高中数学矢量计算-初中高中数学的异同
同步测试
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.若复数
z
满足
(1?2i)z?1?i
,则复数
z
为( )
A
.
13
?i
55
B
.
?
13
?i
55
C
.
13
?i
55
D
.
?
13
?i
55
2<
br>.设
f(x)
是定义在
R
上的偶函数,对
x?R
,都
有
f
?
x?2
?
?f
?
x?2
?
,且当
x?[?2,0]
时,
1
f
?
x
?
?()
x
?1
,若在区间
?
?2,6
?
内关于x
的方程
f
?
x
?
?log
a
?x?2
?
?0
?
a?1
?
恰好有三个不同的实
2
数根,则
a
的取值范围是( )
A
.
?
2,??
?
B
.
?
1,2
?
C
.
?
3
4,2
?
D
.
(
3
4,2]
3
.若复数
z
满足
(z2 ?i)?
5i
,则复数
z
的虚部为
.
A
.
-2
B
.
-1 C
.
1 D
.
2.
4
.已知
函数
y?f
?
x
?
的图象在点
M(1,f(1))
处的切线方程是
y?
A
.
0 B
.
1
2
1
x
+2,
则
f
?
1
?
?f
?<
br>?
1
?
的值等于
( )
2
D
.
3 C
.
5
2
5
.若函数
f
?
x
?
?lnx
与
g
?x
?
??x?
?
4?a
?
x?2a?4
?a?R
?
图象上存在关于点
M
?
1,0
?
对称
的点,
则实数
a
的取值范围是()
A
.
?
0,??
?
B
.
?
,??
?
?
1
?
e?
?
C
.
1,??
?
?
D
.
?
e,??
?
6
.体育
场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )
A
.12种
B
.7种
C
.24种
D
.49种
7
.已知
i
是虚数单位,
i
2
??1
,则计算
A
.
1?i
B
.
?1?i
2i
的结果是()
1?i
C
.
1?i
D
.
?1?i
8
.一个单位有职工
800
人,其中具有高级职称的
160
人,
具有中级职称的
320
人,具有初级职称的
200
人,其余人员
12
0
人
.
为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为
40
的样本
.
则从上
述各层中依次抽取的人数分别是
(
)
A
.
12,24,15,9
B
.
9,12,12,7 C
.
8,15,12,5
D
.
8,16,10,6
9
.从
1
,
3
,
5
中任取
2
个不同的数字,从
0
,
2
,
4
中任取
2
个不同的数字,可以组成没有重复数字的
四位偶数的个数
为( )
A
.
96
B
.
54
C
.
108
D
.
78
10
.若函数<
br>f(x)?ax?lnx
在
(1,??)
上是增函数,则实数
a
的取值范围是( )
A
.
(??,1)
B
.
(??,1]
C
.
(1,??)
D
.
[1,??)
11
.某
公司的班车在
7:30
,
8:00
,
8:30
发车,小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车,且到达发车
站的时刻
是随机的,则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
A
.
1
3
1
2
B
.
x
1
2
C
.
2
3
D
.
3
4
12
.集合
M?{x|()?1},N?{x|y?lg(x?2)},则
M?N
等于( )
A
.
?
0,??
?
B
.
?
?2,0
?
C
.
?
?2,??
?
D
.
?
??,?2
?
?
0,??
?
二、填空题:本题共4小题
13
.直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,若
CA?a,CB?b,CC
1
?c
,则
BA
__________
.
1
?
14.若
a?b?1
,
a,b?R
?
?
?
,则1
a
?
1
的最小值为
__________
.
b
15
.一个总体分为
A
,
B
两层,其个体数之比为4
:
1
,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为
10
的样本
.
已知
B
层中甲、乙都被抽到的概率为
1
,则总体中
的个体数为
_____
.
28
0
?
处的切线方程为
__________
.
16
.曲线
y?lnx
在点
?
1,
三、解答题:解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.已知抛物线
x
2
?4y
的焦点为
F,
A,B
抛物线上的两动点,且
AF?
?
FB
,过
A,B
两点分别
(
?
>0)
作抛物线的
切线,设其交点为
M
.
(1)证明:
FM?AB
为定值;
(2)设
AMB
的面积为
S
,写出
S=f
?
?<
br>?
的表达式,并求
S
的最小值.
18
.某校为“中学数学联
赛”选拔人才,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:分数不小于本次考试成绩中
位数的具有复赛资格,某
校有900名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间
?
30,150
?
内
,其频率分布
直方图如图.
(1)求获得复赛资格应划定的最低分数线;
(2)从初赛得分在区间
?
110,150
?
的参赛者中,利用分层抽样的
方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那
么从得分在区间
?
110,130
?
与
?
130,150
?
各抽取多少人?
(3)从(2)抽
取的7人中,选出4人参加全市座谈交流,设
X
表示得分在
?
110,130
?
中参加全市座谈交
流的人数,学校打算给这4
人一定的物质奖励,若该生分数在
?
110,130
?
给予500元奖励,若
该生分数在
?
130,150
?
给予800元奖励,用Y表示学校发的奖金数
额,求Y的分布列和数学期望。
e
x
?1
.
19
.(<
br>6
分)已知函数
f(x)?
x
e?1
(I)若
f(a
)?2
,求实数
a
的值;
(
Ⅱ
)判断
f(x)
的奇偶性并证明;
(
Ⅲ)设函数
g(x)?
2
?kx
2
?1
(k?R)
,若
g(x)
在
(0,??)
上没有零点,求
k
的取值范
围
.
f(x)?1
20
.(
6
分)已知数列
?<
br>a
n
?
满足
a
n?1
?
(1)求
a
1
及
a
n
;
1
a
n
(n?N<
br>?
)
,且
a
3
?1
3
(2)设<
br>b
n
?log
3
n
求数列
?
b
n<
br>?
的前n项和
S
n
a
21
.(
6
分)已知函数
f(x)?
1
2
ax?lnx?2(a?R)
2
(1)当
a?1
时,求曲线
f(x)
在点
(1,
f(1))
处的切线方程;
(2)讨论函数
f(x)
的单调性.
22
.(
8
分)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队
3
人,每人回答一
个问题,答对者为本队赢得一分,
答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
相互之间没有
影响
.
用
ε
表示甲队的总得分
.
(
Ⅰ
)求随机变量
?
分布列;
(Ⅱ)
用
A
表示
“
甲、乙两个队总得分之和等于
3
”
这一事件,用
B
表示
“
甲队总得分大于乙队总得分
”这一事
件,求
P(AB).
2
221
,乙队中
3人答对的概率分别为
,,
且各人正确与否
332
3
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
D
【解析】
【分析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
由
?
1?2i
?
z?1?i
,
得
z?
?
1?i
??
1?2i
?
??
1
?
3
i
1?i
?
