2001年全国高中数学联赛试卷及详细解析

二○○一年全国高中数学联赛
（10月4日上午8：00—9：40）
题号
得分
评卷人
复核人
一



二



三
13



14



15



合计



加试



总成绩



学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6个小是题 ，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将
正确答案的代表字 母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论
是否写在括号内） ，一律得0分。
22
1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x-3x-a+2=0, x∈R}的子集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；
以上三个命题中正确的有
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，
?
）上单调递增的
2
偶函数是
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A）k=8
3
（B）0k?83

5．若（1＋ｘ＋ｘ）的展开式为ａ
０＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ，
则ａ
０
＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9＋…＋ａ
1998
的值为（ ）．
3336669992001
（A）3 （B）3 （C）3 （D）3
6．已知6枝玫 瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2
枝玫瑰的价 格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高
（C）价格相同 （D）不确定
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
8、若复 数z
1
,z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
210002000
3
-I,则z
1
z
2
= 。 < br>2
9、正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D< br>1
的棱长为1 ，则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是 。
10、不等式
13
?2?
的解集为 。
log
1
x2
2

11、函数
y?x?< br>
x
2
?3x?2
的值域为 。
F
E
A
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要 求同一场块中种同一种植物，
相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种
栽种方案。
二、 解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、设{an
}为等差数列，{b
n
}为等比数列，且
b
1
?a< br>1
，
b
2
?a
2
，
b
3
? a
3
（a
1
2
）,又
n???
B
C
D
22
2
lim(b
1
?b
2???b
n
)?2?1
，试求{a
n
}的首项与公差。




x
2
2
2
14、设曲线 C
1
:
2
?y?1
(a为正常数)与C
2
:y=2 (x+m)在x轴上方公有一个公共点P。
a
（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；
（2） O为原点，若C
1
与x轴的负半轴交于点A，当01
时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。
2



15、 用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
、（a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
）的电阻组装成一个如图 的组件，在组装
中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
（10月4日上午10：00—12：00）
学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、（本题满分50分）
如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD 、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求
证：（1）OB⊥DF，O C⊥DE；（2）OH⊥MN。

二、（本题满分50分）
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
n
n
k
x
k
x
j
?1
，求
?
x
i
的最大值与最小值。
ji?1
?
x
i?1
2
i
?2
1?k?j?n< br>?
三、（本题满分50分）
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的 正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应
边，试求这些正方形边长之和的最小值。

全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一．选择题：
CBDDCA
1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）．
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定
【答案】C
２２２
【解析】M表示方程ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4 ａ＞0，所以Ｍ含有
２
2个元素．故集合Ｍ有2＝4个子集，选Ｃ．

2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（ ）．
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
【答案】B
【解析】 由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长
方体（除正方 体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有
命题1正确， 选Ｂ．

3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．
Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜
Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
【答案】D
【解析】可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是 周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜
ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上 是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）
上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ．

4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）．
Ａ．
k?83
Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或
k?83

【答案】D
【解析】这是“已知三角形的 两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结
论知，应选结论Ｄ．
说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．

21000 2000
5．若（1＋ｘ＋ｘ）的展开式为ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ，
则ａ
０
＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋…＋ａ
1998
的 值为（ ）．
3336669992001
Ａ．3 Ｂ．3 Ｃ．3 Ｄ．3
【答案】C
【解析】由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．
取ω＝－（1／2）＋（
令ｘ＝1，得
／2）ｉ，则ω＝1，ω＋ω＋1＝0． < br>３２
２２

3＝ａ
０
＋ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋…＋ａ
2000
；
令ｘ＝ω，得
２2000
0＝ａ
０
＋ａ
1
ω＋ａ
2
ω ＋…＋ａ
2000
ω；
２
令ｘ＝ω，得
２４６4000
0＝ａ
０
＋ａ
１
ω＋ａ
２
ω＋ａ
３
ω＋…＋ａ
2000
ω．
三个式子相加得
1000
3＝3（ａ
０
＋ａ
３
＋ａ
６
＋ …＋ａ
1998
）．
999
ａ
０
＋ａ
３
＋ａ
６
＋…＋ａ
1998
＝3，选Ｃ．

