【数学】2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题

知识改变命运，学习成就未来
2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
答案及评分标准
（7月5日上午8：30—11：00）
考生注意：本试卷共三道大题，16道小题满分150分。
一． 选择题（本题满分30分，每小题5分）
本题共有6道小题，每小题给出了（A）（B）（C）（D） 四个结论，其中只有一个是正确的。
请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得5分， 不选、选错或选出的
代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1．已知集 合M={x|x∈R，5－|2x－3|∈N
+
}，则M的所有非空真子集的个数是（ ）
A．254 B．255 C． 510 D． 511 [答]（ C ）
?
x?2
?
2．平面上满足约束条件
?
x?y?0
的点（x ，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x
?
x?y?10?0
?
对称 的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为
A．
65

5
B．
125

5
C．
83

5
D．
163

5
[答]（ B ）
3 ．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB< br>的取值范围是
A．(1，1+
3
]

2






B．[
D．[
1
3
，1+
]

2
2
1
，
2]

2
C．（1，
2]
[答]（ C ）
4．设M是正方体各条棱的中点的集合，则过且公过M中3个点的平面的个数是
A．56B。81C。136D。145[答]（ ）
5．设a
n
=2， b
n
=n，
（n=1，2，3，。。。），A
n
、B
n分别为数列{a
n
}、{b
n
}的前n项和。记c
n
= a
n
B
n
+b
n
A
n
—a
nb
n
，则数列{c
n
}的前10项和为
10 11
A．2+53 B.2 +53
9 10
C.110×（2－1） D.110×（2－1） [答]（ D ）
6．将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内 ，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小
圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是
A．30 B.31 C.32 D.33 [答]（ B ）
二．填空题（本题满分30分，每小题5分）
o
7．正四面体ABCD的外接球球心 为O，E为BC中点，则二面角A—BO—E的大小为___120____.
n
8．函数f （x）=
x?x
3
1?2x
2
?x
4
的最大值与最 小值的乘积是_______－
1
__________.
16
1
_______.
4
9.把长为1的铁丝截成三段，则这三 段恰能围成三角形的概率为_____
10．设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函 数，且在（0，+∞）上递减。
1
1
若f（）=0，f（log
a
x）＞0，那么x的变化范围是____
x?
或
a?x?1
_____.
2
a
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知识改变命运，学习成就未来

11．数列{a
n
}满足a
n
=
1?
1
n
2
?
1
(n?1)
2
－1，则a
1
+a
2
+a
3
+。。。+a
n
=______

2009
_________
2010
x
2
y
2
12．已知点P是双曲线－=1上的动点，F、F分别是其左、右焦点，O为坐标原点，
84
则
|PF
1
|?|PF
2
|
的取值范围__ _______
(2,6]
________.
|OP|
三．解答题（本题共4道小题，满分90分）
13．（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx
（1）若a＜0，证明：对 于任意两个正数x
1
，x
2
，总有
f(x
1
)?f (x
2
)x?x
≥f(
12
)成立；
22
1
2
x恒成立，求a的取值范围。
2
（2）若对任意x∈[1，e]，不等式f（x）≤（a+3）x－





14．（本小题满分20分）已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
6
，过点A（0，－b）
3
和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
.
2
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（－2，0），直线y=k x+t与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t＞0，都
存在k ，使得以线段CD为直径的圆过E点.





15. （本小题满分25分）如图。△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，
且A D=AC=AE.求证：直线DE过△ABC的内心.
A



E

D


D

B


16.（本小题满分25分）已知数列{a
n
}中的相邻两项a
2 k-1
，a
2k
是关于x的方程x－（3k+2）

k
x+3k×2

=0的两个根.
（1）求数列{a
n
}的前2n项和S
2n
.
2k
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f(3)f(n?1)
f(2)f (4)
（-1）（-1）（-1）（-1）
1
|sinn|
（2）记f（n） =（+3），T
n
=+++…+，
aaaa
aaaa
2
s inn
342n?12n
1256
求证：
5
1
≤T
n
≤（n∈N
+
）
24
6












说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各
题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。
2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本
评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一．选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．（C）． 2．（B）． 3．（C）． 4．（A）． 5．（D）． 6．（B）．
二．填空题（本题满分30分，每小题5分）
7．
2
?
12009
1
1
． 8． 9．． 10．或
a?x?1
． 11．． 12．
?
．
x?
(2,6]
．
16
342010
a
三．解答题
13（本小题满分20分）
解：（I）.
f(x
1
)?f(x2
)x?x2x?alnx
1
?2x
2
?alnx
2< br>x?xx?x
?f(
12
)?
1
?2
12
? aln
12

