关键词不能为空

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长春市名校2020年新高考高二数学下学期期末复习检测试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 12:44
tags:全国高中数学竞赛

高中数学矢量计算-初中高中数学的异同

2020年9月21日发(作者:邬强)



同步测试
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.若复数
z
满足
(1?2i)z?1?i
,则复数
z
为( )
A

13
?i

55
B

?
13
?i

55
C

13
?i

55
D

?
13
?i

55
2< br>.设
f(x)
是定义在
R
上的偶函数,对
x?R
,都 有
f
?
x?2
?
?f
?
x?2
?
,且当
x?[?2,0]
时,
1
f
?
x
?
?()
x
?1
,若在区间
?
?2,6
?
内关于x
的方程
f
?
x
?
?log
a
?x?2
?
?0
?
a?1
?
恰好有三个不同的实
2
数根,则
a
的取值范围是( )
A

?
2,??
?
B

?
1,2
?
C

?
3
4,2

?
D

(
3
4,2]

3
.若复数
z
满足
(z2 ?i)? 5i
,则复数
z
的虚部为
.
A

-2 B

-1 C

1 D

2.
4
.已知 函数
y?f
?
x
?
的图象在点
M(1,f(1))
处的切线方程是
y?
A

0 B

1
2
1
x
+2,

f
?
1
?
?f
?< br>?
1
?
的值等于
( )
2
D

3 C

5

2
5
.若函数
f
?
x
?
?lnx

g
?x
?
??x?
?
4?a
?
x?2a?4
?a?R
?
图象上存在关于点
M
?
1,0
?
对称 的点,
则实数
a
的取值范围是()
A

?
0,??
?
B

?
,??
?

?
1
?
e?
?
C

1,??
?

?
D

?
e,??
?

6
.体育 场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )
A
.12种
B
.7种
C
.24种
D
.49种
7
.已知
i
是虚数单位,
i
2
??1
,则计算
A

1?i
B

?1?i

2i
的结果是()
1?i
C

1?i
D

?1?i
8
.一个单位有职工
800
人,其中具有高级职称的
160
人, 具有中级职称的
320
人,具有初级职称的
200
人,其余人员
12 0

.
为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为
40
的样本
.
则从上
述各层中依次抽取的人数分别是





A

12,24,15,9 B

9,12,12,7 C

8,15,12,5 D

8,16,10,6
9
.从
1

3

5
中任取
2
个不同的数字,从
0

2

4
中任取
2
个不同的数字,可以组成没有重复数字的
四位偶数的个数 为( )
A

96
B

54
C

108
D

78

10
.若函数< br>f(x)?ax?lnx

(1,??)
上是增函数,则实数
a
的取值范围是( )
A

(??,1)
B

(??,1]
C

(1,??)
D

[1,??)



11
.某 公司的班车在
7:30

8:00

8:30
发车,小明在
7:50

8:30
之间到达发车站乘坐班车,且到达发车
站的时刻 是随机的,则他等车时间不超过
10
分钟的概率是

A

1

3
1
2
B

x
1

2
C

2

3
D

3

4
12
.集合
M?{x|()?1},N?{x|y?lg(x?2)},则
M?N
等于( )
A

?
0,??
?
B

?
?2,0
?
C

?
?2,??
?
D

?
??,?2
?
?
0,??
?

二、填空题:本题共4小题
13
.直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,若
CA?a,CB?b,CC
1
?c
,则
BA
__________

1
?
14.若
a?b?1

a,b?R
?
?
?
,则1
a
?
1
的最小值为
__________

b
15
.一个总体分为
A

B
两层,其个体数之比为4

1
,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为
10
的样
.
已知
B
层中甲、乙都被抽到的概率为
1
,则总体中 的个体数为
_____


28
0
?
处的切线方程为
__________
.
16
.曲线
y?lnx
在点
?
1,
三、解答题:解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.已知抛物线
x
2
?4y
的焦点为
F,
A,B
抛物线上的两动点,且
AF?
?
FB
,过
A,B
两点分别

?
>0)
作抛物线的 切线,设其交点为
M
.
(1)证明:
FM?AB
为定值;
(2)设
AMB
的面积为
S
,写出
S=f
?
?< br>?
的表达式,并求
S
的最小值.
18
.某校为“中学数学联 赛”选拔人才,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:分数不小于本次考试成绩中
位数的具有复赛资格,某 校有900名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间
?
30,150
?
内 ,其频率分布
直方图如图.

(1)求获得复赛资格应划定的最低分数线;
(2)从初赛得分在区间
?
110,150
?
的参赛者中,利用分层抽样的 方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那
么从得分在区间
?
110,130
?

?
130,150
?
各抽取多少人?
(3)从(2)抽 取的7人中,选出4人参加全市座谈交流,设
X
表示得分在
?
110,130
?
中参加全市座谈交



流的人数,学校打算给这4 人一定的物质奖励,若该生分数在
?
110,130
?
给予500元奖励,若 该生分数在
?
130,150
?
给予800元奖励,用Y表示学校发的奖金数 额,求Y的分布列和数学期望。
e
x
?1
.
19
.(< br>6
分)已知函数
f(x)?
x
e?1
(I)若
f(a )?2
,求实数
a
的值;


)判断
f(x)
的奇偶性并证明;

)设函数
g(x)?
2
?kx
2
?1
(k?R)
,若
g(x)

(0,??)
上没有零点,求
k
的取值范 围
.
f(x)?1
20
.(
6
分)已知数列
?< br>a
n
?
满足
a
n?1
?
(1)求
a
1

a
n

1
a
n
(n?N< br>?
)
,且
a
3
?1

3
(2)设< br>b
n
?log
3
n
求数列
?
b
n< br>?
的前n项和
S
n

a
21
.(
6
分)已知函数
f(x)?
1
2
ax?lnx?2(a?R)

2
(1)当
a?1
时,求曲线
f(x)
在点
(1, f(1))
处的切线方程;
(2)讨论函数
f(x)
的单调性.
22
.(
8
分)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队
3
人,每人回答一 个问题,答对者为本队赢得一分,
答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
相互之间没有 影响
.

ε
表示甲队的总得分
.


)求随机变量
?
分布列;

(Ⅱ)

A
表示

甲、乙两个队总得分之和等于
3 ”
这一事件,用
B
表示

甲队总得分大于乙队总得分
这一事
件,求
P(AB).
2
221
,乙队中
3人答对的概率分别为
,,
且各人正确与否
332
3



参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1

D
【解析】

【分析】

把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.



