2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案

2006年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 已知△ABC，若对任意
t?R
，
BA?tBC?AC
，则△ABC一定为
A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）
2. 设
log
x
(2x
2
?x?1)?log
x
2 ?1
，则
x
的取值范围为
A．
11
?x?1
B．
x?,且 x?1
C．
x?1
D．
0?x?1
【答】（ ）
22
3. 已知集合
A? x5x?a?0
，
B?x6x?b?0
,
a,b?N
，且
A ?B?N?
?
2,3,4
?
，则整数
对
?
a,b< br>?
的个数为
A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ）
4. 在直 三棱柱
A
1
B
1
C
1
?ABC
中，
?BAC?
????
?
2
，
AB?AC?AA
1
?1
. 已知Ｇ与Ｅ分别为
A
1
B
1
和
CC1
的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段
AC
和
AB
上的动点（不包括端点 ）. 若
GD?EF
，则线段
DF
的长度的取值范围为
A. < br>?
?
1
??
1
?
?
1
?
1 , 2
D.
?
【答】 （ ）
, 1
?
B.
?
, 2
?
C.
?
, 2
?
?
?
5
?
?
5??
5
?
?
5. 设
f(x)?x
3
?log
2
x?x
2
?1
，则对任意实数
a,b
，
a?b?0
是
f(a)?f(b)?0
的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ）
6. 数码
a
1
, a
2
,a
3
,?,a
2006
中有奇数个9的2007位十 进制数
2a
1
a
2
a
3
?a
2006的个数为
A．
(10
?
?
1
2
2006< br>1
?8
2006
)
B．
(10
2006
?8
2006
)
C．
10
2006
?8
2006
D．
10
2006
?8
2006
【答】（ ）
2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
44
7. 设
f(x)?sinx?sinxcosx?cosx
，则
f(x)
的值域是 。
8. 若对一切
?
?
R，复数
z?(a?cos
?)?(2a?sin
?
)i
的模不超过2，则实数
a
的取值范围 为 .
x
2
y
2
??1
的左右焦点分别为
F1
与
F
2
，点P在直线l：
x?3y?8?23?0
上 . 当9. 已知椭圆
164
?F
1
PF
2
取最大值时，比
PF
1
PF
2
的值为 .
1

10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为
1
cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层
2
两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm
3
.
11. 方程
(x
2006
?1)(1?x
2
?x
4
??? x
2004
)?2006x
2005
的实数解的个数为 .
12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取< br>完所有红球的概率为 .
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 给定整数
n?2
，设
M
0
(x
0
,y
0
)
是抛物线
y
2
?nx?1
与直线
y?x
的一个交点. 试证明对于任
意正整数
m
，必存在整数
k?2
，使< br>(x
0
,y
0
)
为抛物线
y
2
?k x?1
与直线
y?x
的一个交点.

14. 将2006表示成 5个正整数
x
1
,x
2
,x
3
,x
4,x
5
之和. 记
S?
mm
1?i?j?5
?
x
i
x
j
. 问：
（1）当
x
1
,x< br>2
,x
3
,x
4
,x
5
取何值时，S取到最 大值；
（2）进一步地，对任意
1?i,j?5
有
x
i
? x
j
?2
，当
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
明理由.


15. 设
f(x)?x
2
?a
. 记
f
1
(x)?f(x)
，
f
n
(x)?f(f
n?1
(x))
，n?2, 3,?
，
取何值时，S取到最小值. 说
1
??
M?a?R对所有正整数 n， f
n
(0)?2
. 证明：
M?
?
?2,
?
.
4
??
??


一试参考答案

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.【答】 （ C ）【解】令
?ABC?
?
，过A作
AD?BC
于D。由BA?tBC?AC
，推出
????
2
????????
2< br>????
2
????
2
BA?2tBA
?
BC?tB C?AC
,令
????????
BA
?
BC
t?
? ???
2
BC
，代入上式，得
????????
????
2
????
2
????
2
????
2
????2
2
????
2
22
BA?2BAcos
?
? cos
?
BA?AC
，即
BAsin
?
?AC
, 也即
BAsin
?
?A C
。
????????
?
从而有
AD?AC
。由此可得
?ACB?
。
2
2

,?1
?
x?0x
1
2.【答】（ B ）【解】因为
?
2
，解得
x?,x?1
. 由
2
?0
?
2x?x?1
?
0?x?1
解得
log
x
(2x
2
?x?1)?log
x
2 ?1 ?log
x
(2x
3
?x
2
?x)?log
x2

