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2003年全国高中数学联赛试卷及答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 12:38
tags:全国高中数学竞赛

建筑学和高中数学的联系-高中数学金试卷高三

2020年9月21日发(作者:施翌)



2003年全国高中数学联赛试题
第一试
2003年10月12日
一、选择题
本题共有6小题,每题均给出(A)、(B) 、(C)、(D)四个结论,其中有且仅有一个是
正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内, 每小题选对得6分;不选、选错或选
出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。
1. 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列. 这个数列的第
2003项是 【答】( )
(A)2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
2. 设
a,b?R,ab? 0,
那么直线
ax?y?b?0
和曲线
bx
2
?ay
2
?ab
的图形是【答】( )
y

y y

y


x
x x x


(A) (B) (C) (D)
?
3. 过抛物线
y
2
?8
?
x?2
?
的焦点F作倾斜角为
60
的直线. 若此直线与抛物线交于A,B
两点,弦AB的中垂线与
x
轴交于P点,则线段PF的长 等于 【答】( )
(A)
16816
3
(D)
83
(B) (C)
33
3
4. 若
x?
?
?
(A)
2
?
?
5
??
??
,?
?
,
y?tan
?
x?
3
?
123
??
?
?
?
????
?tanx??cosx?
?????
的最大值是
66
?????
12111212
2
(B)
2
(C) (D) 【答】( )
575
6
5. 已知
x,y
在区间
?
?2,2?
内,且
xy??1,
则函数
u?
49
?
的最 小值是
4?x
2
9?y
2
(A)
8241212
(B) (C) (D) 【答】( )
51175
6. 在四面体ABCD中设
AB?1,CD?3
,直线AB与C D的距离为2,夹角为
?
,则四
3
面体ABCD的体积等于 【答】( )
(A)
11
33
(B) (C) (D)
23
23
3
二、填空题(本题满 分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
2
7.不等式
x?2x?4x?3?0
的解集是______________
x
2
y
2
??1
的两个焦点,P是椭圆上的点,且
PF
1
:PF< br>2
?2:1
,则8.设
F
1
,F
2
是椭圆< br>94



?PF
1
F
2
的面积等于_____________.
9. 已知
A?
?
x
2
x?4x?3?0,x?R

,
?
B?x2
1?x
?a?0,x
2
?2
?
a?7
?
x?5?0,x?R.

A?B
,则实数
a
的取 值范围是
_____________.
10. 已知
a,b,c,d
均为 正整数,且
log
a
b?
??
35
,log
cd?,

a?c?9
,则
24
b?d?
_______ _____.
11. 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个 球相
切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于________.
____ _________
??
12.设
M
n
?
?
?十进制
?
n位纯小数0.a
1
a
2
???a
n
a
i
只取0或(1i?1,2,???,n?1),a
n
?1
?
,

??
T
n

M
n
中元素 的个数,
S
n

M
n
中所有元素的和,则
lim< br>n??
S
n
?
________.
T
n
三、解答题 (本题满分60分,每小题20分)
13. 设
3
?x?5,
证明不等式
2x?1?
2
2x?3?15?x3?2

19.





14.设A,B,C分别是复数
Z
0?ai,Z
1
?
1
?bi,Z
2
?1?ci
( 其中
a,b,c
都是实数)对应的不
2
共线的三点. 证明:曲线
Z?Z
0
cos
4
t?2Z
1
cos
2
t sin
2
t?Z
2
sin
4
t(t?R)

?ABC
中平
行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点.





15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片,使圆周上某一点
A
'
刚好与A点重合. 这样的每一种折法,都留下一条直线折痕. 当
A
'
取遍圆周上所有的点
时,求所有折痕所在直线上点的集合.




2003年全国高中数学联赛加试试题
第二试
一、(本题满分50分)
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点,C在
P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使
?DAQ??PBC.
求证:
?DBQ??PAC.




二、(本题满分50分)
?
3
l
??
3
m
??
3
n
?
设三角形的三边长分别是整数
l,m,n,

l?m?n.
已知
?
4
?
?
?
4
?
?
?
4
?
,
其中
?
10
??< br>10
??
10
?
?
x
?
?x?
?< br>x
?
,

?
x
?
表示不超过
x的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.






三、(本题满分50分)
由n个点和这些点之间的
l
条连线段组 成一个空间四边形,其中
1
2
n?q
2
?q?1,
l?q< br>?
q?1
?
?1,q?2,q?N.
已知此图中任四点不共面,每点至 少有一条
2
连线段,存在一点至少有
q?2
条连线段. 证明:图中必存在一 个空间四边形(即由四点
A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形)










2003年全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题
1
C
提示:
1. 注意到
45?2025
,
46?2116
,故
a
2003
?2003?45?2048
;
22
2
B
3
A
4
C
5
D
6
B
x
2
y
2
2. 题设方程可化为
y?ax?b

??1
,观察图形可知;
ab
3. 易知直线AB的方程为
y?3x
,因此A,B两点的横坐标满足方 程
3x?8x?16?0
,从
而弦AB中点的横坐标为
x
0
?
2
4
4
,纵坐标
y
0
?
,进而求得中垂 线方程之后,令y=0,
3
3
得点P的横坐标即PF=
4. 原函数可化为
y?
16

3
?
??
?cos?
x?
?
,可以证明函数在已知的区间上为增函
4
?
?
6
?
?
?
sin
?
2x?
?
3< br>??
2
11
3
;
6
数,故当
x??
?
3
时,y取最大值
5. 消去 y之后可得:
u?1?
35
4
??
37?
?
9x< br>2
?
2
?
x
??
,用基本不等式可求得函数u的最小 值
12
;
5
6. 可用等积法求得,过程略。

二、填空题
7.
?
?3,?