【详解】


?
1?2i
?
z?1?i



z?
?
1?i
??
1?2i
?
??
1
?
3
i
1?i
?


1?2i
?
1 ?2i
??
1?2i
?
55
故选
D

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
2

D
【解析】

?
1
?
由< br>f(x?2)=f(x+2),
可得函数的周期
T=4,

x∈[?2 ,0]

,
f
?
x
?
?
??
?1


?
2
?
∴可得
(?2,6]
的图象如下:
x

从图可看出
,
要使
f(x)
的图象与
y=log
a
(x+2)
的图象恰有
3
个不同的交点,
?
?
log
a
?
2?2
?
?3
则需满足?


log6?2?3
??
?
?
a
求解不等式组可得
a
的取值范围是
本题选择D选项.
3

D
【解析】

【分析】

根据复数除法的运算法则去计算即可
.
【详解】

因为
(z2 ?i)? 5i
,所以
z?
故选
D.
?
3
4,2
?
?
.
5i
?
2? i
?
5i
??1?2i
,虚部是
2

2?i
?
2?i
??
2?i
?



【点睛】

本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判 断,难度较易
.
复数除法运算时,注意利用平方差公式的
形式将分母实数化去计算
4

D
【解析】

【分析】

根据导数 定义,求得
f
?
?
1
?
的值;根据点在切线方程上,求得< br>f
?
1
?
的值,进而求得
f
?
1
?
?f
?
?
1
?
的值。

【详解】


M(1,f(1))
在切线上,所以
f(1)?
根据导数几何意义 ,所以
f'(1)?
所以
f(1)?f'(1)?
所以选
D
【点睛】

本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义,属于基础题。
5

C
【解析】

【分析】

首先求< br>g
?
x
?
关于点
M
?
1,0
?的函数,转化为其与
y?lnx
有交点,转化为
a?x?

y? x?
【详解】


P
?
x,y
?
关于M
?
1,0
?
的对称点是
P
?
?
2? x,?y
?

g
?
x
?
??x?
?
4?a
?
x?2a?4

上,
2
15
?1?2?

22
1

2
51
??3

22
lnx
,这样
a< br>的范围就
x
lnx
的范围,转化为利用导数求函数的取值范围的问题
.
x
?y??
?
2?x
?
?
?
4?a
??
2?x
?
?2a?4?y?x
2
?ax

根据题意可知,
y?lnx

y?x?ax
?
a?R
?有交点,
2
2

lnx?x?ax?a?x?

y? x?
2
lnx

x
lnx

?
x?0
?

x
x
2
?1?lnx

y
?
?
2
x

h
?
x
?
?x?1?lnx
?
x?0
?

2
h
?
?
x
?
?2x?
1
?0
恒成立,

x



?h
?
x
?

?
0,?
?
?
是单调递增函数,且
h
?
1
?
?0< br>,
?h
?
x
?

?
0,1
?h
?
x
?
?0
,即
y
?
?0

?
1,??
?

h
?
x
?
?0

,即
y
?
?0


y?x?
lnx

?
0,1
?
单调递减,在
?
1,???
单调递增,
x
所以当
x?1
时函数取得最小值
1


y?1


?a
的取值范围是
1,??
?
.
?
故选
C.
【点睛】

本题考查了根据函数的零点求参数 取值范围的问题,有
2
个关键点,第一个是求
g
?
x
?关于
M
?
1,0
?
对称
的函数,根据函数有交点转化为
a?x?
lnx

x?0
,求其取值范围的问题,第二个关键点是在 判断函数
x
单调性时,用到二次求导,需注意这种逻辑推理
.
6

D
【解析】

第一步,他进门,有
7
种选择;第二步,他出门,有
7
种选择.根据分步乘法计数原理可得他进出门的方
案 有
7×7

49(

)


7

A
【解析】

【分析】

根据虚数单位
i
的运算性质,直接利用复数代数形式的除法运算化简求值.
【详解】

解:
i
2
??1

?
2i2i(1?i)2?2i
???1?i

1?i(1?i)(1?i)2
故选
A

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
8

D
【解析】

4011
??8
,中 级职称抽取的,所以高级职称抽取的人数为
160?
8002020
111
? 16
,初级职称抽取的人数为
200??10
,其余人员抽取的人数为
120 ??6
,所人数为
320?
202020
试题分析:由题意,得抽样比为



以各层中依次抽取的人数分别是
8
人,
16
人,
10
人,
6
人,故选
D


考点:分层抽样.

n
1
n
2
每层中抽取的个体数 量样本容量
??


,即

【方法点睛】分层抽样满足
N
1
N
2
本层的总个体数量总体数量
?
n< br>或
N
n
1
:n
2
::n?N
1
:N
2
::N

,据此在已知每层间的个体数量或数量比,样本容量,总体数量中 的两个
时,就可以求出第三个.

9

A
【解析】

【分析】

根据选取的两个偶数是否包含
0
分为两种情况,种数相加得到答案
.
【详解】

2213
选取的两个偶数不包含
0
时:
C
3
?C
2
?C
2
?A
3
?36

2132
选取的两个偶数包含
0
时:
C
3
?C2
?(A
3
?2?A
2
)?60

故共有
96
个偶数
答案选
A
【点睛】

本题考查了排列组合,将情况分类可以简化计算
.
10

D
【解析】

【分析】

由题意得
f?
?
x
?
?a?
【详解】
< br>∵
f(x)?ax?lnx
,∴
f
?
(x)?a?
1
?0

(1,??)
上恒成立,利用分离参数思想即可得出结果.
x
1

x
又∵函数
f(x)?ax?lnx
在< br>(1,??)
上是增函数,

f
?
(x)?a?

a
1
?0

(1,??)
恒成立,
x
1
,x?(1,??)
恒成立,可得
a?1

x
故选
D.
【点睛】

本题主要考查了已知函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.
11

B
【解析】



试题分析:由题意,这是几何概型问题,班车每
30
分钟发出一辆,到达发车站的时间总长度 为
40
,等车
不超过
10
分钟的时间长度为
20
, 故所求概率为
【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型
,
求解几何概型问题的关键是确定

测度
”,
常见的测度有长度、< br>面积、体积等
.
12

B
【解析】

x x0
??
?
?
1
?
?
?
?
?1
??
1
?
?
?
试题分析:集合
M?
?
x|
??
?1
?
?
?
x|
??
?
??
?