?
?
32
?
2x?x?x?2
x?1?
1
0?x?1
；或
?
3
x?1
x?, 且 x?1
. 解得 ，所以的取值范围为
x
2
2
?
2x?x?x?2
3.【答】 （ C ）【解】
5x?a?0
?x?
ab
；
6x?b?0
?x?
。 要使
A?B?N?
?
2,3,4
?
，
56
?
b
1??2
?
?
6?b?12
?
6
11
则
?
，即
?
。所以数对
?
a,b
?
共有< br>C
6
C
5
?30
。
?
20 ?a?25
?
4?
a
?5
?
5
?
4.【答 】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为
ｘ
轴，ＡＣ为
ｙ轴，ＡＡ
１
为ｚ
0,1,)
轴，则
F(t
1
, 0,0
（，
E(
)0?t
1
?1
）
11
，
G(,0,1)
，
D(0,t
2
,0)
（
0?t< br>2
?1
）。所以
22
????????
111
EF? (t
1
,?1,?)
，
GD?(?,t
2
,?1)
。因为
GD?EF
，所以
t
1
?2t
2
?1
，由此推出
0?t
2
?
。
222
????
?? ??
2
2
1
22
2
又
DF?(t
1
,?t
2
,0)
，
DF?t
1
?t
2
? 5t
2
?4t
2
?1?5(t
2
?)?
，从而有
55
1
????

?DF?1
。
5
5.【答】 （ A ）【解】显然
f(x)?x< br>3
?log
2
x?x
2
?1
为奇函数，且单调递增。 于是
若
a?b?0
，则
a??b
，有
f(a)?f(?b )
，即
f(a)??f(b)
，从而有
f(a)?f(b)?0
.
反之，若
f(a)?f(b)?0
，则
f(a)??f(b)?f(?b)< br>,推出
a??b
，即
a?b?0
。
132005
6. 【答】（ B ）【解】出现奇数个9的十进制数个数有
A? C
2006
9
2005
?C
2006
9
2003< br>???C
2006
9
。
?
?
又由于
(9?1 )
2006
?
?
C
k?0
2006
k
20 06
9
2006?k
以及
(9?1)
2006k
?
?
C
2006
(?1)
k
9
2006?k
，从而得
k?0
2006
132005
A?C
2006
9
2 005
?C
2006
9
2003
???C
2006
9?
1
20062006
(10?8)
。
2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7.【解】
f(x)?s inx?sinxcosx?cosx?1?
11
sin2x?sin
2
2x
。令
t?sin2x
，则
22
11911919
f(x) ?g(t)?1?t?t
2
??(t?)
2
。因此
ming(t)? g(1)????0,

?1?t?1
22822824
19199
maxg(t)?g(?)???0?
。 即得
0?f(x)?
。
?1?t?1
28288
44
3

8. 【解】依题意，得
z?2

?(a?cos
?
)
2
?(2a?sin
?
)
2
?4

?2a(cos
?
?2sin
?
)?3?5a
2
??25asin(
?
?
?
)?3?5a
2
（
?
?arcsin
2
1
）（对任意实数
?
5
?
55
?
5
,
成立）
?25a?3?5a

?a?
. 故
a
的取值范围为
?
?
?
。
55
5
??
9. 【解】 由平面几何知，要使
?F
1PF
2
最大，则过
F
1
,F
2
，P三点的圆必 定和直线l相切于P点。
设直线l交x轴于A
(?8?23,0)
，则
?AP F
1
??AF
2
P
，即
?APF
1
??A F
2
P
，即
PF
1
PF2
?
AP
AF
2
（1），又由圆幂定理，
AP?AF< br>1
?AF
2
（2），而
F
1
(?23,0)
，
F
2
(23,0)
，
2
A
(?8?23,0)< br>，从而有
AF
1
?8
，
AF
2
?8?43< br>。代入（1），（2）得
PF
1
?
PF
2
AF
1
8
??4?23?3?1
。
AF
2
8?43
10. 【解】设四个实心铁球的球心为
O
1
,O
2
,O
3
,O
4
，其中
O
1
,O
2
为下层两球的球心，
A,B,C,D
分
别为四个球 心在底面的射影。则ABCD是一个边长为
22
的正方形。所以注水高为
1?
。故应注
22
12
24
?
1
?
水
?
(1?
)
?
。
)?4?
?
??
＝< br>(?
32
23
?
2
?
11.【解】
(x2006
3
?1)(1?x
2
?x
4
???x
2004
)?2006x
2005

