2006年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 已知△ABC，若对任意
t?R
，
BA?tBC?AC
，则△ABC一定为
A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】
（ ）
2
2. 设
log
x
(2x?x?1)?log
x
2 ?1
，则
x
的取值范围为
A．
?x?1
B．
x?
1
2
1
（ ）
,且 x?1
C．
x?1
D．
0?x?1
【答案】
2
5. 设
f(x)?x
3
?log
2
x ?x
2
?1
，则对任意实数
a,b
，
a?b?0
是
f(a)?f(b)?0
的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ）
6. 数码
a
1
,a
2
,a
3
,
A．
?
?
,a
2006
中有奇数个9的2007位十进制数
2a
1
a
2
a
3
a
2006
的个数为
1
20062006
1
(10?8)
B．
(10
2006
?8
2006
)
C．
10
2006
?8
2006
D．
10
2006
?8
2006
【答
22
[来源:学科网ZXXK]
案】（ ）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 设
f(x)?sinx?sinxcosx?cosx
，则
f(x)
的值域是 。
8. 若对一切
?
?
R，复数
z?(a?cos
?)?(2a?sin
?
)i
的模不超过2，则实数
a
的取值范围
为 .
44
x
2
y
2
x?3y?8?23?0< br>??1
的左右焦点分别为
F
1
与
F
2
，9. 已知椭圆点
P
在直线
l
：
164


1

上. 当
?F
1
PF
2
取最大值时，比
PF
1
的值为 .
PF
2
1
cm的实心铁球，四个球两两相切，
2
10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为
其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要
3
注水 cm.
11. 方程
(x
2006
?1)(1?x
2
?x
4
??x
2004
)?2006x
2005
的实数解的个数为 .
12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4
次 恰好取完所有红球的概率为 .
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）


15. 设
f(x)?x
2
?a
. 记
，
f
1
(x )?f(x)
，
f
n
(x)?f(f
n?1
(x))
，n?2,3,
M?a?R对所有正整数 n， f
n
(0)?2
明：
M?
?
?2,
?
.
4
??
. 证
?
?
1
?
?
[来源:学科网]

2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷
（考试时间：上午10：00—12：00） < br>一、以
B
0
和
B
1
为焦点的椭圆与△
AB< br>0
B
1
的边
AB
i
交于
C
i
（
i
=0，
1）。在
AB
0
的延长线上任取点
P
0
，以
B
0
为圆心，
B
0
P
0< br>为半径
作圆弧
P
0
Q
0
交
C
1B
0
的延长线于
Q
0
；以
C
1
为圆心 ，
C
1
Q
0
为半径作圆弧
Q
0
P
1
交
B
1
A
的延长线于
P
1
；
以
B
1
为圆心，
B
1
P
1
为半径作圆弧P
1
Q
1
交
B
1
C
0
的延长 线于
Q
1
；以
C
0
为圆心，
C
0
Q
1
为半径作圆弧
Q
1
P′
0
，交
AB< br>0
的延长线于
P′
0
。试证：
（1）点
P′
0
与点
P
0
重合，且圆弧
P
0
Q
0与
P
0
Q
1
相内切于
P
0
；


2

（2）四点
P0
、
Q
0
、
Q
1
、
P
1共圆。









[来源:学_科_网Z_X_X_K]









一试参考答案



3

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.【答案】 （ C ）
【解析】令
?ABC?
?
，过A作AD?BC
于D。由
BA?tBC?AC
，推出
BA?2tBABC? tBC?AC
22
22
2
2
22
,令
t?
2
BABC
BC
2
，代入上式，得
22
BA?2BAco s
?
?cos
?
BA?AC
2
，即
BAsin
?
?AC
2
, 也即
BAsin
?
?AC
。从而有
AD?AC
。由此可得
?ACB?
?
2
。

3.【答案】 （ C ）
【解析】
5x?a?0
?x?ab
；
6x?b?0
?x?
。要使
A?B?N?
?2,3,4
?
，则
56
?
b
1??2
?
?
6?b?12
?
6
11
，即。所以数对
?
a, b
?
共有
C
6
C
5
?30
。
?
?
?
20?a?25
?
4?
a
?5?
5
?

