2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)

全国高中数学联赛模拟题
一 试

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1．在数列
?
a
n< br>?
中，
a
1
?2
，
a
2
??1，且
a
n?2
?a
n?1
?a
n
，
n ?1,2,?
．则
a
2011
＝ ． 2．
设a，b，c
是正整数，且成等比数列，
b?a
是一个完全平方数，
log
6
a?log
6
b?logc?
6
，则a?b?c?
6
．
3．一列数
a
1
, a
2
,a
3
,?
满足对于任意正整数n，都有
a
1
?a
2
???a
n
?n
3
，则
1
a
2
?1
?
1
a
3
?1
?
??
1
a
100
?1
?
． 1
2
4．设
a??1
，变量
x
满足
x
2
?ax??x
，且
x
2
?ax
的最小值为
?a?
_______．
，则
5．正整数
n?500
，具有如下 性质：从集合
?
1,2,?,500
?
中任取一个元素m，
则m整除 n的概率是
1
100
，则n的最大值是 .
6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . < br>7．一个直径
AB?2
的半圆，过
A
作这个圆所在平面的垂线，在垂线 上取一
点
S
，使
AS?AB
，
C
为半圆上一个动点 ，
N,M
分别为
A
在
SC,SB
上的射影．当
三棱 锥
S?AMN
的体积最大时，
?BAC?
_________．
8 ．直线
y?kx?2
交抛物线
y
2
?8x
于
A,B
两点，若
AB
中点的横坐标为
2
，
则
AB?
.

二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）
9.（本 小题满分16分）设
x,y,z?
?
1，??
?
，证明不等式 (x?2x?2)(y?2y?2)(z?2z?2)?(xyz)?2xyz?2
2222
．





10.（本小题满分20分）已知双曲线
C
：
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
（
a?0
，
b?0
）的离
心率为2 ，过点
P(0，m)
（
m?0
）斜率为1的直线
l
交双曲线
C
于
A
、
B
两点，
?????????????? ??
且
AP?3PB
，
OA?OB?3
．
（1）求双曲线方程；
（2）设
Q
为双曲线
C
右支上动点 ，
F
为双曲线
C
的右焦点，在
x
轴负半轴
上是否存 在定点
M
使得
?QFM?2?QMF
？若存在，求出点
M
的 坐标；若不存
在，请说明理由．







11.（本小题满分20分） 设
x
1
,x
2
,?,x
n
,?
是不同的正实数.证明：
x
1
,x
2
,?,x
n
,?
是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数< br>n(?2)
x
1
x
2
n?1
，都有
?k?1
x
n
2
x
k
x
k?1
?
x
n
?x
1
x?x
2
2
22
2
1
.

加 试

1. （本题满分40分）实数a使得对于任意实数
x
1
,x
2,x
3
,x
4
,x
5
，不等式
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?a (x
1
x
2
?x
2
x
3
?x
3< br>x
4
?x
4
x
5
)
22222

都成立，求a的最大值．








2. （本题满分40分）在直角三角形ABC中，
?B?90?
，它的内 切圆分别
与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连
接PC，PE，PF．已知
PC?PF
，求证：
PE
∥
BC
．


A
P
F
B
C













E
D

3．（本题满分50分）对正整数n，记
f( n)
为数
3n
2
?n?1
的十进制表示的数
码和．
(1) 求
f(n)
的最小值；
(2) 是否存在一个正整数n，使得
f(n)
=100？






4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任< br>取n个点
A
1
,A
2
,?,A
n
，则在C
n
2
个角
?A
i
OA
j
(1?i? j?n)
中，至少有2011个不
超过
120?
．

参考答案
一 试
1. 0．
因为
a
1
?2
，
a
2
??1
，
a
3
?3
，
a
4
?4
，
a< br>5
?1
，
a
6
?3
，
a
7
?2
，
a
8
?1
，
a
9
?1
，< br>a
10
?0
，
a
11
?1
，
a12
?1
，
a
13
?0
，…．所以，自第8项起，每三 个相邻的项周
期地取值1，1，0，故
a
2011
=0．
2． 111．
由题意，
b
2
?ac
，
log
6
abc?6
，所以，
abc?6
6
，故
b?6
2
?36
，
ac?36
2
．
于是，36－a是平方数，所以，a只可 能为11，20，27，32，35，而a是
36
2
的约数，故
a?27．进而，
c?48
．所以，
a?b?c?111
．
3．
33
100
．
当
n?2
时，有
a
1
?a
2
???a
n
?n
3
，
3
a
1
?a
2
???a
n?1
?(n?1 )
，
两式相减，得
a
n
?3n
2
?3n?1
，
所以
1
a
n
?1
1
a
2
?1
1
3
1
3
(1?
(1?
?
111
?(?),n3n(n?1)3n?1n
1
a
3
?1
1
a
1 0
1
?2,
?
3

,
故
?
?
?
1
2
?
?
?
?1
0

)?
1
111111
(?)???(?)