?M?
?
x|x?0
?
, < br>?
?
2
?
???
???
?
2
??< br>2
?
?
201
?
,选
B.
402
N?
?
x|y?lg
?
x?2
?
?
?
?< br>x|x??2
?

?A?B?
?
x|x?0
?
?
?
x|x??2
?
?
?
x|?2?x?0
?< br>,故选
B.
考点:指数函数、对数函数的性质及集合的运算
.
二、填空题:本题共4小题
13

a?b?c

【解析】

【分析】


BA
1
向量用基向量表示出来得到答案
.
【详解】

直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,若
CA?a,CB?b,CC
1
?c

BA
1
?BA?AA
1
?CA?CB?CC
1
?a?b?c
故答案为
a?b?c

【点睛】

本题考查了空间基向量的知识,意在考查学生的空间想象能力
.
14

4

【解析】

【分析】

由题可得,
【详解】

因为
a?0,b?0,a?b?1

?
11
?
11ba
??
?
a?b
?
?
?
?
?2??
,再利用基本不等式的性质即可得出结果
.
abab
?
ab
?



所以
?
11
?
11ba
ba
??
?
a?b
?
?
?
?
?2??
?2?2??4

abab
ab
?
ab
?
1
时取等号,
2
当且仅当
a?b?
所以
11
?
的最小值为4.
ab
故答案为:4.
【点睛】

本题主要考查利用“整体乘
1
”的方法和基本不等式的性质来求最值,注意基本不等式的前提是正数
.
15

40
【解析】


B
层中的个体 数为
n
,则
11
?
2
?n?8
,则总体中的个体数 为
8?5?40.

28C
n
16

y?x?1

【解析】

【分析】

利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式求出切线方程.
【详解】

∵y

lnx
,∴
y'?
1


x
∴函数
y

lnx

x
=1处的切线斜率为1,
又∵切点坐标为(1,0),
∴切线方程为
y

x

1


故答案为:
y

x

1


【点睛】

本题考查了函数导数的几何意义,利用导数研究曲线上某点切线方程,正确求导是关键.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11
3
(
?
?)

S
取得最小值
1

17
.(

)定值为
0
;(
2

S=
2
?
【解析】

分析:(
1
)设
A

x
1

y
1
),
B

x
2
y
2
),
M

x
o

y
o< br>),根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程,设直线
方程与抛物线方程联立消去
y,根据判别式大于
0
求得
x
1
?x
2

x
1
x
2
,根据曲线
1y=x
2
上任意一点斜率 为
y′=
x
,可得切线
AM

BM
的方程,联立方 程求得交点坐标,求得
FM

AB
,进而可求得
FM?AB

2
结果为
0
,进而判断出
AB

FM





2
)利用(
1
) 的结论,根据
x
1
?x
2
的关系式求得
k

λ
的关系式,进而求得弦长
AB
,可表示出

ABM
面积 .最后根据均值不等式求得
S
的范围,得到最小值.
详解:(
1
) 设
A

x
1

y
1
),
B

x
2

y
2
),
M

xo

y
o
),焦点
F

0

1
),准线方程为
y=

1


显然
AB
斜率存在且过
F

0

1


设 其直线方程为
y=kx
+
1
,联立
1y=x
2
消去
y
得:
x
2

1kx

1=0


判别式△
=16

k
2
+
1
) >
0

x
1
+
x
2
=1k
x
1
x
2
=

1.
于是曲线
1y= x
2
上任意一点斜率为
y′=
x


2
1 1
则易得切线
AM

BM
方程分别为
y=
()x
1

x

x
1
)+
y
1< br>,
y=
()
x
2

x

x
2
)+
y
2
,其中
1y
1
=x
1
2

22
x
1
?x
2
=2k

y
o
=
2
1y
2
=x
2
2


联立方程易解得交点
M
坐标,
x
o
=
从而FM
=

x
1
x
2
x?x
=

1
,即
M

12
,﹣
1

,
2
4
x
1
?x
2
,﹣
2
),AB

x
2

x
1

y
2< br>﹣
y
1


2
FM?AB
=
题得证.
1
11

x< br>1
+
x
2
)(
x
2

x
1
)﹣
2

y
2

y
1

=

x
2
2

x
1
2
)﹣
2
[(
x
2
2

x
1
2
)]< br>=0
,(定值)命
22
4
1
|
AB
||FM
|.

2


)由(

)知在△
ABM
中,
FM

AB
,因而
S=
AF?
?
FB(
?
?0)


∴(﹣
x
1

1

y
1



x
2

y
2

1
),即
?
而< br>1y
1
=x
1
2

1y
2
=x2
2



x
2
2
=
??x
1
?
?
x
2


?
1? y
1
?
?
(y
2
?1)
4

x< br>1
2
=1λ


?
|
FM
|
=
(
x
1
?x
2
2
1
2
12
111

)?(?2)
2
?x
1
?x
2
?x
1
x
2
?4?
?
??2?
??
2442
?
?
因为|
AF
|、|
BF
|分别等于
A

B
到抛物线准线
y=

1
的距离,
1
2
1
1
2
1
2
(
?
?)


所以|
AB
|
=
|
A F
|+|
BF
|
=y
1
+
y
2
+
2=
x
1
?x
2
+
2=λ
++
2 =
?
44
?
于是
S=
11
3
1
)


|
AB
||
FM
|
=
(?
?
2
?
2
1

2

S
1
,且当
λ=1
时,
S
取得最小值
1



?
?
?
点睛:本题求
S
的最值, 运用了函数的方法,这种技巧在高中数学里是一种常用的技巧
.
所以本题



先求出
S=
11
3
(
?
?)
,再求函数的定义域,再利用基本不等式求函数的最值
.
2
?
16400
元.
7
18
.(1)本次考试复赛资格最低分数线应划为100分; (2)5人,2人;(3)
【解析】

【分析】

(1)求获得复赛 资格应划定的最低分数线,即是求考试成绩中位数,只需满足中位数两侧的频率之和均
为0.5即可;
(2)先确定得分在区间
?
110,130

?
130,1 50
的频率之比,即可求解;
(3)先确定
X
的可能取值,再求出其对应的概率,即可求出分布列和期望.
【详解】

(1)由题意知
30,90
的频率为:
20?< br>?
0.0025?0.0075?0.0075
?
?0.35
??
??
?
110,150
?
的频率为:
20?
?
0.0050?0.0125
?
?0.35
所以分数在
?
90,110
?
的频率为:
1?0.35?0.35?0.3

从而分数在
90,110

??
频率0.3
==0.015

组距20
假设该最低分数线为
x
由题意得
0.35?
?
x?90
?
?0.015?0.5
解得
x?100

故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。
(2)在区间
?
110, 130

?
130,150

0.0125:0.0050?5:2

在区间
?
110,150
的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,
分在区间
?
110,130

?
130,150
各 抽取5人,2人,结果是5人,2人.
(3)
X
的可能取值为2,3,4,则: < br>2310
C
5
2
C
2
C
5
C
2
4
C
5
4
C
2
21
P
?X?2
?
??;PX?3??;PX?4??