4.【答案】 （ A ）
【解析】建立直角坐标系 ，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为
ｘ
轴，ＡＣ为
ｙ
轴，ＡＡ
１
为ｚ 轴，
则
F(t
1
,0,0)
（
0?t
1
? 1
），
E(0,1,)
，
G(,0,1)
，
D(0,t2
,0)
（
0?t
2
?1
）。所以
1
2
1
2
11
EF?(t
1
,?1,?)
，
GD?(?,t
2
,?1)
。因为
GD?EF
，所以
t1
?2t
2
?1
，由此推出
22
0?t
2< br>?
2
2
1
1
2
22
。又
DF?(t
1
,?t
2
,0)
，
DF?t
1
?t2
?5t
2
?4t
2
?1?5(t
2
?)?< br>，
55
2
1
?DF?1
。
5


4
从而有

6、 【答案】（ B ）
【解析】出现奇数个9的十进制数个数有
A?C
2006
9
于< br>(9?1)
2006
120053
?C
2006
9
2 003
?
2005
?C
2006
9
。又由
?
?
C
k?0
2006
k
2006
9
2006?k
以及
(9?1)
2006k
?
?
C
2006
(?1)
k
9
2006?k
，从而得
k?0
2006< br>13
A?C
2006
9
2005
?C
2006
9
2003
?
1
2005
?C
2006
9?(1 0
2006
?8
2006
)
。
2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）


8.【答案】
?
?
?
?
55
?
,
?
。
55
?
22
【解析】依题意，得
z?2

?(a?cos
?
)?(2a?sin
?
)?4

?2a(cos
?
?2sin
?
)?3?5a
2
??25a sin(
?
?
?
)?3?5a
2
（
?
?arcsin
1
）（对任
5
?
5
5
5
?
,
意实数
?
成立）
?25a?3?5a

?a?
. 故
a
的取值范围为
?
?
?
。
5
55
??
2
[来源:Z&xx&]

9. 【答案】
3?1

【解析】 由平面几何知，要使
?F
1
P F
2
最大，则过
F
1
,F
2
，
P
三点的圆必定和直线
l
相


5

切于
P
点。设直线
l
交
x
轴于
A
(?8?23,0)
，则
?APF
1
??AF
2
P
，即
?APF
1
即
2
?AF
2
P
，
PF
1
AP
（1 ），又由圆幂定理，
?
PF
2
AF
2
，而
F
A
(?8?23,0)
，从而有
AF
1
?8
，
A P?AF
1
?AF
2
（2）
1
(?23,0)
，< br>F
2
(23,0)
，
PF
1
?
，（2）得< br>AF
2
?8?43
。代入（1）
PF
2
AF
1
8
??4?23?3?1
。
AF
2
8?43


12. 【答案】0.0434
【解析】第4次恰好取完所有红球的概率为 2
?
9
?
18291
?
8
?
21?
??
??????
??
??
=0.0434.
10
?
10
?
1010101010
?
10
?
1010
三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）
22
n?n
2
?4
13. 【证明】 因为
y?nx?1
与
y?x
的交点为
x
0
?y
0
?
.显然有
2
2


6

x
0
?
1
?n
。
x
0
mm2
m
若
(x
0
,y
0
)
为抛物线y?kx?1
与直线
y?x
的一个交点，则
k?x
0
?
1
. 记
x
0
m
k
m
?x< br>0
m
?
11
k?k(x?)?k
m?1
?nk
m
?k
m?1
，
(m?2)
（13.1） ，则 m?1m0
m
x
0
x
0
2
由于
k1
?n
是整数，
k
2
?x
0
?
11< br>2
?(x?)?2?n
2
?2
也是整数，所以根据数学归纳
0
2
x
0
x
0
m
法，通过（13.1）式可证明对于 一切正整数
m
，
k
m
?x
0
?
1
是正整数. 现在对于任意
m
x
0
正整数
m
，取
k ?x
0
?

