n?3
以上两式相减，整理得
s
n
??
n?1
222
n?3
所以
s
n
?3?
n
．
2
方法二：
(Ⅰ)由韦达定理知
?
?
?
?q?0
，又
?
?
?
?p
，所以
s
n
?
a
1
?
?
?
?
，
a
2
?
?
2
?
?
2
?
??
．
特征方程
?
2
?p
?
?q?0
的两个根为
?
，?
．
2，
①当
?
?
?
?0
时，通项
a
n
?
?
A
1
?A
2
n
?
?
n
?
n?1，
?
由
a
1
?2
?
，
a
2
?3
?
2
得
?
?
?
A
1
?A
2
?
?
?2
?<
br>
?
22
A?2A
?
?3
?
?
2<
br>?
?
?
1
解得
A
1
?A
2
?1
．故
a
n
?
?
1?n
?
?
n
．②当
?
?
?
时，通项
a
n
?A
1
?
n
?A
2
?
n
?
n?1，2，
?
．由
a
1
?
?
?
?
，
a
2
?
?
2
?
?
2
?
??
得
?
?
A
1<
br>?
?A
2
?
?
?
?
?
?
2222
A
?
?A
?
?
?<
br>?
?
?
??
?
?
12
?
?
?
解得
A
1
?
，
A
2
?
．故
?
?
?
?
?
?
?
?
n?1
?
n?1
?
n?1
?
?
n?1
??
a
n
?
．
?
?
??
?
??
??
6、解：
671
2011
7、解：设
{a
n
}
的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
，则
3?d?q,
（1）
3(3?4d)?q
， （2）
（1）代入（2）得
2
9?12d?d
2
?6d?9
，求得
d?6,q?9.
n?1
?
?
对一切正整数
n
都成立， 从而有
3?6(n?1)?log
?
9
即
6n?3?(n?1)log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?
，
求得
?
?
3
3,
?
?3
，
?
?
?
?
3
3?3
.
第
45 页
8、解：89
9、[解]
a
n?1
?S
n?1
?S
n
?
即
2
a
n?1
?
=
nn?1
?a
n?1
??a
n
，
(n?1)(n?2)n(n?1)
n?2?211
???a
n
(n?1)(n?2)n?1n(n?1)
?21
，
?a
n
?
(n?1)(n?2)n(n?1)
由此得 2
(
a
n?1
?
令
b
n
?a
n
?
有<
br>b
n?1
?
11
．
)?a
n
?
(
n?1)(n?2)n(n?1)
11
1
，
b
1
?a
1
??
(
a
1
?0
)，
22
n(n?1)
1
1
11
，故，所以．
b?<
br>b
n
a??
n
n
n
n
2
2
n(n?1)
2
第四讲、数列中的放缩
a
?
1?a
1
?
,
解得
a
1
?a
,
1?a
aa
当
n?2
时,
a
n<
br>?S
n
?S
n?1
?
?
1?a
n
?
?
?
1?a
n?1
?
,
1?a1?a
1、(1) 解:
当
n?1
时,
a
1
?S
1
?
整理得
a
n
??aa
n?1
.
∴数列
?
a
n
?
是首项为
a
,
公比为
?a
的等比数列.
∴
a
n
?a
?
?a
?
(2)解:由(1)得
S
n
?
n?1??
?
?a
?
.
n
S
a
?
2a?1a
n
.
1?<
br>?
?a
?
?
,则
b
n
?
n
?1
??
n
??
a
1?a
1?a
?
1?a
??
?a
?
n
2a?12a
3
?a
2?1
∴
b
1
?2,b
2
?
.
,b
3
?
2
a
a
?
1?a
?2a
3
?a
2
?1
1
?
2a?1
?<
br>?2?
a??
由
b?b
1
b
3
,得
?
, 解得.
?
2
2
a
?
1?a
?
?
a
?
2
2
2
又
a??
11
n
时,
b
n
?2
,显然数列
?
b
n
?
为
等比数列，故
a??
.
22
n
1
?
1
?
(3)
证明:由(2)知
a??
,故
a
n
??
??
.
2
?
2
?
第 46 页
2n
2
n?1
11
?
?
n
?
n?1 ∴
c
n
?
1?a
n
1?a
n?1<
br>2?12?1
?1?
11
?1?
nn?1
2?12?1
1
??
1
?
?
nn?1
2?12?1
??
?2?
?
2
n
?2
?2?
n
.
n?1
2?12?1
????
2
n
?211
???
当
n?2
时, .
n?1
nn?1n
nn?1
?
2?1
??
2?1
?
?
2?1
??2?4
?
2
?
2?1
?
2
2
n
?2
n
1
2
i
?2
?
∴
?i
?
?
i?1
i?1
2
?1
?
i?2
i?2
?
2?1
??
2
n
1
2
3
?
?
1
?
n?1
?
?
1?
??<
br>?
?
?
?
2
?
?
?
?
1<
br>.
1
4
1?
2
∴
T
n
?2?2
?
n?1
?
?
11
?2n?
.
44
'n?12nn?1
2、解：（I）
f
n
(x)?nx
(1?x)?2x(1?x)?x(1?x)[n(1?x)?2x]
，
n
，
n?2
n1111
1
当
n?1
时，
??[,1]<
br>，又
f
1
()?
，
f
n
(1)?0
，故
a
1
?
；
n?23228
8
n11111<
br>当
n?2
时，
??[,1]
，又
f
2
()?
，
f
n
(1)?0
，故
a
2
?
；
n?22221616
n1
当
n?3
时，
?[,1]
，
n?22
1nn
∵
x?[,)
时，
f
n'
(x)?0
；
x?(,1)
时，
f
n
'(x)?0
；
2n?2n?2
'
当
x?[,1]
时，
由
f
n
(x)?0
知
x?1
或者
x?
1<
br>2
n
n
2
2
4n
n
n
)()?∴
f
n
(x)
在
x?
处取得最大值，即
an
?(
n?2n?2(n?2)
n?2
n?2
?1
?
8
,(n?1)
?
综上所述，
a
n
?
?
．
n
?
4n
,(n?2)
n?2
?
(n?2)
?
4n<
br>n
1
2
n
?
（II）当
n?2
时，欲证
，只需证明
(1?)?4
n?22
(n?2)(n?2)
n
第 47 页
2
1
2
2
2
2n
?C
n
?()<
br>n
nnn
n(n?1)4
?1?2??
2
?1?2?1?4
2n
∵
(1?
)?C
n
?C
n
?()?C
n
?()?
n012
n
所以，当
n?2
时，都有
a
n
?
1
成立．
(n?2)
2
（III）当
n?1,2
时，结论显然成立；
当
n?3
时，由（II）知
S
n
?
?
11
??a
3
?a
4
?
816
1111
????
8165
2
6
2
?a
n
?
1
(n?2)
2
11111111
??(?)?(?)??(?)
8164556n?1n?2
1117
????
．
816416
7
所以，对任意正整数
n
，都有
S
n
?
成立．
16
*
3、（I）解：
a
n?1
?2a
n
?1(n?N),
?
?a
n?1
?1?2(a
n
?1),
?
?
a
n
?1
?
是以
a
1
?1?
2
为首项，2为公比的等比数列.
?a
n
?1?2
n
.
2*
即
a
n
?2?1(n?N).
（II）证明：
a
k
2
k
?12
k
?11
?
k?1
??,k
?1,2,...,n,
a
k?1
2?1
2(2
k
?
1
)
2
2
a
aa
n
?
1?
2
?...?
n
?.
a
2
a3
a
n?1
2
a
k
2
k
?11111
111
?
k?1
??????.,k?1,2,...,n,
a<
br>k?1
2?122(2
k?1
?1)23.2
k
?2
k
?2232
k
a
aa
n1111n11n1
?
1
?
2
?...?
n
??(?
2
?...?
n
)??(1?
n
)??,
a
2
a
3<
br>a
n?1
2322223223
a
n1
aa
n
???
1
?
2
?...?
n
?(n?N
*
).