????
44 4
C
7
7C
7
7C
7
7
??
?< br>??
从而Y的分布列为
Y 2600 2300 2000
P

2

7
4

7
1

7
2 4116400
?E
?
Y
?
?2600??2300??2000? ?
(元).
7777
【点睛】

本题主要考查频率分布直方图求中 位数,以及分层抽样和超几何分布等问题,熟记相关概念,即可求解,



属于常考题型
.
?
e
2
?
19
.(I)
ln3
;(Ⅱ)
f(x)
为奇函数,证明见解析;(Ⅲ)
?
??,
?
.
4
??
【解析】

【分析】



)利用
f
?
a
?
?2
代入原 式即得答案;


)找出
f
?
?x
?

f
?
x
?
的关系即可判断奇偶性;
e
x
e
x


)函数
g
?
x
?
?
0,??
?
上没有零点等价于方程
k?
2

?
0,??
?
上无实数解,再设
h
?
x
?
?
2
,求
x
x
出最值即得答案.
【详解】
e
a
?1


)因为
f
?
a
?
?
a
?2
,即:
e
a
?3

e?1
所以
a?ln3
.


)函数
f
?
x
?
为奇函数.

e
x
?1?0
,解得
x?0


函数
f
?
x
?
的定义域关于原点对称,

?
e
x
+1
?
e
?x
+11?ex
f
?
?x
?
?
?x
???
?
x
?
??f
?
x
?

e?11?e
x< br>?
e?1
?
所以,
f
?
x
?
为奇函 数.


)由题意可知,
g
?
x
?
?e ?kx

x2
e
x
函数
g
?
x
?

?
0,??
?
上没有零点等价于方程
k?
2< br>在
?
0,??
?
上无实数解,
x
e
x?
x?2
?
e
x

h
?
x
?
?
2
(x?0)
,则
h
?
?
x
?
?(x?0)

x
x
3

h
?
x
?

?
0,2
?
上单调递减,在
?
2, ??
?
上单调递增,

h
?
x
?
x?2
上取得极小值,也是最小值,
e
2

h
?x
?
?h
?
2
?
?

4



?
e
2
?

k
的取值范 围为
?
??,
?
.
4
??
【点睛】
< br>本题主要考查函数的奇偶性,利用导函数计算函数最值,意在考查学生的转化能力,分析能力,计算能力,
难度中等
.
1
n?3
?n
2
?5n
20
.(1)
a
1
?9

a
n
?()
;(2)
S
n
?

3
2
【解析】

【分析】

(1)由
a
n?1
?
1
1a
n
,得到数列{
a
n
}是公比为的等比数列,进而可求得a
1

a
n

3
3
(2)由(1) 知
b
n
?3?n
,根据等差数列的定义,得到数列
{b
n< br>}
是首项为
2
,公差为
?1
的等差数列,再
利用等差 数列的求和公式,即可求解.
【详解】

(1)由题意,可知
a
n ?1
?
1
1
a
n
,且
a
3
?1< br>,则数列{
a
n
}是公比为的等比数列,
3
3
1
2
1
n?1
1
n?3
又 由
a
3
?a
1
?()?1
,解得
a
1?9

a
n
?9?()?()
.
333
1< br>()
n?3
3
(2)由(1)知
b?loga?log
n3n 3
又由
b
n1
?3?n

b
n
1
,且
b
1
?2
,所以数列
{b
n
}
是首 项为2,公差为
-1
的等差数列,
n(2?3?n)?n
2
?5n
所以
S
n
?
.
?
22
【点睛】

本题主要考查了等差、等比数的定义,以及等比数列的通项公式和等差数列的前
n
项和 公式的应用,着重
考查了推理与运算能力,属于中档题
.
21
.(1)
y??
3
.
2
a
)
递减,在
(
a
,??)
递增. < br>aa
(2)
a?0
时,递减区间为
(0,??)
;当
a?0
时,
f(x)

(0,
【解析】

【分析】

(1)求导数,利用导数的几何意义求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)先求出函数的导数,通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间.
【详解】


1
)当
a?1
时,函数
f
?
x
?
?
1
2
1
x?lnx?2

f
?
?
x
?
?x?


2x




f
?
?
1
?
?0
f
?
1
?
??
3


2< br>∴曲线
f
?
x
?
在点
1,f
?
1< br>?
处的切线方程为
y??
??
3

2
ax< br>2
?1

2

f
?
?
x
?
?(x?0)
.
x

a?0
时,
f
?< br>?
x
?
?0

f
?
x
?
的 单调递减区间为
?
0,??
?


??
a
?
a
?

a?0
时,
f
?
x
?< br>在
?
?
a
,??
?
?
递增
?0,
a
?
?
递减,在
?
??
??
【点 睛】

本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,是一道基础题.
22
.(


?
的分布列为
ε

P

(Ⅱ)
P(AB)?
【解析】

【分析】

【详解】

(Ⅰ)
由题意知,
?
的可能取值为
0

1

2

3,


0



1



2



3


34
243
12
?
2
?
2
?
2
?
1
P(
?
?0)?C?
?
1?
?
?,P(
?
?1)?C
3
??
?
1?
?
?

3
?
3
?
9
?
3
?
27
03
32
8
?
2
??
2
?
4
3
?
2
?

P(
?
?2)?C
3
2
?
??
?
?
1?
?
?,P(
?
? 3)?C
3
?
??
?
?
3
??
3
?
9
?
3
?
27
所以
?
的分布列为
ε
P
0

1

2

3

233


)用
C
表示

甲得
2
分乙得
1


这一事件,用
D
表示
甲得
3
分乙得
0


这一事件,所以
AB=C∪D,

C

D
互斥,又
2
?
2
??
211121111
?
10
P(C)?C
3
2
?()
2
?
?
1?
?
?
?
? ???????
?
?
4

3
?
3
??
332332332
?
3



2
?
111
?
4
3
P( D)?C
3
?()
3
?
??
?
?
5

3
?
332
?
3
由互斥事件的概率公式得
P(AB)?P(C)?P(D)?
1043434
???