m
1
mm
2
y?kx?1，使得与的交点为
y?x
(x,y
00
)
.
x
0
m


7

15. 【证明】（１）如果
a??2
，则
f
1
(0)?|a|?2
，
a?M
。
1
1nn?12
，由题意
f(0)?a
，
f(0 )?(f(0))?a
,
n?2,3,
. 则
4
111
n1
① 当
0?a?
时，
f(0)?
（
?n?1
）. 事实上，当
n?1
时，
f(0)?a?
,
422
设
n?k?1
时成立（
k?2
为某整数），则对
n?k
，
（２）如果
?2?a?
?
1
?
11
f
k
( 0)?f
k?1
(0)?a?
??
??
.
?
2< br>?
42
2
2
（3）当
a?
11
n
时 ，记
a
n
?f(0)
，则对于任意
n?1
，
an
?a?
且
4
4
。对于任意
2
a
n? 1
?f
n?1
(0)?f(f
n
(0))?f(a
n
)?a
n
?a
n?1
，
1111
2
a
n ?1
?a
n
?a
n
?a
n
?a?(a
n< br>?)
2
?a??a?
, 则
a
n?1
?a
n
?a?
。 所以，
244411
2?a
a
n?1
?a?a
n?1
?a
1< br>?n(a?)
。当
n?
时，
a
n?1
?n(a?)? a?2?a?a?2
，即
1
44
a?
4
1
??f
n?1
(0)?2
。因此
a?M
。综合（１）（２）（３）， 我们有
M?
?
?2,
?
。
4
??


