高中数学讲评课课件 百度-高中数学解三角形摄影定理
2014年广东省高中数学竞赛试题
题 号
得 分
评卷人
复核人
（考试时间：2014年6月21日上午10：00－11：20）
二
一 合
计
9 10 11
注意事项：
1．本试卷共二大题，全卷满分120分。 2．用圆珠笔或钢笔作答。
3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．设集合A?xax?2?0,B?
?
?1,2
?
，满足
A?B
，则实数
a
的所有取值为 ．
2．袋中装有大小、形状相同的5个
红球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，
刚好摸到3个红球的概率是
．
??
?
13
?
??
3．复数
?
2?
2
i
?
??
6n
?
n?N
?
?
的值是 ．
?
1?x?y?3,
4．已知
?
则
2x
2
?3y
的最大值是 ．
??1?x?y?1.
5．已知各项均为正数的等比数列
?
a
n
?
满足：
a
2
?a
3
?14,a
1
a
2
a
3
?343
，则数列
?
a
n
?
的通项公式为 ．
6．已知
?
为锐角，向量
a?
?
cos
?
,sin
?
?
,b?
?
1,?1
?
满足
a?b?
22
，则
3
5
?
??
sin
?
?
?
?
?
．
12
??
7．若方程
x?xy?2y?x?a?0
表示两条直线
，则
a
的值是 ．
8．已知
22
?
2?1
?
21
?a
?b2
，其中
a
和
b
为正整数，则
b
与27的最大
公约数是 ．
1
二、解答题：本大题共3小题，共56分
．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
9．（本题满分16分）
得分
矩形
ABCD
中，
AB?2,AD?4
，
E,F
分别在AD,BC
评卷人
上，且
AE?1,BF?3
，将四边形
AEFB
沿
EF
折起
，使点
B
在
平面
CDEF
上的射影
H
在直线DE
上．求二面角
A?DE?F
的大小．
2
10．（本题满分20分）
得分
xy
??1
的右焦点
F
作直线交椭圆
C
于
评卷人
过椭圆
C:
2516
A、B
两点，已知
AB?8
，试求直线
AB
的方程．
3
22
11．（本题满分20分）
得分
?
1
?
评卷人
已知不等式
?
1?
?
?
n
?
数
a
的取值范围．
4
n?a
?e
对任意正整数<
br>n
都成立，试求实
2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．解：当A??
时，
a?0
；当
A??
时，
A?
??
?
，
?
故应填
?1,0,2
．
31113
C
5
C
13
13
2．解：
P?
，
故应填．
?
14
51
C
18
51
?
2<
br>?
?
a
?
2
??1
或
2
，即
a?2
或
?1
a
6n
?
13
?
??
??
3． 解：?
?cos?isin
?
?cos2n
?
?isin2n
?
?1
，故应填
1
．
?
22
i
??
?
?
33
??
??
y
2
2
2
4．解：令
2x?3y??3b
，则
y?x?b
3
6n
当
x?2,y?1
时，
2x?3y
?
2
?
max
?5
，故应填
5
．
Ox
7
?
2
?
?a
2
?a
3
?
14,
?
a
1
q?a
1
q?14,
?
a<
br>1
?,
5．解：
?
，即
?
，解之
?
3
33
aaa?343.
?
123
?
?
?
a
1
q?343.
?
q?3.
7
a
n<
br>?a
1
q
n?1
??3
n?1
?7?3
n?
2
，故应填
a
n
?7?3
n?2
．
3
6．解：
0?
b
?
22
?
?
2
?
?a?b?cos
?
?sin
?
，即
cos
?
?
?
?
?
，且
0?
?
?
4
3
4
?
3
?
?
?
?
?
45
??
．
sin
?
?
?
?
?1?cos
2
?
?
?
?
?1??
4?
4
?
93
??
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
sin
?
?
??sin
?
???sin
?<
br>?cos?cos
?
?
???????
sin
??
12
?
4
?
6
?
4
?
64
?
6
???
?
?
?
5321151
151
?????
，故应填
?