3
4
3
5
3
5
243





同步测试
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
?
x?2?tsin30
?
22
1
.已知直线
?
(< br>t
为参数)与圆
x?y?8
相交于
B

C
两 点,则
|BC|
的值为( )
?
?
y??1?tsin30
A

27
B

30
C

72
D

30

2
2
.若函数
f(x)?x
3
?ax
2
? ax?2
没有极值,则实数
a
的取值范围是
( )
A

[0, 3]
B

(0, 3)
C

(??, 0)(3, ??)
D

(??, 0][3, ??)

3
.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念
,
制定 节能减排的目标
,
先调查了用电量
(
单位
:

瓦·时
)
与气温
(
单位
:
(单位:)
)
之间的关系
,
随机选取 了
4
天的用电量与当天气温
,
并制作了以下对照表:
17 14 10 -1
(单位:千瓦时)
24 34 38 64

,
当天用电量约为(

) 由表中数据得线性回归方程
:
A

56
千瓦时
B

36
千瓦时

,
则由此估计
:
当某天 气温为
12
C

34
千瓦时
D

38
千瓦时
x
2
4
.双曲线
?y< br>2
?1
的渐近线方程是
2
A

y??
1
x

2
B

y??
2
x

2
C

y??2x

5.若实数
A.
C.
满足,则( )
都大于0
D

y??2x

都小于0 B.
中至少有一个大于0 D.中至少有一个小于0
3
?
?
1
?
6
.设函数
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数,且当
x?0
时,
f
?
x
?
?lnx
,记
a?f
?
??
?
?
2
?< br>?
?
?
1
?
?
b??f
?
log< br>3
??
?

c?f
?
3
?
,则a,b,c
的大小关系为( )
?
2
?
??
A

c?b?a
B

b?c?a
C

b?a?c
D

a?b?c

?
?

?
?
7
.实验女排和育才女排两队进行比赛,在一局比赛中实验女排获胜的概率是
2
,没有平 局.若采用三局两
3



胜制,即先胜两局者获胜且比赛结束,则实验女排获胜的概率等于( )
A

4

9
B

20

27
C

8

27
D

16

27
8
.已知定义在R上 的函数
f
?
x?1
?
的图象关于
x?1
对称,且当
x?0
时,
f
?
x
?
单调递减,若
a?f
?
log
0.5
3
?

b?f
?
0.5
?1.3
?

c?f
?
0.7
6
?
,则a,b,c的大小关系是
(

)

A

c?a?b
B

b?a?c
C

a?c?b
D

c?b?a

9
.在复平面内与复数
z?
A

?1?i

2i
所对应的点关于虚轴对称的点为
A
,则
A
对应的复数为(

1?i
C

1?i
D

?1?i
B

1?i

10
.设< br>x?R
,则

2
x
?8


x?2?1

的()
A
.充分不必要条件

C
.充要条件

B
.必要不充分条件
D
.既不充分也不必要条件
11
.命题
P
:“关于x的方 程
x
2
?ax?2?0
的一个根大于
1
,另一个根小于1
”;命题
q
:“函数
h(x)?
x?1
的定义域内为 减函数”.若
p?q
为真命题,则实数
a
的取值范围是( )
x
e?1
??
?
A

?
?3,?3
?
B

?
??,
3
?
C

?
??,
D

R

12
.已 知函数
f(x)?e
2x?3

g(x)?
A

1
?ln2

2
B

ln2

1x
?ln
,若
f(m)?g(n)
成立,则
n?m
的最小值为()
42
1
C

?2ln2
D

2ln2

2
二、填空题:本题共4小题
13
.在
△ABC
中,
?ABC?90?

AB?4

BC?3
,点
D
在线段
AC
上,若
?BDC?45?,则
BD?
________
.
2
??
14
.在
?
3
x?
?
的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则 该二项展开式中的常数项等于
_____
.
x
??
n
15
.已知抛物线
x
2
?2py(p?0)
的焦点为
F
,点
P

Q
在抛物线上,且
?PFQ?
作准线
l< br>的垂线,垂足为
M
1
,则
4
5
?
,过弦PQ
的中点
M
6
PQ
MM
1
的最小值为
__________


?
a
?
16
.若?
2x?
的展开式中常数项为96,则实数
a
等于
______ ____

?
??
x
??
三、解答题:解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
17
.已知函数
f
?
x
??x?2


(1)解不等式
f
?
x
?
?f
?
2x?4
?
?2


(2)若
f
?
x
?
?f
?
x?3
?
?m?2m

x?R
恒成立,求实数
m
的取值范围.
2



18
.已知复数
z
满足:
z
2< br>?3?4i
,且
z
在复平面内对应的点位于第三象限
.

I
)求复数
z

?
1?z
?
(Ⅱ)设
a?R
,且
??
?
1?z
?
2019?a?2
,求实数
a
的值
.
19
.(
6分)如图,直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的 底面为直角三角形,两直角边
AB

AC
的长分别为
4
和< br>2

侧棱
AA
1
的长为
5.

1
)求三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的体 积;

2
)设
M

BC
中点,求直线
A
1
M
与平面
ABC
所成角的大小
.

20
.(
6
分)如图所示,在直角坐标系
xOy
中,曲线C由以原点 为圆心,半径为2的半圆和中心在原点,
焦点在x轴上的半椭圆构成,以坐标原点
O
为 极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出曲线C的极坐标方程;
(2 )已知射线
??
7?
(??0)
与曲线C交于点M,点N为曲线C上的动点, 求
?MON
面积的最大值.
6
2
t
2
(t
为参数), 以坐标原点
O
2
t
2
?
?
x?2?
?
21
.(
6
分)已知在直角坐标系
xOy
中, 直线
l
的参数方程为是
?
?
y?1?
?
?
为极点,
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线
C
的极坐标方程为
?
?4sin
?
.
(1) 判断直线
l
与曲线
C
的位置关系;

(2) 在曲线
C
上求一点
P
,使得它到直线
l
的距离最大,并求出最大距离.
2
22
.(
8
分)已知
m?R
,命題p:
对任意
x?
?
0,1
?
,不等式
log< br>2
?
x?1
?
?2?m?3m
恒成立;命题
q:

x?
?
?1,1
?
,使得
m?()?1< br>成立.
x
1
2



(1)若
p
为真命题,求
m
的取值范围;
(2)若
p?q
为假,
p?q
为真,求
m
的取值范围.