8

2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
一、（本题满分50分）以
B< br>0
和
B
1
为焦点的椭圆与△
AB
0
B
1
的边
AB
i
交于
C
i
（
i
= 0，1）。在
AB
0
的延长线上任取点
P
0
，以
B
0
为圆心，
B
0
P
0
为半径作圆弧
P0
Q
0
交
C
1
B
0
的延长线于
Q
0
；以
C
1
为圆
心，
C
1
Q
0
为半径作圆弧
Q
0
P
1
交
B
1
A
的延长线于
P
1
；以
B
1
为圆心，B
1
P
1
为半径作圆弧
P
1
Q
1交
B
1
C
0
的延长线于
Q
1
；以C
0
为圆心，
C
0
Q
1
为半径作圆弧
Q
1
P′
0
，交
AB
0
的延长线于
P′< br>0
。试证：
（1）点
P′
0
与点
P
0重合，且圆弧
P
0
Q
0
与
P
0
Q1
相内切于
P
0
；
P
1
（2）四点
P
0
、
Q
0
、
Q
1
、
P
1
共圆。
A
S
1
【解析】证明：（1）显然
B
0
P
0
=
B
0
Q
0
，并由圆弧
P< br>0
Q
0
和
Q
0
P
1
，
Q< br>0
P
1
和
P
1
Q
1
，
P< br>1
Q
1
和
Q
1
P′
0
分别相内切于 点
Q
0
、
P
1
、
Q
1
，得
C
1
B
0
+
B
0
Q
0
=
C
1
P
1
，
B
1
C
1
+
C
1
P
1
=
B
1
C
0
+
C
0
Q
1
以及
C
0
Q
1
=C
0
B
0
+
B
0
P′
0
。四
式相加，利用
B
1
C
1
+
C
1
B
0
=
B
1
C
0
+
C
0
B
0
以及
P′
0
在
B
0
P
0
或其延长
线上，有
B
0
P
0
=
B
0P′
0
。
Q
1
C
0
从而可知点
P′
0
与点
P
0
重合。由于圆弧
Q
1
P
0
的圆心
C
0
、圆
C
1
弧
P
0
Q
0
的圆心
B
0
以及
P
0
在同一 直线上，所以圆弧
Q
1
P
0
和
P
0
Q0
Q
0
B
0
相内切于点
P
0
。 B
1
R
1
（2）现在分别过点
P
0
和
P
1
引上述相应相切圆弧的公切线
P
0
P
0
T和
P
1
T
交于点
T
。又过点
Q
1引相应相切圆弧的公切线
R
1
S
1
，分别交
P
0
T
和
P
1
T
于点
R
1
和
S
1
。连接
P
0
Q
1
和
P
1< br>Q
1
，得等腰三角形
P
0
Q
1
R
1
和
P
1
Q
1
S
1
。基于
此，我们 可由
∠
P
0
Q
1
P
1
=π?∠
P
0
Q
1
R
1
?∠
P
1
Q
1
S
1
=π?(∠
P
1
P
0
T
?∠
Q
1
P
0
P
1
)?(∠
P
0
P
1
T
?∠
Q
1
P
1
P
0
)
而π?∠
P
0
Q
1
P
1
= ∠
Q
1
P
0
P
1
+∠
Q
1
P
1
P
0
，代入上式后，即得
T
11
，同理可 得
?P
0
Q
1
P?
?
?(?PPT??PPT)? PQP?
?
?(?P
110010011
P
0
T??P0
P
1
T)
。所
22
以四点
P
0、
Q
0
、
Q
1
、
P
1
共圆。
二、（本题满分50分）已知无穷数列{
a
n
}满足
a
0< br>=
x
，
a
1
=
y
，
a
n? 1
?
a
n
a
n?1
?1
，
n
=1 、2、…。
a
n
?a
n?1
（1）对于怎样的实数
x与
y
，总存在正整数
n
0
，使当
n
0
≥
n
时
a
n
恒为常数？
（2）求数列{
a
n
}的通项公式。
（2）由（2.3）和（2. 4），我们得到
记
b
n
?
a
n
?1a
n? 1
?1a
n?2
?1
??
，
n
≥2。
a
n
?1a
n?1
?1a
n?2
?1
（2.7）
a
n
?1
，则当
n
≥2时，
a
n
?1
2232
b
n
?
b
n?1
b
n?2
?
(b
n?2
b
n?3
)b
n?2
?b
n?2
b
n?3
?
(b
n?3
b
n ?4
)b
n?3
?
b
n?3
b
n?4
??



9

由此递推，我们 得到
a
n
?1
y?1
F
n?1
x?1
F< br>n?2
?()?()
，
n
≥2，
a
n
?1y?1x?1
（2.8）
（2.9）
（2.10）
这里
F
n
=
F
n
?1+
F
n
?2
，
n
≥2，
F
0
=
F
1
=1。
由（2.9）解得
F
n
?
11?5
n?1
1?5
n?1
[()?()]
。
225
上式中的
n
还可以向负向延伸，例如
F
?1
=0，< br>F
?2
=1。
这样一来，式（2.8）对所有的
n
≥0都成立。由（2.8）解得
(x? 1)
F
n?2
(y?1)
F
n?1
?(x?1)
F
n?1
(y?1)
F
n?2
，
n
≥0。
a
n
?
F
n?2
F
n?1
F
n?1
F
n?2
(x?1)(y?1)?(x?1)(y?1)
式（2.11）中的
F
?1
、
F
?2
由（2.10）确定。
（2.11）



2006年全国高中数学联赛加试试题的另解

2006年全国高中数学联赛加试第一题
以
B
0
和
B1
为焦点的椭圆与
?AB
0
B
1
的边
ABi
交于
C
i
(i?0,1)
。在
AB
0
的延长线
上任取点
P
0
，以
B
0
为圆心，
B
0
P
0
为半径作圆弧
P
0
Q
0
交
C
1
B
0
的延长线于
Q
0
；以
C
1
为


