2010全国高中数学联赛吉林省初赛试题答案(1)

2010年高中数学联赛（吉林赛区）预赛
一、选择题
1．已知
O
为
?ABC
内一点，若对任意
k?R
，有
|OA?OB?k BC|?|AC|,
则
?ABC
一定
是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
2．已知
f (1,1)?1,f(m,n)?N*(m,n?N*)
，且对任意
m,n?N*
都有
①
f(m,n?1)?f(m,n)?2
；②
f(m?1,1)?2f(m, 1)

则
f(2010,2008)
的值为（ ）
A．
2
2009
?2007
B．
2
2009
?4014
C．
2
2010
?2007
D．
2
2010
?4014

2
3．已知函数
f( x)?x?4x?3
,集合
M?{(x,y)|f(x)?f(y)?0}
,集合 < br>N?{(x,y)|f(x)?f(y)?0}
,则在平面直角坐标系内集合
M?N所表示的区域的面积
是 （ ）
A.
??
B. C.
?
D.
2
?

42
4. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为
a
的正三角形，这样的两个
m
多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积
m?n
等于（ ）
n
A．3 B．4 C．6 D．12
5．设函数
f(x)
满足下列条件：
①
f(x)
是定义在R上的奇函数；
②对任意的
x
1,x
2
?[1,a]
（其中常数
a?1
），当
x
2
?x
1
时，有
f(x
2
)?f(x
1
)?0.

则下列不等式不一定成立的是 （ ）
A．
f(a)?f(0)

C．
f(

1?3a
)?f(?3)

1?a
1?a
)?f(a)

2
1?3a
D．
f()?f(?a)

1?a
B．
f(
6.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所 占的
比为（ ）
A．
8412
B． C． D．
21211267

二、填空题

1

?
3
x
,x?2
1．已知函数
f(x)?< br>?
，则
f(2?log
3
2)?
_________． ?
f(x?1),x?2
2．不等式
x?
1
?a?2?1
对一切非零实数
x
均成立,则实数
a
的最大值是_________． < br>x
nnn?1
3．已知
(ax?1)?a
n
x?a
n ?1
x?
?
?a
1
x?a
0
(n?N*),

点列
A
i
(i,a
i
)
(i?0,1,2,? ,n)
部分图象如图所示，则实数
a

的值为________．






4．若
Bx?sinx?Ax
(A,B为常数）
对
0?x?
?
2
恒成立，则常数
B?A< br>的最小值为
的最大值为
_________
；对任意锐角
?ABC，均有
sinA?sinB?sinC?M
成立，则
M
________ _
．
5．已知圆
O
的半径为1，半径
OA
、
OB
夹角为
?
?
0?
?
?
?
?
，?
为常数，点
C
为圆上动
点，若
OC?xOA?yOB
(
x,y?R
)，则
x?y
的最大值为
_________
．
6.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间
[0,4]对应的线
段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程
称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，
等 等）.那么原闭区间
[0,4]
上（除两个端点外）的点，在第
n
次操作完成 后（
n?1
），恰
好被拉到与4重合的点所对应的坐标为_____________ ______________．

?

?

0
2
三、解答题
?
4
x
2
3x?y
?;
1．（1）设
x?0,y?0,
求证：
x?y4
x
3
y
3
z
3
xy?y z?zx
???.
（2）设
x?0,y?0,z?0,
求证：
x? yy?zz?x2
2．已知数列
{a
n
}满足a
1
?a(a ?0,且a?1),前n项和为S
n
,且S
n
?
a
(1?a
n
).

1?a
2

记
b
n
?a
n
lg|a
n
|(n?N),当a??
*
7
时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，
3
都有
bn
?b
m
？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
3．如图 ，四边形
ABCD
的两条对角线相交于点
O
，
?DCO
的平 分线
CQ
交线段
OD
于
Q
，
连接
AQ，作
OM?BC于M，ON?AQ于N.
且
P
为
AB
边 的中点，
OA?

OC?CD
D

求证：
PM?PN.


Q

C



N

O



M

A





P




B




4． 在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：
（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算 一次）恰好为100个整点（横纵坐标均为整数的
点称为整点）
问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由．














OB?OD

3

参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．C
提示：由已知可得
M
={（x
,
y
)|
f
(
x
)+
f
(
y
)≤0}=
22
{(
x
,
y
)|(< br>x
-2)+(
y
-2)≤2},
N
={(
x
,
y
)|
f
(
x
)-
f
(
y)≥0}
={(
x
,
y
)|(
x
-
y
)(
x
+
y
-4)≥0}.
?
?
(x ?2)
2
?(y?2)
2
?2
则
M
∩
N
=
?

?
(x?y)(x?y?4)?0?
作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，
即为
1
2
π·（
2
）=π，故应选C.
2
4．C
提示：利用等体积法，可以求出
5．C
6．D 4
任选4点，共有
C
10
?210
个凸四边形，其中梯形的两条 平行边可以从5组平行于直径的5
m2
?
，所以
m
·
n等于6
n3
条平行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形 ，梯形共有
60个，所以，梯形所占的比为


二、填空题
1．6
2．
3
。
3．
2
．
7
1

3
2
； 2 4．
1?
?
1
5．．
?< br>cos
2
j
n
6.
n?2
,这里j为[1,2]中的 所有奇数

2

三、解答题
x
2
3x?y
?;
1．（1）设
x?0,y?0,
求证：
x?y4

4

x
3
y
3
z
3
xy?yz?zx
??? .
（2）设
x?0,y?0,z?0,
求证：
x?yy?zz?x2
x
2
3x?y(x?y)
2
x
2
3x?y
??? 0

??
.
证明：（1）
?
x?y44(x ?y)x?y4
x
3
3x
2
?xy
?.
（2）由 （1）得
x?y4
y
3
3y
2
?yz
z
3
3z
2
?zx
?,
?,
类似的
y?z4
z?x4
x
3
y
3
z
3
3x
2
? xy?3y
2
?yz?3z
2
?zx
????
x?yy?z z?x4
3(x
2
?y
2
?z
2
)?xy?yz? zx
?
4
3(xy?yz?zx)?xy?yz?zx
?
4
xy?yz?zx
?
2

2．已知数列
{a
n
}满 足a
1
?a(a?0,且a?1),前n项和为S
n
,且S
n
?
记
b
n
?a
n
lg|a
n
|(n?N ),当a??
*
a
(1?a
n
).

1?a
7
时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，
3
都有
b
n
?b
m
？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。
解：当
n?2时,S
n
?
aa
(1?a
n
),S
n?1< br>?(1?a
n?1
)
，
1?a1?a
aa
?an
?S
n
?S
n?1
?[(1?a
n
)?(1 ?a
n?1
)]?(a
n?1
?a
n
)
，
1?a1?a
即
a
n
?aa
n?1
.又a
1?a?0
，
所以，
{a
n
}是首项和公比都为a
的等比数列。
an
?a
n
,b
n
?a
n
lg|a
n< br>|?na
n
lg|a|.

7
?(?1,0),则lg|a|?0.

3
所以,当n为偶数时, b
n
?na
n
lg|a|?0;n为奇数时,b
n
?0.< br>又a??
可见，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数。

5