.
1?2i
?
1
?2i
??
1?2i
?
55
故选
D
.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
2
.
D
【解析】
?
1
?
由<
br>f(x?2)=f(x+2),
可得函数的周期
T=4,
当
x∈[?2
,0]
时
,
f
?
x
?
?
??
?1
,
?
2
?
∴可得
(?2,6]
的图象如下:
x
从图可看出
,
要使
f(x)
的图象与
y=log
a
(x+2)
的图象恰有
3
个不同的交点,
?
?
log
a
?
2?2
?
?3
则需满足?
,
log6?2?3
??
?
?
a
求解不等式组可得
a
的取值范围是
本题选择D选项.
3
.
D
【解析】
【分析】
根据复数除法的运算法则去计算即可
.
【详解】
因为
(z2 ?i)? 5i
,所以
z?
故选
D.
?
3
4,2
?
?
.
5i
?
2?
i
?
5i
??1?2i
,虚部是
2
,
2?i
?
2?i
??
2?i
?
【点睛】
本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判
断,难度较易
.
复数除法运算时,注意利用平方差公式的
形式将分母实数化去计算
4
.
D
【解析】
【分析】
根据导数
定义,求得
f
?
?
1
?
的值;根据点在切线方程上,求得<
br>f
?
1
?
的值,进而求得
f
?
1
?
?f
?
?
1
?
的值。
【详解】
点
M(1,f(1))
在切线上,所以
f(1)?
根据导数几何意义
,所以
f'(1)?
所以
f(1)?f'(1)?
所以选
D
【点睛】
本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义,属于基础题。
5
.
C
【解析】
【分析】
首先求<
br>g
?
x
?
关于点
M
?
1,0
?的函数,转化为其与
y?lnx
有交点,转化为
a?x?
是
y?
x?
【详解】
设
P
?
x,y
?
关于M
?
1,0
?
的对称点是
P
?
?
2?
x,?y
?
在
g
?
x
?
??x?
?
4?a
?
x?2a?4
上,
2
15
?1?2?
22
1
2
51
??3
22
lnx
,这样
a<
br>的范围就
x
lnx
的范围,转化为利用导数求函数的取值范围的问题
.
x
?y??
?
2?x
?
?
?
4?a
??
2?x
?
?2a?4?y?x
2
?ax
,
根据题意可知,
y?lnx
与
y?x?ax
?
a?R
?有交点,
2
2
即
lnx?x?ax?a?x?
设
y?
x?
2
lnx
,
x
lnx
?
x?0
?
,
x
x
2
?1?lnx
,
y
?
?
2
x
令
h
?
x
?
?x?1?lnx
,?
x?0
?
2
h
?
?
x
?
?2x?
1
?0
恒成立,
x
?h
?
x
?
在
?
0,?
?
?
是单调递增函数,且
h
?
1
?
?0<
br>,
?h
?
x
?
在
?
0,1
?h
?
x
?
?0
,即
y
?
?0
,
?
1,??
?
时
h
?
x
?
?0
,即
y
?
?0
,
y?x?
lnx
在
?
0,1
?
单调递减,在
?
1,???
单调递增,
x
所以当
x?1
时函数取得最小值
1
,
即
y?1
,
?a
的取值范围是
1,??
?
.
?
故选
C.
【点睛】
本题考查了根据函数的零点求参数
取值范围的问题,有
2
个关键点,第一个是求
g
?
x
?关于
M
?
1,0
?
对称
的函数,根据函数有交点转化为
a?x?
lnx
,
x?0
,求其取值范围的问题,第二个关键点是在
判断函数
x
单调性时,用到二次求导,需注意这种逻辑推理
.
6
.
D
【解析】
第一步,他进门,有
7
种选择;第二步,他出门,有
7
种选择.根据分步乘法计数原理可得他进出门的方
案
有
7×7
=
49(
种
)
.
7
.
A
【解析】
【分析】
根据虚数单位
i
的运算性质,直接利用复数代数形式的除法运算化简求值.
【详解】
解:
i
2
??1
,
?
2i2i(1?i)2?2i
???1?i
,
1?i(1?i)(1?i)2
故选
A
.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
8
.
D
【解析】
4011
??8
,中
级职称抽取的,所以高级职称抽取的人数为
160?
8002020
111
?
16
,初级职称抽取的人数为
200??10
,其余人员抽取的人数为
120
??6
,所人数为
320?
202020
试题分析:由题意,得抽样比为
以各层中依次抽取的人数分别是
8
人,
16
人,
10
人,
6
人,故选
D
.
考点:分层抽样.
n
1
n
2
每层中抽取的个体数
量样本容量
??
=
”
,即
“
【方法点睛】分层抽样满足“
N
1
N
2
本层的总个体数量总体数量
?
n<
br>或
N
n
1
:n
2
::n?N
1
:N
2
::N
”
,据此在已知每层间的个体数量或数量比,样本容量,总体数量中
的两个
时,就可以求出第三个.
9
.
A
【解析】
【分析】
根据选取的两个偶数是否包含
0
分为两种情况,种数相加得到答案
.
【详解】
2213
选取的两个偶数不包含
0
时:
C
3
?C
2
?C
2
?A
3
?36
2132
选取的两个偶数包含
0
时:
C
3
?C2
?(A
3
?2?A
2
)?60
故共有
96
个偶数
答案选
A
【点睛】
本题考查了排列组合,将情况分类可以简化计算
.
10
.
D
【解析】
【分析】
由题意得
f?
?
x
?
?a?
【详解】
<
br>∵
f(x)?ax?lnx
,∴
f
?
(x)?a?
1
?0
在
(1,??)
上恒成立,利用分离参数思想即可得出结果.
x
1
,
x
又∵函数
f(x)?ax?lnx
在<
br>(1,??)
上是增函数,
∴
f
?
(x)?a?
即
a
1
?0
在
(1,??)
恒成立,
x
1
,x?(1,??)
恒成立,可得
a?1
,
x
故选
D.
【点睛】
本题主要考查了已知函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.
11
.
B
【解析】
试题分析:由题意,这是几何概型问题,班车每
30
分钟发出一辆,到达发车站的时间总长度
为
40
,等车
不超过
10
分钟的时间长度为
20
,
故所求概率为
【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型
,
求解几何概型问题的关键是确定
“
测度
”,
常见的测度有长度、<
br>面积、体积等
.
12
.
B
【解析】
x
x0
??
?
?
1
?
?
?
?
?1
??
1
?
?
?
试题分析:集合
M?
?
x|
??
?1
?
?
?
x|
??
?
??
?
,
?M?
?
x|x?0
?
, <
br>?
?
2
?
???
???
?
2
??<
br>2
?
?
201
?
,选
B.
402
N?
?
x|y?lg
?
x?2
?
?
?
?<
br>x|x??2
?