参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1

B
【解析】

【分析】

根据参数方程与普通方程的互化方法,然后联立方程组,通过弦长公式,即可得出结论.
【详解】

?
x?2?tsin30
?
曲线
?
t
为参数),化为普通方程
y?1?x

?
?y??1?tsin30

y?1?x
代入
x?y?8
,可得< br>2x
2
?2x?7?0


BC?1?
?
?1
?
?1?4?
【点睛】

本题主要考查把参数方程、极坐标方程 化为直角坐标方程的方法,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.
2

A
【解析】

【分析】

由已知函数解析式可得导函数解析式,根据导 函数不变号,函数不存在极值点,对
a
讨论,可得答案.
【详解】

32

f(x)?x?ax?ax?2
,∴
f?
?
x?
=3x?2ax?a


22
2
7
?30
,故选
B

2
2
2
①当
a?0
时,则
f?
?
x
?
=3x?0

f(x)

R
上为增函数,满足条件;
② 当
a?0
时,则
?=4a?12a=4a
?
a?3
?
?0

2
即当
0?a?3

时,
f?
?
x
?
?0

恒成立,
f(x)

R
上为增函数,满足条件
综上,函数
f(x)?x?ax?ax?2
不存在极值点的充要条件是:
0?a?3

故选:
A

32



【点睛】

本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,本题是一道基础题.
3

B
【解析】

【分析】

计算出和的值,将点
所求结果。
【详解】

由题意可得,, 的坐标代入回归直线方程,得出的值,再将代入可得出的值,即为
由于回归直线过样本的中心点回归直线方程为
【点睛】

,当
,则
时,
,得,
(千瓦时),故选:
B.
本题考查回归直线方程的应用,解题的关键在于利用回归直线过样本中心点
力,属于中等题。
4

B
【解析】

【分析】

由双曲线方程求得
a,b
,由渐近线方程为
y??
【详解】

由双曲线方程得:
a?
这一结论,考查计算能
b
x
求得结果
.
a
2

b?1

?
渐近线方程为:
y??
b
x??
2
x

a2
本题正确选项:
B

【点睛】

本题考查双曲线渐近线的求解,属于基础题
.
5

D
【 解析】假设
a,b
都不小于
0,

a≥0,b≥0,
a+b≥0,
这与
a+b<0
相矛盾
,
因此假设错误
,

a,b
中至少有一个小

0.
6

A
【解析】



分析:根据x>0时f(x)解析式 即可知f(x)在(0,
+∞
)上单调递增,由f(x)为奇函数即可得出
1
b?flog
3
2
,然后比较
()
3
,log
3< br>2,和3
的大小关系,根据f(x)在(0,
+∞
)上单调递增即可
2
??
比较出a,b,c的大小关系.
详解:
x
>0时,f(x)=
lnx



f(x)在(0,
+∞
)上单调递增;

f(x)是定义在R上的奇函数;
?
b??f
?
log
?
3
1
??
?f
??
?log
2
??
3
1
?
?
=
flog
3
2


2
?
??
1
1<log
3
2<2

0<()
3
<1


2
1
3

0<()<log
3
2<3


2

f (
?
)
?
1
?
2
3
?
?
<flog
3
2<f
?
3
?


?
??
∴a

b

c


即c>
b

a


故选A.
点睛:利用 指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式
的异同,底 数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或
式子的大致 范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值
0,1
的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来
比较大小.
7

B
【解析】

试题分析:实验 女排要获胜必须赢得其中两局,可以是
1,2
局,也可以是
1,3
局,也可以 是
2,3

.
故获胜
的概率为
:
考点:独立事件概 率计算
.
8

A
【解析】

【分析】

先根据对称性将自变量转化到
x?0
上,再根据
x?0

f
?
x
?
单调递减,判断大小.
【详解】

∵定义 在
R
上的函数
f
?
x?1
?
的图像关于
x ?1
对称,∴函数
f
?
x
?
为偶函数,

log
0.5
3?log
0.5
1?0
,∴
f
?
log
0.5
3
?
?f
?
log
2
3
?
,∴
1?log
2
2?log
2
3?log
2
4?2

0.5
?1.3
?2
1.3
? 2


,
故选
B.



0?0.7
6
?1
.∵当
x?0
时,
f
?
x
?
单调递减,∴
c?a?b
,故选
A


【点睛】

比较两个函数值或两个自变量的大小:首先根据函数的性质把两个函数值中 自变量调整到同一单调区间,
然后根据函数的单调性,判断两个函数值或两个自变量的大小
9

D
【解析】

【分析】

根据复数 的运算法则求出
z?1?i
,即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标,写出复数
.
【详解】

由题
z?
2i
?
1?i
?2i2i?2
???1?i
,在复平面对应的点为(
1,1
),
1?i
?
1?i
??
1?i
?
2
关于虚轴对称点 为(
-1,1
),所以其对应的复数为
?1?i
.
故选:
D
【点睛】

此题考查复数的几何意义,关键在于根据复数 的乘法除法运算准确求解,熟练掌握复数的几何意义
.
10

B
【解析】

【分析】

分别将两个不等式解出来即可
【详解】


2
x
?8

x?3


x?2?1

2?x?3

所以

2< br>x
?8



x?2?1

的必要不充分条 件
故选:
B
【点睛】

设命题
p
对应的集合为
A
,命题
q
对应的集合为
B
,若
A
?B
,则p是q的充分不必要条件,若
A
?
B
,则
p
q
的必要不充分条件,若
A=B
,则
p

q
的充要条件
.
11

B
【解析】

【分析】

通过分析命题
q
为假命题只能
P
真,于是可得到答案
.
【详解】



命题
P
真等价于< br>f(1)?1?a?2?0

a??3
;由于
h(x)
的定义 域为
?
x|x?0
?
,故命题
q
为假命题,而
p? q
为真命题,说明
P
真,故选
B.
【点睛】

本题主要考查命题真假判断,意在考查学生的转化能力,逻辑推理能力,分析能力,难度中等
.
12

A
【解析】

【分析】

根据< br>f
?
m
?
?g
?
n
?
?k
得到
m

n
的关系,利用消元法转化为关于
t
的函数,构造 函数,求函数的导数,
利用导数研究函数的最值即可得到结论.
【详解】


e
2m?3
?
1
1n3lnk
?ln?k(k?0),则
m??

n?2e
k?
4

4222< br>k?
1
4
1
k?
1
lnk3
?