6．已知6 枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，
则2枝玫瑰 的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高
Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定
【答案】A
【解析】这是一个大小比较 问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得，
1000
?
6X? 3Y?24
4X?5Y?22
问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以 下两种解法：
解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得 ｘ＝（5ａ－3ｂ）／
18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9．
∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9．
∵ａ＞24，ｂ＜22，
∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0．
∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ
解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分
（不含边界）．令2ｘ－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的
截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．
说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：
２
已知 函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足
（ ）．
Ａ．－7≤ｆ（3）≤26 Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15
Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20 Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3
（2）如果由条件①、②先分 别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解
法1运用了整体的思想，解法2 则直观可靠，详见文［1］．

二．填空题
7．
23
3
8．
2
7
?
3072
?i
1313
9．
6
6

10．
(0,1)?(1,2)?(4,??)
11．
[1,
3
)?[2,??)
2
12． 732
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
【答案】
23

3
【解析】若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法； 若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ（焦点到相

应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求 短半轴的长．
解法1：由
?
?
(0)?a?c?1
323
，故2ｂ＝ < br>?
(
?
)?a?c?13
得ａ＝2／3，从而ｂ＝
33
2222
解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ／ｃ＝1及ｂ＝ａ－ｃ，得
ｂ＝

323
．从而2ｂ＝．说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．
33< br>8．若复数ｚ
１
、ｚ
２
满足｜ｚ
１
｜＝2，｜ｚ３
｜＝3，3ｚ
１
－2ｚ
２
＝（3／2）－ｉ，则ｚ
１
·ｚ
２
＝
______________．
【答案】
?
3072
?i

1313
【解析】令ｚ
１
＝2（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα），ｚ
２
＝3（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ< br>１
－2ｚ
?
?
??
?
?
3
?
3
?
?12sinsin?
?
6(cos
?
?cos?
)?
?
?
222

２
＝（3／2）－ｉ及复 数相等的充要条件，得
?
2
即
?
?
?
??
?
?
?
12cossin??1
?
6(sin
?
? sin
?
)??1
?
?
?22
二式相除，得ｔｇ（α＋β） ／2）＝3／2．由万能公式，得
ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．
故ｚ
１
·ｚ
２
＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］ ＝－（30／13）＋（72／13）ｉ．
说明：本题也可以利用复数的几何意义解．


9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ
１
Ｂ
１
Ｃ1
１
的棱长为1，则直线Ａ
１
Ｃ
１
与ＢＤ
１
的距离是____ __________．
【答案】
6

6
【解析】这是一道求两 条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．为
了保证所作出的表示距离的线段与Ａ< br>１
Ｃ
１
和ＢＤ
１
都垂直，不妨先将其中一条直线置于另
一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
，则Ａ
１
Ｃ
１
⊥面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
，且
ＢＤ
１
面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
．设Ａ
１
Ｃ
１
∩Ｂ
１
Ｄ
１
＝0，在面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
内 作ＯＨ⊥ＢＤ
１
，垂足
为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ
１
Ｃ１
与ＢＤ
１
的距离．在Ｒｔ△ＢＢ
１
Ｄ
１
中， ＯＨ等
于斜边ＢＤ
１
上高的一半，即ＯＨ＝

10．不等式｜（1 ／ｌｏｇ
1／2
ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
2／7
【答案】ｘ＞4，或1＜ｘ＜2，或0＜ｘ＜1．
／6．

【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ
1／2
ｘ＜－2，或－2 ／7＜ｌｏｇ
1／2
ｘ＜0，
2／7
或ｌｏｇ
1／2
ｘ＞0 ．从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜2，或0＜ｘ＜1．

11．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．
【答案】［1，3／2）∪［2，＋∞）．
【解析】先平方去掉根号．
２２２
由题设得（ｙ－ｘ）＝ｘ－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ－2）／（2ｙ－3）．
２
由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．
由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．
说明：（1）参考答 案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．
（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．

12． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块
种不同的 植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．
【答案】732
【解析】为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、
Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．
（1）若Ａ、Ｃ、Ｅ种同 一种植物，有4种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后，Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种植
物中各选一种植物（允许重 复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．
2
（2）若Ａ、Ｃ、Ｅ种 二种植物，有Ｐ
４
种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后，若Ａ、Ｃ种同
一种，则Ｂ有3种方法 ，Ｄ、Ｆ各有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一种，相同（只
３
是次序不同）．此时共有Ｐ< br>４
×3（3×2×2）＝432种方法．
３
（3）若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物 ，有Ｐ
４
种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种种方法．此
３
时共有Ｐ
４
×2×2×2＝192种方法．
根据加法原理，总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案．
说明：本题是一个环形排列问题．