,
?A?B?
?
x|x?0
?
?
?
x|x??2
?
?
?
x|?2?x?0
?<
br>,故选
B.
考点:指数函数、对数函数的性质及集合的运算
.
二、填空题:本题共4小题
13
.
a?b?c
【解析】
【分析】
将
BA
1
向量用基向量表示出来得到答案
.
【详解】
直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,若
CA?a,CB?b,CC
1
?c
BA
1
?BA?AA
1
?CA?CB?CC
1
?a?b?c
故答案为
a?b?c
【点睛】
本题考查了空间基向量的知识,意在考查学生的空间想象能力
.
14
.
4
【解析】
【分析】
由题可得,
【详解】
因为
a?0,b?0,a?b?1
,
?
11
?
11ba
??
?
a?b
?
?
?
?
?2??
,再利用基本不等式的性质即可得出结果
.
abab
?
ab
?
所以
?
11
?
11ba
ba
??
?
a?b
?
?
?
?
?2??
?2?2??4
,
abab
ab
?
ab
?
1
时取等号,
2
当且仅当
a?b?
所以
11
?
的最小值为4.
ab
故答案为:4.
【点睛】
本题主要考查利用“整体乘
1
”的方法和基本不等式的性质来求最值,注意基本不等式的前提是正数
.
15
.
40
【解析】
设
B
层中的个体
数为
n
,则
11
?
2
?n?8
,则总体中的个体数
为
8?5?40.
28C
n
16
.
y?x?1
【解析】
【分析】
利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式求出切线方程.
【详解】
∵y
=
lnx
,∴
y'?
1
,
x
∴函数
y
=
lnx
在
x
=1处的切线斜率为1,
又∵切点坐标为(1,0),
∴切线方程为
y
=
x
﹣
1
.
故答案为:
y
=
x
﹣
1
.
【点睛】
本题考查了函数导数的几何意义,利用导数研究曲线上某点切线方程,正确求导是关键.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11
3
(
?
?)
,
S
取得最小值
1
.
17
.(
Ⅰ
)定值为
0
;(
2
)
S=
2
?
【解析】
分析:(
1
)设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,y
2
),
M
(
x
o
,
y
o<
br>),根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程,设直线
方程与抛物线方程联立消去
y,根据判别式大于
0
求得
x
1
?x
2
和
x
1
x
2
,根据曲线
1y=x
2
上任意一点斜率
为
y′=
x
,可得切线
AM
和
BM
的方程,联立方
程求得交点坐标,求得
FM
和
AB
,进而可求得
FM?AB
的
2
结果为
0
,进而判断出
AB
⊥
FM
.
(
2
)利用(
1
)
的结论,根据
x
1
?x
2
的关系式求得
k
和
λ
的关系式,进而求得弦长
AB
,可表示出
△
ABM
面积
.最后根据均值不等式求得
S
的范围,得到最小值.
详解:(
1
)
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
M
(
xo
,
y
o
),焦点
F
(
0
,
1
),准线方程为
y=
﹣
1
,
显然
AB
斜率存在且过
F
(
0
,
1
)
设
其直线方程为
y=kx
+
1
,联立
1y=x
2
消去
y
得:
x
2
﹣
1kx
﹣
1=0
,
判别式△
=16
(
k
2
+
1
)
>
0
,
x
1
+
x
2
=1k
,x
1
x
2
=
﹣
1.
于是曲线
1y=
x
2
上任意一点斜率为
y′=
x
,
2
1
1
则易得切线
AM
,
BM
方程分别为
y=
()x
1
(
x
﹣
x
1
)+
y
1<
br>,
y=
()
x
2
(
x
﹣
x
2
)+
y
2
,其中
1y
1
=x
1
2
,
22
x
1
?x
2
=2k
,
y
o
=
2
1y
2
=x
2
2
,
联立方程易解得交点
M
坐标,
x
o
=
从而FM
=
(
x
1
x
2
x?x
=
﹣
1
,即
M
(
12
,﹣
1
)
,
2
4
x
1
?x
2
,﹣
2
),AB
(
x
2
﹣
x
1
,
y
2<
br>﹣
y
1
)
2
FM?AB
=
题得证.
1
11
(
x<
br>1
+
x
2
)(
x
2
﹣
x
1
)﹣
2
(
y
2
﹣
y
1
)
=
(
x
2
2
﹣
x
1
2
)﹣
2
[(
x
2
2
﹣
x
1
2
)]<
br>=0
,(定值)命
22
4
1
|
AB
||FM
|.
2
(
Ⅱ
)由(
Ⅰ
)知在△
ABM
中,
FM
⊥
AB
,因而
S=
∵AF?
?
FB(
?
?0)
,
∴(﹣
x
1
,
1
﹣
y
1
)
=λ
(
x
2
,
y
2
﹣
1
),即
?
而<
br>1y
1
=x
1
2
,
1y
2
=x2
2
,
则
x
2
2
=
??x
1
?
?
x
2
,
?
1?
y
1
?
?
(y
2
?1)
4
,
x<
br>1
2
=1λ
,
?
|
FM
|
=
(
x
1
?x
2
2
1
2
12
111
)?(?2)
2
?x
1
?x
2
?x
1
x
2
?4?
?
??2?
??
2442
?
?
因为|
AF
|、|
BF
|分别等于
A
、
B
到抛物线准线
y=
﹣
1
的距离,
1
2
1
1
2
1
2
(
?
?)
.
所以|
AB
|
=
|
A
F
|+|
BF
|
=y
1
+
y
2
+
2=
x
1
?x
2
+
2=λ
++
2
=
?
44
?
于是
S=
11
3
1
)
,
|
AB
||
FM
|
=
(?
?
2
?
2
1
≥
2
知
S≥
1
,且当
λ=1
时,
S
取得最小值
1
.
由
?
?
?
点睛:本题求
S
的最值,
运用了函数的方法,这种技巧在高中数学里是一种常用的技巧
.
所以本题
先求出
S=
11
3
(
?
?)
,再求函数的定义域,再利用基本不等式求函数的最值
.
2
?
16400
元.
7
18
.(1)本次考试复赛资格最低分数线应划为100分;
(2)5人,2人;(3)
【解析】
【分析】
(1)求获得复赛
资格应划定的最低分数线,即是求考试成绩中位数,只需满足中位数两侧的频率之和均
为0.5即可;
(2)先确定得分在区间
?
110,130
与
?
130,1
50
的频率之比,即可求解;
(3)先确定
X
的可能取值,再求出其对应的概率,即可求出分布列和期望.
【详解】
(1)由题意知
30,90
的频率为:
20?<
br>?
0.0025?0.0075?0.0075
?
?0.35
, ??
??
?
110,150
?
的频率为:
20?
?
0.0050?0.0125
?
?0.35
所以分数在
?
