全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案范文

2017年全国高中数学联赛
一试
A卷
一、填空题
1.设
f(x)
是定义在
R
上的函数，对任意实数
x
有f(x?3)?f(x?4)??1
.又当
0?x?7
时，
f(x)?l og
2
(9?x)
，则
f(?100)
的值为__________ .
2.若实数
x,y
满足
x?2cosy?1
，则
x?c osy
的取值范围是__________.
2
x
2
y
2
??1
，
F
为
C
的上焦点，
A
为
C
的右顶点，
P
3.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C< br>的方程为
:
910
是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最 大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC中，AB=1，AP=2，过AB的平面α将其体积平分，则棱PC与平面 α所成角的余弦
值为________.
6.在平面直角坐标系
xOy
中， 点集
K?
?
(x,y)x,y??1,0,1
?
.在
K中随机取出三个点，则这三点中存
在两点之间距离为
5
的概率为________ __.
7.在
?ABC
中，
M
是边
BC
的中点，
N
是线段
BM
的中点.若
?A?
?
3
，< br>?ABC
的面积为
3
，则
AM?AN
的最小值为______ ____.
8.设两个严格递增的正整数数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
满足：
a
10
?b
10
?2017
，对任意正整数
n
，有
a
n?2
?a< br>n?1
?a
n
，
b
n?1
?2b
n
，则
a
1
?b
1
的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设
k,m
为实数，不等式
x
2
? kx?m?1
对所有
x?
?
a,b
?
成立.证明：
b?a?22
.
x
2
x
3
?)
的最小值和最35
10.设
x
1
,x
2
,x
3
是非 负实数，满足
x
1
?x
2
?x
3
?1
，求
(x
1
?3x
2
?5x
3
)(x
1
?
大值.
11.设复数
z
1
,z
2
满足
Re(z
1
)?0
，
Re(z
2
)?0
，且Re(z
1
)?Re(z
2
)?2
（其中
Re(z)< br>表示复数
z
的
实部）.
22

（1）求
Re(z
1
z
2
)
的最小值； （2 ）求
z
1
?2?z
2
?2?z
1
?z
2< br>的最小值.
2017年全国高中数学联赛A卷
二试
一.如图，在
?ABC
中，
AB?AC
，
I
为
?ABC
的内心， 以
A
为圆心，
AB
为半径作圆
?
1
，以
I
为圆
心，
IB
为半径作圆
?
2
，过点
B, I
的圆
?
3
与
?
1
,
?
2
分别交于点
P,Q
（不同于点
B
）.设
IP
与
B Q
交于
点
R
.证明：
BR?CR

二.设数列?
a
n
?
定义为
a
1
?1
，
a
n?1
?
a
n
?n,a
n
?n,
??
?
a
n
?n,a
n
?n,
n?1,2,?< br>.求满足
a
r
?r?3
2017
的正整数
r
的个数.
三.将
33?33
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小 方格的个数相等.若相邻连个小方
格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最 小值.
四.设
m,n
均是大于1的整数，
m?n
，
a1
,a
2
,?,a
n
是
n
个不超过
m
的互不相同的正整数，且
a
1
,a
2
,?,a
n< br>互素.证明：对任意实数
x
，均存在一个
i(1?i?n)
，使得a
i
x?
表示实数
2
x
，这里
y
m( m?1)
y
到与它最近的整数的距离.
2017年全国高中数学联赛A卷一试答案

1.
2.

3.
4.
5.
6.

7.

8.
9.
10.
11.

2017年全国高中数学联赛A卷二试答案

一.
二.
三.
四.
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
a
1
?a
2011
1.在等比数列
{a
n
}
中，
a
2?2
，
a
3
?3
，则
a
7
?a
2017
3
的值为 .
2.设复数
z
满足
z?9?10z?22i
，则
|z|
的值为 .
3.设< br>2x
f(x)
是定义在
R
上的函数，若
f(x)?x
是奇函数，
f(x)?2
是偶函数，则
f(1)
的值为 . < /p>

