全国高中数学联赛模拟试题含答案

全国高中数学联赛模拟试题

一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、 设集合
M
={?2,0,1}，
N
={1,2,3,4,5} ，映射
f
：
M
→
N
使
对任意的
x
∈
M
，都有
x
+
f
(
x
)+
xf
(
x
)是奇数，则这样的映射
f
的个数是
（A）45
2、 已知sin2
（B）27
=
a
，cos2
（C）15
4
（D）11
4
?
?
?
??
?
=
b
，0＜＜，给出
tan
?
?
?
值
?
的五个答案：
①
b
；
1?a
a?b?1
．
a?b?1
②
a
；
1?b
③
1?b
；
a
④
1?a
； ⑤
b
其中正确的是：
（A）①②⑤
④⑤
3、 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为
（B）②③④ （C）①④⑤ （D）③
90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数
是
（A）64
4、
（B）66 （C）68 （D）70
递增数列1,3,4,9, 10,12,13,…，由一些正整数组成，它们
或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的 第100
项为
（A）729 （B）972 （C）243 （D）981

5、
n?1
?
594m?1
C
1
（其中
m?
?
，[
x
]表示不超过
n
?C
n
?C
n
???C
n
??
?
4
?
x
的最大整数）的值为
（A）
2
n
cos
2
?
n
?

4


（B）
2
n
sin
2
?
n
?

4
4
?
1
n?1
n
?
?
n
（C）< br>?
?
2?2cos
?

4
?
1
n? 1
n
?
?
n
（D）
?
?
2?2sin?

6、 一个五位的自然数
abcde
称为“凸”数，当且仅当它满足
a
＜
b
＜
c
，
c
＞
d
＞
e
（如12430，13531等），则在所有的五位数中
“凸”数的个数是
（A）8568
1134

二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、
x
2
y
2
过椭圆
??
1
上 任意一点
32
（B）2142 （C）2139 （D）
P
，作椭圆的 右准线的垂线
PH
（
H
为垂足），并延长
PH
到
Q
，使得
HQ
=
PH
（≥1）．当
点
P
在椭 圆上运动时，点
Q
的轨迹的离心率的取值范围是
．
2、 已知异面直线
a
、
b
所成的角为60°，过空间一点P
作与
a
、
b
都成角（0＜＜90°）的直线
l
，则这样的直线
l
的条数
是
f
()= ．
3、 不等式
?
1?
4x
2
1?2x
?
2
?2x?9
的解集
为 ．

4、
得
设复数
z
满足条件|
z
? i|=1，且
z
≠0，
z
≠2i，又复数使
?
?2iz为实数，则复数
?
?
z?2i
?2的辐角主值的取值范围
是 ．
5、 设
a
1
,
a
2
,…,
a
2002
均为正实数，且
1111
?????
，则
2?a
1
2?a
2
2?a
2002
2
a
1
a2
…
a
2002
的最小值
是 ．
6、 在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数
字8，则称它为“优选”数 码（如12883，787480889等），否
则称它为“非优选”数码（如2348756，958 288等），则长度
不超过
n
（
n
为自然数）的所有“优选”数码的 个数之和
为 ．

三、（20分）
已知数列{
a
n
}是首项为2，公比为的等比数列，且前
n
1
2
项和为
S
n
．
（1） 用
S
n
表示
S
n
+1
；
（2） 是否存在自然数
c
和
k
，使得




S
k?1
?c
＞2成立．
S
k
?c

四、（20分）
设异面直线< br>a
、
b
成60°角，它们的公垂线段为
EF
，且
|< br>EF
|=2，线段
AB
的长为4，两端点
A
、
B分别在
a
、
b
上移
动．求线段
AB
中点
P
的轨迹方程．





五、（20分）
已知定义在R
+
上的函数
f
(
x
)满足






（i）对于任意
a
、
b
∈R
+
，有
f
(
ab
)=
f
(
a
)+
f
(
b
)；
（ii）当
x
＞1时，
f
(
x
)＜0；
（iii）
f
(3)=?1．
现有两个集合
A
、
B
，其中集合
A
={(
p
,
q
)|
f(
p
2
+1)?
f
(5
q
)?2
＞0 ，
p
、
q
∈R
+
}，集合
B
={(
p
,
q
)|
f
()+=0，
p
、
q∈R
+
}．试
问是否存在
p
、
q
，使
A?B??
，说明理由．




p
q
1
2

第二试
一、（50分）
如图，
AM
、
AN
是⊙
O
的切线，
M
、
N
是切点，
L
是劣弧
MN
上异于
M
、
N
的点，过点
A
平行于
MN
的 直线分别交
ML
、
NL
于点
Q
、
P
．若< br>S
⊙O
?
2
?
3
S
△POQ
，求证 ：∠
POQ
=60°．
M
P
O
L
A
N Q



二、（50分）
已知数列
a1
=20，
a
2
=30，
a
n
+2
= 3
a
n
+1
?
a
n
（
n
≥1）． 求所有
的正整数
n
，使得1+5
a
n
a
n
+1
是完全平方数．

三、（50分）
设
M
为坐标平面上坐标为(
p·2002,7
p
·2002)的点，其中
p
为素数．求满足下列条件的 直角三角形的个数：
（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且
M
是直角顶点；
（2） 三角形的内心是坐标原点．



参考答案
一、选择题：
题号
答案

二、填空题：
?
0,0??
?
?30?
?
1,
?
?30?
?
2、
f
?
?
?
?
?
?
2,30???
?60?
；
?
3,
?
?60?
?
?
?
4,0??
?
?90?
?
4
3
?1
A
2
C
3
B
4
D
5
D
6
B

?
3
?
1、
?
,1
?
?
；
3
??




??
?,03、
?
?
?
?
0,
?
??
1
?
2
45
?
?
；
8
?




?
?
?arctan,
?
4、
?
?
；
?
5、4002
2002
；
1
?
10< br>n?1
8
n?1
142
?
?
??
6、
?
．
??
2
?
9763
?
三、（1）
S
n?1
?S
n
?
2
；
1
2
（2）不存在．

x
2
四、
?y
2
?
1
．
9

五、不存在．