90,110
?
的频率为:
1?0.35?0.35?0.3
,
从而分数在
90,110
的
??
频率0.3
==0.015
,
组距20
假设该最低分数线为
x
由题意得
0.35?
?
x?90
?
?0.015?0.5
解得
x?100
.
故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。
(2)在区间
?
110,
130
与
?
130,150
,
0.0125:0.0050?5:2
,
在区间
?
110,150
的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,
分在区间
?
110,130
与
?
130,150
各
抽取5人,2人,结果是5人,2人.
(3)
X
的可能取值为2,3,4,则: <
br>2310
C
5
2
C
2
C
5
C
2
4
C
5
4
C
2
21
P
?X?2
?
??;PX?3??;PX?4??
,
????
44
4
C
7
7C
7
7C
7
7
??
?<
br>??
从而Y的分布列为
Y 2600 2300 2000
P
2
7
4
7
1
7
2
4116400
?E
?
Y
?
?2600??2300??2000?
?
(元).
7777
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图求中
位数,以及分层抽样和超几何分布等问题,熟记相关概念,即可求解,
属于常考题型
.
?
e
2
?
19
.(I)
ln3
;(Ⅱ)
f(x)
为奇函数,证明见解析;(Ⅲ)
?
??,
?
.
4
??
【解析】
【分析】
(
Ⅰ
)利用
f
?
a
?
?2
代入原
式即得答案;
(
Ⅱ
)找出
f
?
?x
?
与
f
?
x
?
的关系即可判断奇偶性;
e
x
e
x
(
Ⅲ
)函数
g
?
x
?
在?
0,??
?
上没有零点等价于方程
k?
2
在
?
0,??
?
上无实数解,再设
h
?
x
?
?
2
,求
x
x
出最值即得答案.
【详解】
e
a
?1
(
Ⅰ
)因为
f
?
a
?
?
a
?2
,即:
e
a
?3
,
e?1
所以
a?ln3
.
(
Ⅱ
)函数
f
?
x
?
为奇函数.
令
e
x
?1?0
,解得
x?0
,
∴
函数
f
?
x
?
的定义域关于原点对称,
又
?
e
x
+1
?
e
?x
+11?ex
f
?
?x
?
?
?x
???
?
x
?
??f
?
x
?
e?11?e
x<
br>?
e?1
?
所以,
f
?
x
?
为奇函
数.
(
Ⅲ
)由题意可知,
g
?
x
?
?e
?kx
,
x2
e
x
函数
g
?
x
?
在
?
0,??
?
上没有零点等价于方程
k?
2<
br>在
?
0,??
?
上无实数解,
x
e
x?
x?2
?
e
x
设
h
?
x
?
?
2
(x?0)
,则
h
?
?
x
?
?(x?0)
,
x
x
3
∴
h
?
x
?
在
?
0,2
?
上单调递减,在
?
2,
??
?
上单调递增,
∴
h
?
x
?
在x?2
上取得极小值,也是最小值,
e
2
∴
h
?x
?
?h
?
2
?
?
,
4
?
e
2
?
∴
k
的取值范
围为
?
??,
?
.
4
??
【点睛】
<
br>本题主要考查函数的奇偶性,利用导函数计算函数最值,意在考查学生的转化能力,分析能力,计算能力,
难度中等
.
1
n?3
?n
2
?5n
20
.(1)
a
1
?9
,
a
n
?()
;(2)
S
n
?
3
2
【解析】
【分析】
(1)由
a
n?1
?
1
1a
n
,得到数列{
a
n
}是公比为的等比数列,进而可求得a
1
和
a
n
;
3
3
(2)由(1)
知
b
n
?3?n
,根据等差数列的定义,得到数列
{b
n<
br>}
是首项为
2
,公差为
?1
的等差数列,再
利用等差
数列的求和公式,即可求解.
【详解】
(1)由题意,可知
a
n
?1
?
1
1
a
n
,且
a
3
?1<
br>,则数列{
a
n
}是公比为的等比数列,
3
3
1
2
1
n?1
1
n?3
又
由
a
3
?a
1
?()?1
,解得
a
1?9
,
a
n
?9?()?()
.
333
1<
br>()
n?3
3
(2)由(1)知
b?loga?log
n3n
3
又由
b
n1
?3?n
,
b
n
1
,且
b
1
?2
,所以数列
{b
n
}
是首
项为2,公差为
-1
的等差数列,
n(2?3?n)?n
2
?5n
所以
S
n
?
.
?
22
【点睛】
本题主要考查了等差、等比数的定义,以及等比数列的通项公式和等差数列的前
n
项和
公式的应用,着重
考查了推理与运算能力,属于中档题
.
21
.(1)
y??
3
.
2
a
)
递减,在
(
a
,??)
递增. <
br>aa
(2)
a?0
时,递减区间为
(0,??)
;当
a?0
时,
f(x)
在
(0,
【解析】
【分析】
(1)求导数,利用导数的几何意义求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)先求出函数的导数,通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间.
【详解】
(
1
)当
a?1
时,函数
f
?
x
?
?
1
2
1
x?lnx?2
,
f
?
?
x
?
?x?
,
2x
∴
f
?
?
1
?
?0,
f
?
1
?
??
3
,
2<
br>∴曲线
f
?
x
?
在点
1,f
?
1<
br>?
处的切线方程为
y??
??
3
2
ax<
br>2
?1
(
2
)
f
?
?
x
?
?(x?0)
.
x
当
a?0
时,
f
?<
br>?
x
?
?0
,
f
?
x
?
的
单调递减区间为
?
0,??
?
;
??
a
?
a
?
当
a?0
时,
f
?
x
?<
br>在
?
?
a
,??
?
?
递增
?0,
a
?
?
递减,在
?
??
??
【点
睛】
本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,是一道基础题.
22
.(
Ⅰ
)
?
的分布列为
ε
P
(Ⅱ)
P(AB)?
【解析】
【分析】
【详解】
(Ⅰ)
由题意知,
?
的可能取值为
0
,
1
,
2
,
3,
且
0
1
2
3
34
243
12
?
2
?
2
?
2
?
1
P(
?
?0)?C?
?
1?
?
?,P(
?
?1)?C
3
??
?
1?
?
?
3
?
3
?
9
?
3
?
27
03
32
8
?
2
??
2
?
4
3
?
2
?
P(
?
?2)?C
3
2
?
??
?
?
1?
?
?,P(
?
?
3)?C
3
?
??
?
?
3
??
3
?
9
?
3
?
27
所以
?
的分布列为
ε
P
0
1
2
3
233
(
Ⅱ
)用
C
表示
“
甲得
2
分乙得
1
分
”
这一事件,用
D
表示“
甲得
3
分乙得
0
分
”
这一事件,所以
AB=C∪D,
且
C
、
D
互斥,又
2
?