．
323263
63
22
7．解：令
x?xy?2y?x?a?
?
x?y?m
??
x?2y
?n
?
，则
5
1
?
m??
3
m?n?1
?
?
2
2
?
?
n?
n?2m?0
，解之，故应填．
?
?
3
9
?
?
mn?a
?
2
?
a?
?
9
?
8．解：令
a
n
1?2
?
?
?
1?2??
?
nn
22
，则
a
n?1
?2a
n
?a
n?1
,a
1
?1,a
2
?2
，
2
2
?3
?
?23
?
mod27
?
，
a
3n
?a
n
8a
n
?3
?
?1
?
，
b?a
21
?a
7
?
8a7
?
n
?
?
b,27
?
?
?
a
21
,27
?
?
?
23,27
?
?1<
br>，故应填
1
．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
9．
B
ED
A
A
B
F
C
H
E
D
FC
解：如图1，延长
FE、BA
相交于点
O
,连结
OH
，过
A
作
AG?OH
,垂足
为
G
,则
AG?平面CDEF
，过
G
作
GQ?EH
，垂足为
Q
，连结
AQ
，则由三垂线定理可得
AQ?EH
，
?AQG
为二面角
A?DE?G
的平面角．
?
AGE
与
?BHF
关于点
O
位似，
位似比为
O
E
1
，
GH?2OG
，
BH?3AG
.
3
B
O
G
A
A
Q
E
H
P
D
G
Q
P
H
6
FC
D
B
F
C
图1
图2
如图2，
B
P?
OF3
91
，
PH?PE?BE
2
?BP
2<
br>?5??
；
?
2
2
2
2
如图1，
BH?BP
2
?PH
2
?
22
91
??2
，
AG?
，又图2知
GQ?
，
33
22
，
即
AG?GQ
，于是
?AQ
G?
?
4
故
二面角
A?DE?F
的大小为
10．（
本题满分20分）
3
?
．
4
?
x
1
2
y
1
2
??1
?
?
2516
解：令
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x<
br>2
,y
2
?
，直线
AB
的斜率为
k
，则
?
22
?
x
2
?
y
2?1
?
?
2516
两式相减并整理得
k
y
1<
br>?y
2
16
??
x
1
?x
225
10
3
?
25
?
3
?
25
?
x?x?
得
?x??x
12
1
?
2
???
3
5
?
353
???
由
8?AB?AF?B
F?
32
y
1
?y
2
?
25
2
又
k?
?
15k
解得
k??
x
1
?x
2
10
5
?6
?3
3
2
32
?8
不合题意， 若
k
不存在，则
AB?
5
故所求直线AB
的方程为
y??
11．（本题满分20分）
25
?
x?3
?
．
5
?
1
?<
br>解：由
?
1?
?
?
n
?
n?a
?e
得
a?n?
1
?
1
?
ln
?
1?
?
?
n
?
，令
f
?
x
?
?x?
1
?
1
?
ln
?
1?
?
?
x
?
?
x?0
?
，则
7
1
1?
1
1
x
，
f'
?
x
?
?1??1?
?
1
??
1
?
ln
2
?
1?
?
x
2
?x
?
ln
2
?
1?
?
?
?
x
??
x
?
利用不等式
0?ln
?
1?
?
1
x
2
?
?
1
?
?
?
x
?
1
x
?x
2
?
x?0
?
得
f'
?
x
?
?0
，
11
，则
x?
，
xt?1
从
而
f
?
x
?
?x?
1
?
1
?ln
?
1?
?
?
x
?
?
x?0
?
是减函数，令
t?1?
1
?
lnt?t?11?t
?<
br>1
limf
?
x
?
?lim
?
?
?lim?lim?lim
?
t?1x???t?1
t?1
t?1t?11
lnt
?
tlnt?lnttlnt?t?1
?
lnt?1?
t
?11
?lim??
．
t?1
lnt?1?12
1
故实数
a
的取值范围为
a??
．
2
（珠海市第一中学 傅乐新提供及解答）
1
?1
t
8