8. 4
?PF
1
F
2
是直角三角形,故
?PF
1
F
2
的面积为
S?

9.
?4?a??1

提示:
A?
?
1,3
?
,令
f
?
x
?
?2
1?x
?
?
?
5?1
??
5?1
?
?
?
??
. 提示: 原不等式可以化为:
?
| x|?3
?
x
2
?|x|?1?0

,3
??2
?
??
2
?
??
11
|PF
1|?|PF
2
|??2?4?4
;
22
?a
,
g
?
x
?
?x
2
?2
?
a?7
?
x?5
,则只需
f
?
x
?
,g
?
x
?



?
f
?
1
?< br>?0
?
f
?
3
?
?0
?
(1,3) 上的图象均在x轴的下方,其充要条件是
?
,由此推出
?4?a??1
; < br>?
g
?
1
?
?0
?
?
g
?
3
?
?0
?
b
??
d
?
10.9 3 提示: 由已知得
a?b,c?d
,
a?
??
,c?
??
,又
a?c?9
,故
?
a
??
c
?
?
bd
2
?
2
?9
24
?
a? 25,c?16
?
bd
2
??
bd
2
?
?
b
??
d
?
?
a
c
???
??? 9
,推得,;
??
?
??
?
?
?
?a
c
2
??
a
c
2
?
2
b? 125,d?32
ac
????
????
?
b
?
d
?1
?
?
a
c
2
11.
4
8+2

提示:如图,上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分
别是上下两个边长为2的正方形的顶点,且以它们的外接圆为上
下底面构成圆柱,同时A1在底面上的 射影M为弧AB的中点。由
于A1A=A1B=AB=2,
OM?OA?
3
2
5
4
24
2
,
MN?2?1
,求得
A
1
M?
12.
?
A
1
N
?
2< br>?
?
MN
?
2
?
4
8
,故所求的高为
4
8+2

1
1
n?1
?
111
?
1
提示:
T
n
?2
n?1
,
S
n
??2< br>?
?
2
?
?
?
n?1
?
?2
n?1
?
n

18
2
10
?
10
?
10
10

三、解答题
13.
证明:由
(a?b?c?d)?a?b?c?d?2< br>?
ab?bc?cd?da?ac?bd
?
可得
22222
a?b?c?d?2a
2
?b
2
?c
2
?d
2,
当且仅当a=b=c=d时取等号 ……5分

2x?1?2x?3?1 5?3x?2
?
x?1
?
?
?
x?1
?
?
?
2x?3
?
?
?
15?3x
?


?2x?14?219
……………………………………………………15分
因为
x?1,2x?3,15?3x
不能同时相等,所以
2x?1?2x?3?15?3x?219
……………………………………20分 < br>14.设
z?x?yi
?
x,y?R
?
,则代入并由复数相等 可得



2
?
?
x?sint
?
2
2
?
????
y?a1?x?2b1?xx?cx
?
?0?x?1
?

y?
?
a?c?2b
?
x2
?2
?
b?a
?
x?a
因为
A,B,C不共 线 ,所以
a?c?2b?0
,可见所给曲线是抛物线段(图略)…………5分
AB ,BC的中点分别是
D
?
?
?
1a?b
?
?
3b?c
?
?
,,E
?
,
?
,;
?< br>4242
??
??
1
?
3a?2b?c
?
……………………………10分
4
所以DE的方程为
y?
?
c ?a
?
x?
2
1113
1
??
联立两式得
?
a?c?2b
?
?
x?
?
?0
,得
x ?
,注意到
??
,所以抛物线与
?ABC
2424
2
??
中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点,此点的坐标为
?
,
数 为
z?
?
1a?c?2b
?
?
,相应的复
24??
1a?c?2b
?i
…………………………………………………………15分
24
15.如图建立直角坐标系,设
A
1
?
Rcos
?
,Rsin
?
?
,MN为AA1
的中垂线,设P(x,y)是MN上任一点,则|PA|=|PA1| ……5分 < br>代入推得
2R
?
xcos
?
?ysin
?
?
?R
2
?a
2
?2ax
………10分
可得
sin
?
?
?
?
?
?
R
2
?a
2
?2ax
2Rx?y
. 所以
22
,
其中
sin
?
?
x
x?y
22
,
cos
?
?
y
x?y
2
R
2
?a
2?2ax
2Rx?y
22
22
?1
…………15分
平方后可化为
a
??
?
x?
?
y
22
??
??1

222
?
R
??
R< br>??
a
?
????
?
??
?
2
??
2
??
2
?
a
??
?
x?
?y
2
2
??
所求点的集合为椭圆
??1
外(含边界)部 分。…………20分
222
?
R
??
R
??
a< br>?
????
?
??
?
2
??
2
??
2
?


2

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