)(1?x
2
?x4
???x
2004
)?2006

1
x
20 05
?
1
x
2003
????
2001
11
?2006

x
?(x?
1
x
2005
?x?x
3
?x
5
???x
2005
?
?2006?x?< br>11
?x
3
?
3
???x
2005
?
2005
?2?1003?2006

xxx
1
3
11< br>2005
?
2005
，即
x??1
。 要使等号成立，必须
x?,x?
3
,?,x
xxx
但是
x?0
时，不满 足原方程。所以
x?1
是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。
12. 【解】第4次恰好取完所有红球的概率为
22
x
1
2?
9
?
18291
?
8
?
21
???
??????
??
??
=0.0434.
10
?
10
?
1010101010
?
10
?
1010< br> 4

三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）
n?n
2
?4
1
13. 【证明】 因为
y?nx?1< br>与
y?x
的交点为
x
0
?y
0
?
. 显然有
x
0
??n
。…（5
x
0
2
2分）
m
若
(x
0
,y
0
)
为抛物线
y
2
?kx?1
与直线
y?x
的一个交点，则
k? x
0
?
mm
1
. …（10分）
m
x
0
记
k
m
?x
0
?
m
11，则
k?k(x?)?k
m?1
?nk
m
?k
m?
，
m?1m01

(m?2)
（13.1）
mx
0
x
0
2
由于
k
1
?n
是 整数，
k
2
?x
0
?
11
2
?(x?)? 2?n
2
?2
也是整数，所以根据数学归纳法，通过
0
2
x
0
x
0
m
（13.1）式可证明对于一切正整数
m
，
k
m
?x
0
?
1
是正整数. 现在对于任意正整 数
m
，取
x
0
m
k?x
0
m
?< br>1
mm
2
y?x
，使得与的交点为
y?kx?1
(x ,y
00
)
. ………………… （20分）
m
x
0
14. 【解】 （1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若
x
1
?x
2?x
3
?x
4
?x
5
?2006
, 且使 < br>S?
1?i?j?5
?
x
i
x
j
取到最大值 ，则必有
x
i
?x
j
?1,

(1?i,j?5

)
………（5分） (*)
?
?x
2
?1
,
x
i
?
?x
i
(
i?3,4,5
)
?
?x
1
? 1
，
x
2
事实上，假设（*）不成立，不妨假设
x
1
?x
2
?2
。则令
x
1
?
?x
2
?
?x
1
?x
2
，
x
1
?
?x
2
?
?x
1
x
2
?x
1
?x2
?1?x
1
x
2
。将S改写成 有
x
1S?
1?i?j?5
?
x
i
x
j
?x
1
x
2
?
?
x
1
?x
2
??x
3
?x
4
?x
5
?
?x
3
x
4
?x
3
x
5
?x
4
x
5
?
x
2
?
?x
1
x
2
?0
。这
?
x
2
?
?(x
1
?
?x< br>2
?
)
?
x
3
?x
4
?x
5
?
?x
3
x
4
?x
3
x
5?x
4
x
5
。于是有
S
?
?S?x
1
同时有
S
?
?x
1
与S在
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
时取到最大值 矛盾。所以必有
x
i
?x
j
?1,

(1?i,j?5)
. 因此当
取到最大值。 ……………………（10分）
x
1
?402,x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?401
（2）当
x
1?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?200 6
且
x
i
?x
j
?2
时，只有
（I）

402， 402， 402， 400， 400；
5

（II）
（III）
402， 402， 401， 401， 400；
402， 401， 401， 401， 401；
三种情形满足要求。 ……………………（15分）
而后面两种情形是在第一组情形下作
x
i
?< br>?x
i
?1
，
x
?
j
?x
j
?1
调整下得到的。根据上一小题的证
明可以知道，每调整一次，和式
S?
1?i?j?5
?
x
i
x
j
变大。 所以在
x1
?x
2
?x
3
?402,x
4
?x
5
?400
情

