2019年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

2019 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．


1. 已知实数集合
{1, 2, 3, x}
的最大元素等于该集合的所有元素之和，则
x
的
值为



m m m?1
2. 若平面向量
a ??(2, ?1)
与
b ??(2?1, 2)
垂直，其中 m 为实数，则 a 的
模为 ．




3. 设 a, b ??(0, p) ，cosa, cos b 是方程 5x
2
?3x ?1??0 的两根，则 sin a sin b 的
值为 ．



．

PA ??PB ??3, AB ??BC ??CA ??2
，则该三棱锥的 4. 设三棱锥
P ??ABC
满足
体积的最大值为 ．



5. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不
为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为 ．



x
n?4
与
xy
两项的系数相等,则 6. 设整数
n ??4
，
(x?2y?1)
n
的展开式中
n
的值
为 ．


7. 在平面直角坐标系中，若以 (r ?1, 0) 为圆心、
r
为半径的圆上存在一点
(a, b)
满足
b
2
??4a
，则
r
的最小值为 ．





8. 设等差数列{a
n
}的各项均为整数，首项 a
1
??2019 ，且对任意正整数
n
，总
存在正整数
m
，使得 a
1
??a
2
???a
n
??a
m
．这样的数列{a
n
} 的个数为 ．

二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）在椭圆
??
中，
F
为一个焦点， A, B 为两个顶点．若
FA ??3,
FB ??2 ，求
AB
的所有可能值．









10. （本题满分 20 分）设 a, b, c 均大于 1，满足
?
?
lg a ??log
b
c
??
??3,
??
lg b ??log
a
c
??4.
求 lg a ??lg c 的最大值．









11. （本题满分 20 分）设复数数列{z
n
} 满足：
z
1
??1
，且对任意正整数
n
，
2
4z
n
2z
n n
z
?1
??z
2
均有
m
，均有
?1
??
n
??0
．证明：对任意正整数
2 3
z
1
??z
2
???z
m
? ．
3

2019 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）

一、（本题满分 40 分）设正实数 a
1
, a
2
, , a
100
满足 a
i
??a
101?i
(i ??1, 2, , 50) ．
记
x
k
?














ka
k?1299
(k?1,2,???,99)
.
证明：
x
1
x
2
???x
99
?1
.
a
1
?a
1
?????a
n
二、（本题满分 40 分）求满足以下条件的所有正整数 n ：
(1) n 至少有 4 个正约数；
(2) 若 d
1
??d
2
??????d
k
是 n 的所有正约数，则 d
2
??d
1
, d
3
??d
2
, ?, d
k
??d
k ?1
构 成等
比数列．

























三、（本题满分 50 分）如图，点 A, B, C, D, E 在一条直线上顺次排列，满足

BC?CD?
AB?DE
点 P 在该直线外，满足 PB ??PD ．点 K, L 分别在线段PB, PD
上，满足 KC 平分 ?BKE ， LC 平分 ?ALD ．
证明： A, K, L, E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）


P

K

L

A
B
C
D
E













四、（本题满分 50 分）将一个凸 2019 边形的每条边任意染为红、黄、蓝三 种
颜色之一，每种颜色的边各 673 条．证明：可作这个凸 2019 边形的 2016 条在
内部互不相交的对角线将其剖分成 2017 个三角形，并将所作的每条对角线也染
为红、黄 、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者
颜色互不相同．