23a
2
a
3
a
n?1
2
4、（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，
a
2
?2?2
，不等式成立.
（2）假设当
n?k(k?2)
时不等式成立，即
a
k
?2(k?2),
第 48 页
那么
ak?1
?(1?
11
)a
k
?
k
?2
. 这就是说，当
n?k?1
时不等式成立.
k(k?1)
2
根
据（1）、（2）可知：
a
k
?2对所有n?2
成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
a
n?1
?(1?
两边取对数并利用已知不等式得
lna
n?1
1111
)a??(1??)a
n
.(n?1)
n
2n2n
n?n2n?n2
11
?ln(1?
2
?
n
)?lna
n
n?n2
?lna
n
?
11
11
lna?lna??
故
(n?1).
?
.
n?1n
n(n?1)
2
n
n
2
?n2
n
上式从1到
n?1
求和可得
lna
n
?lna
1
?
111111
??????
2
???
n?1
1?22?3(n?1)n2
22
1
n
11111111
2
?1??(?)?
?
?????1??1?
n
?2.
1
223n?1n2n
2
1?
2
1?
2
即lna
n
?2,故a
n
?e(n?1).
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证
2?n(n?1)对n?2
成立，故 <
br>n
a
n?1
?(1?
1111
)a??(1?a?
n
n
n(n?1)n(n?1)
n
2
?n2
n
(n?2),则
b
n?1
?(1?
1
)b
n
n(n?1)
(n?2
).
令
b
n
?a
n
?1(n?2).
取对数并利用已知不等式得
lnb
n?1
?ln(1?
1
)?lnb
n
n(n?1)
?lnb
n
?
1
n(n?1)
(n?2)
.
111
??
?
?
1?22?3n(n?1)
上式从2到n求和得
lnb
n?1
?
lnb
2
?
?1?
11111
???
?
???1.
223n?1n
(n?2).
1?ln3
?3e
因
b
2
?a
2
?1?3.故lnb
n?1
?1?
ln3,b
n?1
?e
第 49 页
2222<
br>故
a
n?1
?3e?1?e,n?2,又显然a
1
?e,a<
br>2
?e,故a
n
?e对一切n?1
成立.
5、解：由
f(1)?1，f()?
1
2
22x
得a?b?1，f(x)?
3x?1
2
n?1
1248
(I)先求出
x
1
?，x
2
?，x
3
?，x
4
?
，猜想
x
n
?
n?1
.用数学归纳法证
2?1<
br>2359
2
k?1
明.当n = 1显然成立；假设n = k显然成立，即<
br>x
k
?
k?1
，则
2?1
2x
k
2
k
，得证.
x
k?1
?f(x
k
)??
k
x
k
?12?1
(II) 我们证明
1
x
1x
2
x
n?1
?2e
.事实上，
1
)
.我们注意到
2
n
2
n
1
x
1
x
2
x
n?1
11
?2(1?)(1?)24
2n
(1?
1?2a?(1?a)，，1?2a?(1?a)
，于是
1
x
1
x
2
x
n?1
?2(1?
1
2
n?1
?
)
2
n
?2?1
?2(1?
1
2
n
?1
1
2
n
)?2(1?)?2e
2
n
2
n
2
a
n
*
6、解 （1
）显然，
a
n
?0
，所以
a
n?1
?a
n
?
2
?a
n
（
n?N
）.
n
2
a
k
1
111
??
2
.
所以，对一切
k?N
，
a
k?1
?a
k
?
2
?a
k
?
2
a
k
a
k?1
，所
以
a
k
a
k?1
k
kk
*
所以，当
n?2
时，
n?1n?1
11
n?1
111
n?11111
??
?
(?)??
?
2
?3?[1?
?
]?3?[1?
?
(?)]
a
n
a
1
k?1
a
k
a
k?1
a
1
k?1
kk
k?2
k(k?1)
k?2
k?1
?3?[1?1?
所
以
a
n
?1
.
又
a
1
?
1n
]??1
，
n?1n?1
1
?1
，故对一切
n?N
*
，有
a
n?1
.
3
*
因此，对一切
n?N
，有
an
?a
n?1
?1
.
（2）显然
a
1
?
1111
???
.
3424
第 50 页
2
a
k
a
k
k
2
a
k?1
，所以 由
a
n
?1
，知
a
k?1
?a
k
?
2
?ak
?
2
，所以
a
k
?
2
kkk?1<
br>2
a
k
1k
2
1
a
k?1
?ak
?
2
?a
k
?
2
a
k
?<
br>2
a
k?1
?a
k
?
2
a
k
a
k?1
，
kkk?1k?1
所以
111
??
2
，
a
k
a
k?1
k?1
*
所以，当
n?N<
br>且
n?2
时，
n?1n?1
11
n?1
111n?1
1111
??
?
(?)??
?
2
?3?
?
?3?
?
(?)
a
n
a
1<
br>k?1
a
k
a
k?1
a
1
k?1
k
?1k?1
k?1
k(k?1)
k?1
k
12n?1
， <
br>?3?(1?)?
nn
所以
a
n
?
n1111
????
.
2n?122(2n?1)24n
1
a
n?1
?
n?a
n
n1
??
，
(n?1)a
n
(n?1)a
n
n?1
7、解
（1）由已知，对
n?2
有
两边同除以n，得
111
??
，
na
n?1
(n?1)a
n
n(n?1)
即
1111
???(?)
，
na
n?1(n?1)a
n
n?1n
n?1n?1
?
1
?
11
?
1
?
1
??????(1?)
， 于是，
?
?
??
?
?
(k?1)a
k
?
k?
n?1
k?2
?
ka
k?1
k?2
?
k?1
即
111
???(1?),n?2
，
(n?1)an
a
2
n?1
1113n?2
1
??(1?)?
,n?2
． ，
a
n
?
(n?1)a
n
a
2
n?1n?1
3n?2
所以
又
n?1
时也成立，故<
br>a
n
?
（2）当
k?2
，有
2
a
k
?
1
,n?N
*
．
3n?2
11111
??(?)
，
2
(3k?4)(3k
?1)33k?43k?1
(3k?2)
所以
n?2
时，有
第
51 页
n
?
a
k?1
2
k<
br>1
?
111111
?
2
?1?
?
a
k
?1?
?
(?)?(?)?
?
?(?)
?
3
?
25583n?43n?1
?
k?2
1
?
11
?
17
?1?
?
?
?
?1??.
<
br>3
?
23n?1
?
66
n
又
n?1
时，
a
1
?1?
故对一切
n?N
，有
*
2
7
.
6
?
a
k
2
?
k
?1
n
7
．
6
第五节、解析几何
1、解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y
= x – 1，与抛物线方程y
2
=
4x联立，解
???B?????22???22)?
，于是 得
A????22??
?22)?，
k
CA
?
k?k
CB
??222??222<
br>?22
， ，
tan?ACB?
CA
=，k
CB
?=
-
1?kk
2
??22
2
??22
CACB
答案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD =
45°，
EF∥DA，EF = 2，AF = AD
，
BF =
BC，求∠AEB.
D
G
A
E
F
C
B
tan?AEF?tan?EAD?
DEGF2
??
.类似的，有
ADAF2
2
，
?AEB??AEF??BEF?2?AEF
， <
br>2
tan?BEF?tan?EBC?
tan?AEB?tan2?AEF?22
，答案A
2、【答案】
3、
第 52 页
6
3
4、(1)解法1:∵点
P
到点F
?
3
?
1
?
,0
?
的距离比到直线
x??
的距离小
1
，
2
?
2
?
∴点
P
到点
F
?
1
?
1
?
,0<
br>?
的距离与它到直线
x??
的距离相等.
2
?
2
?
1
?
1
?
,0
?
为焦点，
直线
x??
为准线的抛物线.
2
?
2
?
∴点
P
的轨迹是以点
F
?
2
∴曲线
C
的方程为
y?2x
.
1
?
3
?
2
解法2:设点
P
的坐标为
?
x,y
?
,
依题意得,
?
x?
?
?y?x??1
.
2
?