2
??
211121111
?
10
P(C)?C
3
2
?()
2
?
?
1?
?
?
?
?
???????
?
?
4
3
?
3
??
332332332
?
3
2
?
111
?
4
3
P(
D)?C
3
?()
3
?
??
?
?
5
3
?
332
?
3
由互斥事件的概率公式得
P(AB)?P(C)?P(D)?
1043434
???
3
4
3
5
3
5
243
同步测试
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
?
x?2?tsin30
?
22
1
.已知直线
?
(<
br>t
为参数)与圆
x?y?8
相交于
B
、
C
两
点,则
|BC|
的值为( )
?
?
y??1?tsin30
A
.
27
B
.
30
C
.
72
D
.
30
2
2
.若函数
f(x)?x
3
?ax
2
?
ax?2
没有极值,则实数
a
的取值范围是
( )
A
.
[0, 3]
B
.
(0, 3)
C
.
(??, 0)(3, ??)
D
.
(??, 0][3,
??)
3
.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念
,
制定
节能减排的目标
,
先调查了用电量
(
单位
:
千
瓦·时
)
与气温
(
单位
:
(单位:)
)
之间的关系
,
随机选取
了
4
天的用电量与当天气温
,
并制作了以下对照表:
17 14
10 -1
(单位:千瓦时)
24 34 38 64
时
,
当天用电量约为(
)
由表中数据得线性回归方程
:
A
.
56
千瓦时
B
.
36
千瓦时
,
则由此估计
:
当某天
气温为
12
C
.
34
千瓦时
D
.
38
千瓦时
x
2
4
.双曲线
?y<
br>2
?1
的渐近线方程是
2
A
.
y??
1
x
2
B
.
y??
2
x
2
C
.
y??2x
5.若实数
A.
C.
满足,则( )
都大于0
D
.
y??2x
都小于0
B.
中至少有一个大于0 D.中至少有一个小于0
3
?
?
1
?
6
.设函数
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数,且当
x?0
时,
f
?
x
?
?lnx
,记
a?f
?
??
?
?
2
?<
br>?
?
?
1
?
?
b??f
?
log<
br>3
??
?
,
c?f
?
3
?
,则a,b,c
的大小关系为( )
?
2
?
??
A
.
c?b?a
B
.
b?c?a
C
.
b?a?c
D
.
a?b?c
?
?
,
?
?
7
.实验女排和育才女排两队进行比赛,在一局比赛中实验女排获胜的概率是
2
,没有平
局.若采用三局两
3
胜制,即先胜两局者获胜且比赛结束,则实验女排获胜的概率等于( )
A
.
4
9
B
.
20
27
C
.
8
27
D
.
16
27
8
.已知定义在R上
的函数
f
?
x?1
?
的图象关于
x?1
对称,且当
x?0
时,
f
?
x
?
单调递减,若
a?f
?
log
0.5
3
?
,
b?f
?
0.5
?1.3
?
,
c?f
?
0.7
6
?
,则a,b,c的大小关系是
(
)
A
.
c?a?b
B
.
b?a?c
C
.
a?c?b
D
.
c?b?a
9
.在复平面内与复数
z?
A
.
?1?i
2i
所对应的点关于虚轴对称的点为
A
,则
A
对应的复数为(
)
1?i
C
.
1?i
D
.
?1?i
B
.
1?i
10
.设<
br>x?R
,则
“
2
x
?8
”
是
“x?2?1
”
的()
A
.充分不必要条件
C
.充要条件
B
.必要不充分条件
D
.既不充分也不必要条件
11
.命题
P
:“关于x的方
程
x
2
?ax?2?0
的一个根大于
1
,另一个根小于1
”;命题
q
:“函数
h(x)?
x?1
的定义域内为
减函数”.若
p?q
为真命题,则实数
a
的取值范围是( )
x
e?1
??
?
A
.
?
?3,?3
?
B
.
?
??,
3
?
C
.
?
??,
D
.
R
12
.已
知函数
f(x)?e
2x?3
,
g(x)?
A
.
1
?ln2
2
B
.
ln2
1x
?ln
,若
f(m)?g(n)
成立,则
n?m
的最小值为()
42
1
C
.
?2ln2
D
.
2ln2
2
二、填空题:本题共4小题
13
.在
△ABC
中,
?ABC?90?
,
AB?4
,
BC?3
,点
D
在线段
AC
上,若
?BDC?45?,则
BD?
________
.
2
??
14
.在
?
3
x?
?
的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则
该二项展开式中的常数项等于
_____
.
x
??
n
15
.已知抛物线
x
2
?2py(p?0)
的焦点为
F
,点
P
,
Q
在抛物线上,且
?PFQ?
作准线
l<
br>的垂线,垂足为
M
1
,则
4
5
?
,过弦PQ
的中点
M
6
PQ
MM
1
的最小值为
__________
.
?
a
?
16
.若?
2x?
的展开式中常数项为96,则实数
a
等于
______
____
.
?
??
x
??
三、解答题:解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤。
17
.已知函数
f
?
x
??x?2
.
(1)解不等式
f
?
x
?
?f
?
2x?4
?
?2
;
(2)若
f
?
x
?
?f
?
x?3
?
?m?2m
对
x?R
恒成立,求实数
m
的取值范围.
2
18
.已知复数
z
满足:
z
2<
br>?3?4i
,且
z
在复平面内对应的点位于第三象限
.
(
I
)求复数
z
;
?
1?z
?
(Ⅱ)设
a?R
,且
??
?
1?z
?
2019?a?2
,求实数
a
的值
.
19
.(
6分)如图,直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的
底面为直角三角形,两直角边
AB
和
AC
的长分别为
4
和<
br>2
,
侧棱
AA
1
的长为
5.
(
1
)求三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的体
积;
(
2
)设
M
是
BC
中点,求直线
A
1
M
与平面
ABC
所成角的大小
.
20
.(
6
分)如图所示,在直角坐标系
xOy
中,曲线C由以原点
为圆心,半径为2的半圆和中心在原点,
焦点在x轴上的半椭圆构成,以坐标原点
O
为
极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线C的极坐标方程;
(2
)已知射线
??
7?
(??0)
与曲线C交于点M,点N为曲线C上的动点,
求
?MON
面积的最大值.
6
2
t
2
(t
为参数), 以坐标原点
O
2
t
2
?
?
x?2?
?
21
.(
6
分)已知在直角坐标系
xOy
中, 直线
l
的参数方程为是
?
?
y?1?
?
?
为极点,
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线
C
的极坐标方程为
?
?4sin
?
.
(1)
判断直线
l
与曲线
C
的位置关系;
(2) 在曲线
C
上求一点
P
,使得它到直线
l
的距离最大,并求出最大距离.
2
22
.(
8
分)已知
m?R
,命題p:
对任意
x?