323399100
33
100100
)?
．
4．
?
3
2
．
2
由
a??1
及
x? ax??x
得：
0?x??(a?1)
，设
f(x)?x?ax?(x?)?
2
2
a
2
a
2
4
．
若
?(a?1)??
a
2
，即
?2?a??1
，则
f(x)< br>在
x??(a?1)
处取最小值

f(?a?1)?a?1
，因此
a?1??
a
2
1
2
，
a??
3
2
．
a
2
若
?(a?1)??
a
2，即
a??2
，则
f(x)
在
x??
处取最小值
?
a
2
4
，因此
?
4
??
1
2
，
a??2
（舍去）．
5． 81.
?
由题设知，n恰 有5个约数.设n的质因数分解是
n?p
1
?
?p
k
，则n 的约数
1
k
个数为
(
?
1
?1)?(
?< br>k
?1)
，所以
(
?
1
?1)?(
?
k
?1)
＝5，故n具有
p
4
的形式，而
3?81,5? 625?500
，故
44
n的最大值为81.
6． 2
2010
．
令f(x)=(1+x)(1+x
2
)(1+x3
)…(1+x
2011
),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x
的奇次项的系数和．故所求的答案为(f(1)－f(－1))=2
2010
.
2
1
7．
arccos
3
3
．
易知BC?面SAC
，所以
BC?AN
，从而
AN?面SBC
，所以
AN?SM
，因
此
SM?面AMN
．
V
S?AMN
?
1
3
?SM?S
?ANM
，由
SA?AB?2< br>得：
AM?SM?2
，
而
AN?NM
，
?AMN为斜边长为
2
的直角三角形，面积最大在
AN?MN?1
时
取到 ，此时，
?BAC?arccos
8．
215
．
设
A< br>?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，由
y?
y
1
?y
2
?
8
k
, yy
1
?
2
?
16
k
3
3
． < br>ky
8
2
?2
，即
ky?8
2
y?16?< br>，
0
所以，
，因此
?
?
8
k
?y< br>1
?y
2
?k
?
x
1
?x
2
?
?4?4k?4
，即
k?k?2?0
，
2
因直线
y?kx?2
过
?
0,?2
?
和
?
2,
y?8x
，解得
A2?
2
y
1
?y
2
?< br>?
，则
k?0
2
?
，于是
k?2
，再由y?2x?2
，
?
3, 2?23, B2?
??
3, 2?23
?
，所以
AB?215
．

9.注意到
x?1,y?1
，所以
(x?2x?2)(y?2y?2)?((xy)?2xy?2)

222
222


?(?2y?2) x?(6y?2y?4)x?(2y?4y?2)
??2(y?1)x(
2
?y(?2 x)?

y1?)
??2(y?1)(x?1)(x?y?1)?0
，
所以
(x?2x?2)y(?
22
2y?2?)x (y
2
?)x2y
．
?

2
同理，因为
xy?1,z?1
，所以
((xy)?2xy?2)(z?2z?2)?(xyz)?2xyz?2
．
222
10.（1）由双曲线离心率为2知，
c?2a
，
b?3a
，双曲线 方程化为
x
a
2
2
?
y
2
2
3a
?1
．
又直线
l
方程为
2
?
x
2
y
??1
?
y?x?m
．由
?
a
23a
2
，得
?
y?x?m
?
2x?2mx?m?3a?0
．
222
①
?m?3a
2
22
y
1
)
，
B(x
2
，y
2
)，则
x
1
?x
2
?m
，
x
1
x
2
?
设
A(x
1
，
．
??????? ?
m?y
1
)?3(x
2
，y
2
?m)
，
x
1
??3x
2
． 因为
AP?3PB
，所以
(?x
1
，
结合
x
1
?x
2
?m
，解得
x
1
?
3
4
?m?3a
2
22
3
2
m
，
x
2
??
1
2m
．代入
x
1
x
2
?
?m?3a
2< br>22
，得
?m?
2
，化简得
m
2
?6a2
．又
????????
OA?OB?x
1
x
2?y
1
y
2
?x
1
x
2
?(x
1
?m)(x
2
?m)
2222