2
?
1
?
1
3
?
2
当
x??
时, 得
?
x?
?
?y?x?
,
2
?
2
2
?
化简得
y?2x
.
2
2
2
1
?
5
35
?
2
当
x??
时,
得
?
x?
?
?y??x?
得
x??
2
?
2
22
?
第 53 页
2
化简得
y
2
?6x?6?0
,得
x??1
,矛盾.
∴曲线
C
的方程为
y
2
?2x
.
(2)解:设
A
、
B
的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2?
,线段
AB
的中点为
D
?
x
0
,y
0
?
.
由
?
?
x?y?1?0,2
?
y
2
?2x.
消去
x
,得
y?2
y?2?0
.
∴
y
1
?y
2
??2,y
1
y
2
?
?2
.
∴
y
y
1
?y
2
0<
br>?
2
??1
,
x
0
?1?y
0
?2
.
∴点
D
?
2,?1
?
.
AB?
?
1?1
?
?
?
?y
1
?y
2
2
?
?4y
1
?
?
y
2
?
26
.
假设曲线
C
上存在点
Q
,使△
QAB
为等
边三角形,设点
Q
?
x
3
,y
3
?
,
由
DQ?AB
,得
y
3
?1
x?2
?
?
?1
?
??1
,即
x
3
?y
3
?3?0
.
3
又
DQ?
x
3
?y
3
?1
2
?
3
2
AB?32
,得
x
3
?y
3
?1??6
.
由
?
?
x
3
?y
3
?3?0,
?
x
3
?y
3
?3?0,
?
x
3
?y
3
?1?6
或
?<
br>?
x
3
?y
3
?1??6.
解得<
br>?
?
x
3
?5,
或
?
?
y
?
x
3
??1,
?
y
3
?2,
3
??4,
∴点
Q
的坐标为
?
5,2
?
或
?
?1,?4
?
.
∵点
?
5,2
?
或
?
?1,?4
?
不在曲线
C
上,
∴
曲线
C
上不存在点
Q
,使△
QAB
为等边三角形.
5、解答：
F
1
(?3,0),左准线方程为x??
25
3
;AB方程为
y?k(x?3)(k为斜率)
.
?
设
A(
x
?
y?k(x?3)
22
1
,y
1
),B(x<
br>2
,y
2
)
，由
?
2
?(16?2k5x)
?1k5
2
0x?2k
2
25?
?
x
2
y
?
25
?
16
?1
第 54 页
4?000
150k
2
225k
2
?400256k
2
2
,x
1
x
2
???y1
y
2
?k(x
1
?3)(x
2
?3)??<
br>得
x
1
?x
2
??
16?25k
2
16?25k
2
16?25k
2
---------------
-------10分
设
M(?
(3a?25)y
1
(3a?25
)y
2
2525
,同理y
4
?
.
,y
3
),N(?,y
4
)
.由M、A、D共线
y
3
?<
br>3(a?x
1
)3(a?x
2
)
33
又
F<
br>1
M?(?
1616
,y
3
),F
1
N?(
?,y
4
),由已知得F
1
M?F
1
N?F
1M?F
1
N?0
，得
33
256k
2
256<
br>（3a?25)
2
y
1
y
2
256（3a?25)<
br>2
?
=
?,
y
3
y
4
??,而y<
br>3
y
4
?，即
?
2
16?25k
9
99(a?x
1
)(a?x
2
)9(a?x
1
)(a?x<
br>2
)
整理得
(1?k)(16a?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5
.
6、解：设点M、N的坐标分别为(x
1
，y
1
)和(x
2
，y
2
)，曲线C在点M、N处的切线分别为l
1
、
l
2
，其交点P的坐标为(x
p
，y
p
).若直线l的斜率为k，则l的
方程为y=kx+1.
22
1
?
1
?
y?x?
2
由方程组
?
x
，消去y，得
x??kx?1
，即(k?1)
x+x?1=0.由题意知，该方程在(0，
x
?
y?kx?1
?
1
+∞)上有两个相异的实根x
1
、x
2
，故k≠1，且Δ=1+4(
k?1)>0…(1)，
x
1
?x
2
??0
…(2)，1?k
1311
x
1
x
2
??0
…(3)，由
此解得
?k?1
.对
y?x?
求导，得
y'?1?
2
，则
1?k4xx
111
y'|
x?x
1
?1?
2
，
y'|
x?x
2
?1?
2
，于是直线l
1
的方程为
y?y
1
?(1?
2
)(x?x
1<
br>)
，即
x
2
x
1
x
1
1112y?(x
1
?)?(1?
2
)(x?x
1
)
，
化简后得到直线l
1
的方程为
y?(1?
2
)x?
…(4)
.同理
x
1
x
1
x
1
x
1
121
122
?0
，因为可求得直线l
2
的方程为
y?(1?
2<
br>)x?
…(5).(4)?(5)得
(
2
?
2
)x<
br>p
??
x
2
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
2x
1
x
2
x
1
≠x
2
，故有
x
p
?
…(6).将(2)(3)
两式代入(6)式得x
p
=2.(4)+(5)得
x
1
?x
2
111111x
1
?x
2
2y
p
?(2?(2
?
2
))x
p
?2(?)
…(7)，其中
?
??1
，
x
1
x
2
x
1
x
2x
1
x
2
x
1
x
2
2
11x
1
2
?x
2
(x
1
?x
2
)2
?2x
1
x
2
x
1
?x
2
2
2
代入(7)
????()??1?2(1?k)?2k?1
，
2
22222
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
35
式得2y
p
=(3?2k)x
p
+2，而x
p
=2，得y
p
=4?2k.又由
?k?
1
得2?y
p
?
，即点P的轨迹为(2，
42
2)，(2，2.5)
两点间的线段（不含端点）.
7、解一：设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)
，则
x
0
?x
1
?x
2
y?y
2
?2,y
0
?<
br>1
，
22
第 55 页
k
AB
?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?
2
2
??
.
2
x
2
?
x
1
y
2
?y
1
y
0
y
2
y
1
?
66
线段
AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??
y
0
(x?2)
.
（1）
3
易知
x?5,y?0
是（1）的一个解，所以线段
AB<
br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点，
且点
C
坐标为
(5,0)
.
由（1）知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
y
3
(x?2)
，即
x?
0
(y?y
0
)?2
. （2）
y
0
3
2
（2）代入
y?6x
得
222
y?2y
0
(y?y
0
)?12
，即
y?2y
0
y?2y
0
?12?0
.（3）
依题
意，
y
1
,y
2
是方程（3）的两个实根，且
y
1
?y
2
，所以
222
y
0
?12)??y
0
4
??4y
0
?4(2?48?0
,
?23?y
0
?23
.
AB?
?
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1<
br>?y
2
)
2
(1?(
y
0
2))(y
1
?y
2
)
2
3
y
A
?(1?
y
)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]<
br>
9
2
0
B
O
C(5,0)
x
2<
br>y
0
22
?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))
9
?
2
22
(9?y
0
)(1
2?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离
h?
CM?
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2
?9?y
0
.
第
56 页
S
?ABC
?
?
11
222
AB?h?(9?y
0
)(12?
y
0
)?9?y
0
23
11
222
(9?y
0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)
32222
?24?2y
0
?9?y
0
11
9?y
0
?()
3
323
?
当
14
7
.
3
且仅当
22
9?y
0
?24?2y
0
，
即
y
0
??5
,
A(
6?356?35
,5?7)
,B(,5?7)
33
或
A(
6?356?35
,?(5?7)),
B(,?5?7)
时等号成立.
33
所以
?ABC
面积的最大值为
14
7
.
3
解二：同解一，线段
AB
的垂直平分线与
x
轴的交点C
为定点，且点
C
坐标为
(5,0)
.
设
x
1
?t
1
,x
2
?t<
br>2
,t
1
?t
2
,t
1
?t
2?4
，则
2222
S
?ABC
?1
2
t
1
2
2
t
2
501
6
t
1
1
的绝对值,
6t
2
1
222
S
?ABC
?((56t
1
?6t
1
t
2
?6t
1
t
2
?56t
2
))
2
1
2
3
(t
1
?t
2
)
2
(t
1
t2
?5)
2
2
3
?