形取到最小值。 …………………（20分）
1
15. 【证明】（１）如果
a??2
，则< br>f(0)?|a|?2
，
a?M
。 ………………………（5分）
（２）如果
?2?a?
1
，由题意
f
1
(0)? a
，
f
n
(0)?(f
n?1
(0))
2
?a
,
n?2,3,?
. 则
4
111
n1
① 当
0?a?
时，
f(0)?
（
?n?1
）. 事实上，当
n?1
时，
f(0)?a?
, 设
422
22
?
1
?
11
n?k?1
时成立（
k?2为某整数），则对
n?k
，
f
k
(0)?f
k?1< br>(0)?a?
??
??
.
?
2
?
42
n
1
② 当
?2?a?0< br>时，
f(0)?a
（
?n?1
）.事实上，当
n?1
时，
f(0)?a
, 设
n?k?1
时成立（
k?2
为某整 数），则对
n?k
，有
?|a|?a?f(0)?f
k
?
k ?1
(0)
?
?a?a
2
?a
.注意到 当
2
?2?a?0
时,总有
a
2
??2a
，即
a
2
?a??a?|a|
. 从而有
f
k
(0)?|a
.
|
由归纳法，推出
?
1
?
?2,
?
?M
。 ……………（15分）
?
4
??
（3）当
a?
11
时，记
a
n
?f
n
(0)
，则对于任意
n?1< br>，
a
n
?a?
且
44
。对于任意
2
a
n?1
?f
n?1
(0)?f(f
n
(0))?f(a< br>n
)?a
n
?a
n?1
，
1111
2
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n
?a?( a
n
?)
2
?a??a?
, 则
a
n?1
?a
n
?a?
。 所以，
244411
2?a
a
n?1
?a?a
n?1
?a
1< br>?n(a?)
。当
n?
(a?)?a?2?a?a
，
2?即时，
a
n?1
?n
1
44
a?
4
f
n?1
(0?)
。因此
a?M
2
。综合（１）（２）（３） ，我们有
1
??
M?
?
?2,
?
。 …………………………（20分）
4
??

6

2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷
（考试时间：上午10：00—12：00） < br>一、以B
0
和B
1
为焦点的椭圆与△AB
0
B
1
的边AB
i
交于
（i=0，1）。在AB
0
的延长线上 任取点P
0
，以B
0
为圆
B
0
P
0
为半径作圆弧P
0
Q
0
交C
1
B
0
的延 长线于Q
0
；以
圆心，C
1
Q
0
为半径作圆弧Q< br>0
P
1
交B
1
A的延长线于P
1
；
为圆心，B
1
P
1
为半径作圆弧P
1
Q
1
交B
1
C
0
的延长线于
C
0
为圆心，C
0
Q
1
为半径作圆弧Q
1
P′
0
，交AB
0
的延长
P′
0
。试证：
（1）点P′
0
与点P< br>0
重合，且圆弧P
0
Q
0
与P
0
Q
1
相内切
（2）四点P
0
、Q
0
、Q
1
、 P
1
共圆。
二、已知无穷数列{a
n
}满足a
0
=x，a
1
=y，
C
i
心，
C
1
为
以B
1
Q
1
；以
线于
于P
0
；
a
n?1
?
a
n
a
n?1
?1
，n=1 、2、…。
a
n
?a
n?1
（1）对于怎样的实数x与y，总存在 正整数n
0
，使当n
0
≥n时a
n
恒为常数？
（2）求数列{a
n
}的通项公式。
?
x?y?z?w?2
?
2222
?
x?y?z?w?6
三、解方程组
?
3。
333
x?y?z?w?20
?
?
x
4
? y
4
?z
4
?w
4
?66
?