三．解答题
13．【解析】设所求公差为d
，∵
a
1
＜
a
2
，∴
d
＞ 0．由此得
22

a
1
(a
1
?2d)< br>2
?(a
1
?d)
4
化简得：
2a
1
?4a
1
d?d
2
?0

解得：
d?(?2?2)a
1

而
?2?2?0
，故
a
1
＜0
若
d?(?2?2)a
1
，则
q?
2
a
2
2
a
1
?(2?1)
2

若
d?( ?2?2)a
1
，则
q?
2
a
2
2
a1
?(2?1)
2

但
lim(b
1< br>?b
2
???b
n
)?2?1
存在，故|
q
|＜1，于是
q?(2?1)
2
不可能．
n???
从而
2
a
1
1?(2?1)
2< br>?2?1?a
1
2
?(22?2)(2?1)?2

所以
a
1
??2,d?(?2?2)a
1
?22?2

?
x
2
2
?
2
?y?1
14．【解析】( 1)由
?
a
消去
y
得：
x
2
?2a< br>2
x?2a
2
m?a
2
?0
①
?
y
2
?2(x?m)
?
设
f(x)?x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
，问题( 1)化为方程①在
x
∈(－
a
，
a
)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
a
2
?1
22
1°△＝0得：
m?
，此时
x
p
＝－
a
，当且仅当 －
a
＜－
a
＜
a
，即0＜
a
＜1时适合；
2
2°
f
(
a
)
f
(－
a
)＜0，当且仅当－
a
＜
m
＜
a
；
22
3°
f
(－
a
)＝0得
m
＝
a
，此时
x
p
＝
a
－2
a
，当 且仅当－
a
＜
a
－2
a
＜
a
，即0＜a
＜1时适合．
22

f
(
a
)＝ 0得
m
＝－
a
，此时
x
p
＝－
a
－2
a
，由于－
a
－2
a
＜－
a
，从而< br>m
≠－
a
．
a
2
?1
综上可知， 当0＜
a
＜1时，
m?
或－
a
＜
m
≤a
；
2
当
a
≥1时，－
a
＜
m
＜
a
．
(2)△
OAP
的面积
S?
∵0＜
a
＜
1
ay
p

2
1
，故 －
a
＜
m
≤
a
时，0＜
?a
2
? aa
2
?1?2m
＜
a
，
2
由唯一性得
x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m

显然当
m
＝
a
时，
x
p
取值最小 ．由于
x
p
＞0，从而
y
p
＝
1?
x2
p
a
2
取值最大，此时
y
p
?2a?a2
，
∴
S?aa?a
2
．
a
2
?1
1
2
当
m?
时，
x
p
＝－
a
，
y
p
＝
1?a
2
，此时
S?a1?a
2
．
2
2
1
下面比较
aa?a
2
与
a1?a
2
的大小：
2
11
令
aa?a
2
?a1?a
2
，得
a?

2
3
11
1
故当0＜
a
≤时，
a a?a
2
≤
a1?a
2
，此时
S
max
? a1?a
2
．
22
3

当
11 1
?a?
时，
aa?a
2
?a1?a
2
，此时S
max
?aa?a
2
．
2
32
15．【解 析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为
R
FG
，当
R
i
＝
a
i
，
i
＝3，4，5，6，
R< br>1
、
R
2
是
a
1
、
a
2< br>的任意排列时，
R
FG
最小
证明如下：
1． 设当两个电阻
R
1
、
R
2
并联时，所得组件阻值为
R
，则
111
．故交换二电阻的位置，不改
??
RR
1R
2
变
R
值，且当
R
1
或
R
2
变小时，
R
也减小，因此不妨取
R
1
＞
R
2
．

2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为
R
ABR
AB
?
RR?R
1
R
3
?R
2R
3
R
1
R
2

?R
3
?< br>12
R
1
?R
2
R
1
?R
2
显然
R
1
＋
R
2
越大，
R
AB
越小，所以为使
R
AB
最小必须取
R
3
为所取三个 电阻中阻值最小的—个．
3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为
R
CD


若记
S
1
?