(4?2t
1
t
2
)(t
1
t
2
?5)(
t
1
t
2
?5)
2
314
3
?()
,
23
14
7
,
S
?ABC
?
3
?
当且仅当
(t
1
?t
2
)?t
1
t
2?5
且
t
1
?t
2
?4
，
即
t
1
?
222
7?5
6
,
<
br>t
2
??
7?5
6
,
A(
6?356?35
,5?7),B(,5?7)
或
33
第 57 页
A(
6?356?35
,?(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.
33
所以
?ABC
面积的最大值是
2
14
7
.
3
?
1
?
,0
?
,
2
??
8、因为点
M(2,m)
在抛物线
y?2x
上，所以
m??2，即
M(2,?2)
，又焦点
F
?
由抛物线的定义知，过点F、M
且与
l
相切的圆的圆心即为线段
FM
的垂直平分线与抛物
线的交点，这样的交点共有四个，故过点
F、M
且与
l
相切的圆共有
四个.
9、由
OAOC?OBOC?OC(OA?OB)?0
?OCAB?0?OC
?AB
又点
O
、
A
、
B
同为直线
l
上的三点，所以
OC?OA
.
（1） 设
OA?r
1
,OC?r
2
,?xOA?
?
,则
?xOC?
?<
br>?
于是点
A
、
C
的坐标分别为
?
r
1
cos
?
,r
1
sin
?
?
,
?
r
2
cos(
?
?
因为点
A
在椭圆上,
所以
?
2
.
?
?
??
?
),r
2
sin(
?
?)
?
.
22
?
?r
1
2
cos
2
?
r
1
2
s
in
2
?
??1
?
a
22
b
?
?
2
??
222
rcos(
?
?)rsin(
??)
?
22
2
?
2
?1
?
22
ab
?
?
1cos
2
?
sin
2
??
r
2
?
a
2
?
b
2
,?
?
?
1
22
?
1
?
sin
?
?
cos
?
.
2
?
a
2
b2
?
r
2
1111
?
2
?
2
?
2
?
2
,
r
1
r
2
ab
故
1
OA
2
?
1
OC
2
是一个定值. (2)
S
?ABC
?
1
AB?OC?OA?OC?r
1
?r
2
.
由(1)得
2
111122a
2
b
2
??2
2
?
2
?r
1
r
2
??,
11
a
2
?b
2
a
2<
br>b
2
r
1
r
2
?
22
ab
2a
2
b
2
.
当
r
1
?r
2<
br>,即当
A
、
B
、
C
三点共圆时等号成立.故
?ABC
面积的最小值是
2
a?b
2
第 58 页
?
y?kx?m
?
10、解：由
?
x
2
y
2
消去
y
化简整理得
?1
?<
br>?
?
1612
?
3?4k
?
x
22
?8kmx?4m
2
?48?0
8km
3?4k
2
4m
2
?48?0
①
……………………………4分
设
A
?
x
1
，y
1
?
，
B
?
x
2
，y
2
?
，则
x
1
?x
2
??
?
1
?
?<
br>8km
?
?4
?
3?4k
2
??
2
?
?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y
2
消去
y
化简整理得
?1
?
?
?412
?
3?k
?
x
22
?2kmx?m
2
?12?0<
br>
2km
3?k
2
m
2
?12?0
②
…………………………8分
设
C
?
x
3
，y
4<
br>?
，
D
?
x
4
，y
4
?
，
则
x
3
?x
4
?
?
2
?
?
?2km
?
?4
?
3?k
2
??
2
?<
br>因为
AC?BD?0
，所以
?
x
4
?x
2<
br>?
?
?
x
3
?x
1
?
?0
，此时
?
y
4
?y
2
?
?
?
y<
br>3
?y
1
?
?0
．由
x
1
?x2
?x
3
?x
4
得
8km2km
．
??
3?4k
2
3?k
2
41
所以
2km?0<
br>或
?
．由上式解得
k?0
或
m?0
．当
k?
0
时，由①和
?
3?4k
2
3?k
2
②得
?23?m?23
．因
m
是整数，所以
m
的值为
?3
，
?2
，
?1
，
0
，
1
，
2<
br>，
3
．当
m?0
，由①和②得
?3?k?3
．因k
是整数，所以
k??1
，
0
，
1
．于是满足
条
件的直线共有9条．………14分
11、 [解] 设
P(x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
，不妨设
b?c
．
直线
PB
的方程:
y?b?
y
0
?b
x
，
x
0
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
．
又圆心
(1,0)
到
PB
的距离为1，
y
0?b?x
0
b
(y
0
?b)?x
22
0
?1
，
222
故
(y
0
?b)<
br>2
?x
0
?(y
0
?b)
2
?2x
0
b(y
0
?b)?x
0
b
，
易知
x<
br>0
?2
，上式化简得
(x
0
?2)b
2
?2
y
0
b?x
0
?0
，
同理有
(x
0<
br>?2)c
2
?2y
0
c?x
0
?0
．
所以
b?c?
?x
0
?2y
0
，
bc?<
br>，则
x
0
?2
x
0
?2
2
22<
br>4x
0
?4y
0
?8x
0
．
(b?c)?
(x
0
?2)
2
2
因
P(x
0
,
y
0
)
是抛物线上的点，有
y
0
?2x
0
，则
第 59 页
2
2x
0
4x
0
，
b?c?
．
(b?c)?
2
x
0
?2
(x
0
?2)<
br>2
所以
S
?PBC
?
x
14
(b?c)?x
0
?
0
?x
0
?(x
0
?2)??4
2x
0
?2x
0
?2
?24?4?
．
8
当
(x
0
?2)2
?4
时，上式取等号，此时
x
0
?4,y
0
??22
．
因此
S
?PBC
的最小值为8．
12、解
AB
所在直线的方程为
x?t
1
(y?n)?m
，其中
t
1
?
1
，代入
y
2
?2
px
中，得
k
1
y
2
?2pt
1
y?2
pt
1
n?2pm?0
，
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则有
y
1<
br>?y
2
?2pt
1
，从而
x
1
?x
2
?t
1
(y
1
?y
2
?2n)?2m?t1
(2pt
1
?2n)?2m
．
2
则
M(p
t
1
?nt
1
?m,pt
1
)
．
其中<
br>t
2
?
CD
所在直线的方程为
x?t
2
(y
?n)?m
，
1
2
，同理可得
N(pt
2
?nt<
br>2
?m,pt
2
)
．
k
2
22
（
1）当
n?0
时，
E(m,0)
，
M(pt
1
?m
,pt
1
)
，
N(pt
2
?m,pt
2
)
，
|EM|?|pt
1
|1?t
1
2
，
2
|EN|?|pt
2
|1?t
2
．
又
k
1
?k
2
??1
，故
t
1
?t
2
??1
，于是△
EMN
的面积
11
2
p
2
22
S?|EM|?|EN|?|pt
1
t
2
|(1?t
1
)(1?t
2
)??2?t
1
2
?t
2
2
222
p
2
??4?p
2
，
2当且仅当
|t
1
|?|t
2
|?1
时等号成立．
所以，△
EMN
的面积的最小值为
p
.
（2）
k
MN
?
p(t
1
?t
2
)
p(t
1
?t
2
)?n(t
1
?t
2<
br>)
22
2
?
1
n
(t
1
?t
2
)?
p
1
n
p
，
MN
所在直线的方
程为
y?pt
1
??[x?(pt
1
?nt
1
?m
]
，
2
(t
1
?t
2
)?
n
即
y(t
1
?t
2
?)?pt
1
t
2
?x?m
．
p
第 60 页
又
k
1
?k
2
?
t?t
n
t?t
11
即
t
1
t
2
?12
，代入上式，得
y(t
1
?t
2
?)?p?
12
?x?m
，
??
?
，
t
1
t2
?
p
?
pny
即
(t
1
?t
2
)(y?)?x??m
．
?
p
p
?
y?
