全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案

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20XX年全国高中数学联赛
贵州赛区预赛

试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教 学大纲》中所规定的教学内容
和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的 掌握情况，包括8道填空题
和3道解答题，全卷满分120分，考试时间为150分钟.

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试 题


一、 填空题（每小题8分，共64分）
1、已知函数
f(x)?x
2
?2ax?3a
2
,
且方程< br>f(x)?8
有三个不同的实根，则实数
a
= .
2、设< br>?
x
?
表示不超过
x
的最大整数，则
?
lg 1
?
?
?
lg2
?
?
?
lg3
?
?????
?
lg2010
?
?
.
3、
l
1
,l
2
,???,l
100
为
1 00
条共面且不同的直线，若其中编号为
4k(k?N
?
)
的直线互
相平行，编号为
4k?1
的直线都过定点
A
．则这
100< br>条直线的交点个数最多
为 .
4、若将半径为
12cm
四个篮球 在水平地面上任意堆放，则你能堆放的最大
高度是
cm
.
5、若 抛物线
y
2
?2x
的焦点是
F
，准线是
l
，点
M(2,m)
是抛物线上一点，则
经过点
F、M
且与
l
相切的圆一共有 个.
6、若直线
ax?by?2?0(a?0,b?0)
和函数
y?log
c
(x?2)?2(c?0
且
c?1)< br>的图象
恒过同一个定点，则
?
的最小值为 .
7、 若
e
sin
?
?lncos
?
?e
cos
?
?lnsin
?
，且
?
?
?
0,2
?< br>?
，则角
?
的取值范围
是 .
8、已知半 径分别为
2,3
的两圆外切于
T
，直线
MN
为此两圆的外公 切线且
M,N
分别为切点，则
1
a
1
b
MT
?
．
NT

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二、解答题（第9小题16分，第10小题20分，第11小题20分，共56
分）
x
2
y
2
9、已知椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)
，过坐标原点
O
的直线
l
交椭圆于
A、
B
两
ab
点，
C
是椭圆上的一点，且满足
O AOC?OBOC
．
（１）求证：
1
OA
2
?
1
OC
2
是定值；
（２）求
?ABC
面积的最小值.

10、已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
2
?6,4a
n?1
?a
n?1
?4 a
n
(n?2)
。
（１）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（２）求数 列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n.

a
3
?b
3
?c
3
11、已知
a,b,c
是
Rt?ABC
的三边，
c
为斜边，若
y?
，求
y
的取值
c(a?b?c)
2
范围.

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解 答

1、 方程
f(x)?8
有三个不同的实根，即函数
y?x
2
?2ax?3 a
2
的图象与直
线
y?8
有三个交点，由图象知，
f(a) ?8?a
2
?2a
2
?3a
2
?8?a??2
.
2、因为
1?k?9?
?
lgk
?
?0,

10?k?99?
?
lgk
?
?1,

100?k ?999?
?
lgk
?
?2,
1000?k?2010?
?
lgk
?
?3

所以
?
lg1
?
?
?
lg2
?
?
?
lg3
?
?????
?
lg2010
?
?90?1?900?2?1011?3?4923
.
2
3、100条直线任意两条的组合有
C
100
,其中编号为
4k(k?N
?
)
的直线互相平
行，编号为
4k?1
的直线都过定点
A
，所以这100条直线的交点个数最多为
222
C100
?C
25
?C
25
?1?4351
.
4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的
堆放在地面上，其中球心相连形 成棱长为
24cm
的四面体，此四面体的高为
86cm
，所以能堆放的最大高 度应是
24?86cm
.
5、因为点
M(2,m)
在抛物线
y
2
?2x
上，所以
m??2
，即
M(2,?2)
，又焦点
?
1
?
F
?
,0
?
,由抛物线 的定义知，过点
F、M
且与
l
相切的圆的圆心即为线段
FM
的
?
2
?
垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有四个，故过点
F、M
且与
l
相切
的圆共有四个.
6、因为函数
y?lo g
c
(x?2)?2
的图象恒过点
?
?1,2
?
， 故
?a?2b?2?0
，即

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1
a?b?1
.
2
又因为
a?0,b?0,
所以
11
?
1
??
11
?
3ba3
??
?
a?b
??
?
?
?????2
，
ab
?
2ab2a2b2
???
等号当且仅当
a?2b
时成立.
7、由
e
sin
?
?lncos
?
?e
cos
?
?lnsin
?
?e
sin
?
?lnsi n
?
?e
cos
?
?lncos
?
，
设
f(x)?e
x
?lnx
，则
f(sin
?
)?f (cos
?
)
，因为函数
f(x)?e
x
?lnx
在
?
0,??
?
上是增
函数，所以
sin
?
?cos
?
?0
，又因为
?
?(0,2
?
)，故
?
??
??
?
3
?
??5
?< br>3
?
??
3
?
7
?
?
?
?
?
,
??
,
??
,
??
,
?.
?
42
??
24
??
42
??
2 4
?
8、如图,
C,D
的半径分别为2,3.设
?MCT?
?
,则
?NDT?
?
?
?
,
因为直线
MN
与
C,D
相切于
M,N
,所以
M
N
C
T
D


?NMT?