2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
一、（本题满分50分）以B
0
和B
1
为焦点的椭圆与△AB
0
B
1
的边ABi
交于C
i
（i=0，1）。在AB
0
的延长
线上任取 点P
0
，以B
0
为圆心，B
0
P
0
为半径 作圆弧P
0
Q
0
交C
1
B
0
的延长线于Q
0
；以C
1
为圆心，C
1
Q
0
为半径作圆 弧Q
0
P
1
交B
1
A的延长线于P
1
；以 B
1
为圆心，B
1
P
1
为半径作圆弧P
1
Q
1
交B
1
C
0
的延长线
于Q
1
；以C
0
为圆心，C
0
Q
1
为半径作圆弧Q
1P′
0
，交AB
0
的延长线于P′
0
。试证：
（1）点P′
0
与点P
0
重合，且圆弧P
0
Q
0
与
P
1
A
P
0
Q
1
相内切于P< br>0
；
S
1
（2）四点P
0
、Q
0
、Q
1
、P
1
共圆。
证明：（1）显然B
0
P< br>0
=B
0
Q
0
，并由圆弧
Q
1
P′
0
P
0
Q
0
和Q
0
P
1
，Q
0
P
1
和P
1
Q
1
，P
1< br>Q
1
和
分别相内切于点Q
0
、P
1
、Q1
，得
T
C
1
B
0
+B
0
Q
0
=C
1
P
1
，
Q
C
0
1
B
1
C
1
+C
1
P
1
=B1
C
0
+C
0
Q
1
以及
C
1
C
0
Q
1
=C
0
B
0
+B
0
P′
0
。四式相加，利用
Q
0
B
0
B
1
B
1
C
1
+C
1
B
0
=B
1
C
0
+C
0
B
0
以及P′
0
在B
0
P
0
或其延
R
1
长线上，有B< br>0
P
0
=B
0
P′
0
。
P
0
从而可知点P′
0
与点P
0
重合。由于圆弧
Q
1
P
0
的圆心C
0
、圆弧P
0
Q
0
的圆心B
0
以及P
0
在同一直线上，所以圆弧Q
1
P0
和P
0
Q
0
相内切于点P
0
。
（ 2）现在分别过点P
0
和P
1
引上述相应相切圆弧的公切线P
0T和P
1
T交于点T。又过点Q
1
引相应相
切圆弧的公切线R< br>1
S
1
，分别交P
0
T和P
1
T于点R1
和S
1
。连接P
0
Q
1
和P
1Q
1
，得等腰三角形P
0
Q
1
R
1
和 P
1
Q
1
S
1
。基于此，我们可由
∠P
0
Q
1
P
1
=π?∠P
0
Q
1
R
1
?∠P
1
Q
1
S
1
=π?(∠P
1
P
0
T?∠Q
1
P
0
P
1
) ?(∠P
0
P
1
T?∠Q
1
P
1
P
0
)
而π?∠P
0
Q
1
P
1
=∠Q< br>1
P
0
P
1
+∠Q
1
P
1
P
0
，代入上式后，即得
11
?P
0
Q
1
P?
?
?(?PPT??PPT)?PQP?
?
?(?P
，同理可 得
110010011
P
0
T??P
0
P
1
T)
。所以四点
22
7