?
ny
p
?
当
y?
?0
时，有
x??m?0
，即
?
为方程的一组解，
np
?
?
x?m?
?
?
所以直线
MN
恒
过定点
(m?
??
n
p
,)
．
13、解 （1）如果直线
l
的斜率存在，设它的方程为
y?kx?b，因为点P在直线
l
上，所
以
?
12
1
?k?
b
，故
b??(2k?1)
.
33
3
联立直线
l
和椭圆C的方程，消去
y
，得
(2k?1)x?4kbx?2b?4?0.
222
2b
2
?4
4kb
设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
??
2
，
x<
br>1
x
2
?
，
2
2k?1
2k?1
4k
2
b2b
y
1
?y
2
?k(x
1?x
2
)?2b??
2
?2b?
2
，
2k?
12k?1
2b
2
?44kb
y
1
?y
2
?(kx
1
?b)(kx
2
?b)?kx
1
x
2<
br>?kb(x
1
?x
2
)?b?k?
2
?kb?(?<
br>2
)?b
2
2k?12k?1
222
b
2
?4k
2
?
2k
2
?1
因为
QA?(x
1
?2,y
1
?1)
，
QB?(x
2
?2,y
2
?1)
，所以
QAQB?(x
1
?2,y
1
?1)(x
2
?2,y
2
?1)?(x
1
?2)(x
2
?2)?(y<
br>1
?1)(y
2
?1)
?x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?2?y
1
y
2<
br>?(y
1
?y
2
)?1
2b
2
?
44kbb
2
?4k
2
2b
?
2
?2?(?
2
)?2???1
22
2k?12k?12k?12k?1
2k
?1
112
?
2
[(2k?1)
2
?2k
2
?(2k?1)(22k?1)?1]
2k?133
第 61 页
?<
br>1
2
[3b
2
?2k
2
?2b(22k?1)?1]
＝0，
所以
QA?QB
，显然A、Q、B三点互不相同，所以∠AQB＝90°.
如果直线
l
的斜率不存在，则A、B两点的坐标为
(
217
,?)<
br>，容易验证∠AQB＝90°
33
也成立.
因此，∠AQB＝90°.
（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.
如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为
S?22?3
.
如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为
y?m(x?2)?1
，代入<
br>222
椭圆C的方程，消去
y
，得
(2m?1)x?4m(2m?1)
x?2(2m?1)?4?0
，则
4m(2m?1)
2
2(2m?1)2
?48?|2m?1|
2
.
|QA|?m?1?[]?4??m?1
?
222
2m?12m?12m?1
2
又QB⊥QA，所以，同理可求得 <
br>|QB|?(?
1
2
)?1?
m
8?|2?(?
1<
br>)?1|
8?|2?m|
m
.
?m
2
?1?2
1
2
m?2
2(?)?1
m
于是，△QAB的面积为
S?
118?|2m?1|8?|2?m|
2
|QA||QB|??m
2
?1??m?1?
222m
2
?1m
2
?2
2
|2m?1|?|2?m||2(1?m
2
)?m|
2
?
4?(m?1)??4?(m?1)?
(2m
2
?1)(m
2
?2)
2(m
2
?1)
2
?m
2
1?m
2
m|2?
2
?
2
|
m?1m?1
.
?4?m
2
2?(
2
)
m?1
1
|2cos
?
?sin
?
|
1?m2m
2
?cos
?
,
2
?sin
?
，则
S?4?
令
2
. <
br>1
m?1m?1
2?sin
2
?
4
2
注意到
|2cos
?
?
1113
1
sin
?
|?
2??|sin(
?
?
?
)|?2??
，
2?sin
2
?
?2
，且
2442
4
3
等号不能同时取得，
所以
S?4?
2
?3
.
2
第 62 页
14、
第 63 页
15、
解 （1）
直线
MN
的倾斜角为
?
，记
?MFO?
?
，则?
?
?
?
?
，
2ab
2
2ab2
|MN|?
2
?
2
．
2222
a?cco
s
?
a?ccos
?
而
AB
与
MN
所成的
角为
?
4
?
?
，则四边形
MANB
面积
S
MANB
?
2
1
?
sin
?
?cos<
br>?
．…………5分
|AB|?|MN|sin(?
?
)?2|OA|
?ab
2
?
222
24
a?ccos
?
22
?
433433
?
?
，且
|OA|?
466
，
而
a?16,b?11,c?5
，A点坐标为
?
,
?
99
9
?
??
从而，
S
MANB
?
35
233sin
?
?cos
?
35233sin
?
?cos<
br>?
???
，
99
16?5cos
2
?
16
?5cos
2
?
其中
0?
?
?arctan
433
433?95
或
arctan
433
433?95
?
?
?
?
．……………10分
（2）记
f(
?
)?
??
433
sin
?
?cos
?
?
时
才
?
?arctan,
?
f(
?
)
，而只可能在<
br>?
2
16?5cos
?
433?95
?
??
可能取到最大值．对
f(
?
)
求导数得到：
(cos
?<
br>?sin
?
)(16?5cos
2
?
)?(sin
?
?cos
?
)(10cos
?
sin
?
)
．
f
?
(
?
)?
(16?5cos
2
?
)
2
令
f
?
(
?
)?0
，则有
第 64 页
(1?tan
?
)(16tan<
br>2
?
?11)?(tan
?
?1)(10tan
?
)
?0
．
化简得到
16tan
?
?6tan
?<
br>?21tan
?
?11?0
．
所以
(2tan
?
?1)(8tan
?
?tan
?
?11)?0
．
而
8tan
2
2
32
?
?tan
?<
br>?11?0
无实根，则
tan
?
??
．
??
433
1
，符合
?
?
?
arctan
．
,
?
?
?
2
433?95
??
15
x?
．
22
1
2
经检验
t
an
?
??
故所求直线
l
的方程为：
y??
第六讲
、不等式
1、【答案】
?
4,??
?
2、答案：
2009
【解析】 设
f
?
n
?
?
111
．显然
f
?
n
?
单调递减，
则由
f
?
n
?
的最大值
???
n?1n?22n?
1
1
f
?
1
?
?a?2007
，可得
a?
2009
．
3
3、
4、解：如图，设AC与BD交
于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+
|FD|，
因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值
|AC|?|BD|?32?25
.
第 65 页
D
P
A
F
C
B
5、[解法一]
由题设条件知
f(x?2)?f(x)??(f(x?4)?f(x?2))?(f(x?6)?f(
x?4))?(f(x?6)?f(x))
??3?
2
x?2
?3?2
x?4
?63?2
x
?3?2
x
，
因此有
f(x?2)?f(x)?3?2
x
，故
f(2008)?f(2008)?f(2006)?f(2006)?f(2004)?
?3?(2
2006
?2
2004
?
?f(2)?f(0)
?f(0)
?2
2
?1)?f(0)
4
1003?1
?1
?3??f(0)
4?1
?2
2008
?2007
．
[解法二] 令
g(x)?f(x)?2
x
，则
g(x?2)?g(x)?f(x?2)?f(x)?2
x?2
?2
x
?3?2
x
?3?2
x
?0
，
g(x?6)?g(x)
?f(x?6)?f(x)?2
x?6
?2
x
?63?2
x
?63?2
x
?0
，
即
g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)
，
故
g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)
，
得
g(x)
是周期为2的周期函数，
所以
f(2008)?g(2
008)?2
2008
?g(0)?2
2008
?2
2008
?2007
．
6、解：（I）因为
(a?c)(b?c)?ab?ac?bc?c
?ab?(a?b?c)c?ab?
2
1
ab
?2ab?
1
?2
，等号成立的条件是
ab?1
，
ab
2?1
时，
S
可取最小值2．
当
a?b?1,c?
（II）当
S
取最小值时，
ab?1
，
从而
c(a?b?c)?1
，
2
即
c?(a?b)c?1?0，令
t?a?b
，则
t?2ab?2
?t?t
2
?4?t?t
2
?4
?0
（舍去）
从而
c?