?
?
?
2
?
2
,? MNT???NMT??MNT?
?
2
??MTN?
?
2
,
由
?
MT
2
?2
2
?2
2
? 2?2?2cos
?
?
232
MT6
?
NT?3?3?2? 3?3cos(
?
?
?
)
??
.
?
22 2
NT3
?
MT?NT?MN
?
MN
2
?(3?2 )
2
?(3?2)
2
?
注:也可用坐标法或平面几何法.

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9、由
OAOC?OBOC? OC(OA?OB)?0
?OCAB?0?OC?AB

又点
O
、< br>A
、
B
同为直线
l
上的三点，所以
OC?OA
.
（1） 设
OA?r
1
,OC?r
2
,?xOA?< br>?
,则
?xOC?
?
?
.
2
?
r cos(
?
?),rsin(
?
?)
于是点
A
、< br>C
的坐标分别为
?
r
1
cos
?
,r
1
sin
?
?
,
?
2
?
2
?< br>.
22
??
?
??
因为点
A
在椭圆上,所以
?
r
1
2
cos
2
?
r
1
2< br>sin
2
?
??1
?
a
22
b
?< br>?
2
??
222
rcos(
?
?)rsin(
?
?)
?
22
2
?
2
?1
?
2 2
ab
?
?
1cos
2
?
sin
2
?
?
r
2
?
a
2
?
b
2
,
?
?
?
1
22
?
1
?
sin
?
?
cos
?
.
2
?
a
2
b
2
?
r
2
1111
?
2
?
2
?
2
?
2
,
r
1
r
2
a b

故
1
OA
2
?
1
OC
2是一个定值.
1
AB?OC?OA?OC?r
1
?r
2
.
由(1)得
2
111122a
2
b
2
??2
2
?
2
?r
1
r
2
??,
11
a
2
?b
2
a
2
b
2
r
1
r
2
?
a
2
b
2
(2)
S
?ABC
?
当
r
1
?r
2
,即当A
、
B
、
C
三点共圆时等号成立。故
?ABC
面积的最小值是
2a
2
b
2
.

a
2
?b
2

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10、（1）因为
a
1
?1,a
2
?6,4a
n?1
?a
n?1
?4a
n
(n?2)
，所以
a
n?1
?2a
n
?2(a
n
?2a
n?1
),a
2
?2a
1
?4?a
n?1
?2a
n
?4?2
n?1
a
n? 1
a
n
a
n
111
n
??1???(n?1)?1 ?n??a?(n?)?2

n
n?1nn
222222
?a
n
?(2n?1)?2
n?1
?
（2）由（1）知：
S
n
?1?3?2?5?2
2
?????(2n?3)?2
n?2
?( 2n?1)?2
n?1
①
①
?2
：
2 S
n
?2?3?2
2
?5?2
3
?????(2n?3)? 2
n?1
?(2n?1)?2
n
②
①
?
②:
?S
n
?1?2?2?2?2
2
?2?2
3
?????2?2
n?1
?(2n?1)?2
n
2
2
(1?2
n?1
)
?1??(2n?1)?2
n?(3?2n)?2
n
?3
1?2
?S
n
?(2n?3 )?2
n
?3

即
S
n
?(2n?3)?2n
?3(n?N
?
)
.
11、因为
a,b,c
是
Rt?ABC
的三边，
c
为斜边，所以
a
2
? b
2
?c
2
.
令
?
?
a?ccos?
?
(0?
?
?)
,所以
2
?
b? csin
?
c
3
cos
3
?
?c
3
sin
3
?
?c
3
cos
3
?
?sin
3
?
?1
y??
2
c(ccos
?
?cs in
?
?c)(cos
?
?sin
?
?1)
2(cos
?
?sin
?
)(cos
2
?
?co s
?
?sin
?
?sin
2
?
)?1
< br>?
(cos
?
?sin
?
?1)
2
(cos
?
?sin
?
)(1?cos
?
?sin
?
)?1
?
(cos
?
?sin
?
?1)
2
又令
x?cos
?
?sin
?
，因为
0?
??
,所以
2
?
?
x?cos
?
?sin?
?2sin(
?
?)?1,2
?
?
,
4
?
x
2
?1
cos
?
?sin
?< br>?

2

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于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2
y??
(x?1)
2
2(x?1)
2
(2?x?x
2)(x?1)2?x?x
2
??

2
2(x?1)2(x?1)
(2?x)(x?1)1
??1??x
2(x?1)2
?
21
?
1
?
显然
y?1??x
在
x?1,2
?
上是减函数,所以
y?
?
1?,
?
此即为
y
的取 值
?
，
22
2
??
?
范围.