?2x
1x
2
?m(x
1
?x
2
)?m?m?3a?3a，????????
且
OA?OB?3
．
2
所以
a2
?1
．此时，
m?6
，代入①，整理得
2x?26x?9?0
，显然该方

程有两个不同的实根．
a
2
?1
符合要求．
故双曲线
C
的方程为
x?
2
y
23
?1
．
（2）假设点
M
存在，设
M(t，0)
．由（1）知，双曲线右焦点为
F(2，0)
．设
Q(x
0
，y
0
)
（
x
0
? 1
）为双曲线
C
右支上一点．
y
0
x
0
?2
当
x
0
?2
时，
tan?QFM??k
QF< br>??
，
tan?QMF?k
QM
?
y
0
x< br>0
?t
，因为
?QFM?2?QMF
，所以
?
y< br>0
x
0
?2
2?
?
1?(
y
0x
0
?t
y
0
x
0
?t
)
2
．
将
y
0
2
?3x
0
2
?3
代入，并整理得，
?2x
0
2
?(4?2t)x
0
?4t??2x
0
2
?2tx
0
?t
2
?3
．
?
4?2t??2t
于是
?
，解得
t??1
．
2
?
?4t?t?3
当
x
0
?2
时，
?QFM?90
0
，而
t??1
时，
?QMF?45
0
，符合
?QFM?2?Q
．
M

F
所以
t??1
符合要求．满足条件的点
M< br>存在，其坐标为
(?1，0)
．

11.必要性：若
x< br>1
,x
2
,?,x
n
,?
是一个等比数列，设
x
k
?ar
k?1
，则
x
1
x
2n?1
?
k?1
x
n
2
x
k
x
k?1
?
r
2(n?1)
n?1
r
?
k?11
r
2k?1

r
2(n?1)
2

?1?r?
?
?r
x
n
?x
1
2
22
2
22(n?2)
?
?1
r?1

＝
x
2
?x
1
.

充分性：当n＝2时，两边都等于1.当n＝3时，有
2222
x
3
?
x
3
?x
1
x
1
?
x
3?
，
??
?
22
x
2
?
x
1
x
2
x
2
x
3
?
x
2
?x
1

化简得
x
1
x
3
?x
2
2
，所以，
x
1
,x
2
,x
3
成等比数列.
假设
x
1
,x
2
,
?
, x
n?1
成等比数列（
n?4
），记
x
k
?ar< br>k?1
，
k?1,2,?,n?1
，
x
n
?aun
，则
22
u
n
?
1111
?
u< br>n
?1
，
?
?
3
?
?
?
2n?5
?
n?2
?
?
2
r
?
rrrru
n
?
r?1
2242n?6n?322n?4
，
?
u
n
?
(r
2
?1)?(u
n
(1?r?r?< br>?
?r)?ru?1)r
n
??
u
n
?(r
2n?1
?r
n?1
n?3
)u
n
?r
2n?4< br>?0
，
?
u
n
?r
??
u
n?r
n?3
?
?0
，
因为
u
n
?0
，所以
u
n
?r
n?1
，即
x
n
?ar
n?1
，从而
x
1
,x
2
,?,x
n
成等比数列.由数学归
纳法知，
x
1
,x
2
,? ,x
n
,?
是一个等比数列.

加 试

1． a的最大值为
23
3
．
2
3
因为当
x
1
?1,x
2
?3,x
3
?2,x
4
?3,x
5
?1
时，得
a?
2
3
2
．
又当
a?
2
时，不等式恒成立．事实上
222
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5

22
2222
?
2
x
2
?
?
2x
2
x
3
??
x
3
2x
4
?
?
x
4
2
?
?
?
x
1
???? ???x
???
??
?
5
?
332233
???
?
???
?