1?i?j?4
?
R
i
R
j
,

S
2
?
1?i?j?k?4
?
R
i
Rj
R
k
，则
S
1
、
S
2
为定 值，于是
R
CD
?
S
2
?R
1
R
2
R
3

S
1
?R
3
R
4
只有当
R
3
R
4
最小，
R
1
R
2
R
3< br>最大时，
R
CD
最小，故应取
R
4
＜
R3
，
R
3
＜
R
2
，
R
3＜
R
l
，即得总电阻的阻值最小
4°对于图3把由
R1
、
R
2
、
R
3
组成的组件用等效电阻
R
AB
代替．要使
R
FG
最小，由3°必需使
R
6
＜
R
5
；且
由1°应使
R
CE
最小．由 2°知要使
R
CE
最小，必需使
R
5
＜
R
4
，且应使
R
CD
最小．
而由3°，要使
RCD
最小，应使
R
4
＜
R
3
＜
R2
且
R
4
＜
R
3
＜
R
1，
这就说明，要证结论成立

全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
一．【解析】证明：(1)∵
A
、< br>C
、
D
、
F
四点共圆
∴∠
BDF
＝∠
BAC

又∠
OBC
＝< br>1
(180°－∠
BOC
)＝90°－∠
BAC

2
∴
OB
⊥
DF
．
(2)∵
CF
⊥
MA


2

2

2

2
∴
MC
－
MH
＝
AC
－
AH
①
∵
BE
⊥
NA


2

2

2

2
∴
NB
－
NH
＝
AB
－
AH
②
∵
DA
⊥
BC


2

2

2

2
∴
BD
－
CD
＝
BA
－
AC
③
∵
OB
⊥
DF


2

2

2

2
∴
BN
－
BD
＝
ON
－
OD
④
∵
OC
⊥
DE


2

2

2

2
∴
CM
－
CD
＝
OM
－
OD
⑤
①－②＋③＋④－⑤，得

2

2

2

2

2

2

2

2

NH
－
MH
＝
ON
－
OM

MO
－
MH
＝
NO
－
NH

∴
OH
⊥
MN

另证：以
BC
所在直线为x
轴，
D
为原点建立直角坐标系，
aa
,k
AB
??

cb
ac
∴ 直线
AC
的方程为
y??(x?c)
，直线
BE
的方程为< br>y?(x?b)

ca
c
?
y?(x?b)
?
a
2
c?bc
2
ac
2
?abc
?
a< br>,
由
?
得
E
点坐标为
E
(
2
)
222
a
a?ca?c
?
y??(x?c)
?
c
?
设A
(0，
a
)，
B
(
b
，0)，
C< br>(
c
，0)，则
k
AC
??
a
2
b?b
2
cab
2
?abc
,
同理可得
F
(
2
)
222
a?ba?b
acc
?(x?)

2a2
b?c
直线
BC
的垂直平分线方程为
x?

2
acc
?< br>y??(x?)
?
b?cbc?a
2
?
2a2
, 由
?
得
O
()
22a
b?c
?
x?
?
2
?
直线
AC
的垂直平分线方程为
y?

bc?a
2

k
OB
?
2a
bc?a
2
b?c
?
ac?ab
,k?
ab
2
?abcab?ac
DF
a2
b?b
2
c
?
a
2
?bc

2
?b
∵
k
OB
k
DF
??1
∴
OB
⊥
DF

同理可证
OC
⊥
DE
．
在直线
BE
的方程
y?
c
a
(x?b)
中令
x
＝0得
H
( 0，
?
bc
a
)
bc?a
2
?
bc
∴
k
a
2?3
OH
?
2aa
bc
b?c
?
ab?ac< br>
2
直线
DF
的方程为
y?
ab?aca
2
?bc
x

?
由
?
?< br>y?
ab?ac
2
x
?
a?bc
得
N
(
a
2
c?bc
2
?
a
2
?2bc?c
2
,
abc?ac
2
22
)
?
?
y??
a
c
(x?c)
a?2bc?c
同理可得
M
(
a
2
b?b
2
cabc?ab2
a
2
?2bc?b
2
,
a
2
?2b c?b
2
)
∴
k?
a(b
2
?c
2
)(a
2
?bc)ab?ac
MN
(c?b)(a
2< br>?bc)(a
2
?3bc)
??
a
2
?3bc

∵
k
OH
·
k
MN
＝－1，∴
OH
⊥
MN
．
n
二．【解析】先求最 小值，因为
(
?
x)
2
n
i
?x
2
i
?2
i?1
?
i?11?k
?
k
j
x
k
x
j
?1
?j?n
等号成立当且仅当存在
i使得
x
i
＝1，
x
j
＝0，
j
＝i

∴
?
n
x
i
最小值为1． 再求最大值，令
x
k
?ky
k

i?1
n
∴
?
ky
2
k
?2
k?11?k
?
ky< br>k
y
j
?1
①
?j?n
?
n
?
y
1
?y
2
?
?
?y
n
?a
1
n
设
M?
?
x
y
2?
?
k
?ky
?
?y
n
?a
2
k
， 令
?