??
,所以
h(k)?2e
4
?
22
2k

h(k)?n?m?2e
1
4

h(k)?2e
?
k?
?
1
?
?
1
?

?
0,?
?
?
增函数,且
h
??
?0

?
4
?
2k

k?
?
0,
?
?
1
??
1
?
?
k?,??
h(k)?0
时,,当???
时,
h
?
(k)?0

4
??
4
?
k?
1
4
所以
h(k)?2e?
?
1
?
lnk3
?
1
?
?

?
0,
?
上递减,在
?
,??
?
上递增.
?
4
?
22
?
4
?
所以
h(k)
min
?h
?
故选A.
【点睛】

1
?
1
?
1
n?m
??ln2
?ln2
. ,即的最小值为
?
2
?
4
?
2
本题主要考查导数的应用,利用消元法进行转化,构造 函数,求函数的导数,利用导数研究函数的极值和
最值是解决本题的关键,有一定的难度.
二、填空题:本题共4小题
13

122

5
【解析】

【分析】

根据题意,由于题目中给出了较多 的边和角,根据题目列出对应的正余弦定理的关系式,能较快解出
BD
的长度
.
【详解】



根据题意,以点
A
为原点,
AC
所在直线为
x
轴建立平面直角坐标系。过点
B

BE
垂直
AC

AC
于点
E
,则
S
?ABC
?
11
AC?BE?AB?BC?6
,
又因为 在
Rt?ABC
中,
AC?AB
2
?BC
2
?5< br>,
所以
22
BE?
1216
122
,
AE?
,

BD?
.
55
5
【点睛】

本题主要考查学生对于正余弦定理的掌握,将几何问题转化为坐标系下的问题是解决本题的关键
.
14
.1
【解析】

【分析】

由题意可得
n?8
,再利用二项展开式的通项公式,求得二项展开式常数项的值.
【详解】

2
(
3
x?)
n
的二项展开式 的中,只有第
5
项的二项式系数最大,
?n?8

x
通项 公式为
T
r?1
?C(?2)x
r
n
r
n?4r< br>3
?(?2)Cx
rr
8
8?4r
3
,令
8 ?4r
?0
,求得
r
3
2

可得二项展开式常数项等于
4?C
8
2
?112

故答案为
1

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
15

6?2
.
2
【解析】

Q
分别作准线的垂线
PA

QB

B
,分析:过
P
、垂足分别是
A
、设
PF?2a

QF?2b
,可 得
MM
1
?a?b

由余弦定理得:
PQ
2
?4a
2
?4b
2
?43ab
,进而根据基本不等式,求得
|AB|
的取值范围,从而得到本
题答案
.
详解:如图:
< br>过
P

Q
分别作准线的垂线
PA

QB,垂足分别是
A

B





PF?2a

QF?2b


由抛物线定义,得
PF?PA,QF?QB


在梯形
AB QP
中,
2MM
1
?PA?QF?2a?2b


?
MM
1
?a?b


由余弦定理得:

5
PQ
2
?4a
2
?4b
2
?8abco s
?
?4a
2
?4b
2
?43ab

6
2
?
a?b
?


?4
?a?b
?
?43?8ab?4
?
a?b
?
?43?8?
?
?2?3a?b
??
?
2
??
2
??< br>2
??
2
??

PQ
MM
1
的最小 值为
2?3?
2?6
.
2
故答案为:
2?6
.
2
点睛:本题考查抛物线的定义、简单几何性质,基本不等式求最值,余弦定理的应用等知识, 属于中档题
.
16

4

【解析】

r
?
a
?
a
?
4?r
?
rr4?2r2
4?r
2x??a?2?Cx
,令
4?2r?0,r?2
,的展开式的通项是
T
r?1
?C
4
?
2x
?????
4
????
x
???
x
?
2
?
a
?
2
2
可得
a?4,

故答案为
4
.
?
2
4?2
?C
4=96,
?
2x?
x
?
?
的展开式中常数项为

??
4r
4
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属 于简单题
.
二项展开式定理的问题也是高考
命题热点之一,关于二项式定理的命题方 向比较明确,主要从以下几个方面命题:(
1
)考查二项展开式的
rn?rr
通项公式
T
r?1
?C
n
ab
;(可以考查某一项,也可考 查某一项的系数)(
2
)考查各项系数和和各项的二
项式系数和;(
3
)二项展开式定理的应用
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 < br>?
17
.(1)
?
??,?2
?
?
?
?
【解析】

【分析】

2
?
,??
?
;(2)
?
?3,1
?
.
?
3
?
(1)利用分段讨论法去掉绝对值,求出不等式f(x)-f(2x+4)<2的解集;
(2)由绝对值不等式的意义求出f(x)+f(x+3)的最小值,得出关于m的不等式,求解即可.
【详解】



解:(
1
)由题知不等式
f(x)?f(2x?4)?2



x?2?2x?2?2


?
x??1
等价于
?


?x?2?2x?2?2
?

?
?
?1x2


?
?x? 2?2x?2?2
?
x?2

?


x?2?2x ?2?2
?
解得
x??2

?
2
2
?x2

x?2
,即
x??2

x??


3
3
2

??)


3
?
原不等式的解集为
(??

?2)?(?

2
)由题知< br>f(x)?f(x?3)?x?2?x?1(x?2)?(x?1)?3


?f(x)?f(x?3)
的最小值为
3


?m
2
?2m3


解得
?3m1


?
实数
m
的取值范围为
[?3

1]


【点睛】

本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是基础题.
18
.(Ⅰ)
z??2?i
(Ⅱ)
a??3

【解析】

【分析】

?
1?z
?
I
)设
z?c?di
?
c?0,d?0
?
,
利 用复数相等的概念求出复数
z;
(Ⅱ)先计算出
??
?
1?z
?
a
的值
.
【详解】

解;(Ⅰ)设
z?c?di
?
c?0,d?0< br>?
,则
z
2
?
?
c?di
?
?c< br>2
?d
2
?2cdi?3?4i

2
2019??1
,再求
?
c
2
?d
2
?3,
?
?