或者
c?
22
第 66 页
?t?t
2
?42
故
c?
在
t?[2,??)
单减，
?
2
2
t?4?t
所以在
t?2
时，
c
有最大值
2?1
．
7、解一：
f
?
(x)?3ax?2bx?c,
2
?
f
?
(0)?c,
?
13
?
由
?
f
?
()?a?b?c,
得
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4
f
?
()
.
所以
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
1
2
1
2
?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
?8
，
a?
1
2
8
.
3
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?4x?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a
最大值为.
33
2
解二：
f
?
(x)?3ax?2bx?c
.
设
g(x)?f
?
(x)?1
，则当
0?x?1
时，
0?g(x)?2
.
设
z?2x?1
，则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1<
br>.
2424
容易知道当
?1?z?1
时，
0?h(z)?2,0?h(?z)?2
.
从而当
?1?z?1
时，
0?
即
0?
h(z)?h(?z)
?2
，
2
3a
2
3a
z??b?c?1?2
，
443a3a
?b?c?1?0
,
z
2
?2
， 从而
44
8
2
由
0?z?1
知
a?
.
3
第 67 页
又易知当
f(x)?
8
3
8
x?4x
2
?x?m
（
m
为常数）满
足题设条件，所以
a
最大值为.
33
8、[解法一] 由
1?lo
g
2
(x
4
?1)?log
2
(2x
4
?
2)
，且
log
2
y
在
(0,??)
上为增函数，
故原不等式
等价于
x
12
?3x
10
?5x
8<
br>?3x
6
?1?2x
4
?2
．
即
x
12
?3x
10
?5x
8?3x
6
?2x
4
?1?0
．
…5分
分组分解
x
12
?x
10
?x
8
?2x
10
?2x
8
?2x
6
?4x
8
?4x
6
?4x
4
?x
6
?x
4
?x
2
?x
4
?x
2
?1?0
，
(x
8
?2x
6
?4x
4
?x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)?0
， …10分
所以
x
4
?x
2
?1?0
，
(x?
2
?1?5
2
?1?5
)(x?)?0
．
…15分
22
所以
x
2
?
?1?5
?1?5?1
?5
，即
?
．
?x?
2
22
故原不等式解集为<
br>(?
5?1
,
2
5?1
)
．
…20分
2
[解法二] 由
1?log
2
(x
4
?1)?log
2
(2x
4
?2)
，且
log
2<
br>y
在
(0,??)
上为增函数，故原不等式等价
于
x
12
?3x
10
?5x
8
?3x
6
?1?2x<
br>4
?2
． …5分
即
21
6
422232
??x?3x?3x?1?2x?2?(x?1)?2(x?1)
，
x
2
x
6
(
1
3
1
232
)?2()?(x?1)?2(x?1)
，
…10分
x
2
x
2
令
g(t)?t
3
?
2t
，则不等式为
g(
1
)?g(x
2
?1)
，
2
x
显然
g(t)?t
3
?2t
在
R上为增函数，由此上面不等式等价于
分
第 68 页
1
?x
2
?1
，
…15
2
x
即
(x
2
)
2
?x
2
?1?0
，解得
x
2
?
5?1<
br> ，
2
故原不等式解集为
(?
5?1
,
2
5?1
)
． …20分
2
第七讲、柯西不等式
【基础训练】
1、解：
(x?2y?3z)?(x?y?z)(1?2?3)?5?14?70
∴
x?2y?3z
最大值为
70
2、【答案】
121
3、解：根据柯西不等式
2222222
故
2x?1?3y?4?5z?6?230
.
当且仅当
2x?1?3y?4?5z?6
，即
x?
此时，
y
max
?230
【竞赛真题】
1、证明：（1）对于一切的正整数
i
，
，
372822
时等号成立，
,y?,z?
6915
6
11
6
??
?
a
i
2
?17?a
i
2
(a
i
2
?1)(7?a
i
2
)
?
a2
?1?7?a
2
ii
?
?
2
?
（2
）由
Cauchy
不等式知
S?
?
?
?
?
2
?
2
．
3
?
i?1
n
1
（a
?1)(7?a)
2
i
2
i?1
?
n
2
?
i?1
n
(a
i
2
?1)(7?ai
2
?1
)
n
2
??
22n
(a
i
?1)?(7?a
i?1
)
?
2i?1
n
2
n
?
22
n
3<
br>a
i
?a
i?1
（?3）
?
2
i?1
n
．
3
当
a
1
?a
2
???a
n
?2
时，等于成立，所以
S
有最小值
2、解：定义域为[0，1
3]
y?x?27?13?x?x
第 69 页
?x?27?
1
3
39?3x?
1
2
2x
?
?
11
?
?
1??
?
?<
br>x?27?39?3x?2x
?
?11
?
32
?<
br>等号当且仅当
x?27?3
?
39?3x
?
?4x
，
即
x?9
时成立
故
y
max
?f
?
9
?
?11
．
由
a?b?a?b
（等号当且仅当
ab?0
时成立）得
y?x?27?13?x?x
?
?
?
x?27?13?x?x
x?27?13
27?13
等号当且仅当
?
?
?
13?x
?
x?0
，即
x?0
时成立
?
x?0
故
y
min
?f
?
0
?
?33?13
．
3、证明 因为
a?b?c?d?4
，要证原不等式成立，等价于证明
<
br>a
2
b
2
c
2
d
2
4(a?b)<
br>2
????a?b?c?d?
①
bcdaa?b?c?d
事实上，
a
2
b
2
c<
br>2
d
2
????(a?b?c?d)
bcda
a<
br>2
b
2
c
2
d
2
?(?b?2a)?(?c
?2b)?(?d?2c)?(?a?2d)
bcda
?
1111
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?d)
2
?(d?a)
2
②
bcda
由柯西不等式知
(a?b)
2
(b?c)
2(c?d)
2
(d?a)
2
[???](a?b?c?d)
bcda
?(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)
2
③
第 70 页
又由
|b?c|?|c?d|?|d?a|?|b?a|
知
(|a?b|?
|b?c|?|c?d|?|d?a|)
2
?4(a?b)
2
④
由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．
第八讲、函数
1、解：易知
f(x)
的定义域是
?
5,8
?
，且
f(x)
在
?
5,8
?
上是增函数
，从而可知
f(x)
的值域为
[?3,3]
.
2、方程
f
(x)?8
有三个不同的实根，即函数
y?x
2
?2ax?3a
2<
br>的图象与直线
y?8
有三
个交点，由图象知，
f(a)?8?a
2
?2a
2
?3a
2
?8?a??2
.
1?(4?4x?x
2
)1
1
3、[解] 当
x?2
时，
2?x?0
，因此
f(x)?
?(2?x)
??(
2?x)
?2?
2?x
2?x2?x
1
当且仅当而此方程有解
x?1?(??,2)
，因此
f(x)
在
(??,2)
?2
，
?2?x
时上式取等号．
2?x
上的最小值为2．选C
4、【答案】
[0,
5、
6
]
6
6、解：由
e
sin
?
?lncos
?
?e
cos
?
?lnsin
?
?e
sin?
?lnsin
?
?e
cos
?
?lncos
?
，
设
f(x)?e?lnx
，则
f(sin
?
)?f(cos
?
)
，因为函数
f(x)?e?lnx
在
?
0,??
?
上是
xx
第 71 页
增函数，所以
sin
?
?cos
?
?0
，又因为
?
?(0,2
?
)
，故
?
??
??
?
3
?
??5
?
3
?
??
3
?7
?
?
?
?
?
,
??
,
??
,
??
,
?
.
?
42
??
24
??
42
??
24
?
7、
8、[解] 由题意知
f
n
(x)?a
n
x?(a
n?1
?a
n?2
??a?1)b
a
n
?1
?ax??b
，
a?1
n
a<
br>7
?1
由
f
7
(x)?128x?381
得
a?128
，
?b?381
，因此
a?2
，
b?3
，
a?b?5
．
a?1
7
9、解答：当
x?0,y??(x?1)?1,
当
x?0,y?(x?1)?1,
由此可知
y
max
?0
.