P
0
、Q
0
、Q
1
、P
1
共圆。
二、（本题满分50分）已知无穷数列{a
n
}满足a
0
=x，a< br>1
=y，
a
n?1
?
a
n
a
n?1
?1
，n=1、2、…。
a
n
?a
n?1
（1） 对于怎样的实数x与y，总存在正整数n
0
，使当n
0
≥n时a
n< br>恒为常数？
（2）求数列{a
n
}的通项公式。
2
an
a
n?1
?1a
n
?1
解：（1）我们有
a
n
?a
n?1
?a
n
?
，n=1、2、…。 ?
a
n
?a
n?1
a
n
?a
n?1< br>（2.1）
所以，如果对某个正整数n，有a
n+1
=a
n
，则必有(a
n
)
2
=1，且a
n
+a
n?1≠0。
如果该n=1，我们得|y|=1且x≠?y。 （2.2）
（2.3）
（2.4）
（2.5）
a
n?1
a
n?2
?1 (a?1)(a
n?2
?1)
，n≥2，
?1?
n?1
a
n?1
?a
n?2
a
n?1
?a
n?2
a a?1(a?1)(a
n?2
?1)
和
a
n
?1?
n?1n?2
，n≥2。
?1?
n?1
a
n?1
?an?2
a
n?1
?a
n?2
如果该n>1，我们有
a< br>n
?1?
22
a
n
?1a?1
?1
将式（2 .3）和（2.4）两端相乘，得
a?1?
，n≥2。
?
n?2
a
n?1
?a
n?2
a
n?1
?a
n?2
2
n
由（2.5）递推，必有（2.2）或|x|=1且y≠?x。 （2.6）
反之 ，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当n≥2时，必有a
n
=常数，且常数是1或－1 。
（2）由（2.3）和（2.4），我们得到
记
b
n
?
a
n
?1a
n?1
?1a
n?2
?1
，n≥2。
??
a
n
?1a
n?1
?1a
n?2
?1
（2.7）
a
n
?1
，则当n≥2时，
a
n
?1
（2.8）
（2.9）
（2.10）
2232
b
n
?
b
n?1
b
n?2
?< br>(b
n?2
b
n?3
)b
n?2
?
b
n?2
b
n?3
?
(b
n?3
b
n?4
)b
n?3
?
b
n?3
b
n?4
??
< br>a?1
y?1
F
n?1
x?1
F
n?2
由此 递推，我们得到
n
?()?()
，n≥2，
a
n
?1y? 1x?1
这里F
n
=F
n?1
+F
n?2
，n≥2 ，F
0
=F
1
=1。
由（2.9）解得
F
n?
11?5
n?1
1?5
n?1
[()?()]
。 < br>22
5
上式中的n还可以向负向延伸，例如F
?1
=0，F
? 2
=1。
这样一来，式（2.8）对所有的n≥0都成立。由（2.8）解得
(x ?1)
F
n?2
(y?1)
F
n?1
?(x?1)
F
n?1
(y?1)
F
n?2
，n≥0。
a
n< br>?
F
n?2
F
n?1
F
n?1
F
n ?2
(x?1)(y?1)?(x?1)(y?1)
式（2.11）中的F
?1
、F
?2
由（2.10）确定。
（2.11）
?
x?y?z? w?2
?
2222
?
x?y?z?w?6
三、（本题满分50分）解 方程组
?
3
。
333
x?y?z?w?20
?
?
x
4
?y
4
?z
4
?w
4
?66
?
解：令p=x+z、q=xz，我们有p
2
=x
2
+z< br>2
+2q，p
3
=x
3
+z
3
+3pq，p
4
=x
4
+z
4
+4p
2
q?2q
2
。同样，令s=y+w、t=yw，
有s
2
=y
2
+w
2
+2t，s
3
=y
3
+w
3
+3st， s
4
=y
4
+w
4
+4s
2
t?2t2
。
在此记号系统下，原方程组的第一个方程为p=s+2。 （3.1）
于 是p
2
=s
2
+4s+4，p
3
=s
3
+ 6s
2
+12s+8，p
4
=s
4
+8s
3
+24s
2
+32s+16。现在将上面准备的p
2
、p
3
、p
4
和s
2
、s
3
、
s
4
的 表达式代入，得x
2
+z
2
+2q=y
2
+w
2< br>+2t+4s+4，x
3
+z
3
+3pq=y
3
+w
3
+3st+6s
2
+12s+8，
x
4
+z4
+4p
2
q?2q
2
=y
4
+w
4
+4s
2
t?2t
2
+8s
3
+24s
2
+32s+16。
利用原方程组的第二至四式化简，得q=t+2s?1， （3.2）
8

pq=st+2s
2
+4s?4，
2p
2
q?q
2
=2s
2
t?t
2
+4 s
3
+12s
2
+16s?25。
将（3.1）和（3.2）代入 （3.3），得
t?
将（3.5）代入（3.2），得
q?
（3.3）
（3.4）
s
?1
，
2
（3.5）
（3.6）
2
5s
?2
，
2
2
将（3 .1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得s=2。所以有t=0，p=4，q=3。
这样一来 ，x、z和y、w分别是方程
X?4X?3?0
和
Y?2Y?0
的两根，即
?
x?3
?
x?1
?
y?2
?
y?0或
?
，且
?
或
?
。详言之，方程组有如下四组解：x= 3，y=2，z=1，w=0；或
?
z?1z?3w?0w?2
????
x= 3，y=0，z=1，w=2；或x=1，y=2，z=3，w=0；或x=1，y=0，z=3，w=2。
注：如果只得到一组解，或者不完整，最多得40分。