k?1
?
k?1
?
??< br>?
?
y
n
?a
n
则①?
a
222
1
?a
2
???a
n
?1

n
?
?
x
i
≥1
i?1

令
a
n?1
＝0，则
M?
nn
?
k?1
n
k(a
k
?a
k?1
)

nnn

?
?
k?1
ka
k
?
?
k?1
k a
k?1
?
?
k?1
ka
k
?
?
k?1
n
k?1a
k
?
?
(
k?1
2k?k?1)a
k

由柯西不等式得：

M? [
?
(
k?1
n
k?k?1)](
2
1
2
?
k?1
n
2
2
a
k
)
1
?[
?
(
k?1
k?k?1)]

1
2
22
2
a
k
a
n
a
1
等号成立?

?
?
??
?
?
22
1
(k?k?1)(n?n?1)

?
222
a
1
? a
2
?
?
?a
n
1?(2?1)
2
??
?(n?n?1)
2
k?k?1
[
?
2
a< br>k
(k?k?1)
2


?a
k
?
?
(
k?1
n
(
k
=1，2，…，
n
)
1
2
k?k?1)
2
]
由于
a
1
≥
a
2
≥…≥
a
n
，从而
y
k< br>?a
k
?a
k?1
?
2k?(k?1?k?1)
[< br>?
(
k?1
n
?0
，即
x
k
≥0
k?k?1)
2
]
1
2
所求最大值为
[< br>?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2

1
三．【解析】记所求最小值为
f
(
m
，
n
)，可义证明
f
(
m
，
n
)＝
rn
＋
n
－(
m
，
n
) (*)
其中(
m
，
n
) 表示
m
和
n
的最大公约数
事实上，不妨没
m
≥
n

(1)关于
m
归 纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为
rn
＋
n
－(
m
，
n
)
当用
m
＝1时，命题显然成立．
假设当，
m
≤
k
时，结论成立(
k
≥1)．当
m
＝
k
＋1时，若< br>n
＝
k
＋1，则命题显然成立．若
n
＜
k
＋ 1，从
矩形
ABCD
中切去正方形
AA
1
D
1D
(如图)，由归纳假设矩形
A
1
BCD
1
有一种分法 使得所得正方形边长之和恰为
m
—
n
＋
n
—(
m< br>－
n
，
n
)＝
m
－(
m
，
n
)，于是原矩形
ABCD
有一种分

D

D
1
C
法使得所得正方形边长之和为
rn
＋
n
－(
m
，
n
)
(2)关于
m
归纳可以证明(*)成立．
n
当
m
＝1时，由于
n
＝1，显然
f
(
m
，
n
)＝
rn
＋
n
－(
m
，
n< br>)
假设当
m
≤
k
时，对任意1≤
n
≤
m
有
f
(
m
，
n
)＝
rn
＋
n
－
(
m
，
n
)
m
A
1
A B
若
m
＝
k
＋1， 当
n
＝
k
＋1时显然
f
(
m
，
n
)＝
k
＋1＝
rn
＋
n
－(
m
，
n
)．
当1≤
n
≤
k
时，设矩形ABCD
按要求分成了
p
个正方形，其边长分别为
a
l
，
a
2
，…，
a
p

不妨
a
1
≥
a
2
≥…≥
a
p

显然
a
1
＝
n
或
a
1
＜
n
．
若
a
1
＜
n
，则在
AD
与
BC
之间的与
AD
平行的任一直线至少穿过二个分成的正方 形 (或其边界)．于

是
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
p
不小于
AB
与
CD
之和．
所以
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
p
≥2
m
＞
rn
＋
n
－(
m
，
n
)
若
a
1
＝
n
，则一个边长 分别为
m
－
n
和
n
的矩形可按题目要求分成边长分别为a
2
，…
a
p
的正方形，由归
纳假设

a
2
＋…＋
a
p
≥
m
－
n
＋
n
－(
m
－
n
，
n
))＝
r n
－(
m
，
n
)
从而
a
1＋
a
2
＋…＋
a
p
≥
rn
＋
n
－(
m
，
n
)
于是当
rn
＝
k
＋1时，
f
(
m
，n
)≥
rn
＋
n
－(
m
，
n
)
再由(1)可知
f
(
m
，
n
)＝< br>rn
＋
n
－(
m
，
n
)．