?
2
3< br>x
1
x
2
?
2
3
x
2
x< br>3
?
2
3
x
3
x
4
?
2< br>3
，
5
xx
4
所以，a的最大值为

23
3
．
2．连接DE，DF，则△BDF是等腰直角三角形．于是
?FPD??FDB?45?
，

故
?DPC?45?
．又< br>?PDC??PFD
，所以△PFD ∽ △PDC，所以

PF
FD
?
PD
DC
． ①
又由
?AFP??ADF
，所以，△AFP ∽ △ADF，△AEP ∽
?AEP??ADE
，
△ADE，于是
EP
DE
?
AP
AE
?
AP
AF
?
FP
DF
EPP D
?
DEDC
，故由①得
． ②
因为
?EPD??EDC
，结合②得，△EPD ∽ △EDC，所以，△EPD也是
等腰三角形，于是
?PED??EPD??EDC
，所以，
PE
∥
B C
．
A
P
F
B
C
E
D



3．（1）由于
3n
2
?n?1
是大于3的奇 数，故
f(n)?1
．
若
f(n)?2
，则
3n
2
?n?1
只能为首位和末位为1，其余数码为0的一个数，
即
3n
2
?n?1
=
10
k
?1
，k是大于1的整数．于是
n(3n?1)?2
k
?5
k
，由于
?
n,3n?1?
?1
，
k
?
?
n?2,
所以
?k
?
?
3n?1?5,
于是
3n?1?4n?4?2
k
?5
k
，矛盾！故
f(n)?2
．
又当n=8时，3n
2
?n?1
=201，所以
f(8)?3
．
综上所述，
f(n)
的最小值为3.
（2）事实上，令
n?10
k
?1
，则
3n?n?1?3?10
22k
99500003
，
?5?10? 3
?299
??
?
?????
?
???
k?1k? 1
k
他的数码和为
2?9(k?1)?5?3?9k?1
．
由于1 00=9×11+1，所以，取
n?10
11
?1
，则
f(n)=100.

4．首先，当n＝90时，如图，设AB是圆O的直径，< br>在点A和B的附近分别取45个点，此时，只有
2C
45
?45?44?198 0
个角不超过
120?
，所以，n＝90
2
不满足
A
O
B
题意．
当n＝91时，下面证明至少有2011个角不超过
120?
．
把圆周上的 91个点
A
1
,A
2
,?,A
91
看作一个图的9 1个顶点，
v
1
,v
2
,?,v
91
，若
?A
i
OA
j
?120?
，则在它们对应的顶点
v
i
,v
j
之间连一条边，这样就得到一个图G．
设图G中有e条边，易知，图中没有三角形．
2
若e＝0，则有
C
91
?4095?2011
个角不超过
120?
，命题得证．
若< br>e?1
，不妨设顶点
v
1
,v
2
之间有边相连，因为 图中没有三角形，所以，对
于顶点
v
i
(i?3,4,?,91)
， 它至多与
v
1
,v
2
中的一个有边相连，所以
d(v
1
)?d(v
2
)?89?2?91
，
其中
d(v)
表示顶点v的度，即顶点v处引出的边数．
因为
d( v
1
)?d(v
2
)???d(v
91
)?2e
， 而对于图G中的每一条边的两个顶点
v
i
,v
j
，都有
d( v
i
)?d(v
j
)?91
，于是，上式对每一条边求和可得 (d(v
1
))?(d(v
2
))???(d(v
91
))?91e
222
，
由柯西不等式
91[(d(v
1
))?(d(v
2
))???(d(v
91
))]?[d(v
1)?d(v
2
)???d(v
91
)]?4e
22222
，
所以
91
4
2
4e
2< br>91
?(d(v
1
))?d(v
2
(
22
? )?)?dv(
91
(?)e)
，
91
2
故
e? ?2071
，所以，91个顶点中，至少有
C
91
?2071?2024?2 011
个点对，
2
它们之间没有边相连，从而，它们对应的顶点所对应的角不超过120?
．
综上所述，n但最小值为91．

目 录

第1讲 集合与函数综合问题
第2讲 三角函数与反三角函数
第3讲 等差数列与等比数列
第4讲 递归数列
第5讲 不等式
第6讲 数学归纳法
第7讲 复数
第8讲 平面几何问题(1)
第9讲 平面几何问题(2)
第10讲 立体几何
第11讲 解析几何
第12讲 数论问题
第13讲 组合问题
第14讲 计数问题
全国高中数学联赛模拟题（1）
全国高中数学联赛模拟题（2）
全国高中数学联赛模拟题（3）
全国高中数学联赛模拟题（4）

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