2
当
1?a?2,y
min
?a?2a
；
2
2
当
1?2?a?1,y
min
??1
；
当
a?1?2,y
min
??a
2
?2a
.
10、[解法一] 由题设条件知
f(x?2)?f(x)??(f(x?4)?f(x?2
))?(f(x?6)?f(x?4))?(f(x?6)?f(x))
??3?2
x?2
?3?2
x?4
?63?2
x
?
3?2
x
，
因此有
f(x?2)?f(x)?3?2
x
，故
f(2008)?f(2008)?f(2006)?f(2006)?f(2004)?
?3?(2
2006
?2
2004
?
?f(2)?f(0)
?f(0)
?2
2
?1)?f(0)
第 72 页
4
1003?1
?1
?3??f(0)
4?1
?2
2008
?2007
．
[解法二]
令
g(x)?f(x)?2
x
，则
g(x?2
)?g(x)?f(x?2)?f(x)?2
x?2
?2
x
?3?2
x
?3?2
x
?0
，
g(x?6)?g(x)?f(x?6)?f
(x)?2
x?6
?2
x
?63?2
x
?63?2
x
?0
，
即
g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)
，
故
g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)
，
得
g(x)
是周期为2的周期函数，
所以
f(2008)?g(2
008)?2
2008
?g(0)?2
2008
?2
2008
?2007
．
11、【答案】
(,2?2)
12、【答案】
1
2
0?k?1
13、解 令
a
?cos
?
,b?sin
?
，
0?
?
?
3
3
?
2
，则
cos
?
?sin
?
?1<
br>(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?c
os
?
sin
?
?sin
2
?
)?1
．
m??
33
(cos
?
?sin
?
?1)(cos
?
?sin
?
?1)
x
2
?1
令
x?cos
?
?sin
?
，则
x?2sin(
?
?)?(1,2]
，且
cos
?
sin
?
?
．
4
2
于是
?
x
2
?1
x(1?)
?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
m
??????
．
332
2(x?1)2(x?1)2
(x?1)
2(x?1)2(x?1)
因为函数
f(x)?
31
?
在
(
1,2]
上单调递减，所以
f(2)?m?f(1)
．
2(x?1)2因此，
m
的最小值为
f(2)?
32?4
．
2
14、（1）解：∵
b?2
，
h
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
?lnx
?
1
2
ax?2x
，
2
∴函数
h
?
x
?
的定义域为
?
0,??
?
.
1ax
2
?2x?1
∴
h
?
x
?
??ax?2??
.
xx
'
1?2x
，
x
11
''
令
h
?
x
?
?0,
得
0?x?
；令
h
?
x
?
?0,
得
x?
.
22
①
当
a?0
时，
h
?
x
?
?
'
第
73 页
∴函数
h
?
x
?的单调递增区间为
?
0,
?
，单调递减区间为
?
??
1
?
2
?
?
1
?
,??
?
.
?
2
?
ax
2
?2x?1
?0
，
② 当
a?0
时，令
h
?
x
?
?0,
得<
br>?
x
'
∵
x?0,
∴
ax?2x?1?0
.
∴
??4?4a
.
（ⅰ）当
??0
，即
a??1<
br>时，得
ax?2x?1?0
，故
h
'
?
x
?
?0,
2
2
∴函数
h
?
x<
br>?
的单调递增区间为
?
0,??
?
.
（ⅱ）当
??0
，即
a??1
时，方程
ax?2x?
1?0
的两个实根分别为
x
1
?
2
?2?4?4a?1?1?a?1?1?a
?
，
x
2
?
.
2aaa
若
?1?a?0
，则
x
1
?0,x
2
?0
，
此时，当
x?
?
0,x
1?
时，
h
?
x
?
?0,
当
x?
?
x
1
,??
?
时，
h
?
x
?
?0
.
''
∴函数
h
?
x
?
的
单调递增区间为
?
若
a?0
，则
x
1
?0,x2
?0
，
?
?1?1?a
??
?1?1?a
?
,??0,
，单调递减区间为.
???
????
aa
?
???
此时，当
x?
?
0,x
2
?
时，
h
?
x
?
?0,
当
x?
?
x
2,??
?
时，
h
?
x
?
?0,
. <
br>''
∴函数
h
?
x
?
的单调递增区间为
?<
br>0,
?
?
?
?
?1?1?a
?
?1?1?a
?
,??
，单调递减区间为.
???
???
aa
???
?
?1?1?a
?
综上所述，当
a?0
时，函数h
?
x
?
的单调递增区间为
?
0,
?
??
，单调递减区间
a
??
为
?
?
?1?1?a
?
,??
；
?
??
a
??
?
?
1?1?a
?
,??
?
当
?1?a?0
时，函数
h
?
x
?
的单调递增区间为
?
??
，单调递减区间为
a
??
?
?1?1?a
?
；
??
?
0,
?
a
??
第 74 页
当
a??1
时，函数
h
?
x?
的单调递增区间为
?
0,??
?
，无单调递减区间.
（2）证法1：设点
P
、
Q
的坐标分别是
?
x1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,0?x
1
?x
2
.
则点
M
、
N
的横坐标为
x?
x
1
?x
2.
2
C
1
在点
M
处的切线斜率为
k
1
?
1
x
x?
x
1
?x
2
?
2
2<
br>，
x
1
?x
2
x
1
?x
2
2
C
2
在点
N
处的
切线斜率为
k
2
?
?
ax?b
?
x?
?<
br>a
?
x
1
?x
2
?
2
?b
.
假设
C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的切线平行，则
k
1
?k
2<
br>，
即
a
?
x
1
?x
2
?2
??b
，
x
1
?x
2
2
2
?
x
2
?x
1
?
a
22
?
?
x
2
?x<
br>1
?
?b
?
x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
2
?
a
2
??
a
?
?
?
x
2
?bx
2
?
?<
br>?
x
1
2
?bx
1
?
?y
2
?y
1
?lnx
2
?lnx
1
.
?
2
??
2
?
则
?
x
2?
2
?
?1
?
x
x
2
?
.
?
?
1
∴
ln
x
x
1
1?
2
x
1
设
t?
2
?
t?1
?
x
2
,t?1
. （*） ，则
lnt?
x
1
1?t
2
2
?
t?1
?
?
t?1?
14
?
,t?1
，则
h
'
?
t?
??
令
h
?
t
?
?lnt?
.
t
?
1?t
?
2
t
?
1?t
?
2
1
?t
∵
t?1
，∴
h
?
t
?
?0
.
'
∴
h
?
t
?
在
?
1,??
?
上单调递增.
∴
h
?
t
?
?h
?
1?
?0
，即
lnt?
2
?
t?1
?
1
?t
，这与（*）式矛盾，假设不成立.
∴
C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的切线不平行.
证法2：设点
P
、
Q
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,0?x
1
?x
2
.
第 75 页
则点
M
、
N
的横坐标为x?
x
1
?x
2
.
2
C
1
在点
M
处的切线斜率为
k
1
?
1
x
x?
x
1
?x
2<
br>?
2
2
，
x
1
?
x
2
x
1
?x
2
2
C
2
在点
N
处的切线斜率为
k
2
?
?
ax?b
?
x?
?
a
?
x
1
?x
2
?<
br>2
?b
.
假设
C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的切线平行，则
k
1
?k
2
，
即
a
?
x
1
?x
2
?
2
??b
，
x
1
?x
2
2
2
?
x
2
?x
1
?
a
22
?
?
x
2
?x<
br>1
?
?b
?
x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
2
?
a
2
??
a
?
?
?
x
2
?bx
2
?
?<
br>?
x
1
2
?bx
1
?
?y
2
?y
1
?lnx
2
?lnx
1
.
?
2
??
2
?
则
∴
?
x
1
?x
2
??
lnx
2
?lnx
1
?
?2
?
x
2
?x
1
?
.
∵
x
1
?0
，
∴
?
?
x
2
?
x
2
?
x
?