?
0,1
?
,不等式
log<
br>2
?
x?1
?
?2?m?3m
恒成立;命题
q:存
在
x?
?
?1,1
?
,使得
m?()?1<
br>成立.
x
1
2
(1)若
p
为真命题,求
m
的取值范围;
(2)若
p?q
为假,
p?q
为真,求
m
的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
B
【解析】
【分析】
根据参数方程与普通方程的互化方法,然后联立方程组,通过弦长公式,即可得出结论.
【详解】
?
x?2?tsin30
?
曲线
?(
t
为参数),化为普通方程
y?1?x
,
?
?y??1?tsin30
将
y?1?x
代入
x?y?8
,可得<
br>2x
2
?2x?7?0
,
∴
BC?1?
?
?1
?
?1?4?
【点睛】
本题主要考查把参数方程、极坐标方程
化为直角坐标方程的方法,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.
2
.
A
【解析】
【分析】
由已知函数解析式可得导函数解析式,根据导
函数不变号,函数不存在极值点,对
a
讨论,可得答案.
【详解】
32
∵
f(x)?x?ax?ax?2
,∴
f?
?
x?
=3x?2ax?a
,
22
2
7
?30
,故选
B
.
2
2
2
①当
a?0
时,则
f?
?
x
?
=3x?0
,
f(x)
在
R
上为增函数,满足条件;
②
当
a?0
时,则
?=4a?12a=4a
?
a?3
?
?0
,
2
即当
0?a?3
时,
f?
?
x
?
?0
恒成立,
f(x)
在
R
上为增函数,满足条件
综上,函数
f(x)?x?ax?ax?2
不存在极值点的充要条件是:
0?a?3
.
故选:
A
.
32
【点睛】
本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,本题是一道基础题.
3
.
B
【解析】
【分析】
计算出和的值,将点
所求结果。
【详解】
由题意可得,, 的坐标代入回归直线方程,得出的值,再将代入可得出的值,即为
由于回归直线过样本的中心点回归直线方程为
【点睛】
,当
,则
时,
,得,
(千瓦时),故选:
B.
本题考查回归直线方程的应用,解题的关键在于利用回归直线过样本中心点
力,属于中等题。
4
.
B
【解析】
【分析】
由双曲线方程求得
a,b
,由渐近线方程为
y??
【详解】
由双曲线方程得:
a?
这一结论,考查计算能
b
x
求得结果
.
a
2
,
b?1
?
渐近线方程为:
y??
b
x??
2
x
a2
本题正确选项:
B
【点睛】
本题考查双曲线渐近线的求解,属于基础题
.
5
.
D
【
解析】假设
a,b
都不小于
0,
即
a≥0,b≥0,
则a+b≥0,
这与
a+b<0
相矛盾
,
因此假设错误
,
即
a,b
中至少有一个小
于
0.
6
.
A
【解析】
分析:根据x>0时f(x)解析式
即可知f(x)在(0,
+∞
)上单调递增,由f(x)为奇函数即可得出
1
b?flog
3
2
,然后比较
()
3
,log
3<
br>2,和3
的大小关系,根据f(x)在(0,
+∞
)上单调递增即可
2
??
比较出a,b,c的大小关系.
详解:
x
>0时,f(x)=
lnx
;
∴
f(x)在(0,
+∞
)上单调递增;
∵
f(x)是定义在R上的奇函数;
?
b??f
?
log
?
3
1
??
?f
??
?log
2
??
3
1
?
?
=
flog
3
2
;
2
?
??
1
1<log
3
2<2
,
0<()
3
<1
;
2
1
3
∴
0<()<log
3
2<3
;
2
∴
f
(
?
)
?
1
?
2
3
?
?
<flog
3
2<f
?
3
?
;
?
??
∴a
<
b
<
c
;
即c>
b
>
a
.
故选A.
点睛:利用
指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式
的异同,底
数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或
式子的大致
范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值
0,1
的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来
比较大小.
7
.
B
【解析】
试题分析:实验
女排要获胜必须赢得其中两局,可以是
1,2
局,也可以是
1,3
局,也可以
是
2,3
局
.
故获胜
的概率为
:
考点:独立事件概
率计算
.
8
.
A
【解析】
【分析】
先根据对称性将自变量转化到
x?0
上,再根据
x?0
时
f
?
x
?
单调递减,判断大小.
【详解】
∵定义
在
R
上的函数
f
?
x?1
?
的图像关于
x
?1
对称,∴函数
f
?
x
?
为偶函数,
∵
log
0.5
3?log
0.5
1?0
,∴
f
?
log
0.5
3
?
?f
?
log
2
3
?
,∴
1?log
2
2?log
2
3?log
2
4?2
,
0.5
?1.3
?2
1.3
?
2
,
,
故选
B.
0?0.7
6
?1
.∵当
x?0
时,
f
?
x
?
单调递减,∴
c?a?b
,故选
A
.
【点睛】
比较两个函数值或两个自变量的大小:首先根据函数的性质把两个函数值中
自变量调整到同一单调区间,
然后根据函数的单调性,判断两个函数值或两个自变量的大小
9
.
D
【解析】
【分析】
根据复数
的运算法则求出
z?1?i
,即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标,写出复数
.
【详解】
由题
z?
2i
?
1?i
?2i2i?2
???1?i
,在复平面对应的点为(
1,1
),
1?i
?
1?i
??
1?i
?
2
关于虚轴对称点
为(
-1,1
),所以其对应的复数为
?1?i
.
故选:
D
【点睛】
此题考查复数的几何意义,关键在于根据复数
的乘法除法运算准确求解,熟练掌握复数的几何意义
.
10
.
B
【解析】
【分析】
分别将两个不等式解出来即可
【详解】
由
2
x
?8
得
x?3
由
x?2?1
得
2?x?3
所以
“
2<
br>x
?8
”
是
“
x?2?1
”
的必要不充分条
件
故选:
B
【点睛】
设命题
p
对应的集合为
A
,命题
q
对应的集合为
B
,若
A
?B
,则p是q的充分不必要条件,若
A
?
B
,则
p是
q
的必要不充分条件,若
A=B
,则
p
是
q
的充要条件
.
11
.
B
【解析】
【分析】
通过分析命题
q
为假命题只能
P
真,于是可得到答案
.
【详解】
命题
P
真等价于<
br>f(1)?1?a?2?0
即
a??3
;由于
h(x)
的定义
域为
?
x|x?0
?
,故命题
q
为假命题,而
p?
q
为真命题,说明
P
真,故选
B.
【点睛】
本题主要考查命题真假判断,意在考查学生的转化能力,逻辑推理能力,分析能力,难度中等
.
12
.
A
【解析】
【分析】
根据<
br>f
?
m
?
?g
?
n
?