22222
2x
1
x
2
x< br>1
?x
2
2
?alnx
1
x
2
?a ln
………（5分）
?aln(x
1
x
2
?)?aln< br>2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
因为
x
1
?x
2
?2x
1
x
2
所以
2x
1
x
2
2x
1
x
2
?1
,
ln?0
，
x
1
?x
2
x
1
?x
2
2x
1
x
2
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
?0
，所以，
?f(
12
)
； …（10分）又
a?0
， 故
aln

x
1
?x
2
22
（Ⅱ）因为
f(x)?(a?3)x?
1
2
x
对
x?[1,e]
恒成立，
2
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知识改变命运，学习成就未来
1
2
1
x
，
a(x?lnx)?x
2
?x
，
22
1
2
x?x
2
因为
x?[1,e]
,所以
x?lnx?0
，因 而
a?
，……………………（15分）
x?lnx
1
2
x?x
设
g(x)?
2

x?[1,e]

x?lnx
故
2x?alnx?(a?3)x?< br>11
1
(x?1)(x?lnx)?(1?)(x
2
?x)
( x?1)(x?1?lnx)
x2
2
?
因为
g
?
( x)?
，
2
(x?lnx)(x?lnx)
2
当
x?(1,e)
时,
x?1?0
,
1
x?1?lnx?0
，所以
g
?< br>(x)?0
，
2
又因为
g(x)
在
x?1
和
x?e
处连续 ，所以
g(x)
在
x?[1,e]
时为增函数，
1
2e?e
2
e?2e
?
所以
a?g(e)?
2
………………………………（20分）
e?12(e?1)
14，（本小题满分20分）
?
c6
,
?
?
3
?
a
解：（I） 直线
AB
的方程为
bx?ay?ab?0
， 依题意得
?

3
?
ab
?.
22
?
2
?
a?b
x
2
?y
2
?1
．……………… ……………（5分） 解得
a?3,b?1
， 所以，椭圆方程为
3
（Ⅱ）将
y?kx?t
代入椭圆方程，得
(1?3k)x?6ktx?3t?3?0
，
由直线与椭圆有两个交点，
222
t
2
?1
，……（1） …………（10分）
???(6kt)?12(1?3k)(t?1)?0
，
k?
3
2 22
2
6kt
3(t
2
?1)
设
C(x
1
,y
1
), D(x
2
,y
2
)
，则x
1
?x
2
??
，
x
1
?
x
2
?
，……（2）
1?3k
2
1?3k
2
????????
?
以
CD
为直径的圆过
E
点，
?
EC?ED?0
，即
(x
1
?1)(x
2
?1) ?y
1
y
2
＝0
，
而
y
1
? y
2
＝(kx
1
?t)(kx
2
?t)＝kx
1< br>x
2
?tk(x
1
?x
2
)?t
，
22
?(k
2
?1)x
1
x
2
?(tk?1)( x
1
?x
2
)?t
2
?1?0
，将（2）代入，
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知识改变命运，学习成就未来
3(t
2
?1)6kt2t< br>2
?1
2
(k?1)?(tk?1)?t?1?0
，解得
k＝
，…………（15分）
1?3k
2
1?3k
2
3t< br>2
4t
4
?4t
2
?1
4t
4
?4 t
2
?1t
2
?1(t
2
?1)
2
?t< br>2
2t
2
?1
???0
，
k＝
，即
k＝
满足（1），
22
2
9t39t3t
9t
2
所以，对任意的
t?0
，都存在
k
，使得以线段
CD
为直径 的圆过
E
点．……（20分）
15. （本小题满分25分）
证明：设角
C
的内角平分线与
DE
交于点
I
，
A

连接
AI,IC,CE
,由于
AE
是
?ABC

外接圆的切线，故
D

B

I

E

?ACB?180
?
??DAE
，……（5分）
又
AD?AE
，故

C

180
?
??DAE
??ADE??AED?2?AED
， ………………………（10分）
故
?ACI?
1
?ACB??AED
，所以
A、E、I、C
四点共圆. ……（15分）
2
?IAC??IEC??AEC??AED

180
?
??CAE180
?
??DAE
??
………………………………（20分）
22
11
(?DAE??CAE)??A，故
AI
为角
A
的角平分线，
22
I
为
?ABC
的内心. ………………………………（25分）
16. （本小题满分25分）
（I）解：方程x
2
?(3k?2
k
)x?3k?2
k
?0
的 两个根为
x
1
?3k
，
x
2
?2
k
， ………………………………（5分）
S
2n
?a
1
?a
2
???a
2n
?(3?6???3n)?(2?2
2
???2
n
)

3n
2
?3n
n?1
??2?2
． ………………………………（10分）
2
111(?1)
f(n?1)
(Ⅱ) 证明：
T
n
?
，
?????
a
1
a2
a
3
a
4
a
5
a
6
a2n?1
a
2n
所以
T
1
?
115
1 1
?
，
T
2
???
． ………………………………（15分）
a
1
a
2
a
3a
4
24
a
1
a
2
6
当
n≥ 3
时，
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知识改变命运，学习成就未来
?
1
111(?1)
f(n?1)
111
?
T
n
??????
≥
??
?
?
?
?
?

6a
3
a< br>4
a
5
a
6
a
2n?1
a
2n6a
3
a
4
?
a
5
a
6
a< br>2n?1
a
2n
?
11
111
?
11
?
1
???
， ………………………………（20分）
≥???
?
?
??
66
?
2
2
6
?
2< br>3
2
n
?
66
?
2
n
6
?
1
511(?1)
f(n?1)
511
?
同时，
T
n
??????
≤
??
?
?
?
?
?

24a
5
a
6
a
7
a
8a
2n?1
a
2n
24a
5
a
6
?< br>a
7
a
8
a
2n?1
a
2n
?≤
15
511
?
11
?
5
???
．
???
?
?
?
1
n
3n
?
249
?
224
249
?
29
?
22
?
15
≤T
n
≤
． ………………………………（25分）
624
综上，当
n?N
?
时，


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