2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛(含详解)

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
(考试时间:2010年9月4日9：00—11：30) 本试卷共12小题，满分150分；
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.函数
f(x)?2x?
2
4x?x
的值域是 .
2.函数
y?
的图象与
y?e
x
的图象关于直线
x?y?1
对称.
3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .
4.设椭圆
x
2
t?1
?
y
2
t?1
? 1
与双曲线
xy?1
相切，则
t?
.
5.设
z
是复数，则
|z?1|?|z?i|?|z?1|
的最 小值等于 .
6.设
a
，
b，
c
是实数，若方程
x
3
?ax
2
?bx?c ?0
的三个根构成公差为1的等差数列，则
a
，
b
，
c应满足的充分必要条件是 .
????????????????
7.设
O
是
?ABC
的内心，
AB?5
，
AC?6
，
BC?7
，
OP ?xOA?yOB?zOC
，
0?x,y,z?1
，动点
P
的轨迹所 覆盖的平面区域的面积等于 .
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .
二、解答题（共86分）
9.（20分）设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n
?


10.（22分）求最小正整数
n
使得
n?n?24
可被 2010整除.


11.（22分）已知
?ABC
的三边长度各 不相等，
D
，
E
，
F
分别是
?A
，
?B
，
?C
的平分线
与边
BC
，
CA
，
AB
的垂直平分线的交点.求证：
?ABC
的面积小于
?DEF的面积.



12.（22分）桌上放有
n
根火柴 ，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多
n?1
根火柴，此后每人每次至少取 走
1
根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后
一根火柴者获胜.问 ：当
n?100
时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

2
2
1?a
n?1
，
n?2
.求
a
n
的通项公 式.

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2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.答案：
?
4?25,8
?
.
??
提示：因< br>0?x?4
，设
x?2?2cos
?
（
0?
?
?
?
），
则
y?4cos
?
?2sin
??4?25cos(
?
?
?
)?4
（其中
cos
?
?
锐角），
所以当
?
?0
时，
y
m ax
?8
，当
?
?
?
?
?
时，
y
min
?4?25
，故
y?
?
4?25,8
?.
??
2
5
，
sin
?
?
1
5
，
?
为
2. 答案：
1?ln(1?x)

提 示：因两函数图象关于直线
x?y?1
对称，所以
x?y?1
，
y? 1?x
，
∴
1?x?e
1?y
，解得
y?1?ln(1?x)
.
3. 答案：
?
1
3

提示：正八面体由两个棱长都相等的 正四棱锥组成，所以
任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角
1
1 ?tan
?
2
?
的两倍.∵
tan
?
?
c os2
?
?2co
?
s??1?
2
2
，∴
cos
?
?
1
3
2
?
1
3
，则< br>.
4. 答案：
5

x
2
提示：由椭圆方程
t?1
?
y
2
t?1
?1
知，
t?1
，
?
?
x?
设其参数方程为
?
?
?
y?t?1cos
?
t?1sin
?
is2
（
?
为 参数）代入双曲线方程
xy?1
，得
n
?
?
2
t? 1
2
.
因两曲线相切，∴
2
t?1
2
?1
，故
t?5
.
5. 答案：
1?3

提示：在复平面上 ，设
A(?1,0)
，
B(1,0)
，
C(0,1)
，则当
Z
为
?ABC
的费马点时，
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|z?1|?|z?i|?|z?1|
取得最小值，最小值为
1?
3
3
?
23
3
?
23
3
?1?3
.
6. 答案：
b?
a
2
3
?1
且
c?a
3
27
?
a
3
.
提示：设三个根为
?
?1
，
?
，
?
?1
，则
x
3
?ax
2
?bx?c?(x?
?
?1)(x?
?
) (x?
?
?1)
，
右边展开与左边比较得
?a?3
?，
b?(
?
?1)
?
?
?
(
?
?1)?(
?
?1)(
?
?1)?3
?
2
?1< br>，
2
?
a
?1
?
b?
?
3
消去
?
得
?
，这就是所求
?c?(
?
?1)
?
(
?
?1)
，
3
?
c?
a
?
a
?
273
?
的充要条件.
7. 答案：
126

提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点
P
在图 中
的三个平形四边形及其内部运动，所以动点
P
的轨迹所覆盖
的平面区域的面 积等于等于
?ABC
面积的2倍，即
126
.