2cd?4,
?
解得
?
?
c??2,
?
c?2,

?
(舍去)
.
?
d??1
?
d?1



?z??2?i
.
?
1?i
?
?i
(Ⅱ)z??2?i

?
1?z
?
?1?i
?
1?i
?
1?z?1?i1?i2
1?z
?
?
?
???
1?z
?
2019
2
?i
2019
?i2016?3
?i
504?4?3
?
?
i
4
5 04
?
?i
3
??1


?
a?i?a
2
?1?2

?
a??3
.
【点睛】

本题主要考查复数的求法和复数的运算,考查复数模的计算,意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平,
属于基础题
.
19
.(
1

2;

2

arctan5

【解析】

【分析】


1
)三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的体积
V?S
?ABC
?AA
1< br>?AC?AA
1
,由此能求出结果;

2
)连结
A M,?A
1
MA
是直线
A
1
M
与平面
AB C
所成角,由此能求出直线
A
1
M
与平面
ABC
所 成角
的大小
.
【详解】

解:(
1
)∵直三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1
的底面为 直角三角形,
两直角边
AB

AC
的长分别为
4

2
,侧棱
AA
1
的长为
1

∴三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1
的体积:
V

S

ABC
×
AA
1

1
??AB?AC?AA
1

2
1
??4?2?5?
2

2

2
)连结
AM

∵直三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1
的底面为直角三角形,
两直角边
AB

AC
的长分别为
4

2< br>,侧棱
AA
1
的长为
1

M

BC
中点,

AA
1
⊥底面
ABC

AM< br>?
11
BC?16?4?5

22
∴∠
A
1
MA
是直线
A
1
M
与平面
ABC
所成角 ,
tan

A
1
MA
?
AA
1
5
??5

AM
5
∴直线
A
1
M
与平面
ABC
所成角的大小为
arctan
5




【点睛】

本题考查三棱柱的体积的求法,考查 线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识,考查推理论证能力、运算 求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、
数形结合思想,是中档题.
2,(0?
?
?
?
)
?
?
47
.
20
.(1)
?
?
?
;(2)
4
,(
?
?
?
?2
?
)
7
?
2
3sin
?
?1
?
【解析】

【分析】


1
)根据题意,分别求出曲线
C
上半部分和下半部分直角坐标方程,利用直 角坐标系与极坐标的转化公
式,即可得到曲线
C
的极坐标方程;
(2)由题 可知要使
?MON
面积最大,则点
N
在半圆上,且
OM?ON
,利用极坐标方程求出
OM

由三角形面积公式即可得到答案。
【详解】

(1)由题设可得,
曲线
C
上半部分的直角坐 标方程为
x?y?4
?
y?0
?

22
20?? ??)
所以曲线
C
上半部分的极坐标方程为
??(
.
x< br>2
又因为曲线
C
下半部分的标准方程为
?y
2
?1( y?0)

4
所以曲线
C
下半部分极坐标方程为
??2
4
(????2?)

3sin
2
??1
2,(0?
?
?
?
)
?
?
故曲线
C
的极坐标方程为
?
?
?
.
4
,(
?
?
?
?2
?
)
?
2
?
3sin
?< br>?1
(2)由题设,将
??
7?
47
(??0)
代入 曲线
C
的极坐标方程可得:
?
M
?|OM|?
.
6
7
又点
N
是曲线
C
上的动点,所以
?
?
N
?
max
?(|ON|)
max
?2

由面积公式得:
S
MON
1147

??|OM|?|ON|?|sin?MON|??|OM|?|ON|?
227



当且仅当
sin?MON?1

ON?2
时等号成立,故
?MON
面积的最大值为
【点睛】

47
.
7
本题考查直角坐标与极坐标的互化,利用极坐标的几何意义求三角形面积,考查学生基本 的计算能力,属
于中档题
21
. (1)

相离;(2)

d?r?
【解析】

【分析】

32
?2
.
2
?
1
?
把直线
l
参数方程化为普通方程,曲线
C
极坐标方程化为普通方程,求出圆心
C
到直线
l
的距离
d

然后与半径比较大小即可作出判断
?
2
?
圆上一点
p
到直线
l
的距离最大为
d?r
,求出过圆心与直线
l
垂直的直线方程,与圆的方程联立确定
出此时< br>p
的坐标即可
【详解】

(1)易得直线
l
的方程 为
x?y?1?0
,曲线
C
的方程为
x
2
?
?
y?2
?
?4
,圆心
C
?
0,2
?< br>,半径
r?2
,圆心
2
C
到直线
l
的距离< br>d?
0?2?1
2
?
3
?2
,
所以直线
l
与曲线
C
相离.
2
32
?2
,
2
(2)
易得点
P
到直线
l
的最大距离为
d?r?
2
?
?
x
2
?
?
y?2
?
?4
,
过圆心且垂直于直线
l
的直线方程为
y??x?2
, 联立
?
?
?
y??x?2
所以
2x
2
?4?x??2< br>,
易得点
P?2,2?2
.
【点睛】

本题主要 考查了将参数方程和极坐标方程转化为普通方程,然后判断直线与圆的位置关系,运用点到直线
的距离公 式,求出圆心到直线的距离即可作出判断,属于基础题
22
. (1)
?
1 ,2
?
;(2)
?
??,1
?
【解析】

【分析】


1
)由题得
?2?m
2
?3 m
,解不等式即得解;(
2
)先由题得
m?[()?1]
max?1

由题得
p

q
中一个是真命题,一个是假命题 ,列出不等式组,解不等式组得解.
【详解】

??
?
1,2
?

1
2
x



(1)对任意
x?
?
0,1
?
, 不等式
log
2
?
x?1
?
?2?m?3m
恒成立 ,
2

x?
?
0,1
?
,由对数函数的性质可知 当
x?0
时,
y?log
2
?
x?1
?
? 2
的最小值为
?2

??2?m
2
?3m
,解得
1?m?2
.
因此, 若
p
为真命题时,
m
的取值范围是
?
1,2
?.
(2)存在
x?
?
?1,1
?
,使得
m? ()?1
成立,
?m?[()?1]
max
?1
.
xx< br>1
2
1
2
命题
q
为真时,
m1

p

q
为假,
p

q
为真,
?p

q
中一个是真命题,一个是假命题.

p

q
假时,则
?
?
1?m?2
解得
1?m?2
m?1
?
,即
m?1
. 当
p

q
真时,
?
?
m1或m2
?
m?1
综上所述,m
的取值范围为
?
??,1
?
【点睛】

?
1,2
?
.
本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立 问题的解法,考查复合命题的真假和存在性问题,意
在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能 力
.





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