4.在
?ABC
中，若
sinA?2sinC
，且三条 边
a,b,c
成等比数列，则
cosA
的值为 .
5.在正四面体
ABCD
中，
E,F
分别在棱
AB,AC
上 ，满足
BE?3
，
EF
行，则
?DEF
的面积为 .
6.在平面直角坐标系
xOy
中，点集
K
?4
，且EF
与平面
BCD
平
?{(x,y)|x,y??1,0,1}
，在
K
中随机取出三个点，则这三个点
两两之间距离均不超过2的概率为 .
7.设
a
为非零实数，在平面直角坐标系
xOy
中，二次曲线< br>x?ay?a?0
的焦距为4，则
a
的值
为 . 8.若正整数
a,b,c
满足
2017?10a?100b?1000c
，则数组
(a,b,c)
的个数为 .
222
二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式
|2?a|?|5?2|
对所有
x?[1,2]
成立，求实数
a
的 取值范围.
10.设数列
{a
n
}
是等差数列，数列
{b
n
}
满足
b
n
?a
n?1
a
n? 2
?a
n
，
n?1,2,L
.
（1）证明：数列
{b
n
}
也是等差数列；
（2）设数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的公差均是
d
值.
11.在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1:y?4x
，曲线
C
2
:(x?4)?y?8
，经过
C
1
上一点
P
作一
条倾斜角为
45
的直线
l
，与
C
2
交于两个不同的点
Q,R
，求
|PQ|? |PR|
的取值范围.
o
2
22
2
xx
?0，并且存在正整数
s,t
，使得
a
s
?b
t
是 整数，求
|a
1
|
的最小
2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）
一、（本题满分40分）
设实数
a,b,c
满足
a?b?c ?0
，令
d?max{a,b,c}
，证明：
(1?a)(1?b)(1?c )?1?d
2

二、（本题满分40分）
给定正整数
m
， 证明：存在正整数
k
，使得可将正整数集
N
?
分拆为
k个互不相交的子集
A
1
,A
2
,L,A
k
，< br>每个子集
A
i
中均不存在4个数
a,b,c,d
（可以相同） ，满足
ab?cd?m
.
三、（本题满分50分）

如图， 点
D
是锐角
?ABC
的外接圆
?
上弧
BC
的中点，直线
DA
与圆
?
过点
B,C
的切线分别相交于点
P,Q
，
BQ
与
AC
的交点为
X
，
CP
与
AB
的交点为
Y
，
BQ
与
CP
的交点为
T
，求证：
AT
平分
线段
XY
.
四、（本题满分50分）
设
a
1
,a
2
, L,a
20
?{1,2,L,5}
，
b
1
,b
2< br>,L,b
20
?{1,2,L,10}
，集合
X?{(i,j)1?i ?j?20,(a
i
?a
j
)(b
i
?b
j
)?0}
，求
X
的元素个数的最大值.
一试试卷答案
a?a< br>2011
a?a
18
a
3
3
3
8
?
6
12011
?
6
?
. 1.答案： 解：数列
{ a
n
}
的公比为
q?
，故
1
?
a
7
?a
2017
q(a
1
?a
2011
)q99
a
2
2
2.答案：
5
。解：设
z?a?bi ,a,b?R
，由条件得
(a?9)?bi?10a?(?10b?22)i
，比较两 边实
虚部可得
?
?
a?9?10a
，解得：
a?1,b?2
，故
z?1?2i
，进而
|z|?5
.
?
b?? 10b?22
71
2
。解：由条件知，
f(1)?1??(f(?1)?(? 1))??f(?1)?1
，
f(1)?2?f(?1)?
，
42
17
两式相加消去
f(?1)
，可知：
2f(1)?3??
，即f(1)??
.
24
asinA
4.解：由正弦定理知，
?? 2
，又
b
2
?ac
，于是
a:b:c?2:2:1
，从而由余弦定理得：
csinC
3.答案：
?
b
2
?c< br>2
?a
2
(2)
2
?1
2
?2
2< br>2
.
cosA????
2bc4
2?2?1
5.解：由条件 知，
EF
平行于
BC
，因为正四面体
ABCD
的各个面是全 等的正三角形，故
AE?AF?EF?4
，
AD?AB?AE?BE?7
.
由余弦定理得，
DE?
同理有
DF?
AD
2
?AE
2
?2AD?AE?cos60
o
?49?16?28?37
，
37
.
作等腰
?DEF
底边
EF
上的高
DH
，则
EH
于是
S
?DEF
?
1
EF? 2
，故
DH?DE
2
?EH
2
?33
，
2
?
1
EFgDH?233
.
2
3
6. 解：注意
K
中共有9个点，故在
K
中随机取出三个点的方式数为
C< br>9
?84
种，
当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：