8. 答案：
6
7

33
提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有
C
8
个三角形，其中直角三角形有
12?C
4
个，所求“构 成直角三角形”的概率是
二、解答题（共86分）
9. 解：特征根法. 又
an
?2?
4?2a
n?1
1?a
n?1
2
12 ?C
4
C
3
8
3
?
6
7
. ，
a
n
?1?
1?a
n?1
1?a
n?1，????（10分）
得
a
n
?2
a
n
?1
?(?2)?
a
n?1
?2
a
n?1
?1
?(?2)
a
n?2
?2
a
n?2
?1
?
?
?(?2)
，于是
a
n
?
n
(?2)?2
(?2)?1
n
n
.?（20分）
?
n
2
?
2
?
n
2
10. 解：
2010|n?n?24?
?
2
?
n
?
2
?
n
2
?n?24?0mod2
?n?24?0mod3
?n?24 ?0mod5
?n?24?0mod67
2
?
n
2
?n?0 mod3
?
2
?
?
n?n?1mod5
??（10分） < br>?
2
?
n?n?43mod67
又
n?n?0mod3?n? 0
或
2mod3
，
n?n?1mod5?n?2mod5
，
第 3 页 共 4 页

2
故所求最小正整数
n?77
.????（22分）
n?n?43mod67?n?10
或
56mod67
，
11. 证 明：由题设可证
A
，
B
C
，
D
，
E
，
F
六点共圆. ????（10分）
不妨设圆半径为
S
?DE F
?
1
2
(sinA?sinB?sinC)
.
1，则有
S
?ABC
?
1
2
(sin2A?sin2B?sin2C )
，
由于
sin2A?sin2B?sin2C

?
12
(sin2A?sin2B)?
1
2
(sin2B?sin2C)?< br>1
2
(sin2C?sin2A)

?sin(A?B)sin(A? B)?sin(B?C)sin(B?C)?sin(C?A)sin(C?A)

?sin( A?B)?sin(B?C)?sin(C?A)
?sinA?sinB?sinC

∴
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积. ????（22分）
12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目
n
从小到大排序为：
n
1
，
n
2
，
n
3
，?，
不难 发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：
（1）
?
n
i
?
满足
n
i?1
?n
i
?n
i?1
；
（2）当
n?n
i
时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙 此时所取的火柴数目
?n
i?1
；
（3）当
n
i
?n?n
i?1
时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目
?n
i
.
??????????????（10分）
设
k?n?n
i
（
i?4
），注意到
n
i?2
?
当
1? k?
当
n
i
2
n
i
2
n
i
2
?n
i?1
.
时，甲第一次时可取
k
根火柴，剩余< br>n
i
?2k
根火柴，乙无法获胜.
?k?n
i?1
时，
n
i?2
?k?n
i?1
，根据归纳假设，甲可以取到第
k
根火柴，并且甲此时
所取的火柴数目
?n
i?2
，剩余
n
i
?2n
i?2
根火柴，乙无法获胜.
当
k?n
i?1
时，设甲第一次时取走m根火柴，若
m?k
，则乙可取走所有剩小的火柴；若
m?k
，则根据归纳假设，乙总可以取到第
k
根火柴，并且乙此时所取的火柴 数目
?n
i?2
，剩
余
n
i
?2n
i?2
根火柴，甲无法获胜.
综上可知，
n
i?1
?n
i
?n
i?1
.
因为100不在数列
?
n
i
?
，所以当
n?100
时，甲有获胜策略. ????（22分）
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