?k
得到
m
,
n
的关系,利用消元法转化为关于
t
的函数,构造
函数,求函数的导数,
利用导数研究函数的最值即可得到结论.
【详解】
设
e
2m?3
?
1
1n3lnk
?ln?k(k?0),则
m??
,
n?2e
k?
4
,
4222<
br>k?
1
4
1
k?
1
lnk3
?
,
??
,所以
h(k)?2e
4
?
22
2k
令
h(k)?n?m?2e
1
4
又
h(k)?2e
?
k?
?
1
?
?
1
?
在
?
0,?
?
?
增函数,且
h
??
?0
,
?
4
?
2k
当
k?
?
0,
?
?
1
??
1
?
?
k?,??
h(k)?0
时,,当???
时,
h
?
(k)?0
,
4
??
4
?
k?
1
4
所以
h(k)?2e?
?
1
?
lnk3
?
1
?
?
在
?
0,
?
上递减,在
?
,??
?
上递增.
?
4
?
22
?
4
?
所以
h(k)
min
?h
?
故选A.
【点睛】
1
?
1
?
1
n?m
??ln2
?ln2
. ,即的最小值为
?
2
?
4
?
2
本题主要考查导数的应用,利用消元法进行转化,构造
函数,求函数的导数,利用导数研究函数的极值和
最值是解决本题的关键,有一定的难度.
二、填空题:本题共4小题
13
.
122
5
【解析】
【分析】
根据题意,由于题目中给出了较多
的边和角,根据题目列出对应的正余弦定理的关系式,能较快解出
BD
的长度
.
【详解】
根据题意,以点
A
为原点,
AC
所在直线为
x
轴建立平面直角坐标系。过点
B
作
BE
垂直
AC
交
AC
于点
E
,则
S
?ABC
?
11
AC?BE?AB?BC?6
,
又因为
在
Rt?ABC
中,
AC?AB
2
?BC
2
?5<
br>,
所以
22
BE?
1216
122
,
AE?
,
故
BD?
.
55
5
【点睛】
本题主要考查学生对于正余弦定理的掌握,将几何问题转化为坐标系下的问题是解决本题的关键
.
14
.1
【解析】
【分析】
由题意可得
n?8
,再利用二项展开式的通项公式,求得二项展开式常数项的值.
【详解】
2
(
3
x?)
n
的二项展开式
的中,只有第
5
项的二项式系数最大,
?n?8
,
x
通项
公式为
T
r?1
?C(?2)x
r
n
r
n?4r<
br>3
?(?2)Cx
rr
8
8?4r
3
,令
8
?4r
?0
,求得
r
3
2
,
可得二项展开式常数项等于
4?C
8
2
?112
,
故答案为
1
.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
15
.
6?2
.
2
【解析】
Q
分别作准线的垂线
PA
、
QB
,
B
,分析:过
P
、垂足分别是
A
、设
PF?2a
,
QF?2b
,可
得
MM
1
?a?b
,
由余弦定理得:
PQ
2
?4a
2
?4b
2
?43ab
,进而根据基本不等式,求得
|AB|
的取值范围,从而得到本
题答案
.
详解:如图:
<
br>过
P
、
Q
分别作准线的垂线
PA
、
QB,垂足分别是
A
、
B
,
设
PF?2a
,
QF?2b
,
由抛物线定义,得
PF?PA,QF?QB
,
在梯形
AB
QP
中,
2MM
1
?PA?QF?2a?2b
,
?
MM
1
?a?b
,
由余弦定理得:
5
PQ
2
?4a
2
?4b
2
?8abco
s
?
?4a
2
?4b
2
?43ab
6
2
?
a?b
?
,
?4
?a?b
?
?43?8ab?4
?
a?b
?
?43?8?
?
?2?3a?b
??
?
2
??
2
??<
br>2
??
2
??
则
PQ
MM
1
的最小
值为
2?3?
2?6
.
2
故答案为:
2?6
.
2
点睛:本题考查抛物线的定义、简单几何性质,基本不等式求最值,余弦定理的应用等知识,
属于中档题
.
16
.
4
【解析】
r
?
a
?
a
?
4?r
?
rr4?2r2
4?r
2x??a?2?Cx
,令
4?2r?0,r?2
,的展开式的通项是
T
r?1
?C
4
?
2x
?????
4
????
x
???
x
?
2
?
a
?
2
2
可得
a?4,
故答案为
4
.
?
2
4?2
?C
4=96,
?
2x?
x
?
?
的展开式中常数项为
a·
??
4r
4
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属
于简单题
.
二项展开式定理的问题也是高考
命题热点之一,关于二项式定理的命题方
向比较明确,主要从以下几个方面命题:(
1
)考查二项展开式的
rn?rr
通项公式
T
r?1
?C
n
ab
;(可以考查某一项,也可考
查某一项的系数)(
2
)考查各项系数和和各项的二
项式系数和;(
3
)二项展开式定理的应用
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 <
br>?
17
.(1)
?
??,?2
?
?
?
?
【解析】
【分析】
2
?
,??
?
;(2)
?
?3,1
?
.
?
3
?
(1)利用分段讨论法去掉绝对值,求出不等式f(x)-f(2x+4)<2的解集;
(2)由绝对值不等式的意义求出f(x)+f(x+3)的最小值,得出关于m的不等式,求解即可.
【详解】
解:(
1
)由题知不等式
f(x)?f(2x?4)?2
,
即
x?2?2x?2?2
,
?
x??1
等价于
?
,
?x?2?2x?2?2
?
或
?
?
?1x2
,
?
?x?
2?2x?2?2
?
x?2
或
?
;
x?2?2x
?2?2
?
解得
x??2
或
?
2
2
?x2
或
x?2
,即
x??2
或
x??
,
3
3
2
,
??)
;
3
?
原不等式的解集为
(??
,
?2)?(?
(
2
)由题知<
br>f(x)?f(x?3)?x?2?x?1(x?2)?(x?1)?3
,
?f(x)?f(x?3)
的最小值为
3
,
?m
2
?2m3
,
解得
?3m1
,
?
实数
m
的取值范围为
[?3
,
1]
.
【点睛】
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是基础题.
18
.(Ⅰ)
z??2?i
(Ⅱ)
a??3
【解析】
【分析】
?
1?z
?
(I
)设
z?c?di
?
c?0,d?0
?
,
利
用复数相等的概念求出复数
z;
(Ⅱ)先计算出
??
?
1?z
?
a
的值
.
【详解】
解;(Ⅰ)设
z?c?di
?
c?0,d?0<
br>?
,则
z
2
?
?
c?di
?
?c<
br>2
?d
2
?2cdi?3?4i
,
2
2019??1
,再求
?
c
2
?d
2
?3,
?
?
2cd?4,
?
解得
?
?
c??2,
?
c?2,
或
?
