全国高中数学竞赛二试模拟训练题(50)

加试模拟训练题（50）
1.如图，O、I分别为?ABC的外心和内心， AD是BC边上的高，I在线段OD上，求证：?ABC
的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径；(注：?ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆)


















2. 设m和n是正整数，a1
，a
2
，…，a
m
是集合{1，2，…，n}中的不同元素， 每当a
i
+a
j
≤n，1≤i≤j≤m，就有某个k，1≤k≤m，使得a< br>i
+a
j
=a
k
，求证：
















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3. 在木板上写有 若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代
替0和1的是2，代替1 和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在
木板上只留下一个数字，那么与它 们操作的次序无关．







4. 求满足等式2x
2
y
2
+y
2
=26x2
+1201的一切正整数数组（x，y）．
























加试模拟训练题（50）

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1.如 图，O、I分别为?ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，求证：?ABC
的外 接圆半径等于BC边上的旁切圆半径；
(注：?ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以 及边BC都相切的圆)

证明：如图，记AB?c，BC?a,CA?b，
设AI的延 长线交?ABC的外接圆O于K点，
则OK是圆O的半径，记为R，
?
OK?BC，? OKAD
?
AIADc?sinB
???2sinBsinC
IKOKR1
又
?
?ABI??IBC??B
2
1
?CBK??C AK??A
2
?AKB??ACB??C
?BAK?
1
?A
2
1B
AB?BI?sin
AIS
?ABI
2
???
2
IKS
?KBI
1
BK?BI?sin
A?B
22BBBC
sinsin2sinsin
AB
2
?
sinC
?
2
?
22
??
A
BK
cos
C
sin
A
cos
C
sin
2222
BC
2sin sin
22
由(1)、(2)可得：2sinBsinC?
A
sin
2
ABC
?4sincoscos?1
222
又设?ABC的边BC上的旁切 圆半径为r
a
,则：
11bcsinA
bcsinA?S
?ABC< br>?r
a
(b?c?a)?r
a
?
22b?c?a
si nAsinBsinCsinAsinBsinC
?r
a
?2R??2R?
B ?CB?CB?CB?C
sinB?sinC?sinA
2sincos?2sincos2222
?R?
sinAsinBsinCABC
?4R?sin2sinsin ?R
B?CBC
222
sin2sinsin
222
?即?ABC的 外接圆半径等于BC边上旁切圆的半径

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2. 设m和n是正整 数，a
1
，a
2
，…，a
m
是集合{1，2，…，n}中的 不同元素，每当a
i
+a
j
≤n，1≤i≤j≤m，就有某个k，1≤k≤m ，使得a
i
+a
j
=a
k
，求证：


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【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题1．本题由法国提供．
【证】不妨设a
1
＞a
2
＞…＞a
m
，
若存在某个i，l≤i≤m，使a
i
+a
m+1-i
≤n．则 a
i
＜a
i
+a
m
＜a
i
+a
m-1
＜…＜a
i
+a
m+1-i
≤n
由已知，得i元集

这不可能，于是对1≤i≤m，恒有a
i
+a
m+1-i
≥n+1．从而
2（a
1
+a
2
+… +a
m
）=（a
1
+a
m
）+（a
2
+a
m-1
）+…+（a
m
+a
1
）≥m（n+1）

3. 在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在
木板 上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关．
【题说】第九届(1975年)全苏数学奥林匹克八年级题6，十年级题5．
【证】 假设0 的个数是p，1的个数是q，2的个数是r．在每次操作后，p、q和r分别增加
或减少1，即p、q、 r改变一次奇偶性．当木板上只留下一个数字时，p、q、r三个数中，一
个为1，另两个为0．由此可 见，p、q、r三数中，必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同；
与它对应的数字最后留在木板上．
4. 求满足等式2xy+y=26x+1201的一切正整数数组（x，y）．
【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8．
【解】由条件得
（2x+1）（y－13）=1188=2×3×11
从而2x+1与y－13均为2×3× 11的因数．又2x+1是奇数，故2x+1为3×11=297
的因数．由下表
2222223
2223
2222

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可知，所求的正整数解为（4，7）和（7，5）．



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