（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
（2）三点是边长为
1,1,2
的等腰直角三角形的顶点，有
4?4?16
种情况，
（3）三点 是边长为
2,2,2
的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于
(0,0)
的有4个，直角顶
点位于
(?1,0)
，
(0,?1)
的各有一个 ，共有8种情况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为
6?16?8?30
，进而所求概率为
305
?
.
8414
x
2y
2
?1
，显然必须
?a?0
，故二次曲线为双曲线，其标准方 程为7.解：二次曲线方程可写成
?
2
?
aa
y
2
x
2
2222
2
c?(?a)?(?a)?a?a
，则，注意到焦距 ，可知
a?a?4
，又
2c?4
??1
2
2
(?a )
(?a)
a?0
，所以
a?
1?17
.
28.解：由条件知
c?[
2017
]?2
，当
c?1
时 ，有
10?b?20
，对于每个这样的正整数
b
，由
1000
10b?a?201
知，相应的
a
的个数为
202?10b
，从而 这样的正整数组的个数为
b?10
?
(202?10b)?
20
(1 02?2)?11
?572
，
2
当
c?2
时，由
20?b?[
20172017
]
，知，
b?20
，进而
2 00?a?[]?201
，
10010
故
a?200,201
，此 时共有2组
(a,b,c)
.
综上所述，满足条件的正整数组的个数为
572?2?574
.
9.解：设
t?2
，则
t?[2,4]
，于是
|t?a|?|5?t|
对所有
t?[2,4]
成立，由于
x
|t?a|?|5?t|?(t?a)< br>2
?(5?t)
2
，
?(2t?a?5)(5?a)?0
，
对给定实数
a
，设
f(t)?(2t?a?5)(5?a)
，则f(t)
是关于
t
的一次函数或常值函数，注意
t?[2,4]
，
?
f(2)?(?1?a)(5?a)?0
因此
f(t)?0
等价 于
?
，解得
3?a?5

f(4)?(3?a)(5?a)?0?
所以实数
a
的取值范围是
3?a?5
.
10.解： （1）设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，则
bn?1
?b
n
?(a
n?2
a
n?3
?an?1
)?(a
n?1
a
n?2
?a
n
)
22

所以数列
{b
n
}
也是等差数列. < br>1
?d
，因为
d?0
，故
d?
，这样
32
22
b
n
?a
n?1
a
n?2
?a
n
?(a
n
?d)(a
n
?2d)?a
n
?3da
n
?2d
2
?a
n
?

9
22
若正整数
s,t
满足
a
s
?b
t
? Z
，则
a
s
?b
t
?a
s
?b
t
??a
1
?(s?1)d?a
1
?(t?1)d?

99
s?t?22
?2a
1
???Z
.
39s?t?22
记
l?2a
1
??
，则
l?Z
， 且
18a
1
?3(3l?s?t?1)?1
是一个非零的整数，故
| 18a
1
|?1
，
39
1
从而
|a
1|?
.
18
1117
又当
a
1
?
时 ，有
a
1
?b
3
???1?Z
，
181818
1
综上所述，
|a
1
|
的最小值为.
18
（2）由已知条件及（1）的结果知：
3d
2
11.解：设P(t,2t)
，则直线
l
的方程为
y?x?2t?t
，代入曲 线
C
2
的方程得，
22
(x?4)
2
?(x?2t ?t
2
)
2
?8
，
化简可得：
2x?2(t?2t?4)x?(t?2t)?8?0
①，
由于
l
与
C
2
交于两个不同的点，故关于
x
的方程①的 判别式
?
为正，计算得，
2222
??(t
2
?2t)< br>2
?8(t
2
?2t)??(t
2
?2t)(t
2< br>?2t?8)
??t(t?2)(t?2)(t?4)
，
因此有
t?(?2,0)U(2,4)
，②
设
Q,R
的横 坐标分别为
x
1
,x
2
，由①知，
x
1
? x
2
?t?2t?4
，
x
1
x
2
因此，结 合
l
的倾斜角为
45
可知，
o
2
1
?( (t
2
?2t)
2
?8)
，
2
?t
4< br>?4t
2
?8
?(t
2
?2)
2
?4
，③
由②可知，
t?2?(?2,2)U(2,14)
，故
(t?2)? [0,4)U(4,196)
，从而由③得：
222
4?2t?t
2
|?22
， 注1：利用
C
2
的圆心到
l
的距离小于
C
2
的半径，列出不等式
|
2
同样可以求得②中
t
的范围.