(舍去)
.
?
d??1
?
d?1
?z??2?i
.
?
1?i
?
?i
(Ⅱ)z??2?i
,
?
1?z
?
?1?i
?
1?i
?
1?z?1?i1?i2
1?z
?
?
?
???
1?z
?
2019
2
?i
2019
?i2016?3
?i
504?4?3
?
?
i
4
5
04
?
?i
3
??1
,
?
a?i?a
2
?1?2
,
?
a??3
.
【点睛】
本题主要考查复数的求法和复数的运算,考查复数模的计算,意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平,
属于基础题
.
19
.(
1
)
2;
(
2
)
arctan5
【解析】
【分析】
(
1
)三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的体积
V?S
?ABC
?AA
1<
br>?AC?AA
1
,由此能求出结果;
(
2
)连结
A
M,?A
1
MA
是直线
A
1
M
与平面
AB
C
所成角,由此能求出直线
A
1
M
与平面
ABC
所
成角
的大小
.
【详解】
解:(
1
)∵直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的底面为
直角三角形,
两直角边
AB
和
AC
的长分别为
4
和
2
,侧棱
AA
1
的长为
1
.
∴三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的体积:
V
=
S
△
ABC
×
AA
1
1
??AB?AC?AA
1
2
1
??4?2?5?
2
.
2
(
2
)连结
AM
,
∵直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的底面为直角三角形,
两直角边
AB
和
AC
的长分别为
4
和
2<
br>,侧棱
AA
1
的长为
1
,
M
是
BC
中点,
∴
AA
1
⊥底面
ABC
,
AM<
br>?
11
BC?16?4?5
,
22
∴∠
A
1
MA
是直线
A
1
M
与平面
ABC
所成角
,
tan
∠
A
1
MA
?
AA
1
5
??5
,
AM
5
∴直线
A
1
M
与平面
ABC
所成角的大小为
arctan
5
.
【点睛】
本题考查三棱柱的体积的求法,考查
线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识,考查推理论证能力、运算
求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、
数形结合思想,是中档题.
2,(0?
?
?
?
)
?
?
47
.
20
.(1)
?
?
?
;(2)
4
,(
?
?
?
?2
?
)
7
?
2
3sin
?
?1
?
【解析】
【分析】
(
1
)根据题意,分别求出曲线
C
上半部分和下半部分直角坐标方程,利用直
角坐标系与极坐标的转化公
式,即可得到曲线
C
的极坐标方程;
(2)由题
可知要使
?MON
面积最大,则点
N
在半圆上,且
OM?ON
,利用极坐标方程求出
OM
,
由三角形面积公式即可得到答案。
【详解】
(1)由题设可得,
曲线
C
上半部分的直角坐
标方程为
x?y?4
?
y?0
?
,
22
20??
??)
所以曲线
C
上半部分的极坐标方程为
??(
.
x<
br>2
又因为曲线
C
下半部分的标准方程为
?y
2
?1(
y?0)
,
4
所以曲线
C
下半部分极坐标方程为
??2
4
(????2?)
,
3sin
2
??1
2,(0?
?
?
?
)
?
?
故曲线
C
的极坐标方程为
?
?
?
.
4
,(
?
?
?
?2
?
)
?
2
?
3sin
?<
br>?1
(2)由题设,将
??
7?
47
(??0)
代入
曲线
C
的极坐标方程可得:
?
M
?|OM|?
.
6
7
又点
N
是曲线
C
上的动点,所以
?
?
N
?
max
?(|ON|)
max
?2
.
由面积公式得:
S
MON
1147
??|OM|?|ON|?|sin?MON|??|OM|?|ON|?
227
当且仅当
sin?MON?1
,
ON?2
时等号成立,故
?MON
面积的最大值为
【点睛】
47
.
7
本题考查直角坐标与极坐标的互化,利用极坐标的几何意义求三角形面积,考查学生基本
的计算能力,属
于中档题
21
. (1)
相离;(2)
d?r?
【解析】
【分析】
32
?2
.
2
?
1
?
把直线
l
参数方程化为普通方程,曲线
C
极坐标方程化为普通方程,求出圆心
C
到直线
l
的距离
d
,
然后与半径比较大小即可作出判断
?
2
?
圆上一点
p
到直线
l
的距离最大为
d?r
,求出过圆心与直线
l
垂直的直线方程,与圆的方程联立确定
出此时<
br>p
的坐标即可
【详解】
(1)易得直线
l
的方程
为
x?y?1?0
,曲线
C
的方程为
x
2
?
?
y?2
?
?4
,圆心
C
?
0,2
?<
br>,半径
r?2
,圆心
2
C
到直线
l
的距离<
br>d?
0?2?1
2
?
3
?2
,
所以直线
l
与曲线
C
相离.
2
32
?2
,
2
(2)
易得点
P
到直线
l
的最大距离为
d?r?
2
?
?
x
2
?
?
y?2
?
?4
,
过圆心且垂直于直线
l
的直线方程为
y??x?2
, 联立
?
?
?
y??x?2
所以
2x
2
?4?x??2<
br>,
易得点
P?2,2?2
.
【点睛】
本题主要
考查了将参数方程和极坐标方程转化为普通方程,然后判断直线与圆的位置关系,运用点到直线
的距离公
式,求出圆心到直线的距离即可作出判断,属于基础题
22
. (1)
?
1
,2
?
;(2)
?
??,1
?
【解析】
【分析】
(
1
)由题得
?2?m
2
?3
m
,解不等式即得解;(
2
)先由题得
m?[()?1]
max?1
,
由题得
p
,
q
中一个是真命题,一个是假命题
,列出不等式组,解不等式组得解.
【详解】
??
?
1,2
?
1
2
x
(1)对任意
x?
?
0,1
?
,
不等式
log
2
?
x?1
?
?2?m?3m
恒成立
,
2
当
x?
?
0,1
?
,由对数函数的性质可知
当
x?0
时,
y?log
2
?
x?1
?
?
2
的最小值为
?2
,
??2?m
2
?3m
,解得
1?m?2
.
因此,
若
p
为真命题时,
m
的取值范围是
?
1,2
?.
(2)存在
x?
?
?1,1
?
,使得
m?
()?1
成立,
?m?[()?1]
max
?1
.
xx<
br>1
2
1
2
命题
q
为真时,
m1
,
p
且
q
为假,
p
或
q
为真,
?p
,
q
中一个是真命题,一个是假命题.
当
p
真
q
假时,则
?
?
1?m?2
解得
1?m?2;
m?1
?
,即
m?1
. 当
p
假
q
真时,
?
?
m1或m2
?
m?1
综上所述,m
的取值范围为
?
??,1
?
【点睛】
?
1,2
?
.
本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立
问题的解法,考查复合命题的真假和存在性问题,意
在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能
力
.