10

圆心，
C
1
Q
0
为半径作圆弧
Q
0
P< br>1
交
B
1
A
的延长线于
P
1
；以< br>B
1
为圆心，
B
1
P
1
为半径作圆
弧
P
1
Q
1
交
B
1
C
0
的延长线于
Q
1
；以
C
0
为圆心，
C
0< br>Q
1
为半径作圆弧
Q
1
P
0
，交
A B
0
的延
长线于
P
0
。
试证：
（1） 点
P
0
与点
P
0
重合，且圆弧
P
0
Q
0
与
P
0
Q
1
相切于点
P
0
；
（2） 四点
P
0
、
Q
0
、
Q
1
、
P
1
共圆。（原题图略）
第（1）问的证明略，下面着重讨论第2问的另一种证明方法：
构思：证明四点共圆，如果能找（或猜 测）到该圆的圆心，转而证明圆心到四点距离
相等，也是一个常用的方法，那么圆心究竟在哪里？ 试验：由题意可以知道：
C
1
B
0
?C
1
B< br>1
?C
0
B
1
?C
0
B
0
=常数（大于
B
0
B
1
）。
利用《几何画板》制作如图1 所示的试验场景，其中圆
O
为四边形
P
0
Q
0
Q< br>1
P
1
的外接圆。
'
'
'
C
1
B
0
= 4.07852 厘米
C
1
B
1
= 1.87466 厘米
C
0
B
1
= 4.61694 厘米
C
0
B
0
= 1.33625 厘米
A
C< br>1
B
0
+C
1
B
1
= 5.95318 厘米
C
0
B
1
+C
0
B
0
= 5.95318 厘米
P
1
C
1
O
C
0
Q
1
B
1
B
0
Q
0
P
0
拖 动点A观察圆心O的位置变化
图1
拖动点
A
，观察圆心
O
位置的变化，猜测点
O
可能是
?AC
1
B
0
的内心 与
?AC
0
B
1
的内
心（这两个三角形的内心可能是重合的 ）。利用《几何画板》中的测量工具测得相关角的度
数，可以验证这个猜想是正确的！
所以我们就有了下面的另解：
证明：首先证明
?AC
1
B
0
的内心与
?AC
0
B
1
的内心重合：
假设这两 个三角形的内心不重合，并设
O
为
?AC
1
B
0
的 内心，
M
、
N
、
F
分别为切



11

点。则可从点
B
1< br>引圆
O
的切线与圆
O
切于点
E
、与线段
AB
0
交于点
D
，而且点
D
与点
C
0
∴
DB
1
?DB
0
?C
1
B
1
? C
1
B
0

又因为
C
0
B
1< br>?C
0
B
0
?C
1
B
1
?C
1
B
0
，
P
1
∴
DB
1
?D B
0
?C
0
B
1
?C
0
B
0
∴
DB
1
?DC
0
?C
0
B
1
，这与点
D
与点
C
0
不重合矛
盾，所以假设不 成立，因此：
?AC
1
B
0
的内心与
O
A
?AC
0
B
1
的内心重合。
C
1
C
0< br>Q
1
设
?AC
1
B
0
、
?AC0
B
1
的内心为
O
，如图3。
B
1
B
0
[来源:学_科_网Z_X_X_K]

Q
0
'
由于直线
OC
0
平分
?AC
0B
1
，又
C
0
Q
1
?C
0
P
0
，∴直
P
0
''
线
OC
0
垂直 平分线段
P
0
Q
1
，∴
OP
0
?OQ1

同理：
直线
OB
0
垂直平分线段
P0
Q
0
，∴
OP
0
?OQ
0

直线
C
1
O
垂直平分线段
P
1
Q
0，∴
OP
1
?OQ
0
图3


12

直线
B< br>1
O
垂直平分线段
P
1
Q
1
，∴
O P
1
?OQ
1







13