2017全国高中数学联赛模拟试题(原创精选,完全doc版)

2017年全国高中数学联赛考前模拟训练（原创精选）
姓名___________班级____________学号_____________
作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师.

一.填空题
1. 已知
?
?
2
?
?
?
?
2
，
2tan
?
?tan2
?
,tan(
?
?
?)??22
，则
cos
?
?
_________.
解 ：
tan2
?
?2tan
?
?2tan(
?
??
?
?
)?
2tan(
?
?
?
)?2 tan
?
?42?2tan
?
tn2
，又
a
?1?tan(
?
?
?
)tan
?
1?22tan
?
?
?

2tan
?
2tan
?
?42 ?2tan
?
3
，从而，化简得
tan
?
??22
，即
tan
?
??2

?
2
2
1?tan
?
1?tan
?
1?22tan
?
又
?

2.(1)已知数列
{a
n
}
满足
a
1
? 5,a
n
?
________.
解：依次计算可得
a
1< br>?5,a
2
?3,a
3
?5,a
4
?3?
， 则数列
{a
n
}
为周期2的数列，从而
?
2
?< br>?
?
?
2
，从而
cos
?
?
3.
3
2a
n?1
?1
(n?2,n?N
*
)
，则其前100项的和是
a
n?1
?2
S
100
? 50?(5?3)?400
.

(2)记
[x]
表示不超过实数< br>x
的最大整数.已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?a
2
?
1
,a
n?1
?2a
n
?a
n?1

2
(n?Z
?
)
.则
[< br>?
k?2
2016
1
]?
_______________.
a
k?1
a
k?1
211

??
左右同除 a
n?1
a
n
a
n?1
aa
n?1
an
a
n
a
n?1n?1
a
n?1
?
解：由于
a
n?1
?2a
n
?a
n?1
?2an
?a
n?1
?a
n?1
20162016
11
?
11
?
11
?
11
?
，从而
?
?
?[]?[?
???
]?

??
a
n?1a
n?1
2
?
a
n?1
a
n
a
n
a
n?1
?
a
k
a
k?1
?
k?2
a
k?1
a
k?1
k?2
2
?
a< br>k?1
a
k
2016
???
1
?
1111< br>[
?
?
?]?[2?
???
]
，显然
{a< br>n
}
单调递增，且
a
2016
a
2017
? 2
，从
?
a
2016
a
2017
?
2a< br>2016
a
2017
?
k?2
2
?
a
1
a
2
k?2
?
2016
1
??
1而
[
?
?
2?
1
，故
[]?1
. < br>?
]?1
aa
2a
2016
a
2017
?< br>k?2
k?1k?1
k?2
?
2016
2016
?< br>2017年全国高中数学联赛考前模拟训练 第1 页共 9页

????????
3.已知点
A(0,1)
，曲线
C:y?log
a
x
恒过点
B
，若
P
是曲 线
C
上的动点，若
AB?AP
的最
小值为2，则实数
a的值为___________
????????
解：由于
A(0,1),B( 1,0)
，则根据向量的投影的定义可知，
AP
在
AB
方向上的投影 的最大
值为
2
，即曲线
C:y?log
a
x
在点< br>B(1,0)
处的切线垂直直线
AB
，考虑到
k
AB
??1
，
又
?
log
a
x
?
'?

11< br>log
a
e
，则
log
a
e?1
，即
a?e
.
x1
|z
2
?z?1|
4.若复数
z
满足
|z|?2
，则的最大值为_____________.
|2z?1?3i|
2
解：由于
|z?z?1|
?
|2 z?1?3i|
|z-
1?3i1?3i
|?|z-|
11?3i
2 2
?|z-|
，由于
|z|?2
，根据复
22
1?3i2|z-|
2
数运算几何意义可知，在圆
x
2
?y
2< br>?4
上的点
Z
与点
(,?
1
2
3
)
的距离的最大值为
3
，故
2
3
|z
2
?z ?1|
最大值为.
2
|2z?1?3i|

5.已知正四棱锥P?ABCD
的五个顶点都有一个球面上.若该四棱锥的体积为
V
，则该球的表面积的最小值为_____________.
解：设正四棱锥的底边长为
a,
高
PH
为
h
，则
ah?V
.设四棱锥的外接球 的球心为
1
3
2
a
2
a
22
O
， 则在
?OBH
中，由于
OH?h?r,OB?r,BH?
，则
r?( h?r)?
，从而
2
2
3V
a
2
2h
2
?
h?
22
h
?
1
h?
3V
?< br>1
(h?h?
3V
)?
3
3
3V
.则 2
?
2h?a
?r?
2h4h4h24h
2
4h
2
4
2
2
?
3
3
?
9
?
2
球的表面积
S?4
?
r?4
?
?
3V
?
?
?
3V
?
3
.
4
?
4?
2
6.已知函数
f(x)?4
?
arcsinx?(arcc os(?x))
的最大值为
M,
最小值为
N
，则
2
M?N?
_____.
解：由于
arccos(?x)?
?
?ar csin(?x)?
?
?arcsinx
，从而
f(x)?4
?arcsinx?(
?
?arcsinx)
2
，从而
22
2
2017年全国高中数学联赛考前模拟训练 第2 页共 9页