2006年全国高中数学联赛加试试题的另解
杜伟杰 （广东仲元中学 511400）

2006年全国高中数学联赛加试第一题
以
B
0
和
B
1
为焦点的椭圆与
?AB
0
B
1< br>的边
AB
i
交于
C
i
(i?0,1)
。在< br>AB
0
的延长线上任取点
?
Q
交
CB
的延长 线于
Q
；以
C
为圆心，
CQ
为半
P
0，以
B
0
为圆心，
B
0
P
0
为半径作 圆弧
P
00
100110
?
P
交
BA
的延 长线于
P
；以
B
为圆心，
BP
为半径作圆弧
?P
1
Q
1
交
B
1
C
0
的延长 线径作圆弧
Q
01
11111
于
Q
1
；以
C
0
为圆心，
C
0
Q
1
为半径作圆弧
Q< br>1
P
0
，交
AB
0
的延长线于
P
0
。
试证：
?
'
'
?
Q
相切于点
P
；
?
Q
与
P
（1） 点
P
0
与点
P
0
重合，且圆弧
P
01
00
0
'
（2） 四点
P
0
、
Q
0
、
Q
1
、
P
（原题图略）
1
共圆。
第（1）问的证明略，下面着重讨论第2问的另一种证明方法：
构思：证明四点共圆，如果能找（或猜 测）到该圆的圆心，转而证明圆心到四点距离相等，也
是一个常用的方法，那么圆心究竟在哪里？ 试验：由题意可以知道：
C
1
B
0
?C
1
B< br>1
?C
0
B
1
?C
0
B
0
=常数（大于
B
0
B
1
）。
利用《几何画板》制作如图1 所示的试验场景，其中圆
O
为四边形
PQ
00
Q
1
P
1
的外接圆。
9

C
1
B
0
= 4.07852 厘米
C
1
B
1
= 1.87466 厘米
C
0
B
1
= 4.61694 厘米
C
0
B
0
= 1.33625 厘米
A
C< br>1
B
0
+C
1
B
1
= 5.95318 厘米
C
0
B
1
+C
0
B
0
= 5.95318 厘米
P
1
C
1
O
C
0
Q
1
B
1
B
0
Q
0
P
0
拖 动点A观察圆心O的位置变化
图1

拖动点
A
，观察圆心
O
位置的变化，猜测点
O
可能是
?AC
1
B
0的内心与
?AC
0
B
1
的内心（这两
个三角形的内心可 能是重合的）。利用《几何画板》中的测量工具测得相关角的度数，可以验证这个
猜想是正确的！
所以我们就有了下面的另解：
证明：首先证明
?AC
1
B
0
的内心与
?AC
0
B
1
的内心重合：
假设这两 个三角形的内心不重合，并设
O
为
?AC
1
B
0
的 内心，
M
、
N
、
F
分别为切点。则可
从点
B
1
引圆
O
的切线与圆
O
切于点
E
、与线 段
AB
0
交于点
D
，而且点
D
与点
C0
不重合，如图2。
由切线性质，可以得到：
A

B
1
E?B
1
M,DE?DN
………………….①
M

C
1
F?C
1
M,B
0
F? B
0
N
………………..②
N

分别将①、②中的等式相加，得到：
O
C
1
F
E
D
C
0

B
1
D?B
1
M?DN
………………………..③
B
1
B
0
C
1
B
0
?C
1
M?B
0
N
……………………. ④
③-④:
B1
D?C
1
B
0
?B
1
M?C
1M?(B
0
N?DN)
图2
∴
DB
1
?DB
0
?C
1
B
1< br>?C
1
B
0

10

又因为
C
0
B
1
?C
0
B
0< br>?C
1
B
1
?C
1
B
0
，∴
DB
1
?DB
0
?C
0
B
1
?C
0
B
0

A
P
1
∴
DB
1?DC
0
?C
0
B
1
，这与点
D
与点
C
0
不重合矛盾，所以
假设不成立，因此：
?AC
1
B
0
的内心与
?AC
0
B
1
的内心重合。 O
设
?AC
1
B
0
、
?AC
0
B
1
的内心为
O
，如图3。
C

1

由于直线
OC< br>0
平分
?AC
0
B
1
，又
C
0Q
1
?C
0
P
0
'
，∴直线
OC0
'
垂直平分线段
P
0
'
Q
1
，∴< br>OP
0
?OQ
1

B
1
B
0
Q
1
C
0
Q
0
同理：
直线
OB
0
垂直平分线段
P
0
Q
0
，∴
OP
0< br>?OQ
0

P
0
直线
C
1
O
垂直平分线段
P
1
?OQ
0
图3
1
Q
0
，∴
OP
直线
B
1
O
垂直平分线段
P
1
Q
1
，∴
OP
1?OQ
1

'
∴
OQ
1
?OQ
0，∴
OP
0
?OP
0

?
Q
相切于点
P
。
?
Q
与
P< br>又点
P
、
P
0
'
都在
AB
0
的延长线上，∴点
P
0
、
P
0
'
重合，且圆弧< br>P
01
00
0
∴
OP
1
?OP
0< br>?OQ
1
?OQ
0

所以四点
P
0
、
Q
0
、
P
1
、
Q
1
共圆



11