注2：更简便的 计算
|PQ|g|PR|
的方式是利用圆幂定理，事实上，
C
2
的圆 心为
M(4,0)
，半径为
r?22
，故
|PQ|g|PR|?|P M|
2
?r
2
?(t
2
?4)
2
?(2t )
2
?(22)
2
?t
4
?4t
2
?8< br>.
加试试卷答案
一、
证明：当
d?1
时，不等式显然成立
以下设
0?d?1
，不妨设
a,b
不异号，即
ab?0，那么有
因此
(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c
2
?1?c
2
?1?d
2

二、
证明：取
k?m?1
，令
A
i
?{xx?i(modm?1),x?N
?< br>}
，
i?1,2,L,m?1

设
a,b,c,d?A
i
，则
ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1)
，
故
m?1ab?cd
，而
m?1m
，所以在
A
i
中不存在4个 数
a,b,c,d
，满足
ab?cd?m

三、
证明：首 先证明
YXBC
，即证
AX
XC
?
AY
YB

连接
BD,CD
，因为
S
?ACQ?ACQ
S
?
S
?ABC
S
?ABC
S
?
，
?AB P
S
?ABP
1
2
AC?CQsin?ACQ
1
A C?BCsin?ACB
1
AC?AQsin?CAQ
所以
1
?2
1
?
2
， ①
2
AB?BCsin?ABC2
AB?BPsin?ABP
1
2
AB?APsin?BAP
由 题设，
BP,CQ
是圆
?
的切线，所以
?ACQ??ABC
，
?ACB??ABP
，又
?CAQ??DBC??DCB??BAP
（注意
D
是弧
BC
的中点），于是由①知
AB?AQCQ
AC?A P
?
BP

因为
?CAQ??BAP
，所以
?BAQ??CAP
，
S
1
?ABQ
2
AB?AQsin?BAQ
于是
AB?AQ< br>S
??
AP
③
?ACP
1
2
AC ?APsin?CAP
AC?
而
S
1
?BCQ
S
?
2
BC?CQsin?BCQ
CQ
④
?B CP
1
?
BC?BPsin?CBP
BP
2
由②，③，④得
S
?ABQ
S
?CBQ
S
?
?ACP
S< br>，
?BCP
②

即
S
?ABQ
S
?CBQ
S
?ABQ
S
?CBQ
?
S
? ACP

S
?BCP
AX
S
?ACP
AY
?
， < br>XC
S
?BCP
YB
又
?
故
AXAY

?
XCYB
AXCMBY
???1
，
XCMBYA< br>设边
BC
的中点为
M
，因为
所以由塞瓦定理知，
AM ,BX,CY
三线共点，交点即为
T
，故由
YXBC
可得
A T
平分线段
XY

四、
解：考虑一组满足条件的正整数
(a
1
,a
2
,L,a
20
,b
1
,b
2
,L,b
20
)

对
k?1,2,L,5
，设
a
1
,L,a
20
中取值为
k
的数有
t< br>k
个，根据
X
的定义，当
a
i
?a
j
时，
(i,j)?X
，
因此至少有
?
C
k?1
5
2
t
k
个
(i,j)
不在
X
中，注意到< br>?
t
k?1
5
k
?20
，则柯西不等式，我们有555
111
5
120
22
C??(t?t)??((t)?t )??20?(?1)?30

?????
kkkk
2
k?1
25
k?1
25
k?1k?1k?1
2
t
k
5< br>从而
X
的元素个数不超过
C
20
?30?190?30?16 0

另一方面，取
a
4k?3
?a
4k?2
?a< br>4k?1
?a
4k
?k
（
k
则对任意
i,j
（
1?i?
2
?1,2,L,5
），
b
i
?6?a
i
（
i?1,2,L,20
），
2
，有
(a
i
?a
j
)(b
i
?b
j
)?(a< br>i
?a
j
)((6?a
i
)?(6?a
j
) )??(a
i
?a
j
)?0

j?20
）
2
2
等号成立当且仅当
a
i
?a
j
，这恰好发生< br>5C
4
?30
次，此时
X
的元素个数达到
C
20
?30?160

综上所述，
X
的元素个数的最大值为160.

四、