?1
?
ln?2
?
2
?1
?
.
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
x
2
，则
?
t?1
?
lnt?2
?
t?1
?
,t?1
. （*）
x
1
'
设
t?
令
h
?
t
?
?
?
t?1
?
lnt?2
?
t?1
?
,t?1
，则
h
?
t
?
?lnt??1
.
1
t
1
?
11t?1
?
∵
?
lnt?
?
??
2
?
2
?0
?
t?0
?
，
t
?
ttt
?
1
t
1
∴
lnt??ln1?1?1
.
t
1
'
∴
h?
t
?
?lnt??1?0
.
t
∴
lnt?
在
?
1,??
?
上单调递增.
'∴函数
h
?
t
?
在
?
1,??
?上单调递增.
∴
h
?
t
?
?h
?
1
?
?0
，即
?
t?1
?
lnt?2
?
t?1
?
，这与（*）式矛
盾，假设不成立.
第 76 页
∴
C
1在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的切线不平行
.
?a6?)
15、解
f(x)?
lo
a
gx(?ax5
22
a
5a
2
a
2
lxo?g[(?)
．
24
]
由
?
5a
?
x?2a?0,
3
得
x?3a
，由题意知
a?3?3a<
br>，故
a?
，从而
(a?3)?
2
2
?
x?3
a?0,
数
3
?(a?2)?0
，
2
调递增.
故函
5a
g(x?)x?(
2
2
a
2
?)
在区间
[a?3,a?4]
4
上单
-------------------
-----------------------5分
（1）若
0?a?1
，则<
br>f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上单调递减，所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上
的最大值为
f(a?3)?log
a
(2a
2
?9a?9)
．
在区间
[a?3,a?4]上不等式
f(x)?1
恒成立，等价于不等式
log
a
(2a<
br>2
?9a?9)?1
成立，
从而
2a
2
?9a?9?
a
，解得
a?
5?75?7
或
a?
．
22
结合
0?a?1
得
0?a?1
．
（2）若
1?a?
3
，则
f(x)
在区间
[a?3
,a?4]
上单调递增，所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
2
上的最大值为
f(a?4)?log
a
(2a
2
?12a?
16)
.
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1
恒成立，等价于不等式
log
a
(2a
2
?12a?16)?1<
br>成立，
从而
2a
2
?12a?16?a
，即
2a2
?13a?16?0
，解得
易知
13?4113?41
．
?a?
44
13?413
?
，所以不符合．
42
综上可知：
a
的取值范围为
(0,1)
．
16、解 （1）因为函数
y?f(x?)
是偶函数，所以二次函数
f(x
)?x?bx?c
的对称轴
方程为
x??
1
2
2
1
，故
b?1
.
2
2
又因为二次函数
f(x)?x?bx?c
的图象过点（1，13
），所以
1?b?c?13
，故
c?11
.
因此，
f(x)
的解析式为
f(x)?x?x?11
.
（2）如果函数
y?f(x)
的图象上存在符合要求的点，设为P
(m,n)
，其中
m
为正整
22
22
数，
n
为自然数
，则
m?m?11?n
，从而
4n?(2m?1)?43
，即
22
第 77 页
[2n?(2m?1)][2n?(2m?1)]?43
.
注意到43是质数，且<
br>2n?(2m?1)?2n?(2m?1)
，
2n?(2m?1)?0
，所以有
?
2n?(2m?1)?43,
?
m?10,
解得
??<
br>2n?(2m?1)?1,n?11.
??
因此，函数
y?f(x)
的
图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.
17、
18
、解：令
sinx?t
，则原函数化为
g(t)?(?at?a?3)t
，即
2
g(t)??at
3
?(a?3)t
.
由
?at?(a?3)t??3
，
?at(t?1)?3(t?1)?0
，
2
3
(t?1)(?at(t?1)?3)?0
及
t?1?0
知
第 78 页
2
?at(t?1)?3?0
即
a(t?t)??3
.
（1）
当
t?0,?1
时（1）总成立；
对
0?t?1,0?t?t?2
；
2
1
?t
2
?t?0
.
4
3
从而可知
??a?12
.
2
对
?1?t?0,?
19、解一：
f
?
(x)?3ax?2bx?c,
2
?
f
?
(0)?c,
?
13
?
由
?
f
?
()?a?b?c,
得
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4
f
?
()
.
所以
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
1
2
1
2
?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
?8
，
a?
1
2
8
.
3
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?4x?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a
最大值为.
33
2
解二：
f
?
(x)?3ax?2bx?c
.
设
g(x)?f
?
(x)?1
，则当
0?x?1
时，
0?g(x)?2
.
设
z?2x?1
，则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1<
br>.
2424
容易知道当
?1?z?1
时，
0?h(z)?2,0?h(?z)?2
.
从而当
?1?z?1
时，
0?
即
0?
h(z)?h(?z)
?2
，
2
3a
2
3a
z??b?c?1?2
，
44
第 79 页
3a3a
?b?c?1?0
,
z
2
?2
，
44
8
2
由
0?z?1
知
a?
.
3
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?4x?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a
最大值为.
33
从而
第九讲、排列组合与概率
1、解：甲、乙二人每人摸出一个
小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为9
2
=81个.由
不等式a?2b+10
>0得2b
个值，有7种；
当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取
7、8、9中每一个
值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为
2、解：使2个a既不同行也
不同列的填法有C
4
2
A
4
2
=72种，同样，使2个b既
不同行也不
同列的填法也有C
4
2
A
4
2
=72种
，故由乘法原理，这样的填法共有72
2
种，其中不符合要求的
有两种情况：2个a所
在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方
12
格内填有b的情况有
C
16
A
9
=16×72种.所以，符合题设条件的填法共有72
2
?72?16×72=3960
种.
3、[解法一]
用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用
?
表示名额．如
|????|?
45?7?5?3?161
?
.
8181
?|??|
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“
?
”与每个“
|
”都视为一个位置，由于左右两端必须是
“｜”，故不同的分配方
法相当于
24?2?26
个位置（两端不在内）被2个“｜”
占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“
?
”之间
的23个空隙中选出2个空隙插入
“｜”，故有
C
2
种．
23?253
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31
种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
[解法二] 设
分配给3个学校的名额数分别为
x
1
,x
2
,x
3
，则每校至少有一个名额的分法数为
不定方程
x
1
?x
2
?x
3
?24
．
的
正整数解的个数，即方程
x
1
?x
2
?x
3
?21
的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取
21个元素的可重组合：
212
．
H
3
?C
21
23
?C
23
?253
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配
方法有31
种．
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综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
4、[解法一]
依题意知，
?
的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
215
()
2
?()
2
?
．
339
若该轮结束
时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对
下轮比赛是否停止没有影响．
从而有
5
P(
?
?2)?
，
9
4520
P(
?
?4)?()()?
，
9981
416
P(
?
?6)?()
2
?
，
981
52
016266
故
E
?
?2??4??6??
．
9818181
[解法二] 依题意知，
?
的所有可能值为2，4，6. <
br>令
A
k
表示甲在第
k
局比赛中获胜，则
A
k
表示乙在第
k
局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
P(?
?2)?P(A
1
A
2
)?P(A
1
A2
)?
5
，
9
P(
?
?4)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A<
br>3
A
4
)
211220
?2[()
3
()?()
3
()]?
，
3333
81
P(
?
?6)?P(A
1
A
2
A
3<
br>A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)
2116
?4()
2
()
2
?
，
3381
520
16266
故
E
?
?2??4??6??
．
9818181
5、答案：27
【解析】 旅客候车的分布列为
候车时间（分）
概率
10
1
2
30
1
3
50
11
?
66
70
11
?
26
90
11
?
36
候车时间的数学期望为
11111
10??30??50??70??90??27
233612
18
6、解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为
217
?
，从而先投掷
人的获胜概率为
3612
第 81 页
75757?
()
2
??
()
4
???
1212121212
7112
???
.
25
1712
1?
144
7、
8、【答案】
3
10
2
15
9、【答案】
第 82 页