令
t?arcsinx?[?
??
,]
， 则
f(x)?4
?
t?(
?
?t)
2
??t
2
?3
?
t?
?
22
24
2
2
,t?[?
??
，显然
,]
22
当
M?N?f(
?
)?f(?
?
)?3
?
2
.
2
x2
y
2
??1
在第一象限上的动点，过点
P
引圆
x
2
?y
2
?9
的两条切线7.点
P
是椭圆169
PA,PB
，切点为
A,B
，直线
AB
与
x
轴，
y
轴分别交于点
M,N
，则
?MON
的面 积最小
值为____________.
解：设点
P(4cos
?
,3sin
?
)
，则直线
AB
的方程为
4cos
?
x3sin
?
y
??1
，即
169
3co
?
sx?
当
?
?
4
?
syin?
，则M(
43
612
,0),N(0,)
，则
S
?MON< br>???12

cos
?
sin
?
sin
?< br>cos
?
sin2
?
?
4
取等号.故
?MO N
的面积最小值为
12
.
150
8.多项式
(1?x?x
2
???x
100
)
3
的展开式在合并同类项后，
x
解：利用多项式展开原理可知
的系数为___________.
(1? x?x
2
???x
100
)
3
?(1?x?x
2< br>???x
100
)(1?x?x
2
???x
100
) (1?x?x
2
???x
100
)
设三个括号中所取的项的次数分别 为
x
1
,x
2
,x
3
，从而
x
1 50
的系数即方程
x
1
?x
2
?x
3
?1 50

且
0?x
1
,x
2
,x
3
?100,x
i
?Z
的不同的解
(x
1
,x
2,x
3
的
)
个数.显然方程组
x
1
?x
2
?x??
3
150(x
1
,x
2
,x
3i
0?x,Z?,i
的解的个数用隔板法即得
1,2,3)
C
15 0?3?1
?C
152
，
22
当存在
x
i
?101(i?1,2,3)
时，不妨设为
x
1
?101
，则?
x
1
?100
?
?(x
2
+1）?（x3
+1）?52(x
1
?101)
的
2
解的个数为C
51
.
综合上述，所求的
x

150
22
的系数为
C
152
?3C
51
?7651
.
??????
????????
1
???
r
???
OC?OA?OB
9.已知
OA
为非零的不共线的向量.设.定义点集
,OB
1?r1?r
????????????????
KA?KCK?BKC
?< br>?
????
}
,当
K
1
,K
2
?M
时，若对任意的
r?2
，不等式
M?{K|
???
|KA| KB||
??????????
|K
1
K
2
|?c|AB|
恒成立，则实数
c
的最小值为______________.
????? ???????????
AC
KA?KCKB?KC
?
?
????< br>，
?r
，不妨设
AC?r,CB?1,
由于
???
解：显然
A,C,B
共线，且
CB
|KA||KB|
2017年全国 高中数学联赛考前模拟训练 第3 页共 9页

则
CK< br>为
?AKB
的角平分线，从而
|KA|
则根据圆的定义可知点
K
的轨迹为圆,在
AB
?r
，
|KB|
的延长线上取一点< br>D
，使得
r?1
|AD|
，从而点
K
在以
C D
为直径的圆
?r
，从而
BD?
r?1
|DB|
? ?????
?
|K
1
K
?
上.由此
c?
?
???
?
|AB|
??????
?
|K
1
K
2
|
?
4
4
?
?
?
.故
c
的最小值为
.
c?
?
???
3
?
| AB|
?
max
3
??????
1?
r?1
?KK|
1
|
2r2
2
|
?
?
2
r?1
?
2
?(r?2)
，从而
?
,
???1
r?1r?1
r?
?
ma
|
x
AB|
r
K
A
r
C
1
B
r+1
r-1
D


10.数列
{a
n
}:a
n?1
?
______,
解：根据图像可知
a
1
?1
.
1
，若对任意 的正整数
n
，均有
a
n?1
?a
n
，则
a
1
的取值范围为
2?a
n

11.甲、乙两人做一种游戏： 连续抛掷一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达
到5次时游戏结束.游戏结束时，如果正面 向上的次数累计达到5次，则甲获胜；否则乙获
胜.那么，抛掷不足9次就决出胜负的概率为_____ _______.
解：先考虑9次结束游戏的情形，则前8次中有4次正面朝上和4次反面朝上， 从而9
2017年全国高中数学联赛考前模拟训练 第4 页共 9页